具有某种特定性质的事物总体称为集合
组成集合的事物称为元素
不含任何元素的集合称为空集，记作
-
列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 有限集合 A = { a${1}$, a${2}$, …, a${n}$ } = { a${i}$ }$^n_{i=1}$ 自然数集 N = { 0, 1, 2, …, n, …} = { n } -
描述法: M = { x | x 所具有的特征 } 整数集合 Z = { x | x$\in$ N 或 -x$\in$ N$^+$ } 有理数集 Q = {$\frac{p}{q}$ | p$\in$ Z, q$\in$ N$^+$, p 与 q 互质 } 实数集合 R = { x | x 为有理数或无理数 }
定义： 设有集合 A，B，若 x 相等，记作 A=B。
显然有下列关系：
1. A$\subset$A; A$\subseteq$A; A=A;
给定两个集合 A，B，定义下列运算：
并集 A 交集 A 差集 A \ B = { x | x
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。
开区间, 记作 (a,b)
{ x | a 闭区间, 记作 [a,b]
{ x | a 半开区间, 记作 [a,b)
{ x | a 半开区间, 记作 (a,b]
无限区间
[a, +$\infty$) = { x | a
设
=
=
点$x_0$的$\delta$去心邻域
=
=
逻辑量词 Logical Quantifiers
全称量词
设
对应法则(Rule):
满射(Surjection) 非满射 单射(Injection) 双射(Bijection) 既单又满的映射称为双射，或一一映射
若
函数是数集$X$到数集$R$的映射：$f:X\to R$
其中
设：$f:x\to y$ 记：$y=f(x)$
若函数
命题 单调函数有反函数。
单调函数的反函数，也是单调函数
若
性质：
性质：
性质：
$\forall x\in \R,\quad [x]\le x\lt[x]+1$ -
$\forall x\in \R,$ $x$ is an integer iff$x=[x]$ iff = if and only if
-
有界性 （ bounded function ）
- 设集合$X\subseteq D_f$, 称函数$f(x)$ 在集合$X$上有界，如果$\exists M>0$ 使得
$$\lvert f(x)\rvert \le M(\forall x\in X)$$ 或$$-M\le f(x) \le M (\forall x\in X)$$
函数$f(x)$在$X$上
有界：$\exists M>0,\ \forall x\in X,\ (\lvert f(x)\rvert \le M)$ 函数$f(x)$在$X$上
无界：$\forall M>0,\ \exists x\in X,\ (\lvert f(x)\rvert > M)$ - 命题（ 有界性的另一个方便的刻画 ）
函数$f(x)$在$X$上有界当且仅当存在两个数A和B，使得：
$$A\le f(x)\le B (\forall x \in X)$$ A 和 B分别称为$f(x)$在X上的下界和上界
- 设集合$X\subseteq D_f$, 称函数$f(x)$ 在集合$X$上有界，如果$\exists M>0$ 使得
重要的无界函数
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
有理数：两个整数的商
$$
D(x)=
\begin{cases}
1,&当x是有理数\
0,&当x是无理数
\end{cases}
$$
函数
与函数
的复合
其中
复合函数的定义域：
可复合的条件：$\mathbb R_g\cap \mathbb D_f\neq\emptyset$
(1) 幂函数 （ Power Function )
(2) 指数函数 ( Exponential Function )
(3) 对数函数 ( Logarithmic Function )
对数函数是指数函数的反函数：
常见的对数函数：(a>1)
常用对数：$y=\lg x=\log_{10}x$
自然对数：$y=\ln x=\log_ex$
(4) 三角函数 ( Trigonometric function )
(5) 反三角函数 ( Inverse trigonometric function )
如果
三角函数:
反三角函数:
概念：设函数$f(x)$的定义域关于原点对称，则$f(x)$可以分解成一个奇函数和一个偶函数的和：
将指数函数$e^x$作这样的分解：
双曲正弦 ( Hyperbolic sine )
奇函数
双曲余弦 ( Hyperbolic cosine )
偶函数
双曲正切 ( Hyperbolic tangent )
奇函数
双曲余切 ( Hyperbolic cotangent )
奇函数
数列(Sequence)：按某种顺序排列出来的无穷多个数。
自然数列：${n}\quad 1,2,3,\ldots,n,\ldots$
调和数列：${\frac{1}{n}}\quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$
常数列:
数列
${x_n}$ 可以看成自然数集$N$ 到实数集$R$ 的映射：
$$f:N\to R\quad \quad f:n\to x_n$$
$$x_n = f(n)\quad (n=1,2,3,\ldots)\quad \text{整标函数}$$
单调数列
递增数列
递减数列
数列的有界性
数列 有界：
当且仅当存在
$A: {x_n}$ 的下界
$B: {x_n}$ 的上界
数列 无界：
数列的极限
数列极限的定义
如果极限
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 存在，则称数列${x_n}$ 收敛 ( convergent )。
如果极限
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 不存在，则称数列${x_n}$ 发散 ( divergent )。
数列极限
即数列
定理2 收敛数列的有界性： 收敛数列必有界；无界数列必发散；有界数列未必收敛
用定义证明极限
从
$|x_n-A|<\varepsilon$ 分析出$n>\varphi(\varepsilon)$ 令
$N = [\varphi(\varepsilon)]$ 则当$n>N$ 就有
$|x_n-A| < \varepsilon$
例题 观察:
分析
$\forall\varepsilon > 0 \quad |\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{4n+2} < \varepsilon$
$\Rightarrow 4n + 2 > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n > \frac{1}{4}(\frac{1}{\varepsilon}-2)$ 为保证
$\frac{1}{4}(\frac{1}{\varepsilon}-2) > 0$ ， 限制$0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$ 证：
$\forall\varepsilon > 0\quad(0<\varepsilon<\frac{1}{2})$ ，取$N=[\frac{1}{4}(\frac{1}{\varepsilon}-2)]$ 则当
$n > N$ 时，就有$|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}| < \varepsilon$ ，所以$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}$
注意：也可以不限制$\varepsilon$ ， 而取$N=\max{[\frac{1}{4}(\frac{1}{\varepsilon}-2)], 1}$
适当放大：$[\frac{1}{4}(\frac{1}{\varepsilon}-2)]$ 也可以 适当放大为$[\frac{1}{4\varepsilon}]$ 或者$[\frac{1}{\varepsilon}]$
重要的数列极限
$\lim\limits_{n\to\infty}q^n = 0 \quad (|q| < 1)$ $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$ $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} = 1$ $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$
定理1 (极限的唯一性)：如果极限
定理2 (收敛数列的有界性)：收敛数列必有界；无界数列必发散；有界数列未必收敛
定理3 (收敛数列的保号性)：以正数（负数）为极限的数列从某一项起的各项必为正（负）的。
定理4 (数列极限与子数列极限之间的关系)：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = A \Rightarrow \lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k} = A$
推论1：若数列有一个子数列发散，则该数列必发散。
推论2：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则该数列必发散。
命题：若数列的奇数项子数列和偶数项子数列都收敛于同一极限，则该数列也收敛于同一极限。
例：讨论当$x\to 1$时，函数$f(x)=2x+1$的变化趋势。
解：当
$x\to 1$ 时，$f(x) = 2x+1 \to 3$我们把这一事实记作:
$f(x) \to 3\quad( x \to 1)$ 或
$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(2x+1)=3$
例：讨论当
$x\to 1$ 时，函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的变化趋势。解：函数在
$x=1$ 处无定义
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 (x\ne 1)$ 当
$x \to 1$ 时，$f(x) = x + 1 \to 2$即
$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$
不管函数在一个点是否有定义，我们都可以讨论函数在该点的极限。
极限 直观定义
设函数$f(x)$在$x=x_0$的某个去心邻域内有定义。
若$x\to x_0$时，有$f(x)\to A$
则称函数$f(x)$在$x_0$处有极限A，记作:
$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$$
严格定义极限
以极限
$\lim\limits_{x\to 1}(2x+1)=3$ 为例。
$x\to 1$ 时，$f(x)=2x+1 \to 3$指的是：$x-1 \to 0$ 时，
$f(x) -3 = (2x+1)-3 = 2(x-1) \to 0$ 或
$|x-1|\to 0$ 时，$|f(x)-3|=2|x-1|\to 0$这就要求：当$x$充分接近1时，$|f(x)-3|=2|x-1|$ 变得任意小
要
$|f(x)-3| = 2|x-1| < 0.1$ 只要
$|x-1| < \frac{0.1}{2} = 0.05$ 办得到要
$|f(x)-3| = 2|x-1| < 0.11$ 只要
$|x-1| < \frac{0.01}{2} = 0.005$ 也办得到
极限
$\varepsilon$ 用来表示函数值$f(x)$ 与数A可以任意(无限)接近：$|f(x)-A| = \varepsilon$
$\delta$ 用来表示当自变量$x$ 与$x_0$ 充分接近时,$(|x-x_0| < \delta)$ ，就能保证$f(x)$ 与$A$ 的差距小于事先给定的$\varepsilon$ 。
严格定义：极限的
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$
$\forall x: 0 < |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$
换一种说法：
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$
$\forall x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) \Rightarrow A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$
推论：收敛函数的局部有界性
若极限
例：证明极限
$\lim\limits_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$ 分析：
$f(x) = \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3} (x\ne 3)$
$\forall \varepsilon > 0$ 要
$|f(x)-\frac{1}{6}| = |\frac{1}{x+3}-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}|\frac{x-3}{x+3}|$
适当放大
$\because x\to 3$ 我们不妨限制$2 < x < 4$ 即
$0 < |x-3| < 1$ 此时
$x + 3 > 5$ ,$\frac{1}{|x+3|} = \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5}$
$f(x)-\frac{1}{6} = \frac{1}{6}|\frac{x-3}{x+3}| < \frac{1}{6}·\frac{1}{5}|x-3| < \frac{1}{30} |x-3| < \varepsilon$ 限制：$0 < |x-3| < 1$
$|f(x)-\frac{1}{6}| < \frac{1}{30}|x-3| < \varepsilon \Rightarrow |x-3| < 30\varepsilon$ 证明：$\forall\varepsilon > 0$ ,
$\exists\delta = \min{30\varepsilon, 1}$ 使得当
$0 < |x-3| < \varepsilon$ 时，就有$|f(x)-\frac{1}{6}| < \varepsilon$ 所以
$\lim\limits_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$
一些基本的极限：
左极限 ( Left-hand limit ):
$\varepsilon - \delta$ 定义:
