lab-neon.tex

\input{diss}

\begin{document}

\input{titlepage}

\tableofcontents
\newpage

\section*{Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\label{sec:input}
В данной работе исследуется самостоятельный разряд в неоновой лампе TH-30-2. Лампа представляет собой стеклянный баллон, заполненный неоном при давлении порядка 10-20 торр. Электроды у лампы в форме дисков, причём расстояние между электродами меньше диаметра электрода. Внутри лампы последовательно с электродами впаян балластный резистор с сопротивлением $R_{Ne}=10$ кОм.  
Целью данной работы является успешная сдача зачета по общефизу

% \begin{gather*}
% \left|{\frac{C R_{0} \Delta \mathcal{E} \rho \left(R + R_{0}\right) \left(U_\text{г} - U_\text{з}\right)}{\left(R U_{0} - R U_\text{г} - R_{0} U_\text{г} + R_{0} \mathcal{E}\right) \left(R U_{0} - R U_\text{з} - R_{0} U_\text{з} + R_{0} \mathcal{E}\right)}}\right|
% +\\+
% \left|{\frac{C \Delta U_\text{г} \rho \left(R + R_{0}\right)}{R U_{0} - R U_\text{з} - R_{0} U_\text{з} + R_{0} \mathcal{E}}}\right|
% +\\+
% \left|{\frac{C \Delta U_\text{з} \rho \left(R + R_{0}\right)}{R U_{0} - R U_\text{г} - R_{0} U_\text{г} + R_{0} \mathcal{E}}}\right|
% +\\+
% \left|{\frac{C R_{0} \Delta R \rho \left(U_{0} - \mathcal{E}\right) \left(U_\text{г} - U_\text{з}\right)}{\left(R U_{0} - R U_\text{г} - R_{0} U_\text{г} + R_{0} \mathcal{E}\right) \left(R U_{0} - R U_\text{з} - R_{0} U_\text{з} + R_{0} \mathcal{E}\right)}}\right|
% +\\+
% \left|{\frac{C R_{0} \Delta R_0 \rho \left(U_{0} - \mathcal{E}\right) \left(U_\text{г} - U_\text{з}\right)}{\left(R U_{0} - R U_\text{г} - R_{0} U_\text{г} + R_{0} \mathcal{E}\right) \left(R U_{0} - R U_\text{з} - R_{0} U_\text{з} + R_{0} \mathcal{E}\right)}}\right|
% \end{gather*}
\newpage
\section{Исследование неоновой лампы}
\subsection{Снятие ВАХ неоновой лампы}

\input{vaxtable}

\newpage


\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{vax}
	\caption{Ход вольт-амперной характеристики неоновой лампы}
	\label{fig:figure1}
\end{figure}

Идеальная ВАХ системы из последовательно соединенных неоновой лампы и резистора
\begin{equation}
	I=\frac{U-U_0}{R_0},
\end{equation}
где по результатам аппроксимации с помощью MATLAB найдены коэффициенты 
\begin{equation}
	U_0=(107\pm1) \text{ В}
\end{equation}
\begin{equation}
	R_0=(12.30\pm0.09) \text{ кОм}
\end{equation}
Из точек зажигания и гашения соответственно нашли их напряжения:
\begin{equation}
	U_\text{з}=(119\pm1) \text{ В}
\end{equation}
\begin{equation}
	U_\text{г}=(109\pm1) \text{ В}
\end{equation}

\newpage
\subsection{Исследование работы релаксационного генератора}
% 1.Сравнение полученных периодов с экспериментальными данными
\subsubsection{Варьирование $R$}
\input{table_r}
\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{T_R}
	\caption{Зависимость периода колебаний от сопротивления $R$}
	\label{fig:figr}
\end{figure}
\subsubsection{Варьирование $C$}
\input{table_c}
\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{T_C}
	\caption{Зависимость периода колебаний от емкости $C$}
	\label{fig:figc}
\end{figure} 
\subsubsection{Варьирование $\mathcal{E}$} 
\input{table_e}
\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{T_E}
	\caption{Зависимость периода колебаний от напряжения $\mathcal{E}$}
	\label{fig:fige}
\end{figure}

% 2. Построение графиков $T=f(R)$, $T=f(C)$,$T=f(\epsilon)$
\newpage
\section{Вывод формул}
Рассчитаем период колебаний генератора, схема которого представлена на рисунке.
\begin{equation}
\label{eq:1}
	\diff{U}{t}+I(V)=\frac{\mathcal{E}-U}{R} \text{, где I(U)- ток в лампе}
\end{equation}
 
\begin{center}
\begin{figure}[H]

\centering
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{pic6}

\end{figure}
\end{center}

Рассмотрим стационарный режим (напряжение U на конденсаторе постоянно). 
 Сила тока в таком случае определяется уравнением
\begin{equation}
\label{eq:2}
I_{\text{ст}}=\frac{\mathcal{E}-U}{R}
\end{equation}
%график бы сюда вставить из методички
Стационарный режим работы схемы определяется путём совместного решения уравнения (\ref{eq:2}) и уравнения $I=I(U)$, описывающего ВАХ лампы. Очевидно, что точка пересечения существует не при всех R. Случай, когда

\begin{equation}
R=R_{\text{кр}}=\frac{\mathcal{E}-U}{I_{\text{г}}}
\end{equation}

является критическим, при дальнейшем увеличении сопротивления R стационарный режим оказывается невозможным.
Именно в этом случае $(R>R_{\text{кр}})$ в системе устанавливаются колебания.

