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给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
《代码随想录》算法视频公开课：带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合），组合问题的剪枝操作，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
本题是回溯法的经典题目。
直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
代码如下：
int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
cout << i << " " << j << endl;
}
}输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
cout << i << " " << j << " " << u << endl;
}
}
}如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。
此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！
咋整？
回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
那么回溯法怎么暴力搜呢？
上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。
递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。
此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。
一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！
如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。
我们在关于回溯算法，你该了解这些！中说到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
在关于回溯算法，你该了解这些！中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
- 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
为什么要有这个startIndex呢？
建议在77.组合视频讲解中，07:36的时候开始听，startIndex 就是防止出现重复的组合。
从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)- 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分：
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
所以终止条件代码如下：
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}- 单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
代码如下：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
result.clear(); // 可以不写
path.clear(); // 可以不写
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};- 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
还记得我们在关于回溯算法，你该了解这些！中给出的回溯法模板么？
如下：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
对比一下本题的代码，是不是发现有点像！ 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。
组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。
从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。
接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i);
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back();
}这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象，如图所示：
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。
所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
接下来看一下优化过程如下：
-
已经选择的元素个数：path.size();
-
还需要的元素个数为: k - path.size();
-
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。
所以优化之后的for循环是：
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
优化后整体代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
combineHelper(n, k, 1);
return result;
}
/**
* 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
*/
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
//终止条件
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.add(i);
combineHelper(n, k, i + 1);
path.removeLast();
}
}
}未剪枝优化
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
result = [] # 存放结果集
self.backtracking(n, k, 1, [], result)
return result
def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(startIndex, n + 1): # 需要优化的地方
path.append(i) # 处理节点
self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
path.pop() # 回溯，撤销处理的节点剪枝优化：
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
result = [] # 存放结果集
self.backtracking(n, k, 1, [], result)
return result
def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2): # 优化的地方
path.append(i) # 处理节点
self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
path.pop() # 回溯，撤销处理的节点var (
path []int
res [][]int
)
func combine(n int, k int) [][]int {
path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
dfs(n, k, 1)
return res
}
func dfs(n int, k int, start int) {
if len(path) == k { // 说明已经满足了k个数的要求
tmp := make([]int, k)
copy(tmp, path)
res = append(res, tmp)
return
}
for i := start; i <= n; i++ { // 从start开始，不往回走，避免出现重复组合
if n - i + 1 < k - len(path) { // 剪枝
break
}
path = append(path, i)
dfs(n, k, i+1)
path = path[:len(path)-1]
}
}剪枝：
let result = []
let path = []
var combine = function(n, k) {
result = []
combineHelper(n, k, 1)
return result
};
const combineHelper = (n, k, startIndex) => {
if (path.length === k) {
result.push([...path])
return
}
for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length) + 1; ++i) {
path.push(i)
combineHelper(n, k, i + 1)
path.pop()
}
}function combine(n: number, k: number): number[][] {
let resArr: number[][] = [];
function backTracking(n: number, k: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
if (tempArr.length === k) {
resArr.push(tempArr.slice());
return;
}
for (let i = startIndex; i <= n - k + 1 + tempArr.length; i++) {
tempArr.push(i);
backTracking(n, k, i + 1, tempArr);
tempArr.pop();
}
}
backTracking(n, k, 1, []);
return resArr;
};impl Solution {
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
let len= path.len() as i32;
if len == k{
result.push(path.to_vec());
return;
}
for i in start_index..= n {
path.push(i);
Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
path.pop();
}
}
pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut result = vec![];
let mut path = vec![];
Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
result
}
}剪枝
impl Solution {
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
let len= path.len() as i32;
if len == k{
result.push(path.to_vec());
return;
}
// 此处剪枝
for i in start_index..= n - (k - len) + 1 {
path.push(i);
Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
path.pop();
}
}
pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut result = vec![];
let mut path = vec![];
Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
result
}
}int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
//当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
if(pathTop == k) {
//path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
//因此创建新的数组存储path中的值
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
int i;
for(i = 0; i < k; i++) {
temp[i] = path[i];
}
ans[ansTop++] = temp;
return ;
}
int j;
for(j = startIndex; j <=n ;j++) {
//将当前结点放入path数组
path[pathTop++] = j;
//进行递归
backtracking(n, k, j + 1);
//进行回溯，将数组最上层结点弹出
pathTop--;
}
}
int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//path数组存储符合条件的结果
path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
//ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
pathTop = ansTop = 0;
//回溯算法
backtracking(n, k, 1);
//最后的返回大小为ans数组大小
*returnSize = ansTop;
//returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
int i;
for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = k;
}
//返回ans二维数组
return ans;
}剪枝：
int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
//当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
if(pathTop == k) {
//path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
//因此创建新的数组存储path中的值
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
int i;
for(i = 0; i < k; i++) {
temp[i] = path[i];
}
ans[ansTop++] = temp;
return ;
}
int j;
for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
//将当前结点放入path数组
path[pathTop++] = j;
//进行递归
backtracking(n, k, j + 1);
//进行回溯，将数组最上层结点弹出
pathTop--;
}
}
int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//path数组存储符合条件的结果
path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
//ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
pathTop = ansTop = 0;
//回溯算法
backtracking(n, k, 1);
//最后的返回大小为ans数组大小
*returnSize = ansTop;
//returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
int i;
for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = k;
}
//返回ans二维数组
return ans;
}func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
var path = [Int]()
var result = [[Int]]()
func backtracking(start: Int) {
// 结束条件，并收集结果
if path.count == k {
result.append(path)
return
}
// 单层逻辑
// let end = n
// 剪枝优化
let end = n - (k - path.count) + 1
guard start <= end else { return }
for i in start ... end {
path.append(i) // 处理结点
backtracking(start: i + 1) // 递归
path.removeLast() // 回溯
}
}
backtracking(start: 1)
return result
}暴力:
object Solution {
import scala.collection.mutable // 导包
def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果
def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
if (path.size == k) {
// 如果path的size == k就达到题目要求，添加到结果集，并返回
result.append(path.toList)
return
}
for (i <- startIndex to n) { // 遍历从startIndex到n
path.append(i) // 先把数字添加进去
backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
}
}
backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
result.toList // 最终返回result的List形式，return关键字可以省略
}
}剪枝:
object Solution {
import scala.collection.mutable // 导包
def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果
def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
if (path.size == k) {
// 如果path的size == k就达到题目要求，添加到结果集，并返回
result.append(path.toList)
return
}
// 剪枝优化
for (i <- startIndex to (n - (k - path.size) + 1)) {
path.append(i) // 先把数字添加进去
backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
}
}
backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
result.toList // 最终返回result的List形式，return关键字可以省略
}
}