$$\forall\varepsilon > 0\quad\exists\delta > 0\quad\forall x\in (x_0 - \delta, x_0)\quad \Rightarrow\quad A-\varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$$
右极限 ( Right-hand limit ):
$\varepsilon - \delta$ 定义:
$$\forall\varepsilon > 0\quad\exists\delta > 0\quad\forall x\in (x_0, x_0 + \delta)\quad\Rightarrow\quad A-\varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$$
例：求极限
解：在 2 附近
$$ [x]= \begin{cases} 1,&1 < x < 2\\ 2,&2\le x <3 \end{cases} $$
$\lim\limits_{x\to 2^-}[x] = \lim\limits_{x\to 2^-}1 = 1$
$\lim\limits_{x\to 2^+}[x] = \lim\limits_{x\to 2^+}2 = 2$
$\because \lim\limits_{x\to 2^-}[x] \ne \lim\limits_{x\to 2^+}[x]$
$\therefore \lim\limits_{x\to 2}[x]$ 不存在
极限 直观定义
设函数
$f(x)$ 在某个集合${ x ||x| > M } ( M > 0 )$ 上有定义。若
$x\to\infty$ 时, 有$f(x)\to A$ 则称函数
$f(x)$ 当$x\to\infty$ 时有极限$A$ ，记作$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = A$
严格刻划需要两个正数：
$\varepsilon$ 用来表示函数值$f(x)$ 与数$A$ 可以任意(无限)接近：$|f(x)-A| < \varepsilon$
$X$ 用来表示当自变量$x$ 的绝对值充分大时$(|x|>X)$ ， 就能保证$f(x)$ 与$A$ 的差距小于事先给定的$\varepsilon$ 。
极限 严格定义
极限的
$\varepsilon-X$ 定义
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = A$ 是指：
$\forall\varepsilon > 0\quad\exists X > 0$ 使得当
$|x| > X$ 时，就有
$|f(x)-A| < \varepsilon$ 成立或
$\forall\varepsilon > 0, \exists X > 0, \forall x: |x| > X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ 换一种说法：
$\forall\varepsilon > 0, \exists X > 0, \forall x \in (-\infty, -X) \cup (X, +\infty)$
$\Rightarrow A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$
推论：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = A$，则函数 收敛函数的局部有界性
定理1(极限的唯一性): 如果极限
定理2(收敛函数的局部有界性): 若极限
定理3(收敛函数的局部保号性): 若极限
以正数为极限的函数在
$x_0$ 附近是正的。
推论(收敛函数不等式性质): 若在$x_0$ 的某个邻域内$f(x) \ge 0$ ，则极限$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ge 0$
定理4 (函数极限与数列极限的关系)：若
若
$x$ 以任意方式趋于$x_0\quad(x\to x_0)$ 时，$f(x) \to A$。则
$x$ 以特殊方式趋于$x_0\quad(x_n\to x_0)$ 时，$f(x_n) \to A$。
推论：若$x$ 以两种方式趋于$x_0$ 时，相应的函数值$f(x)$ 趋于两个不同的极限，则极限$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$ 不存在。
经典例题
设
证：取
$x_n$ 使得$\frac{1}{x_n} = 2n\pi$ 则$x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0$ 有
$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sin\frac{1}{x_n}=\lim\limits_{n\to\infty}0=0$ 另取：
$u_n$ 使得$\frac{1}{u_n}=2n\pi + \frac{\pi}{2}$ 则$u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$ 有
$\lim\limits_{n\to\infty}f(u_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sin\frac{1}{u_n} = \lim\limits_{n\to\infty}1 = 1$
$\because \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=0 \ne \lim\limits_{n\to\infty}f(u_n) = 1$
$\therefore$ 由定理4，极限$\lim\limits_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在
定义: 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以0为极限的函数（或变量）。
若
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = 0$ 则$f(x)$ 是$x\to x_0$ 时的无穷小若
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = 0$ 则$f(x)$ 是$x\to\infty$ 时的无穷小
- 无穷小一般用希腊字母
$\alpha, \beta, \gamma$ 等表示。
无穷小的定义:
$\alpha(x)$ 是$x\to x_0$ 时的无穷小
$\iff \lim\limits_{x\to x_0}\alpha (x) = 0$
$\iff \forall\varepsilon > 0,\quad \exists\delta > 0,\quad \forall x: x < |x-x_0| < \delta \Rightarrow |\alpha(x)| < \varepsilon$
注意：
- 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如0.01，0.000023。
- 0 是唯一的无穷小常数。
- 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷小。
定理1 (极限与无穷小的关系)：$\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x) \quad\rightarrow\quad \lim\alpha(x) = 0$
此定理表明：在自变量的某个变化过程中，若
$\lim f(x) = A$ 则$f(x) = A + 无穷小$ ， 若$f(x) = A + 无穷小$ 则$\lim f(x) = A$
定义: 无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。
无穷大的定义:
$\forall M > 0\quad \exists\delta > 0\quad$ 使得，当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有$|f(x)| > M$
$M$ 用来表示函数值$f(x)$ 的绝对值可以任意大，$|f(x)|>M$
$\delta$ 用来表示当自变量$x$ 与$x_0$ 的距离充分接近时$(|x-x_0| < \delta>)$ ，就能保证$f(x)$ 的绝对值大于事先给定的$M$ 。
注意：
- 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大
- 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷大。
M-X 定义：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty \iff \forall M > 0,\quad \exists X > 0,\quad \forall x: |x| > X \Rightarrow |f(x)| > M$
两个基本极限
$\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$
$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$
定理2 (无穷大与无穷小的关系)： 无穷大与无穷小有倒数关系。
直观记忆：
$\frac{1}{\infty} = 0\quad \quad \frac{1}{0}=\infty$
例题：证明函数
证： 取
$x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{2}{\pi}} \in (0,1)\quad (n=1,2,3,\ldots)$ 则 \lim\limits_{n\to\infty}(2n\pi+\frac{\pi}{2})=\infty$
所以函数
$y=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ 在(0,1)内无界
例题：证明当
证：取
$x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0$ ，则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0$ 但
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{x_n} = \lim\limits_{n\to\infty}2n\pi\sin 2n\pi = 0 \ne \infty$ ( 几何解释同上图,
$\sin * \frac{1}{2n\pi} = 0$ )
命题： 两个无穷小的和也是无穷小
直观记忆： 0 + 0 = 0
绝对值不等式:$||a|-|b|| \le |a+b| \le |a| + |b|$
证明： 设
$\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x) = 0\quad \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x) = 0$ 欲证
$\lim\limits_{x\to x_0}[\alpha(x) + \beta(x)] = 0$
$\forall \varepsilon > 0$ 要
$|\alpha(x) + \beta(x)| < \varepsilon$ 只要
$|\alpha(x) + \beta(x)| \le |\alpha(x)| + |\beta(x)| < \varepsilon$ 或
$|\alpha(x)| < \frac{\varepsilon}{2}\quad |\beta(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$
$|\alpha(x)| < \frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow \exists\delta_1\quad |\beta(x)| < \frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow \exists\delta_2$
$\therefore \exists\delta = \min{\delta_1, \delta2}$
$0 < |x-x_0| < \delta \Rightarrow |\alpha(x) + \beta(x)| < \varepsilon$
定理1：有限个无穷小的和也是无穷小
定理2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小
直观记忆： M * 0 = 0
推论1： 常数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论2： 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
定理3：设
$\lim[f(x)\pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$ $\lim[f(x)\cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B$ $\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}\quad (B\ne 0)$
推论1：$\lim[cf(x) = c\lim f(x)]$ , 常数可以提到外面
推论2：$\lim[f(x)]^n = [\lim f(x)]^n$
极限的线性性质： 线性组合的极限 = 极限的线性组合
(1) 多项式函数的极限
一般地，设多项式函数
则 代入即可
(2) 有理函数的极限 (
求极限：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}$
-
$Q(x_0) \ne 0$ -
$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to x_0}P(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}$ 代入即可
-
-
$Q(x_0) = 0$ 此时，商的法则不能使用。-
$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x^2-4} \quad \frac{无穷小}{无穷小} \Rightarrow \frac{0}{0}型$ - 因式分解，约去趋于0的公因式
- 如果
$\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ 存在，且$\lim g(x) = 0$ ，则必有$\lim f(x) = 0$
-
$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-x}{x^2-4}$ 分母趋于0，分子不趋于0- 交换分子与分母，极限无穷小，无穷小的倒数为无穷大
