G = (N, Σ, P, S)
N je konečná množina neterminálů
Σ je konečná množina terminálů, přičemž N ∩ Σ = {}
P je konečná množina pravidel ve tvaru (Σ ∪ N)* N (Σ ∪ N)* → (Σ ∪ N)*
S ∈ N je počáteční neterminál
A = (Q, Σ, δ, q0, F)
Q je neprázdná konečná množina stavů
Σ je konečná vstupní abeceda
δ: Q × Σ → Q je parciální přechodová funkce
q0 ∈ Q je iniciální stav
F ⊆ Q je konečná množina akceptujících stavů
δ^: Q × Σ* → Q je definována induktivně:
δ^(q,ε) = q pro každý stav q ∈ Q
δ^(q,wa) = δ(δ^(q,w)a) ... je-li δ^(q,w) i δ(δ^(q,w)a) definováno; ⊥ ... jinak
Slovo w je akceptováno automatem M právě když (δ^(q0,w) ∈ F.
Slovo w není akceptováno automatem M právě když (δ^(q0,w) ∉ F.
Jazyk přijímaný automatem M je L(M) = {w ∈ Σ* | (δ^(q0,w) ∈ F}.
Nechť n ∈ N je libovolné a dále pevné.
Uvažujme slovo w = ... ∈ L, |w| = ... >= n.
Pro každé x, y, z splňující: w = xyz, |xy|<=n a y ≠ ε platí:
...všechna možná rozdělení (s podmínkami!)...
Pro i = ... platí ... tedy w ∉ L, protože ...
Z Pumping lemmatu pro regulární jazyky plyne, že L není regulární.
RE(Σ) je množina:
ε, {} a a pro každé a ∈ Σ jsou regulární výrazy nad Σ.
Jsou-li E, F regulární výrazy nad Σ, pak také (E.F), (E + F) a (E*) jsou regulární výrazy nad Σ.
M = (Q, Σ, δ, I, F)
Q je neprázdná konečná množina stavů
Σ je konečná vstupní abeceda
δ: Q × Q → RE(Σ) je parciální přechodová funkce
I ⊆ Q je množina počátečních stavů
F ⊆ Q je množina akceptujících stavů
G = (N, Σ, P, S)
N je konečná množina neterminálů
Σ je konečná množina terminálů, přičemž N ∩ Σ = {}
P ⊆ N × (Σ ∪ N)* je konečná množina pravidel
S ∈ N je počáteční neterminál
levá derivace -- při odvozování vždy přepisujeme nejlevější neterminál
nejednoznačná gramatika -- existuje slovo z jejího jazyka, která má alespoň 2 derivační stromy
vnitřně víceznačná bezkontextový jazyk -- každá bezkontextová gramatika, která jej generuje je víceznačná
- neobsahuje žádné nepoužitelné symboly, tedy:
- nenormované symboly -- nelze z nich vytvořit žádné slovo
- nedosažitelné symboly -- nelze jich dosáhnout
- neobsahují žádné ε-pravidlo nebo
- obsahují právě jedno ε-pravidlo a to: S → ε, přičemž S není na pravé straně žádného pravidla
jednoduché pravidlo -- A → B, kde A,B ∈ N
- bez nepoužitelných symbolů
- bez ε-pravidel
- necyklická -- neterminál se nesmí po určitém počtu kroků přepsat sám na sebe
- bez ε-pravidel
- každé pravidlo ve tvaru:
A → BC, kdeB,C ∈ NA → a, kdea ∈ ΣS → ε
Algoritmus transformace do CNF: Gramatiku převedeme na vlastní a bez jednoduchých pravidel.
nelevorekurzivní gramatika -- gramatika bez levorekurzivních neterminálů
- necyklická
- bez ε-pravidel
- bez ε-pravidel
- každé pravidlo ve tvaru:
A → aα, kdea ∈ Σaα ∈ N*S → ε
Nechť n ∈ N je libovolné a dále pevné.
Uvažujme slovo w = ... ∈ L, |w| = ... > n.
Pro každé u, v, x, y, z splňující: w = uvxyz, |vxy|<=n a vy ≠ ε platí:
...všechna možná rozdělení (s podmínkami!)...
Pro i = ... platí ... tedy w ∉ L, protože ...
Z Pumping lemmatu pro bezkontextové jazyky plyne, že L není bezkontextový.
