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<title> Defensa Rodrigo Zelada Mancini</title>
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</div>-->
<section>
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<br>
<br>
<br>
<!--<img src="imagenes/dim.png" alt ="" style="position: absolute;top: 100px; left: 100px"/>-->
<br>
<h3>Modelo hidrodinámico de la marea roja <br> en la Bahía Quellón</h3>
<p align="center"><small>Rodrigo Zelada Mancini<br>
Departamento de Ingeniería Matemática <br>
Universidad de Chile</small></p>
</section>
</section>
<section>
<h3> Tabla de contenidos </h3>
<ol>
<li> Introducción </li>
<li> Formulación Variacional de Stokes </li>
<li> Modelo Hidrodinámico</li>
<li> Método de Volúmenes Finitos</li>
<ul>
<li> Discretización de Navier-Stokes</li>
<li> Discretización de Advección-Difusión</li>
</ul>
<li>Resultados</li>
<ul>
<li> Shallow Water </li>
<li> Navier-Stokes </li>
<li> Advección-Difusión </li>
</ul>
<li>Conclusión</li>
<li>Trabajo Futuro</li>
</ol>
</section>
<section>
<section>
<h2> Introducción </h2>
</section>
<section>
<br>
<p> El fenómeno de las mareas rojas ha afectado en las últimas décadas las costas del sur de Chile,
la región de los Lagos, la región de Aysén y la de Magallanes.
<!---En particular Chiloé se ha visto fuertemente afectado con estos episodios de marea roja,
generando pérdidas ecónomicas para la industria pesquera y además peligro en la salud de quienes consumen mariscos,
debido al nivel de toxicidad que generan las microoalgas de la marea roja.
</p> -->
<ul>
<li>Pérdidas económicas</li>
<li>Salud</li>
</ul>
<p align="center">
<img width="35%" height="35%" src="imagenes/MareaRoja/La-Jolla-Red-Tide.780.jpg" alt ="Red Tide off the Scripps Institution of Oceanography Pier, La Jolla California">
<small class="caption"><b>Figura</b>: Red Tide off the Scripps Institution of Oceanography Pier, La Jolla California.</small>
</p>
</section>
<section>
<h3> ¿Qué es la marea roja? </h3>
<!--<small>-->
<ol>
<li> Incremento masivo de microoalgas en el mar </li> <!--, cuyos efectos pueden llegar a ser perjudiciales tanto para la salud del humano como para la economía. Su nombre se debe a que las Floraciones Algales (<em>Bloom</em>) pueden llegar a teñir el agua del mar de diversos colores, en que el más común es rojo.</li>-->
<br>
<li> <em>"Marea Roja"</em> </li>
<br>
<!--<li>Más generalmente (y correctamente) se conoce como <em>Floraciones Algales Nocivas</em> (FAN), puesto que estas floraciones masivas se pueden dar sin teñir agua, pero sí siendo nocivas. Las FAN se pueden clasificar en tóxicas y no tóxicas.</li>-->
<li> <em> Floraciones Algales Nocivas </em> (FAN) </li>
</ol>
<br>
<p>Algunos mariscos que concentran estas toxinas son los choritos, almejas, machas, locos y cholgas.</p>
<!--</small>-->
</section>
<section>
<h3>El problema de la marea roja</h3>
<ul>
<li> Para determinar si un marisco está contaminado con estas toxinas se debe hacer un análisis de laboratorio</li>
<br>
<li> Se hace imprescindible elaborar un modelo que pueda determinar los episodios de marea roja.</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h2>Formulación variacional problema de Stokes</h2>
</section>
<section>
<h4>Espacios funcionales</h4>
<p>Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un abierto, acotado y de borde Lipschitz.
Se define el espacio de las funciones test (vectoriales) a divergencia nula </p>
<div class="definition"> <br>
$\mathcal{V} := \{\phi \in \mathcal{D}(\Omega)^N / div(\phi) = 0\}$
</div>
<p>y también el espacio de las funciones a traza nula y divergencia nula</p>
<div class="definition"> <br>
$V := \{v \in H_0 ^1(\Omega)^N / div(v) = 0\}$
</div> </p>
</section>
<section>
<h4>Teorema de De Rham</h4>
<div class="lemma">
Si $f \in H^{-1}(\Omega)^N$ tal que $\forall \phi \in V$, $\langle f, \phi \rangle = 0$, entonces existe $p \in L^2(\Omega)$ tal que \[f = \nabla p\]
Además, si $\Omega$ es conexo, entonces p es único en $L^2(\Omega)/ \mathbb{R}$.