-
-
$\infty - \infty$ 型- 先通分，化简为
$\frac{0}{0}$ 型再做计算
- 先通分，化简为
(3) 有理函数的极限 (
-
$\frac{\infty}{\infty}$ 型, 分子分母次数相同。- 分子、分母同时除以最大项（最高次幂）
- 利用基本极限
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$ - 两个无穷大的比较实际上是它们各自最大项之间的比较
-
$\frac{\infty}{\infty}$ 型, 分子次数低于分母次数- 分子、分母同时除以最大项（最高次幂）
-
$\frac{\infty}{\infty}$ 型, 分子次数高于分母次数- 无穷大
定理6： (复合函数的极限运算法则)
设
若
则
准则1：数列的夹逼准则 ( Squeeze Theorem )
设有三个数列：
若它们满足条件：
$y_n \le x_n \le z_n \quad (n=1,2,3,\ldots)$ $\lim\limits_{n\to\infty}y_n = A \quad \lim\limits_{n\to\infty}z_n = A$
则
证明：$\forall\varepsilon > 0$
$\lim\limits_{n\to\infty}y_n = A \Rightarrow \exists N_1 \quad A-\varepsilon < y_n < A + \varepsilon (n > N_1)$
$\lim\limits_{n\to\infty}z_n = A \Rightarrow \exists N_2 \quad A-\varepsilon < z_n < A + \varepsilon (n > N_2)$
$\forall\varepsilon > 0 \quad \exists N = \max{N_1, N_2} \quad n > N = \max{N_1, N_2}$
$\Rightarrow A-\varepsilon < y_n \le x_n \le z_n < A + \varepsilon$
$\therefore \lim\limits_{n\to\infty}x_n = A$
注意：若
$\lim\limits_{n\to\infty}y_n = A < \lim\limits_{n\to\infty}z_n = B$ ，则不能形成夹逼
准则1'：函数的夹逼准则 ( Squeeze Theorem )
设在
$g(x) \le f(x) \le h(x)$ $\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = \lim\limits_{x\to x_0}h(x) = A$
则
利用夹逼准则，可以将
$f(x)$ 适当缩小为$g(x)$ ，再适当放大为$h(x)$ ，使得$\lim g(x) = \lim h(x) = A$ (极限要容易求得)，则$\lim f(x) = A$
常用形式：
$ \left. \begin{matrix} |f(x)| \le g(x)&\ \lim g(x) = 0& \end{matrix} \right}\quad \lim f(x) = 0 $
例题：利用夹逼准则证明
提示：利用不等式$x-1 < [x] \le x$
准则2 (数列的单调有界准则)：单调有界的数列必有极限
最小上界：$\sup x_n = 1$ 又可称为 上确界 ( supremum )
最大下界：$\inf x_n \ge m$ 又可称为 下确界 ( infimum )
公理： 有上界的实数集必有上确界；有下界的实数集必有下确界
数列极限的单调有界准则可以用来求一些困难的数列极限
(1) 重要极限
$\sin x$ 和$\frac{1}{x}$ 奇函数与奇函数的商是偶函数
常用公式：
例：$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
三角公式转换：
$\arcsin$ 是$\sin$ 反函数，如果$\sin x = y$ 那么$\arcsin y = x$
例题：求
解：
$\lim\limits_{n\to\infty}2^n\sin\frac{2}{2^n} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}\cdot x = x$
(2) 重要极限
幂指函数:
数列的极限
例题：求
解： 令
$x=\frac{1}{t}$ ， 则$t = \frac{1}{x}$ ，当$x\to 0$ 时，$t \to \infty$
$\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t = e$
一般情况：
$\lim\alpha = 0\quad \Rightarrow \quad \lim(1+\alpha)\frac{1}{\alpha} = e$
例题： 求
解：
$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x = \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^x$
$= \lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^\frac{x}{2}]^2 = [\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^\frac{x}{2}]^2 = e^2$
一般有以下重要极限公式:
两个无穷小的商不一定是无穷小
(1) 高阶的无穷小，记为
此时，$\lim\frac{\alpha}{\beta}=\infty$ 也说
注意：
$\lim\frac{o(\alpha)}{\alpha} = 0$
(2) 同阶的无穷小，记为
(3) 等价的无穷小，记为
等价无穷小也是同阶无穷小，但同阶无穷小一般不是等价的
设 k阶无穷小 (定级别)
例题： 比较无穷小：
解：
$\because \lim\limits_{x\to 0}\frac{3x^2}{x} = \lim\limits_{x\to 0}3x = 0$
$\quad\quad \therefore 3x^2 是 x 的高阶无穷小$
$\quad\quad\quad 即 3x^2 = o(x)$ 定性
$\quad\quad \because \lim\limits_{x\to 0}\frac{3x^2}{x^2}=3\ne 0$
$\quad\quad \therefore 3x^2 是 x 的 2 阶无穷小$ 定量
例题：比较无穷小
解：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\beta}{\alpha}=\lim\limits_{x\to 0}(1+x) = 1$
$\therefore \beta \backsim \alpha \quad x^2 + x^3 \backsim x^2 \quad (x\to 0)$
低阶无穷小 + 高阶无穷小 等价于 低阶无穷小，记作
$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$
常用：$\sqrt[n]{1+x} - 1 \backsim \frac{x}{n}\quad (x \to 0)$
特例：$\sqrt{1+x} - 1 \backsim \frac{x}{2}\quad (x \to 0)$
推广：$(1+x)^\mu - 1 \backsim \mu x \quad (x \to 0)$
无穷小的等价关系具有以下性质：
- 自反性：$\alpha \backsim \alpha$
- 对称性：$\alpha \backsim \beta \Rightarrow \beta \backsim \alpha$
- 传递性：$\alpha \backsim \beta \quad \beta \backsim \gamma \Rightarrow \alpha \backsim \alpha$
定理1：两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然
设
$\lim\alpha = 0\quad \lim\beta = 0$ 则
$\alpha \backsim \beta \iff \beta - \alpha = o(\alpha)$ 或$o(\beta)$
定理2： (无穷小的等价替换定理)
设
$\lim\alpha = 0 \quad \lim \beta = 0 \quad \alpha \backsim \beta$ 则
$\lim f(x)\alpha = \lim f(x)\beta$
极限式子中分子、分母的等价无穷小
乘积因子可以相互替换。
常见的等价无穷小
右边的全是简单的幂函数
$x\to 0$
注意：以上$x$可以换成任何一个趋于0的变量，例如：$\sin\frac{1}{x}\backsim\frac{1}{x}\quad (x\to \infty)$
更高阶的等价无穷小
$x\to 0$
$x - \sin x \backsim \frac{x^3}{6}$
$\tan x - x \backsim \frac{x^3}{x}$
$\tan x - \sin x \backsim \frac{x^3}{2}$
$\arcsin x - x \backsim \frac{x^3}{6}$
$x - \arctan x \backsim \frac{x^3}{3}$
$x - \ln(1+x) \backsim \frac{x^2}{2}$
两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小
推广：$e^{\tan x} - e^x \backsim \tan x - x \quad \Rightarrow \quad e^\alpha - e^\beta \backsim \alpha - \beta$
解题常用等价无穷小：
-
$e^\alpha - e^\beta \backsim \alpha - \beta$ $e^\alpha - e^\beta = e^\beta(e^{\alpha -\beta} - 1) \backsim e^{\alpha -\beta} - 1 \backsim \alpha - \beta$ -
$(1+\alpha)^\beta - 1 \backsim \alpha\beta$ $(1+\alpha)^\beta - 1 = e^{\beta\ln(1+\alpha)} - 1 \backsim \beta\ln(1+\alpha) \backsim \beta\alpha$ -
$\ln u \backsim u - 1 \quad (u \to 1 )$ $\ln u = ln[1+(u-1)] \backsim u - 1$
只有乘积因子才能等价无穷小替换
无穷大的比较 （了解）
设
-
$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \infty \quad\quad$ $f(x)$ 是比$g(x)$ 高阶的无穷大 -
$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = c \ne 0 \quad$ $f(x)$ 是比$g(x)$ 同阶的无穷大 -
$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = 1 \quad\quad$ $f(x)$ 是比$g(x)$ 等价无穷大
函数的连续性定义：
函数 增量极限形式
函数极限形式
函数连续性的
函数
$f(x)$ 在点$x_0$ 处连续$\iff \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
$\iff \forall\varepsilon > 0 \quad \exists\delta > 0 \quad \forall x: |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
若函数 连续点。
连续点
$x_0$ ：$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$
若函数 间断点。
间断点
$x_0$ ：$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) \ne f(x_0)$
单侧连续
左连续：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) = f(x_0) \quad f(x_0^-) = f(x)$
右连续：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0) \quad f(x_0^+) = f(x)$
函数 $f(x) 在点
函数 连续函数。
-
多项式函数的连续性**
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n+1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n$ 则
$\lim\limits_{x\to x_0}P(x) = P(x_0)$ 多项式函数在其定义域（实数域）内处处连续 -
有理函数的连续性
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0x^m + a_1x^{m-1} + \ldots + a_{m-1}x + a_m}{b_0x^n + b_1x^{n-1} + \ldots + b_{n-1}x + b_n}$ 设
$x_0$ 是$f(x)$ 的定义域内的点，则$Q(x_0）\ne 0$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)} = f(x_0)$ 有理函数在其定义域的每一点都连续 -
三角函数的连续性
-
正弦函数的连续性
$f(x) = \sin x$ 和差化积：$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$
$\forall x \in \mathbb R$ $\Delta y = \sin(x+\Delta x) - \sin x = 2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})$ $|\Delta y| = 2|\sin\frac{\Delta x}{2}cos(x+\frac{\Delta x}{2})| \le 2|\frac{\Delta x}{2}\cdot 1 = |\Delta x|$ 由 夹逼准则 得
$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$ $f(x) = \sin x$ 在x处连续$\sin x$ 在其定义域（实数域）内处处连续
-
同理可证余弦函数
$f(x)=\cos x$ 在其定义域内连续
-
函数$f(x)$在点$x_0$处连续须满足三个条件：
-
$f(x)$ 在点$x_0$ 处有定义 - 极限