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F)
Q je konečná množina stavů
Σ je konečná množina vstupní abecedy
Γ je konečná množina zásobníkové abecedy
δ: Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ → Pfin(Q × Γ*) je parciální přechodová funkce (Pfin(Q × Γ*) je označení množiny všech konečných podmnožin Q × Γ*)
q0 ∈ Q je iniciální stav
Z0 ∈ Γ je počáteční symbol v zásobníku
F ⊆ Q je konečná množina koncových stavů
Čteme epsiolon a ze zásobníku pravou stranu pravidla, přesunu se do stejného stavu a na zásobník zapíši levou stranu pravidla. Následně čtu terminály, ze zásobníku epsilon, zůstávám opět ve stejném stavu a na zásobník zapíši přečtený terminál. Přečtení dna zásobníku: Čtu epsilon, na zásobníku ⊥S, přejdu do akceptujícího stavu a na zásobník zapíši epsilon.
`R = ({q, r}, Σ, N ∪ Σ ∪ {⊥}, δ, q, ⊥, {r})
(q, slovo, ⊥) ... postupně načítám slovo na zásobník (ujídám ho zleva) a přitom se snažím obsah zásobníku zprava redukovat pomocí pravidel tak, aby na něm zůstalo jen ⊥S, pomocí kterého se pak přepnu do akceptujícího stavu.
Čteme epsilon a ze zásobníku neterminál z levé strany pravidla, zůstaneme ve stejném stavu a na zásobník zapíšeme pravou stranu pravidla (těch je více, takže je analyzátor nedeterministický). Dále čteme terminál tentýž i ze zásobníku, zůstaneme ve stejném stavu a na zásobník dáme epsilon. Akceptujeme prázdným zásobníkem.
`M = ({q}, Σ, N ∪ Σ, δ, q, S, {})
Čteme epsilony a na zásobníku postupně zleva vytváříme struktury odpovídající pravým stranám pravidel. Pokud je vlevo na zásobníku terminál, přečteme ho a odstraníme. Takto postupujeme, dokud nemáme prázdný zásobník, čteme epsilon.
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F)
- pro všechna
q ∈ QaZ ∈ Γplatí: kdykolivδ(q,ε,Z) ≠ {}, pakδ(q,a,Z) = {}, pro všechnaa ∈ Σ - pro žádné
q ∈ Q,Z ∈ Γaa ∈ Σ ∪ {ε}neobsahujeδ(q,a,Z)více než jeden prvek
δ: Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ* → Pfin(Q × Γ*) je parciální přechodová funkce (Pfin(Q × Γ*) je označení množiny všech konečných podmnožin Q × Γ*)
Ke každému rozšířenému PDA existuje ekvivalentní PDA
M = (Q, Σ, Γ, ▻, ⌊⌋, δ, q0, qacc, qrej)
Q je konečná množina stavů
Σ je konečná množina vstupní abecedy
Γ je konečná množina pracovní abecedy, Σ ⊆ Γ
▻ ∈ Γ ∖ Σ je levá koncová značka
⌊⌋ ∈ Γ ∖ Σ je prázdné políčko
δ: (Q ∖ {qacc, qrej}) × Γ → Q × Γ × {L,R} je totální přechodová funkce
q0 ∈ Q je iniciální stav
qacc ∈ Q je akceptující stav
qrej ∈ Q je zamítající stav
navíc pro každé q ∈ Q existuje p ∈ Q takový, že δ(q,▻) = (p,▻,R) (tj. nelze přepsat přepsat ani posunout čtecí hlavu za okraj pásky)
(úplný TM rozhoduje jazyk, jiný akceptuje, rozpoznává, přijímá...)
(q,z,n)
q je stav
z je obsah pásky
n značí pozici hlavy na pásce
počáteční konfigurace pro vstup w ∈ Σ je (q0, ▻w⌊⌋⌊⌋⌊⌋..., 0)
akceptující konfigurace je (qacc, z, n)
zamítající konfigurace je (qrej, z, n)
- stroj akceptuje slowo w právě když výpočet M na w je konečný a jeho poslední konfigurace je akceptující
- stroj zamítá slowo w právě když výpočet M na w je konečný a jeho poslední konfigurace je zamítající
- stroj cyklí pro vstup w právě když výpočet M na w je nekonečný
δ: (Q ∖ {qacc, qrej}) × Γ^k → Q × Γ^k × {L,R}^k je totální přechodová funkce
δ: (Q ∖ {qacc, qrej}) × Γ → 2^(Q × Γ × {L,R}) je totální přechodová funkce
Pro každý nedeterministický TM existuje ekvivalentní deterministický TM.