</div>
<div class="theorem">
Si $f \in H^{-1}(\Omega)^N$ tal que $\forall \phi \in \mathcal{V}$, $\langle f, \phi \rangle = 0$, entonces existe $p \in L^2(\Omega)$ tal que \[f = \nabla p\]
Además, si $\Omega$ es conexo, entonces p es único en $L^2(\Omega)/ \mathbb{R}$.
</div>
</section>
<section>
<h4>Formulación variacional Stokes en dominio octopus</h4>
<p>Sea el siguiente dominio particionado
$\displaystyle{\Omega_\epsilon = \Omega_1 ^\epsilon \cup \Sigma_1^\epsilon \cup O_{\epsilon, L} \cup \Omega_2 ^\epsilon \cup \Sigma_2^\epsilon} \subset \mathbb{R}^2$
, que llamaremos <em>Dominio Octopus</em>. El borde del dominio se denota $\Gamma_\epsilon = \partial \Omega_\epsilon$. </p>
<p align = "center">
<img width="50%" height="50%" src="imagenes/FormulacionVariacionalStokes/octopio.PNG" alt ="Dominio octopus" >
<br> <small class="caption"><b>Figura</b>: Dominio octopus</small>
</p>
<div class="definition"> <br>
$V^\epsilon := \{v \in H_0 ^1(\Omega_\epsilon)^2 / div(v) = 0 \text{ en } \Omega_\epsilon\}$
</div>
</section>
<section>
<h4>Formulación Variacional de Stokes</h4>
<p>\[(S)\left\{
\begin{array}{c l}
-\nu \Delta u + \nabla p = f & \textrm{en} \; \Omega_\epsilon \\
div(u) = 0 & \textrm{en} \; \Omega_\epsilon \\
u = u_0 & \textrm{sobre} \; \Gamma_\epsilon
\end{array}
\right.\]
con $u_0 \in H^\frac{1}{2}(\Gamma_\epsilon)$ que cumple la condición de compatibilidad, es decir,
$\displaystyle{\int_{\Gamma_\epsilon} u_0 \cdot n ds = 0}$.
Se sabe que existe $g \in H^1(\Omega_\epsilon)$ tal que
\[\left\{\begin{array}{ccll}
div(g) & = & 0 &\text{ en } \Omega_\epsilon\\
g & = & u_0 & \text{ sobre } \Gamma_\epsilon
\end{array}\right.\] </p>
</section>
<section>
<p>Haciendo un relevo en la condición de borde, el problema se puede estudiar variacionalmente como</p>
\[(FVS)\left\{
\begin{array}{cl}
\text{ Encontrar } v \in H^1(\Omega_\epsilon)^2 \text{ tal que }\\
(v - g) \in V^\epsilon \\
\displaystyle{\int_{\Omega_\epsilon} \nabla u : \nabla v dx} = \displaystyle{\int_{\Omega_\epsilon} f \cdot v dx}, \quad \forall v \in V^\epsilon
\end{array}
\right.\]
</section>
<section>
<h4>Problema alternativo</h4>
<p>El problema es que el problema anterior se vuelve muy costoso si $L$ es grande.
Se define el siguiente subespacio de $V^\epsilon$
<div class="definition"> <br>
$W^\epsilon := \left\{ w \in V^\epsilon / w(x_1,x_2) = \begin{pmatrix}w_1(x_2) \\ 0 \end{pmatrix} \text{ con } (x_1, x_2) \in O_{\epsilon, L}\right\}$
</div>
<div class="prop"> <br>
$W^{\epsilon}$ es sev cerrado en $H_0 ^1(\Omega_\epsilon)^2$.