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)存在$ - 等式成立：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$
函数$f(x)$在点$x_0$处间断有三种可能：
-
$f(x)$ 在点$x_0$ 处无定义 （ 但在$x_0$ 附近有定义 ） - 极限
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)不存在$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \ne f(x_0)$
无穷间断点 ( Infinite discontinuity )
例如:
$f(x)=\tan x \quad x_0 = \frac{\pi}{2} \quad \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x = \infty$
震荡间断点 ( Oscillating discontinuity )
例如：$f(x) = \sin\frac{1}{x} \quad x_0 = 0 \quad \lim\limits_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$
在原点附近无限震荡
可去间断点 ( Removable discontinuity )
例如：$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} \quad x_0 = 1 \quad \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = 2$
补充定义：
$f(1) = \lim\limits_{x\to 1}f(x) = 2 \quad 则 在x=1处连续$
跳跃间断点 ( Jump discontinuity )
例如： $f(x) = \begin{cases} x-1,&x<0\ 0,&x=0\ x+1,&x> 0 \end{cases}\quad x_0 = 0$
间断点的分类
- 第一类间断点：左、右极限都存在的间断点
- 可去间断点：左、右极限相等的间断点
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ - 跳跃间断点：左、右极限不相等的间断点
$f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$
- 可去间断点：左、右极限相等的间断点
- 第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在的间断点
- 无穷间断点：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \infty$
- 震荡间断点：$y=\sin\frac{1}{x}$
- 其他间断点：如 Dirichlet 函数的间断点
定理： 设函数
推论：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍为连续函数。
定理： 设
以下三角函数在相应区间单调且连续：
$y = \sin x \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ $y = \cos x \quad 0 \le x \le \pi$ $y = \tan x \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ $y = \cot x \quad 0 < x < \pi$
它们的反函数也在相应区间单调且连续：
$y = \arcsin x \quad -1 \le x \le 1$ $y = \arccos x \quad -1 \le x \le 1$ $y = \arctan x \quad -\infty < x < +\infty$ $y = arccot x \quad -\infty < x < +\infty$
复合函数的连续性
回顾复合函数极限
设
$y=f[g(x)]$ 是由函数$y=f(u)$ 与$u=g(x)$ 复合而成的复合函数。若
$\lim\limits_{x\to x_0} g(x) = u_0 \quad (g(x) \ne u_0) \quad \lim\limits_{u\to u_0}f(u) = A$ 则
$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)] = A = \lim\limits_{u\to u_0}f(u)$
定理3: 若
则
重要性质：极限运算 lim 与连续函数运算可以交换
$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)] = f[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)]$
定理4: 设函数
推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。
基本初等函数的连续性： 基本初等函数在其定义域内连续。
初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
定义区间：定义域内的区间。
注：有的初等函数的定义域不能构成区间，连续性无从谈起
初等函数的间断点：一般为分母为零的点
重要极限(对数函数极限)：
$= \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x}\log_a(1+x) = \lim\limits_{x \to 0}\log_a (1+x)^\frac{1}{x}$
$= \log_a[\lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^\frac{1}{x}] = \log_ae$
$= \frac{\ln e}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}$
$\Rightarrow \lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln (1+x)}{x} = 1$ 重要极限
$\Rightarrow \ln(1+x) \backsim x \quad (x \to 0)$
重要极限(指数函数极限)
幂指函数的极限
-
确定型
设
$\lim u(x) = a > 0 \quad \lim v(x) = b$ 则
$\lim u(x)^{v(x)} = a^b$ 证：$\lim u^v = \lim e^{\ln u^v} = \lim e^{v\ln u} = e^{\lim v \ln u} = e^{\lim v \ln(\lim u)} = e^{b\ln a} = a^b$
-
未定式
$\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x)\ln u(x)}$ 重要$1^\infty \quad \infty^0 \quad 0^0$
例题:
解法1：
$= \lim\limits_{x\to 0}[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}]^{\frac{6x}{\sin x}}\quad$ 化为确定型
$= [\lim\limits_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}]^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{6x}{\sin x}} = e^6$
解法2:
$= \lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{3}{\sin x}\ln(1+2x)} = e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{3}{\sin x}\cdot 2x}$
$= e^{6\lim\limits_{x\to 0}\frac{2}{\sin x}} = e^6 \quad 利用 \ln(1+x) \backsim x \quad (x \to 0)$
重要：计算$1^\infty$型极限的有效公式
一般有：
更一般地，有：
定义： 函数 并且在两个端点单侧连续。
$\lim\limits_{x\to a^+} f(x) = f(a)$ $\lim\limits_{x\to a^-} f(x) = f(b)$
闭区间
$[a,b]$ 上的连续函数$y=f(x)$ 的图形是一条从点$A(a, f(a))$ 到点$B(b, f(b))$ 的连续不间断的曲线
定理1 (有界性定理)：在闭区间
定理1‘ (最值性定理)：在闭区间
注意：仅在开区间上连续的函数不一定能够取到最大（最小）的函数值，也不一定有界。
例如：函数
$y=x$ 在$(0,1)$ 内连续，但它不能取到最大和最小的函数值。又如：函数
$y=\frac{1}{x}$ 在开区间$(0,1)$ 上连续，但无界
定理2 (零点定理)：设函数 零点，或方程 根。
注意：在闭区间上不连续的函数不一定有零点。
定理3 (介值定理)：设函数
介值定理的实质是说明值域
$f([a,b])$ 是一个没有缝隙的连通区间
例题: 证明 方程
解： 令
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$ 则 函数在闭区间
$[a,b]$ 上连续。又
$f(0) = 1 > 0 \quad f(1) = -2 < 0$ 由零点定理，该方程在
$(0,1)$ 内至少有一个根。
二分法 ( Bisection Method )
1 . 变速直线运动的瞬时速度
运动方程：
$s = s(t)$ 求时刻
$t_0$ 的瞬时速度：$v(t_0)$ 考虑用
$[t_0, t_0 + \Delta t]$ 这一段时间上的平均速度近似代替$v(t_0)$ 。在这段时间物体移动的路程为：
$\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)$ 在这段时间物体的平均速度为：
$\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$ 随着
$\Delta t$ 趋于零，平均速度将无限地逼近瞬时速度$v(t_0)$ ，所以：$v(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\bar v = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$
2 . 曲线的切线
曲线方程：
$y=f(x)$ 求曲线在点
$(x_0, y_0)$ 处的切线方程。
割线$MN$的斜率：$\bar k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \tan\theta$
切线$MT$的斜率：$k = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\bar k = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
切线$MT$的斜率：$k = \tan\alpha$
3 . 细棒线密度
质量函数：$m=m(x)$
平均线密度：$\bar\rho = \frac{\Delta m}{\Delta x} = \frac{m(x+\Delta x) - m(x)}{\Delta x}$
线密度：$\rho(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta m}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{m(x+\Delta x) - m(x)}{\Delta x}$
导数：derivative
可导：differentiable
函数
若极限 可导。
该极限称为函数在点 导数，记作：
$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
导数的另一形式
令
$x = x_0 + \Delta x \quad \Delta x = x - x_0$ 则
$\Delta y = f(x) - f(x_0)$
$\Delta x \to 0 \iff x \to x_0$
导函数：若函数 导函数，仍简称为导数。
导数模型
- 瞬时速度
$v = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} \quad\longrightarrow\quad v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$
- 切线斜率
$k = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad\longrightarrow\quad k = f'(x) = \frac{dy}{dx}$
- 线密度
$\rho = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta m}{\Delta x} \quad\longrightarrow\quad \rho = m'(x) = \frac{dm}{dx}$
单侧导数 ( One-sided derivative )
导数存在的充分必要条件是左导数和右导数存在并且相等。
左导数：$f'-(x_0) = \lim\limits{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
右导数：$f'+(x_0) = \lim\limits{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
例题： 常数的导数，设
解：
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = C - C = 0$
$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0$ 常值函数处处可导，且导数为零。
$(C)'=0$
例题： 设
解：
$\forall x_0 \in \mathbb R$
$f(x) - f(x_0) = x^n - x_0^n$
$= (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \ldots + xx_0^{n-2} + x_0^{n-1})$
$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
$= \lim\limits_{x \to x_0} (x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \ldots + xx_0^{n-2} + x_0^{n-1})$
$x_0^{n-1} + x_0^{n-2}x_0 + \ldots + x_0x_0^{n-2} + x_0^{n-1} = nx_0^{n-1 }$
