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785.is-graph-bipartite.md

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题目地址（785. 判断二分图）

https://leetcode-cn.com/problems/is-graph-bipartite/

题目描述

给定一个无向图 graph，当这个图为二分图时返回 true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集 A 和 B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自 A 集合，一个来自 B 集合，我们就将这个图称为二分图。

graph 将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点 i 相连的所有节点。每个节点都是一个在 0 到 graph.length-1 之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i]  中不存在 i，并且 graph[i]中没有重复的值。

示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true
解释:
无向图如下:
0----1
| |
| |
3----2
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。

示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释:
无向图如下:
0----1
| \ |
| \ |
3----2
我们不能将节点分割成两个独立的子集。
注意:

graph 的长度范围为 [1, 100]。
graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
图是无向的: 如果 j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

前置知识

  • 图的遍历
  • DFS

公司

  • 暂无

着色法 + DFS

求二分图有两种思路，一个是着色法，另外一个是并查集。

思路

和 886 思路一样。 我甚至直接拿过来 dfs 函数一行代码没改就 AC 了。

唯一需要调整的地方是 graph 。 我将其转换了一下，具体可以看代码，非常简单易懂。

具体算法：

  • 设置一个长度为 N 的数组 colors，colors[i] 表示 节点 i 的颜色，0 表示无颜色， 1 表示一种颜色， - 1 表示另一种颜色。
  • 初始化 colors 全部为 0
  • 构图（这里有邻接矩阵） 使得 grid[i][j] 表示 i 和 j 是否有连接（这里用 0 表示无， 1 表示有）
  • 遍历图。
    • 如果当前节点未染色，则染色，不妨染为颜色 1
    • 递归遍历其邻居
      • 如果邻居没有染色， 则染为另一种颜色。即 color * - 1，其中 color 为当前节点的颜色
      • 否则，判断当前节点和邻居的颜色是否一致，不一致则返回 False，否则返回 True

强烈建议两道题一起练习一下。

关键点

  • 图的建立和遍历
  • colors 数组

代码

class Solution:
    def dfs(self, grid, colors, i, color, N):
        colors[i] = color
        for j in range(N):
            if grid[i][j] == 1:
                if colors[j] == color:
                    return False
                if colors[j] == 0 and not self.dfs(grid, colors, j, -1 * color, N):
                    return False
        return True

    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        N = len(graph)
        grid = [[0] * N for _ in range(N)]
        colors = [0] * N
        for i in range(N):
            for j in graph[i]:
                grid[i][j] = 1
        for i in range(N):
            if colors[i] == 0 and not self.dfs(grid, colors, i, 1, N):
                return False
        return True

复杂度分析

令 v 和 e 为图中的顶点数和边数。

  • 时间复杂度：$O(v+e)$
  • 空间复杂度：$O(v)$, stack depth = $O(v)$, and colors array.length = $O(v)$

如上代码并不优雅，之所以这么写只是为了体现和 886 题一致性。一个更加优雅的方式是不建立 grid，而是利用题目给的 graph（邻接矩阵）。

class Solution:
    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        n = len(graph)
        colors = [0] * n
        def dfs(i, color):
            colors[i] = color
            for neibor in graph[i]:
                if colors[neibor] == color: return False
                if colors[neibor] == 0 and not dfs(neibor,-1*color): return False
            return True
        for i in range(n):
            if colors[i] == 0 and not dfs(i,1): return False
        return True

并查集

思路

遍历图，对于每一个顶点 i，将其所有邻居进行合并，合并到同一个联通域中。这样当发现某个顶点 i 和其邻居已经在同一个联通分量的时候可以直接返回 false，否则返回 true。

代码

代码支持：Python3，Java

Python3 Code：

class UF:
    def __init__(self, n):
        self.parent = {}
        for i in range(n):
            self.parent[i] = i
    def union(self, i,j):
        self.parent[self.find(i)] = self.find(j)
    def find(self, i):
        if i == self.parent[i]: return i
        self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
        return self.parent[i]
    def is_connected(self, i,j):
        return self.find(i) == self.find(j)

class Solution:
    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        n = len(graph)
        uf = UF(n)
        for i in range(n):
            for neibor in graph[i]:
                if uf.is_connected(i, neibor): return False
                uf.union(graph[i][0], neibor)
        return True

Java Code：

// weighted quick-union with path compression
class Solution {
    class UF {
	    int numOfUnions; // number of unions
	    int[] parent;
	    int[] size; 
	
	    UF(int numOfElements) {
		    numOfUnions = numOfElements;
		    parent = new int[numOfElements];
		    size = new int[numOfElements];
		    for (int i = 0; i < numOfElements; i++) {
			    parent[i] = i;
			    size[i] = 1;
		    }
	    }

	    // find the head/representative of x
	    int find(int x) {
		    while (x != parent[x]) {
			    parent[x] = parent[parent[x]]; 
			    x = parent[x]; 	
		    }
		    return x;
	    }

	    void union(int p, int q) {
		    int headOfP = find(p);
		    int headOfQ = find(q);
		    if (headOfP == headOfQ) {
			    return;
		    }
		    // connect the small tree to the larger tree
		    if (size[headOfP] < size[headOfQ]) {
			    parent[headOfP] = headOfQ; // set headOfP's parent to be headOfQ 
			    size[headOfQ] += size[headOfP];
		    } else {
			    parent[headOfQ] = headOfP;
			    size[headOfP] += size[headOfQ];
		    }
		    numOfUnions -= 1;
	    }

	    boolean connected(int p, int q) {
		    return find(p) == find(q);
	    }
    }

    public boolean isBipartite(int[][] graph) {
        int n = graph.length;
        UF unionfind = new UF(n);
        // i is what node each adjacent list is for
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // i's neighbors
            for (int neighbor : graph[i]) {
                // i should not be in the union of its neighbors
                if (unionfind.connected(i, neighbor)) {
                    return false;
                }
                // add into unions
                unionfind.union(graph[i][0], neighbor);
            }
        }
        
        return true;
    }

复杂度分析

令 v 和 e 为图中的顶点数和边数。

  • 时间复杂度：$O(v+e)$, using weighted quick-union with path compression, where union, find and connected are $O(1)$, constructing unions takes $O(v)$
  • 空间复杂度：$O(v)$ for auxiliary union-find space int[] parent, int[] space

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