</div> </p>
</section>
<section>
<h4> Formulación Variacional </h4>
<p>Se plantea el siguiente problema variacional
\[(FVW)\left\{
\begin{array}{cl}
\text{ Encontrar } u \in H^1(\Omega_\epsilon)^2 \text{ tal que }\\
(u - g) \in W^\epsilon \\
\displaystyle{\int_{\Omega_\epsilon} \nabla u : \nabla w dx} = \displaystyle{\int_{\Omega_\epsilon} f \cdot w dx}, \quad \forall w \in W^\epsilon
\end{array}
\right.\]
¿Qué problema diferencial resuelve la solución de (FVW)? </p>
</section>
<section>
<h4> Adaptación de DeRham </h4>
<div class="definition"> <br>
\[Y^\epsilon = \left\{w \in H^1(\Omega_\epsilon)^2 / w \cdot n |_{\partial \Omega_\epsilon} = 0, div(w) = 0 \text{ en } \Omega_\epsilon, w|_{O_{\epsilon, L}} = \begin{pmatrix}w_1(x_2) \\ 0\end{pmatrix} \right\}\]
</div>
<div class="lemma"> <br>
\[{Y^{\epsilon}}^\perp = \left\{ \varphi \in L^2(\Omega_\epsilon) ^2 \left/
\varphi = \nabla p_k,
\int_0 ^L \varphi_1 dx_1 = [p], p_k \in H^1(\Omega_k ^\epsilon)/\mathbb{R}, k = 1,2
\right\}\right.\]
</div>
</section>
<section>
<h4>Interpretación diferencial de la solución de (FVW)</h4>
<div class="theorem"> <br>
<small>Si u es solución de (FVW) y suponiendo que $\Delta u \in L^2(\Omega_\epsilon)$,
entonces existe $p_k \in L^2(\Omega_k ^\epsilon)$ única salvo constante, con $k \in \{1, 2\}$ tal que</small>
<small>\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rcl}
-\Delta u + \nabla p_k & = & f \text{ en } \mathcal{D}^\prime(\Omega_k ^\epsilon) \\
div(u) & = & 0 \text{ en } \Omega_k ^\epsilon \\
u & = & u_0 \text{ en el sentido de la traza sobre } \partial \Omega_\epsilon \cap \partial \Omega_k ^\epsilon \\
u & = & \begin{pmatrix} u_1 \\ g_2 \end{pmatrix} \text{ en el sentido de la traza sobre } \Sigma_k ^\epsilon
\end{array}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rcl}
u_2 & = & g_2 \text{ en } \mathcal{D}^\prime(O_{\epsilon, L})\\
\displaystyle{-\frac{d}{dx_2 ^2}\overline{u_1} + \frac{1}{L}[p]} & = & \displaystyle{\overline{f_1}} \text{ en } \mathcal{D}^\prime((0, \epsilon)) \\
\overline{u_1}(0) = \displaystyle{\frac{1}{L}\int_0 ^L u_0(x_1,0)dx_1} &,& \overline{u_1}(\epsilon) = \displaystyle{\frac{1}{L}\int_0 ^L u_0(x_1, \epsilon) dx_1}, \\
\displaystyle{\int_{0} ^{\epsilon} u_1 dx_2} & = & \displaystyle{-\int_{\partial \Omega_\epsilon \cap \partial \Omega_1 ^\epsilon} u_0 \cdot n ds}
\end{array}\right.
\end{equation}
\begin{array}{rl}
\text{ con } \displaystyle{\overline{u_1}(\cdot)} = \displaystyle{\frac{1}{L} \int_0 ^L u_1(x_1,\cdot) dx_1}&, & \displaystyle{\overline{f_1}(\cdot)} = \displaystyle{\frac{1}{L} \int_0 ^L f_1(x_1,\cdot) dx_1} \\
\end{array}
</div> </small>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h2> Modelo Hidrodinámico</h2>
</section>
<section>
<h4>Modelo Hidrodinámico</h4>
<p>Para describir la concentración <span style="color:red">c(x,t)</span> de microalgas se utiliza la ecuación de advección(convección/transporte)-difusión:
\[\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}+ div(c u)- div( D\nabla c) = F\]
con <span style="color:red">$u$</span> la velocidad de la marea, $D$ la constante de difusión del alga en el mar y $F$ el término de fuente.