幂函数的导数 ( 一般情形 )
设
解： 先证明一个有用的等价无穷小
$(1 + x)^\mu - 1 \backsim \mu x \quad (x \to 0)$ 它是等价无穷小的推广：
$\sqrt[n]{1+x} - 1 \backsim \frac{x}{n} \quad (x \to 0)$
常用公式：
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
例题：正弦函数的导数
解：
$\forall x \in \mathbb R$
$\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin x = 2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})$
$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$
$= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\cdot \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) = \cos x$
处处可导的函数
- 正弦函数，且导数为余弦函数
$(\sin x)' = \cos x$
- 余弦函数，且导数为正弦函数的相反数
$(\cos x)' = -\sin x$
- 指数函数
$(a^x)' = a^x\ln a$ -
$(e^x)' = e^x$ 特别的
- 对数函数
$(\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a}$ -
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 特别的
导数 倾斜程度。
曲线越陡，导数越大
曲线
$k_法 = -\frac{1}{k_切} = -\frac{1}{f'(x_0)}$
-
切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$ -
法线方程：$y - f(x_0) = - \frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$
定理 (函数可导与连续性的关系)：函数在一点可导，则函数在该点一定连续。
逆否命题： 若函数在一点不连续，则函数在该点一定不可导。
规律
- 可导
$\rightarrow$ 连续$\rightarrow$ 有极限 - 无极限
$\rightarrow$ 不连续$\rightarrow$ 不可导 - 连续不一定可导
可导是连续的充分条件，但不是必要条件
连续是可导的必要条件，但不是充分条件
定理1 设函数
- 和差的导数：
$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$ $[u \pm v]' = u' \pm v'$
- 积的导数：
$[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ $(uv)' = u'v + uv'$
- 商的导数：
$[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
导数的线性性质： 线性组合的导数 = 导数的线性组合
三角函数的导数
$(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(\tan x)' = \sec^2 x$ $(\cot x)' = -\csc^2 x$ $(\sec x)' = \sec x \tan x$ $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
重点： 分段函数的导数
例： $f(x) = \begin{cases} \cos x, &x < 0 \ 1 - x^2, &x \ge 0 \end{cases}$
当分段函数两个公式不同时，要分别求左右极限
分段点处的导数需要用定义来求导
解：$f'(x) = \begin{cases} -\sin x, &x < 0 \ -2x, &x \ge 0 \end{cases}$
分段函数在分段点处的导数的简便方法
$f(x) = \begin{cases} g(x), &x < x_0 \ f(x_0), &x = x_0 \ h(x), &x > x_0 \end{cases}$
若
则 $f'-(x_0) = \lim\limits{x \to x_0^-} g'(x) \quad \lim\limits_{x \to x_0^+} h'(x)$
再解: 因为
$f(x)$ 在$x = 0$ 处连续：
$\lim\limits_{x \to x_0^-} \cos x = \lim\limits_{x \to x_0^+} (1 - x^2) = f(0) = 1$ 所以 $f'-(0) = \lim\limits{x \to x_0^-} (\cos x)' = \lim\limits_{x \to x_0^-} (-\sin x) = 0$
$\quad \quad f'+(0) = \lim\limits{x \to x_0^+} (1 - x^2)' = \lim\limits_{x \to x_0^+} (-2x) = 0$
于是
$f'(0) = 0$
定理2 (反函数的求导法)： 设单调函数
重要公式：$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}$
证明：
由单调性可得
$\Delta y \ne 0 \iff \Delta x \ne 0$
由连续性可得
$\Delta y \to 0 \iff \Delta x \to 0$
反三角函数的导数
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$ $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$ $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \quad (-\infty < x < \infty)$ $(arc\cot x)' = -\frac{1}{1+x^2} \quad (-\infty < x < \infty)$
例题：
分解:
$y = \sin u \quad u = 2x$ 则
$\frac{dy}{dx} = \cos 2x \cdot 2 = \cos u \cdot 2$
$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$
$\frac{d}{du} (\sin u) = \cos u$
$= \frac{d}{du} (\sin u) \cdot \frac{d}{dx} (2x)$
$\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
定理3 (复合函数的求导法则)
设函数
复合函数的 链式法则 ( The Chain Rule )
复合函数求导的方法
- 弄清函数的复合结构、复合顺序
- 从外层向内层逐层求导，每一次只求一个导数
- 不漏掉任何一层，一直求到对自变量 x 的导数为止
例：
解： 复合结构：$y = \ln u \quad u = \cos v \quad v = e^x$
$\frac{dy}{dx} = (\ln \cos e^x)' = \frac{1}{\cos e^x} \cdot (\cos e^x)'$
$\frac{1}{\cos e^x} \cdot (-\sin e^x) \cdot (e^x)' = -\tan e^x \cdot e^x = -e^x \tan e^x$
重要导数公式
抽象函数求导
一般地，
- 双曲函数的导数
$(\sh x)' = (\frac{e^x-e^{-x}}{2})' = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \ch x$ $(\ch x)' = (\frac{e^x+e^{-x}}{2})' = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sh x$ $(\th x)' = \frac{1}{(\ch x)^2}$
- 反双曲函数的导数
$(ar\sh x)' = [\ln(x+\sqrt{1+x^2})]' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $(ar\ch x)' = [\ln(x+\sqrt{x^2-1})]' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ $(ar\th x)' = [\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}]' = \frac{1}{1-x^2}$
-
偶函数的导数是奇函数
$f(-x) = f(x) \Rightarrow f'(-x) = -f'(x)$ 
-
奇函数的导数是偶函数
$f(-x) = -f(x) \Rightarrow f'(-x) = f'(x)$ 
-
周期函数的导数仍是周期函数
$f(x+T) = f(x) \Rightarrow f'(x+T) = f'(x)$ 
$f(x)$ 导数的定义：$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
的二阶导数的定义：
设 函数
或
$f''(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}$
注：若函数
- Lagrange 的记号 ( Prime notation )
- 二阶导数：$y'' = (y')'$
- 三阶导数：$y''' = (y'')'$
- n阶导数：$y^{(n)}$
- Leibniz 的记号 ( Differential notation )
-
二阶导数：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$
-
三阶导数：$\frac{d^3y}{dx^3}$
-
n阶导数：$\frac{d^ny}{dx^n} = \frac{d}{dx}(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})$
-
- Newton 的记号 ( Dot notation )
- 二阶导数：$\ddot{s}t$
- 三阶导数：$\dot{\ddot{s}}t$
- 位置函数：$x = x(t)$
- 速度函数：$v = x'(t) = \frac{dx}{dt}$
- 加速度函数：$a = v'(t) = \frac{d^2x}{dt^2}$
-
特例$(x^n)^{(n)} = n!$ $(a^x)^{(n)} = a^x(\ln a)^n$ -
特例$(e^x)^{(n)} = e^x$ $(\sin x)^{(n)} = \sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$ $(\cos x)^{(n)} = \cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$ $[\sin(ax+b)]^{(n)} = a^n\sin(ax+b+n\cdot\frac{\pi}{2})$ $[\cos(ax+b)]^{(n)} = a^n\cos(ax+b+n\cdot\frac{\pi}{2})$ $(\frac{1}{ax+b})^n = (-1)^n \frac{a^nn!}{(ax+b)^{n+1}}$ -
特例$(\frac{1}{x+1})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}}$ -
特例$(\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$ $[\ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n}$
$(u\pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$ $(Cu)^{(n)} = Cu^{(n)}$
函数乘积的高阶导数公式：Leibniz 公式
联想记忆: 二项展开式
表示平面曲线的两种常见形式：
- 隐函数 ( 二元方程确定的函数 )
- 参数方程所确定的函数
显函数 ( Explicit functions )
$y = 3x^2 + \sin 2x - 5e^x$
隐函数 ( Implicit functions )
这个方程
$F(x,y) = 0$ 确定了隐函数$y = y(x)$ ，则一阶导数$\frac{dy}{dx} = -\frac{Fx}{Fy}$
隐函数只是表示函数的一种方式，尽管是一种隐含的方式，隐函数远远多于显函数。因为每一个显函数都可以写成隐函数，但隐函数不一定能写成显函数。
例如：
显函数 -> 隐函数：$y = x + \sin x \Rightarrow y - x - \sin x = 0$
隐函数 -> 显函数：$y = e^y + \sin xy \Rightarrow y = y(x) ?$
隐函数求导的方法
方程
例题： 设方程
解:
方法一 先显化，再求导
$x^2 + y^2 = 1 \overset{显化}{\Longrightarrow} y = \sqrt{1 - x^2}$ 求导：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
方法二 不显化，直接求导
$(x^2 + y^2)' = (1)'$
$(x^2)' + (y^2)' = 0$
$2x + 2y \cdot y' = 0$
$\therefore y' = -\frac{y}{x}$
再来推导反函数的导数公式
设
直接推导反三角函数的导数公式
例：
两边对
推导可得
1 . 幂指函数的导数
对数求导法
取对数： 隐化
求导数：
解出
等价地：
$u^v = e^{v\ln u}$
$(u^v)' = (e^{v\ln u})' = e^{v\ln u}(v\ln u)' = u^v(v'\ln u + v \cdot \frac{u'}{u})$ 此方法称为 指数求导法
2 . 含较多乘积因子的函数的导数
对数可以化积为和、化商为差、化幂为系数
例：
解：$\ln y = \ln \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)^2}{x-4}}$
求导：
解出：
1 . 由参数方程确定的曲线
$\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases} \Rightarrow (x, y) = (\varphi(t), \psi(t))$
2 . 由参数方程确定的函数
$\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases} \Rightarrow y = y(x)$