%текст из методички

Рассмотрим, как происходит колебательный процесс. Пусть вначале конденсатор не заряжен. При включении схемы он начнет заряжаться через сопротивление R, напряжение U при этом будет увеличиваться. Как только оно достигнет напряжения зажигания $U_{\text{з}}$, газ в лампе начнет проводить ток, причем прохождение тока через лампу сопровождается разрядкой конденсатора. Действительно, нагрузочная прямая в этом случае не пересекается с характеристикой лампы, и значит, батарея $\mathcal{E}$, включенная через сопротивление R, не может поддерживать необходимую для горения лампы величину тока. Пока лампа горит, конденсатор разряжается, и напряжение на нем падает. Когда оно достигнет напряжения гашения $U_{\text{г}}$, лампа перестанет проводить ток, и конденсатор вновь начнет заряжаться. Очевидно, амплитуда колебаний равна $U_{\text{з}}-U_{\text{г}}$. Как ясно из предыдущего, условие возникновения колебаний имеет вид

\begin{equation}
R>R_{\text{кр}}=\frac{\mathcal{E}-U}{I_{\text{г}}}
\end{equation}
Вычеслим период колебаний. Полное время одного колебания T будет складываться из времени зарядки $\tau_1$ и времени зарядки $\tau_2$. Во время зарядки конденсатора лампа не горит (и врут календари), ток через нее $I(V)=0$, и уравнение (\ref{eq:2}) принимает вид
\begin{equation}
\label{eq:3}	
	RC\diff{U}{t}=\mathcal{E}-U
\end{equation}

Если отсчитывать время от момента гашения лампы, то 
\begin{equation}
U(t=0)=U_{\text{г}},
\end{equation}

и уравнение (\ref{eq:2}) имеет решение
\begin{equation}
	U(t)= \mathcal{E}-(\mathcal{E}-U_{\text{г}}) \exp{\left[- \frac{t}{RC} \right] }
	\end{equation}

Отсюда получаем время зарядки
\begin{equation}
\label{tau:1}
	\tau_1=RC\cdot \ln \frac {\mathcal{E}-U_{\text{г}}} 	{\mathcal{E}-U_{\text{з}}}
	\end{equation}

Мы будем представлять ВАХ лампы в виде:


\begin{equation}
I(U)=\frac{U-U_0}{R_0}
\end{equation}

При этом уравнение (\ref{eq:1}) примет вид
\begin{equation}
C\diff{U}{t}+\frac{U-U_0}{R_0} = \frac{\mathcal{E}-U}{R}
	\end{equation}

Переобозначим 
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{1}{\rho}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_0}
	\end{equation}

С учётом (\ref{eq:3}) получим
\begin{equation}
	C \diff{U}{t} +U \left( \frac{1}{R}+\frac{1}{R_0} \right)= \left( \frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0}\right)
	\end{equation}

\begin{equation}
	\label{eq:4}
	\rho C \diff{U}{t}+U= \rho \left( \frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0}\right)
	\end{equation}

Будем полагать, что при $t=0$ напряжение $U=U_{\text{з}}$.

Решая линейное неоднородное дифференциальное уравнение (\ref{eq:4}), получаем:
\begin{equation}
	U(t)=\rho \left(\frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0} \right)+ \left[U_{\text{з}}- \rho\left(\frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0} \right)\right]\exp{\left( - \frac{t}{\rho C} \right)} 
\end{equation}

За время $t=\tau_2$ напряжение упадет до $U_{\text{г}}$:
\begin{equation}
	U_{\text{г}}=\rho \left(\frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0} \right)+ \left[U_{\text{з}}- \rho\left(\frac{\mathcal{E}}{R}+\frac{U_0}{R_0} \right)\right]\exp{\left( - \frac{\tau_2}{\rho C} \right)} 
\end{equation}

И, окончательно, это нам даст время разрядки 
\begin{equation}
\label{tau:2}
	\tau_2 =  \rho C \ln { 
	\frac{(U_{\text{з}}  -  U_0) R+ (U_{\text{з}}-\mathcal{E})R_0}
	{(U_{\text{г}}  -  U_0) R+ (U_{\text{г}}-\mathcal{E})R_0}
	}
\end{equation}