<br>
<br>
Hipótesis de trabajo: $F = 0$.</p>
</section>
<section>
<h4>Campo de velocidades</h4>
<p>El cálculo de la velocidad de marea se hará resolviendo numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes </p>
\begin{align}
\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u - \nu \Delta u} & = - \displaystyle{\nabla \frac{p}{\rho} + \frac{f}{\rho}}
\textrm{ en } \; \Omega
\label{eqn: EcuacionesNavierStokes}\\
\nabla \cdot u & = 0 \textrm{ en } \; \Omega
\label{eqn: DivergenciaNula}
\end{align}
<p>con los siguientes parámetros </p>
<ul>
<li> $f$ la fuerza por unidad de volumen. </li>
<li> $\nu$ la viscosidad cinemática de un fluido. </li>
<li> $\rho$ la densidad del fluido. </li>
</ul>
</section>
<section>
<h4>Herramientas</h4>
<ul>
<li> MATLAB (MATrix LABoratory) </li>
<li> OpenFOAM (Open Source Field Operation and Manipulation) </li>
<li> ParaView </li>
</ul>
</section>
<section>
<h4>Dominio</h4>
<img width="430" height="400" src="imagenes/Dominio/BahiaQuellonRelieve.PNG" alt ="Bahía Quellón, ubicado en Chiloé, Región de los Lagos.">
<img width="430" height="400" src="imagenes/Dominio/VolumenesFinitos.png" alt ="Volumenes Finitos.">
<small class="caption"><b> Figura izquierda</b>: Bahía Quellón, ubicado en Chiloé, Región de los Lagos. Extraído de Google Earth.
<b> Figura derecha</b>: Malla de volúmenes finitos, visto con <em>ParaView</em>. La malla tiene
54.116 puntos, 76.341 volúmenes finitos, 218.728 caras y 162.977 caras internas.</small>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h2> Método De Volúmenes Finitos </h2>
</section>
<section>
<h4>Discretización de Navier-Stokes</h4>
<p>Notación: $u = (U, V, W)$ para la velocidad.
Realizando el cambio de variable $\displaystyle{P = \frac{p}{\rho} - g z}$,
con $z$ la altura o profundidad del mar y $g$ la aceleración de gravedad.
Sean $\omega_i \subset \Omega$ volúmenes finitos, con $i \in \{1, \ldots, N\}$ y
$N$ el número de volúmenes finitos, es decir
$\displaystyle{\Omega = \bigcup_{i=1} ^{N} \omega_i}$.
Sea $\omega_i$ un volumen finito, cuyo borde es
$\displaystyle{\partial \omega_i = \bigcup_{j: \Gamma_{j} \text{ es cara de } \omega_i} \Gamma_{j}}$.
Integrando sobre un volumen finito $\omega_i$ cualquiera,
\[\displaystyle{\int_{\omega_i} \frac{\partial U}{\partial t} d\omega + \int_{\omega_i} u \cdot \nabla U d\omega -
\nu \int_{\omega_i} \Delta U d\omega + \int_{\omega_i} \frac{\partial P}{\partial x} d\omega = 0}\] </p>
</section>
<section>
<h4>Discretización de evolución y convección</h4>
<ul>
<li> Término de evolución: </li>
<p>\[\begin{array}{ccl}\displaystyle{\int_{\omega_i} \frac{\partial U}{\partial t} d\omega}
& \approx & \displaystyle{\frac{\left|\omega_i \right|}{\Delta t} (U_i ^k - U_i ^{k-1})}
\end{array}\] </p>
<li> Término convectivo: </li>
<p>\begin{equation*}
\label{eq:DiscretizacionTerminoConvecti}
\displaystyle{
\int_{\omega_i} u \cdot \nabla U d\omega
\approx
\sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara interna } \\
(u^k \cdot n)(\Gamma_{j}) < 0}} (U_{j} ^k -U_i ^k) (u^k \cdot n) (\Gamma_{j}) \left|\Gamma_{j}\right| }
\end{equation*} </p>
<p>Obs: Si $\Gamma_j = \partial \Omega_i \cap \partial \Omega_j$, se utiliza la condición <em>upwind</em>
<p>\[U^k(\Gamma_{j}) =
\begin{cases}
U_i ^k \quad \text{si } (u ^k\cdot n) (\Gamma_{j}) \geq 0 \\