无论能否由
参数方程是表示函数的一种方式，提供了描绘曲线的便利
每一个显函数都可以写成参数方程的形式
$y = x^2\sin x \Rightarrow \begin{cases} x = t \ y = t^2\sin t \end{cases}$
求导：利用链式法则和反函数求导法则
将参数
重要公式
$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$
平面参数曲线的切线与法线
平面曲线 $\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases}$，$M(x_0, y_0)$ 是曲线上一点
其中
曲线在点
- 切线斜率：
$k_切 = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ - 切线斜率：
$k_法 = -\frac{x'(t_0)}{y'(t_0)}$ - 切线方程：
$y - y_0 = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)} (x - x_0)$ - 切线方程（对称式）：
$\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)}$ - 法线方程：
$y - y_0 = -\frac{x'(t_0)}{y'(t_0)} (x - x_0)$ - 法线方程（点法式）：
$x'(t_0)(x-x_0) + y'(t_0)(y-y_0) = 0$ - 切向量：$\tau = (x'(t_0), y'(t_0))$
- 法向量：$n = (-y'(t_0), x'(t_0))$
例题： 曲线 $\begin{cases} x = 1 + t^2 \ y = t^3 \end{cases}$ 在
解：
切点：
切线斜率： $k = \frac{dy}{dx}|{x=5} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}|{t=2} = \frac{3t^2}{2t}|_{t=2} = 3$
切线方程：
由参数方程所确定的函数的高阶导数
将参数
二阶导数：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{[\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}]'_t}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^3(t)}$
三阶导数：$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{[\frac{d^2y}{dx^2}]'_t}{\varphi'(t)}$
向量函数的导数
设变量
利用链式法则将方程
如果已知其中一个变化率，由此等式可求出与之相关的另一个变化率，这就是所谓的相关变化率 ( Related Rates ) 问题。
解决相关变化率问题，首先要建立者两个相关变量的一个等式，然后对时间求导，找到相关变化率的关系。
定义 ( 微分 )：
设在一点
如果
其中
定理（ 可微与可导的关系 ）： 函数在一点可微的充分必要条件是，函数在该点可导，且
证明：
函数
$f(x)$ 在点$x$ 处可微:$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ 函数
$f(x)$ 在点$x$ 处可导：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)$
必要性： 可微
$\Rightarrow$ 可导
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = A + 0 = A$
$\therefore dy = f'(x)\Delta x$ ，并且$A = f'(x)$
充分性：可导
$\Rightarrow$ 可微
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \alpha \quad (\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0)$
$\Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha\Delta x = f'(x)\Delta x + o(\Delta x)$
$A = f'(x) \quad \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0$
设
$y = x$ ， 则$dx = dy = y'\Delta x = (x)'\Delta x = 1 \cdot \Delta x = \Delta x$
$\therefore \Delta x = dx$
$\therefore dy = f'(x)dx$
导数就是微分之商：微商
函数可微、可导、连续和有极限的关系
$dy = f'(x)\Delta x = \tan\alpha\Delta x = QP$ $\Delta y = 函数 f(x) 的增量$ $dy = 切线函数的增量$
切线方程：
$y - y_0 = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)} (x - x_0)$
微分的计算公式:
微分就是导数与
$y' = f'(x) \quad\Rightarrow\quad dy = f'(x)dx$ $(\sin x)' = \cos x \quad\Rightarrow\quad d\sin x = \cos xdx$ $(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\Rightarrow\quad d\ln x = \frac{1}{x}dx$
复合函数的微分：微分形式不变性
例题：$y = \sin(2x^2 + 1)$ 求微分
$dy$ 方法 1 （ 先求导数、再得到微分 ）
$y' = [\sin(2x^2+1)]'$
$\quad = \cos(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 + 1)'$
$\quad = \cos(2x^2 + 1) \cdot 4x$
$\quad = 4x\cos(2x^2 + 1)$
$\therefore dy = y'dx = 4x\cos(2x^2 + 1)$
方法 2 （ 直接微分 ）
$dy = d\sin(2x^2 + 1)$
$\quad = \cos(2x^2 + 1)d(2x^2 + 1)$
$\quad = \cos(2x^2 + 1) \cdot 4x$
$\quad = 4x\cos(2x^2 + 1)$
- 求微分时，不必考虑谁是自变量、谁是因变量。
- 求导数时，必须将
$x$ 视为自变量，$y$ 为因变量
特别的，$x_0 = 0$ 时，取
$x = \Delta x$
$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$ ，$|x|$ 很小，是曲线$y = f(x)$ 在点$(0, f(0))$ 处的切线。
-
费马引理 ( Fermat Lemma )
设函数
$f(x)$ 在点$x_0$ 的某个邻域内有定义，$f(x)$ 在$x_0$ 处可导且在$x_0$ 处取得极值，则必有 $f'($x_0$ ) = 0$几何解释
证明
不妨假设
$f(x_0)$ 为极大值$f'-(x_0) = \lim\limits{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0$
由极限的
局部保号性推论$\therefore f'(x_0) = f'_-(x_0) \ge 0$ $f'+(x_0) = \lim\limits{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0$
由极限的
局部保号性推论$\therefore f'(x_0) = f'_+(x_0) \le 0$ $\therefore f'(x_0) = 0$
罗尔定理，设函数
-
$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续； -
$f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 内可导； - 端值相等：
$f(a) = f(b)$
则存在
几何解释
证明
由闭区间上连续函数的最值定理，函数
-
$m = M$ 则函数在闭区间
$[a,b]$ 上为常数，导数处处为零 -
$m \ne M$ 由于
$f(a) = f(b)$ ，函数不可能在闭区间$[a,b]$ 的两个端点同时取得最大值$M$ 和最小值$m$ ，即最大值和最小值至少有一个在开区间$(a,b)$ 内取得不妨假定
$M = f(\xi)， \xi \in (a,b)$ ，显然$M = f(\xi)$ 是极大值，由费马引理，$f'(\xi) = 0$
以下三个函数在相应区间没有导数为零的点
驻点 ( stationary point )：可导函数的每两个零点之间有一个导数的零点（驻点）。
拐点 ：导函数的每两个零点（驻点）之间又有一个二阶导数的零点
$ \left. \begin{matrix} f(x_1) = f(x_2) = 0 \Rightarrow f'(\xi_1) = 0&\ f(x_2) = f(x_3) = 0 \Rightarrow f'(\xi_2) = 0& \end{matrix} \right} \Rightarrow f''(\eta) = 0 $
例题： 若方程
令
$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x$ 则
$f(x)$ 在$[0, x_0]$ 上连续，在$(0, x_0)$ 内可导，且$f(0) = 0 = f(x_0)$ 由 Rolle 定理，$\exists \xi \in (0, x_0)$，使
$f'(\xi) = 0$ ，而$f'(x) = a_0nx^{n-1} + a_1(n-1)x^{n-2} + \ldots + a_{n-1}$ 所以
$\xi$ 是$f'(x) = 0$ 的一个小于$x_0$ 的正根。
设函数
-
$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续； -
$f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 内可导；
则存在
$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$
几何解释
证明
曲线
则函数
作辅助函数
则
另证 倒推法
$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
$(b - a)f'(\xi) = f(b) - f(a)$
$(b - a)f'(\xi) - [f(b) - f(a)] = 0$
$(b - a)f'(x) - [f(b) - f(a)] = 0$
${(b - a)f'(x) - [f(b) - f(a)]x} = 0$ 作辅助函数
$F(x) = (b-a)f(x) - [f(b)-f(a)]x$
拉格朗日中值定理的物理解释
设一作直线运动的质点的运动方程为：$s = f(t)$
则 平均速度。
这个平均速度一定会等于某一刻的瞬时速度。
即存在一个时刻
Lagrange 中值定理的其他形式
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x) = f'(\xi)\Delta x$ -
$\Delta y = f'(x + \theta\Delta x)\Delta x \quad (0 < \theta < 1)$ 有限增量公式
有限增量公式是
$\Delta y$ 的准确表达式
Lagrange 定理有两个重要推论
- 在一区间上导数恒为零的函数必为常值函数
- 在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数
Lagrange 定理的应用
-
不等式的证明
-
Case 1：如果导数在某个区间有界：
$|f'(x)| \le M$ 因为$f(x) - f(y) = f'(\xi)(x-y)$ 从而有不等式：$|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)(x-y)| = |f'(\xi)||x-y| \le M|x-y|$
即：$|f'(x)| \le M \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le M|x-y|$
即：函数值的改变量小于自变量的改变量的M倍。
$|f'(x)| \le 1$ 的几何意义：变化率不超过1，函数的增量不超过自变量的增量（ 坡度不超过1（45度））
-
Case 2：如果导数在某个区间有界：
$A \le f'(x) \le B$ 因为
$f(x) - f(y) = f'(\xi)(x-y) \quad (x>y)$ 从而有不等式：
$A(x-y) \le f(x) - f(y) = f'(\xi)(x-y) \le B(x-y)$ 即：$A(x-y) \le f(x) - f(y) \le B(x-y)$
-
-
恒等式的证明
$f'(x) \equiv 0 \quad\Rightarrow\quad f(x) \equiv C \quad (a < x < b)$ $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (-1 \le x \le 1)$ $\arctan x + arc\cot x = \frac{\pi}{2} \quad (-\infty < x < +\infty)$
设函数
- 在闭区间
$[a,b]$ 上连续； - 在开区间
$(a,b)$ 内可导；且$F'(x) \ne 0$
则存在
或 商的形式
三个微分中值定理之间的关系
-
Cauchy 中值定理
$\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}$ 令
$g(x) = x$ -
Lagrange 中值定理
$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 令
$f(a) = f(b)$ -
Rolle 中值定理
$f'(\xi) = 0$ 都是构造辅助函数，利用 Rolle 定理来证明
例题1 设函数
解： 用倒推法找辅助函数
作辅助函数
例题2 设
解： 设
即
于是
洛必达法则是计算未定式极限的一种运算法则。
-
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} \quad \frac{0}{0} 型$ ，定理 1 ，设$\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \quad \lim\limits_{x \to a} F(x) = 0$ - 两个函数在
