chapterfifth.tex

\en{\chapter{Micropolar three\hbox{-}dimensional continuum}}

\ru{\chapter{Микрополярная трёхмерная среда}}

\thispagestyle{empty}

\newcommand{\littlerotationvector}{\varvector{\bm{\varphi}}}

\newcommand{\motiongradient}{\bm{F}}

\newcommand{\distortiontensor}{\bm{\upgamma}}
\newcommand{\wrynesstensor}{\bm{\kappa}\hspace{-0.1ex}}

\newcommand{\forcestresstensor}{\mathboldtau}
\newcommand{\couplestresstensor}{\bm{\mu}}

\label{chapter:cosseratcontinuum}

\en{\section{Introduction to the linear micropolar theory}}

\ru{\section{Введение в линейную микрополярную теорию}}

\label{section:introtolinearmicropolar}

%% micropolar elasticity, couple\hbox{-}stress elasticity, asymmetric (non\hbox{-}symmetric) elasticity, Cosserat elasticity

\dropcap{\en{T}\ru{Х}}{\en{he characteristic}\ru{арактерная}}
\en{feature}\ru{особенность}
\en{of a~classical elastic media}\ru{классических упругих сред}
(\chapterref{chapter:nonlinearcontinuum}
\en{and}\ru{и}~\customref{chapter:linearclassicalelasticity})
\en{is that}\ru{это то, что}
\en{they are made from}\ru{они сделаны из} \en{the~}\inquotesx{\en{simple}\ru{простых} \en{points}\ru{точек}}.
\en{A~particle}\ru{Частица}
\en{of a~classical continuum}\ru{классического \rucontinuum{}а}
\en{has}\ru{имеет}
\en{only}\ru{лишь}
\ru{трансляционные степени свободы}\en{the translational degrees of freedom},
\en{and}\ru{и}~\en{the only single vector}\ru{только один вектор}~${\currentlocationvector(q^i \hspace{-0.15em}, t)}$
\en{describes}\ru{описывает}
\en{its movement}\ru{её движение}.
\en{Therefore}\ru{Поэтому}
\en{the external loads}\ru{внешние нагрузки}
\en{in such a~model}\ru{в~такой модели}
\en{are}\ru{это}
\en{only the forces}\ru{только силы},
\en{the volume}\ru{объёмные}
\en{and}\ru{и}~\en{the surface ones}\ru{поверхностные}.
\en{There are no moments}\ru{Моментов нет}.

\en{But}\ru{Но}
\en{it’s not so hard}\ru{не~так~уж трудно}
\en{to build}\ru{построить}
\en{the~more complex}\ru{более сложные}
\en{models}\ru{модели}
\en{of a~continuous medium}\ru{сплошной среды}, \en{where}\ru{где}
\en{the particles}\ru{частицы}
\en{have}\ru{имеют}
\en{not only}\ru{не~только~лишь}
\en{the~translational degrees of~freedom}\ru{трансляционные степени свободы},
\en{but }\ru{но~также и~}%
\en{some additional ones as~well}\ru{н\'{е}которыми дополнительными}.
\en{These new degrees o’freedom}\ru{Эти новые степени свободы}
\en{are correlated}\ru{соотносятся}
\en{with the~new loads}\ru{с~новыми нагрузками}.
%
\en{The most natural}\ru{Наиболее естественная}
\en{of the non-classical models}\ru{из~неклассических моделей}
\en{of a~three-dimensional medium}\ru{трёхмерной среды}
\en{was proposed}\ru{была предложена}
\en{by the~}\ru{братьями }Cosserat\en{ brothers}
\en{in}\ru{в}~1909~\cite{cosserat}.
%
\en{Every particle}\ru{Каждая частица}
\en{of the}\ru{\rucontinuum{}а}
Cosserat’\en{s}\en{ continuum}
\en{is}\ru{есть}
\en{an~infinitesimal}\ru{бесконечно-малое}
\en{absolutely rigid body}\ru{совершенно жёсткое тело}
\en{with the six degrees of freedom}\ru{с~шестью степенями свободы},
\en{the three translational and the three rotational}\ru{тремя трансляционными и тремя вращательными}.
%
\en{The loads}\ru{Нагрузки}
\en{in such a~medium}\ru{в~такой среде}
\en{are}\ru{это}
\en{forces and moments}\ru{силы и~моменты}.
%
\en{The~work}\ru{Работа}
\en{of~the~}\ru{братьев }Cosserat\en{ brothers}
\en{remained unnoticed}\ru{оставалась незамеченной}
\en{for the~half a~century}\ru{полвека},
\en{but then}\ru{но~затем}
\en{the~interest in this topic arose}\ru{возник интерес к~этой теме}.