U_{j} ^k \quad \text{si } (u ^k\cdot n) (\Gamma_{j}) < 0
\end{cases}
\] </p>
</ul>
</section>
<section>
<h4>Discretización del término de difusión y término fuente:</h4>
<ul>
<li>Término de difusión:</li>
<p>\[\begin{array}{ccll}
\displaystyle{ \int_{\omega_i} \Delta U d\omega}
& \approx & \displaystyle{\sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara interna } }} \frac{(U_{j} ^k - U_i ^k)}{d_c (\omega_i, \omega_{j})} \left|\Gamma_{j}\right| +
\sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara de borde } }} \frac{(U_{\Gamma_j} ^k - U_i ^k)}{d_c (\omega_i, \Gamma_{j})} \left|\Gamma_{j}\right|} \\
\end{array}\]</p>
<li>Término fuente:</li>
<p>\[\begin{array}{ccll}
\displaystyle{\int_{\omega_i} \frac{\partial P}{\partial x} d\omega}
& \approx & \displaystyle{\sum_{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i} P_{j}n_x (\Gamma_{j})\left|\Gamma_{j}\right|} \\
\end{array}\] </p>
<ul>
Pero aún no está resuelto...
</section>
<section>
<h4>Complicaciones adicionales Navier-Stokes</h4>
<ol>
<li> El término convectivo es no lineal, luego para escribir el sistema matricial se realizan iteraciones tipo punto fijo. </li>
<li> Faltan ecuaciones. No hay ecuación para la presión.</li>
</ol>
<p>La presión se define como: </p>
<ul>
<li> En cada volumen la presión es incógnita. Acá tienen asociadas la condición de divergencia nula. </li>
<li> En los bordes en que hay condición de borde Dirichlet para la velocidad, hay una presión incógnita en las caras de dicho borde. </li>
<li> En los bordes en que NO hay condición de borde Dirichlet para la velocidad, la presión debe ser dato. </li>
</ul>
<p>Así se consiguen tantas ecuaciones como incógnitas.</p>
</section>
<section>
<h4>Sistema matricial de Navier-Stokes</h4>
<p>Para una cierta etapa temporal $k \in \mathbb{N}$ fija y para cada $\ell \in \mathbb{N}$, el sistema de ecuaciones se escribe en forma matricial a continuación
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
A_{UU} & 0_{N\times N} & 0_{N \times N} & A_{UP} \\
0_{N \times N} & A_{VV} & 0_{N \times N} & A_{VP} \\
0_{N \times N} & 0_{N \times N} & A_{WW} & A_{WP} \\
A^T_{UP} & A^T_{VP} & A^T_{WP} & 0_{M \times N}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
U^{k,\ell} \\
V^{k,\ell} \\
W^{k,\ell} \\
P^{k,\ell}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{U} \\
b_{V} \\
b_{W} \\
b_{P} \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\[\begin{array}{cccl}
\text{donde } & U^{k,\ell} & = & (U_1 ^{k,\ell},\ldots, U_N ^{k,\ell}) \\
& V^{k,\ell} & = & (V_1 ^{k,\ell},\ldots, V_N ^{k,\ell}) \\
& W^{k,\ell} & = & (W_1 ^{k,\ell},\ldots, W_N ^{k,\ell}) \\
& P^{k,\ell} & = & (P_1 ^{k,\ell},\ldots, P_N ^{k,\ell}, P_{N+1} ^{k,\ell} \ldots P_{M} ^{k,\ell}) \\
\end{array}\] </p>
</section>
<section>
<h4>Condiciones de Borde de Navier-Stokes</h4>
<table>
<thead>
<th>Regiones del borde</th>
<th>Condición sobre u</th>
<th>Condición sobre P</th>
</thead>
<tr>
<td>Fondo</td>
<td>$u \cdot n = 0$</td>
<td>no hay</td>
</tr>
<tr>
<td>Superficie</td>
<td>$W = -A\omega sen(\omega t)$</td>
<td>no hay</td>
</tr>
<tr>
<td>Mar-Tierra</td>
<td>$u = 0$</td>
<td>no hay</td>
</tr>
<tr>
<td>Mar-Mar</td>
<td>$\frac{\partial u}{\partial n} = 0$</td>
<td>$P = 0$</td>
</tr>
</table>
<small class="caption"><b>Tabla</b>: Resumen condiciones de borde en Navier-Stokes implementadas en MATLAB.</small>