$a$ 的某个去心邻域内可导，且$F(x)$ 的导数不等于零； - 极限
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} = A(\infty)$
则
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} = A(\infty)$ -
证明
假设（ 可以补充定义或另行定义 ）
$f(a) = \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ $F(a) = \lim\limits_{x \to a} F(x) = 0$ 极限与
$f(a), F(a)$ 无关则
$f(x)$ 和$F(x)$ 在区间$[a, x]$ 或$[x, a]$ 上满足 Cauchy 定理的条件。所以，由 Cauchy 定理得$\frac{f(x)}{F(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{F(x) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$ 
所以：$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} = \lim\limits_{\xi \to a} \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} = A(\infty)$
洛必达法则可以多次使用，每次使用一定要检查极限是否为
$\frac{0}{0}$ 型如果
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 仍是$\frac{0}{0}$ 型，且仍然满足定理的条件则
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f''(x)}{F''(x)} = A(\infty)$ 一些更高阶的等价无穷小
$x - \sin x \backsim \frac{x^3}{6}$ $\arcsin x - x \backsim \frac{x^3}{6}$ $\tan x - x \backsim \frac{x^3}{3}$ $x - \arctan x \backsim \frac{x^3}{3}$ $\tan x - \sin x \backsim \frac{x^3}{2}$ $x - \ln(1+x) \backsim \frac{x^3}{2}$
-
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{F(x)} \quad \frac{0}{0}型$ -
定理 2
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$
-
-
$\lim\frac{f(x)}{F(x)} \quad \frac{\infty}{\infty} 型$ $\lim \frac{f(x)}{F(x)} = \lim \frac{f'(x)}{F'(x)}$
函数趋于无穷大的速度：
$\ln x < \sqrt{x} < x < x^2 < e^x$
在使用洛必达法则时，应当及时整理极限式，并及时分离有非零极限的因子，以减少计算量
有些
$\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty}{\infty}$ 型极限不能使用洛必达法则进行计算
其他未定式
-
$\lim f(x)g(x) \quad \infty\cdot 0 型$ $\lim f(x)g(x) = \lim\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} \quad\Rightarrow\quad \frac{0}{0} 型$ $\lim f(x)g(x) = \lim\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\infty}{\infty} 型$ -
特例：
$\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$
-
$\lim[f(x) - g(x)] \quad \infty-\infty 型$ -
通分
$\lim\frac{F(x)}{G(x)} \quad \frac{0}{0} 型$
-
通分
-
幂指函数的极限
$\lim f(x)^{g(x)}$ $1^\infty \quad \infty^0 \quad 0^0 型$ -
重要
$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) \ln f(x)}$
用切线近似代替曲线的不足之处：
- 精度不高
-
$f(x) - p(x) = o(x - x_0)$ , 仅为$x - x_0$ 的高阶无穷小；
-
- 适合范围小
- 误差
$o(x - x_0)$ 不易定量估计
命题：
设函数
则
即 两个函数的差是
这个命题说明：两个函数在一点处有相同的函数值和各阶导数，则它们在该点附近有较高的近似程度：
-
有相同的函数值，两条曲线在点
$(x_0, y_0)$ 处相交
-
有相同的导数，两条曲线在点
$(x_0, y_0)$ 处相切
-
有相同的二阶导数，两条曲线在点
$(x_0, y_0)$ 处有相同的弯曲方向和弯曲程度（曲率）
设函数
则
得
误差为：$o[(x - x_0)^n]$
若
则有
定理 ( 带 Peano 余项的 Taylor 公式 )
设函数
f(x)的n次 Taylor 多项式：$\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k$
Peano 余项
定理 ( Taylor 中值定理 )
设函数
Lagrange 余项：
麦克劳林公式：
将泰勒公式的
$x_0$ 取值为 0
误差估计：$|\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}| \le \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$
可以证明：$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1} = 0 \quad (\forall x \in \mathbb R)$
定理 1 ( 函数单调性的判定定理 )
设函数
- 如果在
$(a,b)$ 内$f'(x) > 0$ ，则函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上单调增加 - 如果在
$(a,b)$ 内$f'(x) < 0$ ，则函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上单调减少
导数单调增加不一定导数大于零，因为单调函数不一定可导，即使可导，个别点的导数也可以为零
-
局部最大值 ( Local maximum value )
极大值是函数在一个邻域内所取到的最大的函数值
-
局部最小值 ( Local minimum value )
极小值是函数在一个邻域内所取到的最小的函数值
定理 1 ( 极值的必要条件 )
设函数
函数
$f(x)$ 的驻点$x_0: f'(x_0) = 0$ ( stationary point )
极值的必要条件：可导的极值点必为驻点
可能的极值点（可疑点）：1. 驻点 2. 不可导点
定理 3 ( 极值的第二充分条件 )
设函数
-
$f''(x_0) < 0 \Rightarrow f(x_0)$ 为极大值 -
$f''(x_0) > 0 \Rightarrow f(x_0)$ 为极小值
求连续函数在闭区间
- 求出函数
$f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 内的驻点和不可导点：$x_1, x_2, \cdots , x_n$ - 比较函数值：
$f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), f(a), f(b)$
其中的最大者为函数的最大值、最小者为最小值。
注意：不必判定
如果
$f(x_0) = 0$ , 且$f'(x_0) \ne 0$ ，则$|f(x)|$ 在$x_0$ 处不可导。
定理 2.3.2 (
推论 2.3.2
如果
利用单调性证明函数为正函数
$f'(x) > 0 \quad (a < x < b), \quad f(a) \ge 0 \quad\Rightarrow\quad f(x) > 0 \quad (a \lt x \le b)$ $f'(x) < 0 \quad (a < x < b), \quad f(b) \ge 0 \quad\Rightarrow\quad f(x) > 0 \quad (a \le x \lt b)$
凹弧的定义：$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$
凸弧的定义：$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$
凹弧更一般的定义：$f[(1-\theta)x_1 + \theta x_2] < (1-\theta) f(x_0) + \theta f(x_2) \quad (0 < \theta < 1)$
引理 ( 利用一阶导数的单调性判断凹凸性 )
设函数
- 若在
$(a,b)$ 内$f'(x)$ 单调增加，则曲线$y = f(x)$ 在$[a,b]$ 上是凹的。 - 若在
$(a,b)$ 内$f'(x)$ 单调减少，则曲线$y = f(x)$ 在$[a,b]$ 上是凸的。
定理 2 ( 曲线凹凸性的判定定理 )
设函数
- 若在
$(a,b)$ 内$f''(x) > 0$ ，则曲线$y = f(x)$ 在$[a,b]$ 上是凹的。 - 若在
$(a,b)$ 内$f''(x) < 0$ ，则曲线$y = f(x)$ 在$[a,b]$ 上是凸的。
求连续曲线的凹凸区间和拐点的步骤
- 求出函数
$f(x)$ 在区间内二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点：$x_1, x_2, \cdots, x_n$ - 讨论二阶导数在这些小区间内的符号，以确定曲线的凹凸性。
- 考察二阶导出在以上点两侧的符号，以确定该点是否出现拐点。
定义：当曲线
-
铅直渐近线 ( 垂直于
$x$ 轴的渐近线 )如果
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 那么$x = x_0$ 就是$y = f(x)$ 的一条铅直渐近线。 -
水平渐近线 ( 水平于
$x$ 轴的渐近线 )如果
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A$ 或$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$ 那么$y = A$ 就是$y = f(x)$ 的一条铅直渐近线。 -
斜渐近线
斜率：$k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \ne 0$
截距：$b = \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - kx)$
$\Rightarrow y = kx + b$
利用函数特性描绘函数图形：
- 确定函数
$y = f(x)$ 的定义域，对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论，求出函数的一阶导数$f'(x)$ 和二阶导数$f''(x)$ - 求出方程
$f'(x) = 0$ 和$f''(x) = 0$ 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间。 - 确定这些部分区间内
$f'(x)$ 和$f''(x)$ 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 - 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势
- 描出与方程
$f'(x) = 0$ 和$f''(x) = 0$ 的根对应的曲线上的点，有时还需补充一些点，综合前四步骤的结果画出图形
弧长的定义
曲线弧
曲线微分公式:
参数方程表示的曲线微分公式:
曲率的定义：曲率是描述曲线弯曲程的量
- 弧段弯曲程度越大，转角越大
- 转角相同弧段越短，弯曲程度越大
平均曲率：
曲线
参数方程的曲率公式：
半径为
$R$ 的圆的曲率是$\frac{1}{R}$
抛物线在顶点处曲率最大
定义： 设曲线
曲率中心点 $D = (\xi, \eta) \quad \begin{cases} & \xi = x - y' \frac{1 + y'^2}{y''} \ & \eta = y + \frac{1 + y'^2}{y''} \end{cases} $
概念： 曲线 渐屈线。 反之，$C$ 本身称为 渐伸线。
定义 (原函数)： 如果在区间 原函数 ( 反导数 antiderivative )
$f(x)$ 是$F(x)$ 的导数，$F(x)$ 就是$f(x)$ 的一个原函数。
原函数存在定理
- 连续函数一定有原函数
- 不连续的函数不一定有原函数
原函数并不唯一：即
$f(x)$ 的全体原函数都具有这个形式：$G(x) = F(x) + C$
不定积分定义： 在区间 不定积分，记为
函数
不定积分的基本性质
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
由不定积分的定义可知，每一个导数公式都对应着一个积分公式：
-
$\int kdx = kx + C \quad (k是常数)$ $\int 1dx = \int dx = x + C$ $\int 0dx = C \quad (C)' = 0$
-
$\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \ne -1)$ $\int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} + C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$
$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C \quad (\ln |x|)' = \frac{1}{x}$ $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C$ $\int \cos xdx = \sin x + C$ $\int \sin xdx = -\cos x + C$ $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \int \sec^2 xdx = \tan x + C$ $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = \int \csc^2 xdx = -\cot x + C$ $\int \sec x \tan xdx = \sec x + C$ $\int \csc x \cot xdx = -\csc x + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ $\int \sinh xdx = \cosh x + C$ $\int \cosh xdx = \sinh x + C$