% ~ ~
\input{fromNowackiBook.tex}
% ~ ~ ~

\en{In the~truly micropolar continuum}\ru{В~истинно микрополярном \rucontinuum{}е}\en{,}
\en{the vector field}\ru{векторное поле}
\en{of~displacements}\ru{смещений}
${\fieldofdisplacements(\locationvector, t)}$
\en{and}\ru{и}
\en{the field of rotations}\ru{поле поворотов}
${\fieldofrotations(\locationvector, t)}$
\en{are mutually independent}\ru{взаимно независимы}.
\en{This is also called}\ru{Это также называется}
\en{the~model with free rotation}\ru{моделью со~свободным вращением}.
\en{Also}\ru{Также}
\en{it is}\ru{это}
\en{the~geometrically}\ru{геометрически}
\en{linear model}\ru{линейная модель},
\en{that’s}\ru{то~есть}
\en{the~case}\ru{случай}
\en{of the very small}\ru{очень м\'{а}лых},
\en{the infinitesimal}\ru{бесконечно м\'{а}лых}
\en{displacements}\ru{смещений}
\en{and}\ru{и}
\en{the infinitesimall}\ru{бесконечно м\'{а}лых}
\en{rotations}\ru{поворотов}.
\en{Here}\ru{Здесь}
\en{operators}\ru{операторы}
${\hspace{-0.2ex} \boldnablacircled \hspace{.1ex}}$
\en{and}\ru{и}~${\hspace{-0.2ex} \boldnabla \hspace{.1ex}}$
\en{are indistinguishable}\ru{неразличимы}.
${\mathcal{V} \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} \mathcircabove{\mathcal{V}}\hspace{-0.1ex}}$,
${\rho \hspace{-0.12ex} = \hspace{-0.22ex} \mathcircabove{\rho}\hspace{.2ex}}$
\en{and}\ru{и}~\en{therefore}\ru{поэтому}
\en{equations}\ru{уравнения}
\inquotes{\en{can be written}\ru{могут быть написаны}
\en{in the~initial configuration}\ru{в~начальной конфигурации}}.
\en{Also}\ru{Также}
\en{operators}\ru{операторы}~$\variation$
\en{and}\ru{и}~${\hspace{-0.2ex}\boldnabla}$
\en{commute}\ru{коммутируют}
(${ \variation{\boldnabla \fieldofdisplacements}
\hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.3ex}
\boldnabla \variation{\fieldofdisplacements} }$,
${ \variation{\boldnabla \hspace{-0.12ex} \fieldofrotations} \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.3ex}
\boldnabla \variation{\fieldofrotations} }$).

\en{To build this model}\ru{Чтобы построить эту модель},
\en{I use}\ru{я использую}
\en{the~principle of virtual work}\ru{принцип виртуальной работы}.
\en{This principle}\ru{Этот принцип}
\en{says that}\ru{говорит, что}
\en{the~variation of work}\ru{вариация работы}
\en{of the~real external forces}\ru{реальных внешних сил}
\en{on virtual displacements}\ru{на виртуальных смещениях}
\en{is equal}\ru{равн\'{а}}
\en{with the~opposite sign}\ru{с~обратным знаком}
\en{to the~variation of work}\ru{вариации работы}
\ru{of the~internal forces}\ru{внутренних сил},
\en{the~real stresses}\ru{реальных напряжений}
\en{on virtual deformations}\ru{на~виртуальных деформациях}

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex}
\left(^{\mathstrut}
   \bm{f} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
   + \bm{m} \dotp \variation{\fieldofrotations}
\right) \hspace{-0.4ex} d\mathcal{V}
\hspace{.25ex} +
\integral\displaylimits_o \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut}
   \bm{p} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
   + \mathboldM \hspace{-0.1ex} \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.4ex} do \hspace{.12ex}
= - \hspace{-0.5ex}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex}
\variation{\internalwork} \hspace{.1ex} d\mathcal{V}
.
\end{equation*}

\vspace{-0.1em}\noindent
\en{Here}\ru{Здесь}
$\bm{f}$ \en{and}\ru{и}~$\bm{m}$
\en{are}\ru{это}
\en{the external forces}\ru{внешние силы}
\en{and}\ru{и}~\en{moments}\ru{моменты}
\en{per}
\inquotes{\en{one volume}\ru{на~единицу объёма}},
$\bm{p}$ \en{and}\ru{и}~$\mathboldM$
\en{are external forces too}\ru{внешние силы тоже},
\en{but}\ru{но}
\en{per surface unit}\ru{на~единицу поверхности}
(\en{the surface loads}\ru{поверхностные нагрузки},
\en{they act}\ru{они действуют}
\en{only on a~certain part of}\ru{лишь на~н\'{е}которой части}~$o$
\en{on the boundary surface}\ru{на граничной поверхности}.