<p>Obs: La condición $P = 0$ en Mar-Mar, equivale a $p = \rho g h$ la famosa fórmula de presión hidrostática. </p>
</section>
<section>
<h4>Discretización advección-difusión</h4>
<ul>
<li> Término de evolución: </li>
<p>\[\begin{array}{ccl}
\displaystyle{\int_{\omega_i} \frac{\partial c}{\partial t} d\omega}
& \approx & \displaystyle{\frac{\left|\omega_i\right|}{\Delta t} (c_i ^k - c_i ^{k-1})}
\end{array}\] </p>
<li> Término convectivo: </li>
<p>\[\displaystyle{\int_{\omega_i}div(c u) d\omega \approx \sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara interna } \\
(u^k \cdot n)(\Gamma_{j}) < 0}} (c_{j} ^k -c_i ^k) (u^k \cdot n) (\Gamma_{j}) \left|\Gamma_{j}\right| }\] </p>
<li> Término difusivo:</li>
<p>\[\begin{array}{ccll}
\displaystyle{ \int_{\omega_i} \Delta U d\omega}
& \approx & \displaystyle{\sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara interna } }} D\frac{(c_{j} ^k - c_i ^k)}{d_c (\omega_i, \omega_{j})} \left|\Gamma_{j}\right| +
\sum_{\substack{j : \Gamma_{j} \text{ cara de } \omega_i \\
\Gamma_j \text{ cara de borde } }} D\frac{(c_{\Gamma_j} ^k - c_i ^k)}{d_c (\omega_i, \Gamma_{j})} \left|\Gamma_{j}\right|} \\
\end{array}\]</p>
</ul>
</section>
<section>
<h4> Condición de borde de Advección-Difusión </h4>
<table>
<thead>
<th>Regiones del borde</th>
<th>Condición sobre c</th>
</thead>
<tr>
<td>Fondo</td>
<td>$\frac{\partial c}{\partial n} = 0$</td>
</tr>
<tr>
<td>Superficie</td>
<td>$\frac{\partial c}{\partial n} = 0$</td>
</tr>
<tr>
<td>Mar-Tierra</td>
<td>$\frac{\partial c}{\partial n} = 0$</td>
</tr>
<tr>
<td>Mar-Mar</td>
<td>$\frac{\partial c}{\partial n} = 0$</td>
</tr>
</table>
<small class="caption"><b>Tabla</b>: Resumen condiciones de borde en Convección-Difusión implementadas en MATLAB.</small>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3> Resultados </h3>
<p>El computador utilizado tiene las siguientes características
Procesador Intel(R) Pentium(R) CPU N3540 @2.16 GHz 2.16 GHz, 8.00 GB de memoria RAM, 4 núcleos. </p>
</section>
</section>
<section>
<h4>Resultados: Shallow Water</h4>
<section>
<p>Integrando en profundidad las ecuaciones de Navier-Stokes se obtienen las ecuaciones de Shallow Water</p>
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}(hu) + \nabla \cdot (hu u^T) + f \times hu} & = & \displaystyle{-\left|g\right| \nabla (h + h_0)} \\
\displaystyle{\frac{\partial h}{\partial t} + \nabla \cdot(hu)} & = & 0 \\
\end{array}\]
<p>con $u=(u_1(t,x,y), u_1(t,x,y))$, la velocidad horizontal, $h(t,x,y)$ la distancia desde el fondo a la superficie, $h_0(x,y)$ la distancia desde el sistema de referencia y $f$
la fuerza de Coriolis. </p>
</section>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/MallaDinamicaOleajeShallowWater5seg.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption"> Marea obtenida con OpenFOAM. </small> </p>
</section>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/MallaDinamicaMasFramesCeleste.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption"> Malla Dinámica implementada en MATLAB. </small> </p>
</section>
</section>
<section>
<h4>Resultados: Navier-Stokes</h4>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/Velocidadnu001MATLAB.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption"> Velocidad obtenida al resolver Navier-Stokes con MATLAB. $\nu=0.01$. </small> </p>