Таким образом, мы, зная из уравнений (\ref{tau:1}) и (\ref{tau:2}) соответственно $\tau_1$ и $\tau_2$, сможем найти период колебаний
\begin{equation}
T=\tau_1+\tau_2
\end{equation}
\newpage
\section{Ответы на вопросы}
\subsection{№1}
Механизм зажигания самостоятельного разряда состоит в том, что при достаточно большой напряженности электрического поля электрон на длине свободного пробега приобретает энергию, достаточную для ионизации нейтрального атома. В результате соударения электрона с атомом, которое в этом случае становится неупругим, возникает положительный ион и еще один, вторичный, электрон. Уже два электрона устремляются к аноду, ионизируя на пути встречные атомы. Таким образом, возникает лавина электронов, двигающихся к аноду. Но сама по себе объемная ионизация электронами еще недостаточна для поддержания самостоятельного разряда. Необходим также механизм, обеспечивающий возникновение первичных электронов в области около катода, т.е. в начале их пути к аноду. 

Положительные ионы разгоняются по пути к катоду. Имея большую массу, они не могут ионизовать атомы, но способны, однако, выбивать электроны из металлического катода. Эти электроны становятся первичными для новых лавин, что и обеспечивает самостоятельность разряда.

\subsection{№2}
Чтобы запустить необходимую нам лавину электронов необходимо $U_{\text{з}}$. Если лавина электронов уже запущена, то ток будет проходить через лампу до тех пор, пока напряжение $U_{\text{г}}$ между катодом и анодом будет достаточно для того, чтобы поддерживать направленное движение частиц. 
\subsection{№4}
Неоновую лампу наполняют газом при пониженном давлении, чтобы достичь оптимальных показателей светоотдачи лампы и её долговечности.

Максимальная светоотдача достигается максимально возможной температурой нити и её минимальным охлаждением. С этой стороны лучше всего подходит вакуум, т.к. нить будет охлаждаться только за счёт излучения.

Но вольфрам в вакууме при высоких температурах может начать испаряться, из-за чего уменьшается долговечность лампы.

Поэтому лампу заполняют каким-либо инертным газом, но давление выбирают как можно ниже.

\subsection{№5}


\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[H]{0.49\linewidth}
\center{\includegraphics[width=0.95\textwidth]{q5_1}\\1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[H]{0.49\linewidth}
\center{\includegraphics[width=0.95\textwidth]{q5_2}\\2}
\end{minipage}
\caption{Схемы}
\end{figure}


В первой схеме амперметр показывает значение тока, равное $I_a=I_1+I_2$. Поскольку нам нужен только ток $I_2$, то ток $I_1$ и будет вносить погрешность в измерение. 
\begin{equation}
\delta I= \frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}. 
\end{equation}
Подставляя известные значения сопротивлений($R_v=10\, \text{МОм}$,$R_a=10\, \text{Ом}$,$R_{Ne}=10 \,\text{кОм}$, получаем:
\begin{equation}
\delta I=\frac{10\cdot10^3\cdot\text{Ом}}{10\cdot \text{МОм}}=10^{-3}
\end{equation}
Рассмотрим вторую схему. В этом случае вольтметр  показывает не напряжение на лампе, а $U=U_a+U_{Ne}$.

То есть 

\begin{equation}
 \delta U =\frac{U_a}{U_{Ne}}=\frac{R_a}{R_{Ne}} = 10^{-3} 
\end{equation}

\subsection{№6}

Релаксационные колебания -- незатухающие колебания, возникающиие в системах, в которых существенную роль играют диссипативные силы. Рассеяние энергии, обусловненное этими силами, приводит к тому, что энергия  накопленная в одном из накопителей, входящих в состав автоколебательной системы, не переходит полностью к другому накопителю, а рассеивается в системе, превращаясь в тепло.

% \subsection{№7}
% Колебания в неоновой лампе при Д

\newpage
\section{Вывод}

Была снята вольт-амперная характеристика неоновой лампы с резистором. 

Определены параметры линейной вольт-амперной характеристики 

\begin{equation}
	I=\frac{U-U_0}{R_0},
\end{equation}
где по результатам аппроксимации найдены коэффициенты 
\begin{equation}
	U_0=(107\pm1) \text{ В}
\end{equation}
\begin{equation}
	R_0=(12.36\pm0.09) \text{ кОм}
\end{equation}

Найдены точки зажигания и гашения на ВАХ:

\begin{equation}
	U_\text{з}=(119\pm1) \text{ В}
\end{equation}
\begin{equation}
	U_\text{г}=(109\pm1) \text{ В}
\end{equation}

% Были определены коэффициенты $U_0=(107\pm 1)\,B$ и $R_0=(12.36\pm 0.09)\,\text{кОм}$.



Также получена зависимость $T=f_1(R)$,\,$T=f_2(C)$,\,$T=f_3(\mathcal{E})$. 

Полученные результаты сравнили с теоретическими значениями периода при этих параметрах. 

Две точки (рис. \ref{fig:figc}, стр. \pageref{fig:figc}) вышли далеко от теоретических значений, что можно объяснить плохой работой контактов переключателя емкости конденсаторов.

Остальные точки лежат в пределах погрешности теоретических значений.

\end{document}