- frázové gramatiky -- bez omezení
- kontextové gramatiky -- α → β, |α| <= |β| (výjimka: S → ε, S není na pravé straně žádného pravidla)
- bezkontextové gramatiky -- A → α, |α| <= 1 (výjimka: S → ε, S není na pravé straně žádného pravidla)
- regulární gramatiky -- A → aB nebo A → a (výjimka: S → ε, S není na pravé straně žádného pravidla)
- rekurzivně spočetné jazyky -- generované frázovou gramatikou, rozpoznatelné TM, částečně rozhodnutelný
- rekurzivní jazyky -- rozhodované úplným TM, rozhodnutelný
- kontextové jazyky -- generované kontextovou gramatikou, rozpoznávány ohraničeným TM
- bezkontextové jazyky -- generované bezkontextovou gramatikou, zásobníkovým automatem
- deterministické bezkontextové jazyky -- generované deterministickým zásobníkovým automatem
- regulární jazyky -- generované regulární gramatikou, konečným automatem
| ∪ | ∩ | ∩REG | ∖ | co- | . | * | + | ^n | R | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| regulární | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| bezkontextové | ✓ | × | ✓ | × | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| deterministické bezkontextové | × | × | ✓ | ✓ | ||||||
| rekurzivní | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| rekurzivně spočetné | ✓ | ✓ | ✓ | × | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
Jazyk L je rekurzivní, právě když jsou jazyky L a co-L rekurzivně spočetné.
- Synchronní paralelní kompozice automatů
- Transformace automatu na automat akceptující jeho doplněk
- Algoritmus pro eliminaci nedosažitelných stavů DFA
- Eliminace ekvivalentních stavů
- Algoritmus konstrukce minimálního automatu
- Převod automatu do kanonického tvaru
- Algoritmus transformace NFA na ekvivalentní DFA
- Převod regulárního přechodového grafu na NFA
- Převod DFA na RE
- Převod regulární gramatiky na konečný automat
- Převod konečného automatu na regulární gramatiku
- Nalezení nenormovaných symbolů: Napočítáme množiny N0, N1, N2,... které obsahují neterminály, ze kterých odvodíme slovo v n-tém kroku. Postupně nabalujeme další, dokud se dvě poslední množiny nerovnají. Zbytek neterminálů odstraníme.
- Nalezení nedosažitelných symbolů: Napočítáme množiny V0, V1, V2,... které obsahují neterminály i terminály (!), které jsou dosažitelné po n odvozeních. V0 = {S}. Postupně nabalujeme další, dokud se dvě poslední množiny nerovnají. Zbytek neterminálů a terminálů odstraníme.
- Algoritmus pro odstranění ε-pravidel
- Algoritmus pro odstranění jednoduchých pravidel
- Algoritmus transformace do CNF
- Algoritmus odstranění levé rekurze
HALT (problém zastavení) -- nerozhodnutelný ACC (problém akceptování) -- nerozhodnutelný NONEMPTY (problém neprázdnosti) -- není rozhodnutelný PCP (Postův korespondenční systém) -- není rozhodnutelný
A <=m B:
- B je rekurzivní -> A je rekurzivní
- B je rekurzivně spočetný -> A je rekurzivně spočetný
- A není rekurzivní -> B není rekurzivní
- A není rekurzivně spočetný -> B není rekurzivně spočetný
A <=p B
- B ∈ P -> A ∈ P
- B ∈ NP -> A ∈ NP
- A není v P -> B není v P
- A není v NP -> B není v NP
P ⊆ NP ⊆ NPSPACE = PSPACE ⊆ EXPTIME ⊆ NEXPTIME
PATH (problém, zda v orientovaném grafu existuje cesta z u do v) ∈ P
HAMPATH (problém, zda v orientovaném grafu existuje Hamiltonovská cesta) ∈ NP
SAT -- NP úplný (tj. NP těžký a SAT ∈ NP)
3SAT -- NP úplný
TQBF -- PSPACE-úplný