<p>Tiempo de simulación: 1 día ($86400$ s). Tiempo de ejecución: 48 horas con 5 mins ($173132$ s). </p>
</section>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/Particulas3D10MaxLength.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption"> Trayectoria de las partículas. Velocidad Obtenida con MATLAB, $\nu=0.01$. </small> </p>
</section>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/Velocidadnu1OpenFOAMColorEscaladoMasGlyph.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption"> Velocidad obtenida al resolver Navier-Stokes con OpenFOAM. $\nu=1$. </small> </p>
<p>Tiempo de simulación: $ 7 $ días ($604800$ s). Tiempo de ejecución: 86 horas, 17 minutos y 38 segundos, ($310658$s).</p>
</section>
</section>
<section>
<h4>Resultados: Advección-Difusión</h4>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/Concentracionnu001MATLAB.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption">Concentración de microalga obtenida con MATLAB, usando la velocidad obtenida con MATLAB.
$\nu = 0.01$, $D=0.03$. </small> </p>
</section>
<section>
<p align="center">
<video data-autoplay controls src="videos/Concentracion7diasVelocidadOFConcentracionMatlab3.mp4" type="video/mp4" />
</p>
<p align="center"> <small class="caption">Concentración de microalga obtenida con MATLAB, usando la velocidad obtenida con OpenFOAM.
$\nu = 1$, $D=0.03$. </small> </p>
</section>
</section>
<section>
<h3>Conclusión</h3>
<ul>
<li> Solvers para caso laminar </li>
<li> Tiempo de ejecución OpenFOAM vs MATLAB </li>
<li> Estabilidad de las discretizaciones </li>
<li> Flexibilidad en modificaciones </li>
<li> Falta de datos reales </li>
</ul>
</section>
<section>
<h3>Trabajo futuro</h4>
<ul>
<li> Mejorar la malla
<li> Utilizar <em>paralelismo</em> y mejorar el desempeño del solver en MATLAB </li>
<li> Retomar las implementaciones en C++, pero usando UFMPACK para resolver los sistemas matriciales </li>
<li> Implementar modelos de turbulencia (como el $k-\epsilon$) </li>
</ul>
</section>
</section>
<!--<section>
<h2> Partículas youtube</h2>
<p>VIDEO Youtube</p>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/duQKcOU56LQ" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</section>-->
<!--<section>
<h2> Concentración de microalgas youtube</h2>
<p>VIDEO Youtube</p>
<iframe data-autoplay width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GKTavEOfMZ4" showinfo="0" frameborder="0" allowfullscreen=""></iframe>
</section>-->
<!--<section data-background-color="#ff0000">
<h2>Una cita</h2>
<p>se hace con blockquote</p>
<blockquote>"Un gran poder conlleva una gran responsabilidad" </blockquote>
<p>Frase del ex presidente Franklink Roosevelt
</section>
<section data-background-image="imagenes/paris4.jpg">
<h2> títulos para las diapos 6</h2>
<p>texto dentro de párrafos</p>
</section>
<section>
<h2> crear hipervículos externos</h2>
<p>Volver a pagina <a href="#/1/3"> de particulas (video) </a></p>
</section>
<section>
<h2> </h2>
<p> </p>
</section>-->
<!---<h2> títulos para las diapos 3</h2>
<table>
<thead>
<th>encabezado 1</th>
<th>encabezado 2</th>
</thead>
<tr>
<td>dato 1</td>
<td>dato 2</td>
</tr>
<tr>
<td>dato 3</td>
<td>dato 4</td>
</tr>
</table>
<p>texto dentro de párrafos</p>-->
</div>
</div>
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