不定积分的线性性质
$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx \quad (k \ne 0)$
定理1：不定积分的第一类换元法 （ 凑微分法 ）
设
则
所以
凑微分法的步骤
例题：
重要公式
-
$\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b) = \frac{1}{a}\int f(u)du$ -
$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$ -
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ -
$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$ -
$\int \frac{1}{x\pm a}dx = \ln|x\pm a| + C$ -
$\int f(x^2)xdx = \frac{1}{2}\int f(x^2)dx^2$ - 推广:
$\int f(x^n)x^{n-1}dx = \frac{1}{n}\int f(x^n)dx^n$ - 特例
$n = -1$ ,$\int f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}dx = -\int f(\frac{1}{x})d\frac{1}{x}$ - 特例
$n = -2$ ,$\int \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2\int f(\sqrt{x})d\sqrt{x}$
- 推广:
-
$\int \frac{f(\ln x)}{x} dx = \int f(\ln x)d \ln x$ -
$\int f(e^x)e^xdx = \int f(e^x)de^x$ -
$\int \tan xdx = -\ln|\cos x| + C$ $\int f(\cos x)\sin xdx = -\int f(\cos x)d\cos x$ $\int f(\sin x)\cos xdx = \int f(\sin x)d\sin x$ $\int \cot xdx = \ln |\sin x| + C$ $\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x| + C$
-
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln |f(x)| + C$
定理 2 ( 不定积分的第二类换元法 )
设
同：$\int f(x)dx = [\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt]_{t=\varphi^{-1}(x)}$
常见类型
-
有理代换
一般：$\int f(\sqrt[n]{ax+b})dx = \int f(u) \cdot \frac{n}{a}u^{n-1}du$
$u = \sqrt[n]{ax+b} \quad x = \frac{1}{a}(u^n-b) \quad dx=\frac{n}{a}u^{n-1}du$ 当被积函数含有两种或两种以上的根式，$\sqrt[k]{x}, \ldots, \sqrt[l]{x}$ 时，可令
$x = t^n$ ，其中$n$ 为各根指数的最小公倍数。 -
三角代换
-
$\int f(\sqrt{a^2 - x^2})dx \Longrightarrow a^2-(a\sin t)^2 = (a\cos t)^2$ -
$\int f(\sqrt{x^2 + a^2})dx \Longrightarrow (a\tan t)^2 + a^2 = (a\sec t)^2$ -
$\int f(\sqrt{x^2 - a^2})dx \Longrightarrow (a\sec t)^2 - a^2 = (a\tan t)^2$
-
-
双曲代换
$\because \ch^2t - \sh^2t = 1$ $\therefore \sh^2t + 1 = \ch^2t \quad \ch^2t - 1 = \sh^2t$ -
$\int f(\sqrt{x^2 + a^2})dx \Longrightarrow (a\sh t)^2 + a^2 = (a\ch t)^2$ -
$\int f(\sqrt{x^2 - a^2})dx \Longrightarrow (a\ch t)^2 - a^2 = (a\sh t)^2$
-
-
倒数代换 ( 当分母的次幂较高时，可采用倒数代换 )
重要积分公式
$\int \tan xdx = -\ln |\cos x| + C$ $\int \cot xdx = \ln |\sin x| + C$ $\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x| + C$ $\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x| + C$ $\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ $\int \frac{1}{x^2 - a^2}dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx = \ln (x + \sqrt{x^2+a^2}) + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$
设函数
分部积分步骤：
- 通过观察，如果
$\int f(x)dx$ 可以转换成$\int uv'dx$ 的形式 - 则凑微分:
$dv$ ,$\int udv = uv - \int vdu$
分部积分的两个原则：
-
$dv$ 要容易凑出 -
$\int vdu$ 比$\int udv$ 容易
总结：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为$u$，使其降幂一次（ 假定幂指数是正整数 )
$\int x^n e^x dx = \int x^n de^x$ $\int x^n \sin xdx = -\int x^n d\cos x$ $\int x^n \cos xdx = \int x^n d\sin x$
分部积分列表法
例如：$\int x^3 \sin xdx$
总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为
$\int x^n \ln xdx = \frac{1}{n+1} \int \ln xdx^{n+1}$ $\int x^n \arctan xdx = \frac{1}{n+1} \int \arctan xdx^{n+1}$ $\int x^n \arcsin xdx = \frac{1}{n+1} \int \arcsin xdx^{n+1}$ $\int x^n \arccos xdx = \frac{1}{n+1} \int \arccos xdx^{n+1}$
$\int \arccos xdx = x \arccos x - \sqrt{1- x^2} + C$
$\int \arcsin xdx = x \arcsin x + \sqrt{1- x^2} + C$
$\int \ln xdx = x(\ln x - 1) + C$
有理函数：$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n}{b_0x^m + b_1x^{m-1} + \ldots + b_{m-1}x + b_m}$
-
$n \lt m$ , 有理函数真分式 -
$n \ge m$ , 有理函数假分式
假分式可以通过
长除法化为多项式与真分式的和
真分式可以分解成以下公式：
例题：$\frac{x+1}{x^2-5x+6}$
-
待定系数法
$\therefore x + 1 = (A+B)x - (2A+3B)$ $\therefore A + B = 1 \quad 2A + 3B = -1 \quad A=4, B=-3$ -
赋值法
$令 x=2 ，得 B=-3；令 x=3，得 A=4$
将有理函数化为部分分式之和，只会有三类情况：
-
多项式
-
$\frac{A}{(x-a)^n}$ $\int \frac{A}{x-a}dx = A\ln |x-a| + C$ $\int \frac{A}{(x-a)^n}dx = \frac{A}{1-n}(x-a)^{1-n}+C$
-
$\frac{Mx+N}{(x^2 + px + q)^n}$ - 递推公式
结论：有理函数的原函数都是初等函数
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数的有理式，记作：$R(\sin x, \cos x)$
三角有理式可以用万能代换化为有理函数
令
- 曲边梯形的面积：
$A = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x)dx$
- 变速直线运动的路程：
$s = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n v(\tau_i) \Delta t_i = \int_{T_1}^{T_2} v(t)dt$
- 变力所作的功：
$W = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n F(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b F(x)dx$
如果极限值 定积分 ( Definite integral )，记作：
积分变量是
哑变量(dummy variable)、形式变量、名义变量
定积分与不定积分的区别
- 定积分 ( 实数 )：$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$
- 不定积分 ( 函数 )：$\int f(x)dx$
定积分的几何意义
重要公式
$\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2}\pi a^2$ $\int_{0}^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{4}\pi a^2$
定积分的存在性 (可积性)
-
在闭区间上连续的函数可积
-
在闭区间上有界，且只有有限个间断点的函数是可积的
-
在闭区间上单调的函数是可积的
一定是有界的，且只能有第一类间断点
微分学研究的是函数的
局部性质(在一点的极限、连续性、可导性)：切线、运动方向、某一瞬间的速度、某一点的密度）
积分学研究的是函数的
整体性质：面积、体积、一段时间运动的路程、一段路程上的功、整个物体的质量。
化为数列极限：$\int_0^1 f(x)dx = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})$
若
取区间的右端点：$\xi_i = x_i$，得矩形法公式：
取区间的左端点：$\xi_i = x_{i-1}$，得矩形法公式：
若取 梯形法公式:
定积分的线性性质
-
$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$ -
$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ 线性组合的定积分 = 定积分的线性组合
-
$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ 定积分的区间可加性
-
$\int_a^b dx = b - a$ 推论：$\int_a^b kdx = k(b-a)$
-
$f(x) \ge 0 \quad (a \le x \le b) ,\quad \int_a^b f(x) dx \ge 0 \quad (a < b)$ 推论：$|\int_a^b f(x)dx| \le \int_a^b|f(x)|dx \quad (a < b)$
-
积分不等式
$f(x) \le g(x) \quad (a \le x \le b)$ $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx \quad (a < b)$ -
积分估值定理
$m \le f(x) \le M \quad (a \le x \le b)$ $m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$ 几何解释：
-
积分中值定理
若函数
$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续，则存在一点$\xi\in[a,b]$ , 使得$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a) \quad (a \le \xi \le b)$ 几何解释：
推广: 积分第一中值定理
若函数
$f(x) , g(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在$[a,b]$ 上不变号，则存在$\xi$ ，使:$\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx \quad (a \le \xi \le b)$
函数
例如：平均速度 =
$\frac{\int_{T_1}^{T_2} v(t)dt}{T_2 - T_1} = v(\xi)$ 在整理时间区间内，总有一瞬间的速度等于平均速度
柯西-施瓦茨不等式
闵可夫斯基不等式
即：$v(t)$ 的上限函数的导数 = 被积函数
设函数
映射：
构成区间 积分上限函数
定理 ( 积分上限函数的连续性 )
设有界函数
无论函数
$f(x)$ 是否连续，其积分上限函数总是连续的。
定理1 ( 积分上限函数的导数 )
设函数
定理2 ( 原函数存在定理 )
设函数
连续函数一定有原函数 (或不定积分)，且
$\int f(x)dx = \int_a^x f(t)dt + C \quad (a\le x\le b)$
定理3 (微积分基本定理)
设函数
$\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int_a^b f(x)dx = [\int f(x)dx]_a^b$
$\int_a^b F'(x)dx = F(b) - F(a)$
例题：
解：$\because \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
定积分的"凑微分"公式