${\variation{\internalwork}\hspace{-0.2ex}}$ \en{is}\ru{есть}
\en{the work of internal forces density}\ru{работа внутренних сил}
\en{per volume unit}\ru{на~единицу объёма}

\en{As before}\ru{По\hbox{-}прежнему},
\en{we suppose that}\ru{мы полагаем, что}
${\variation{\internalwork}\hspace{-0.2ex}}$
\en{nullifies}\ru{обнуляется}\ru{,}
\en{when the~body moves}\ru{когда тело движется}
\en{as a~rigid whole without deformation}\ru{как жёсткое целое без деформации}:

\nopagebreak\vspace{-0.1em}
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\variation{\fieldofdisplacements} = \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.12ex} \locationvector + \boldconstant \hspace{.1ex} ,
\:\,
\variation{\fieldofrotations} = \boldconstant
\hspace{.64ex}\Rightarrow\hspace{.5ex}
\variation{\internalwork} \hspace{-0.2ex} = 0 \hspace{.1ex},
\\[.25em]
%
\boldnabla \variation{\fieldofdisplacements}
= \hspace{-0.25ex} \boldnabla \variation{\fieldofrotations}
\hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \locationvector
- \hspace{-0.25ex} \boldnabla \locationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \variation{\fieldofrotations}
= - \UnitDyad \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \variation{\fieldofrotations}
= - \hspace{.2ex} \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\:\,
\boldnabla \variation{\fieldofrotations} = \zerobivalent \hspace{.1ex} .
\end{array}
\end{equation*}

\vspace{-0.1em}
\en{Introducing}\ru{Вводя}
\en{the deformation (strain) tensors}\ru{тензоры деформации}\:---
\en{the tensor}\ru{тензор}
\en{of the relative displacement between particles}\ru{тензор относительного смещения между частицами}~$\distortiontensor$
( \en{the distortion tensor}\ru{тензор дисторции}\textcolor{magenta}{,
\en{the distortion}\ru{дисторция}
\en{is}\ru{это}
\en{the relative}\ru{относительное}
\en{displacement between particles}\ru{смещение между частицами}
} )
\en{and}\ru{и}~\en{the curvature-twist tensor}\ru{тензор искривления-скручивания}~$\wrynesstensor$
(\en{it also has other names}\ru{у~него есть и~другие имена}:
\ru{the curvature-twist tensor}\ru{,} the torsion-flexure tensor, or the wryness tensor)

\nopagebreak\vspace{-0.1em}
\begin{equation}\label{deformationtensors:micropolarcontinuum}
\begin{array}{rl}
\distortiontensor \hspace{.16ex} \equiv \boldnabla \fieldofdisplacements \hspace{.1ex} + \fieldofrotations \hspace{-0.12ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.1ex} , &
\wrynesstensor \hspace{.16ex} \equiv \boldnabla \fieldofrotations
\hspace{.1ex} ,
\end{array}
\end{equation}
%
\nopagebreak\vspace{-0.85em}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.16ex}
= \boldnabla \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.1ex} \fieldofdisplacements \hspace{.12ex} - \hspace{.12ex} 2 \hspace{.16ex} \fieldofrotations \hspace{.1ex}
, &
\wrynesstensor_{\hspace{.1ex}\Xcompanion} \hspace{-0.16ex}
= \boldnabla \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.1ex} \fieldofrotations \hspace{.1ex} ,
\\[.3em]
%
\variation{\distortiontensor}
= \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofdisplacements} \hspace{.1ex}
+ \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.1ex}
, &
\variation{\wrynesstensor} = \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofrotations} \hspace{.1ex} ,
\end{array}
\end{equation*}

\vspace{-0.6em}\noindent
\en{with }\ru{с~}\en{the~needed absence}\ru{нужным отсутствием}
\en{of any virtual deformations}\ru{любых виртуальных деформаций}
${\variation{\distortiontensor} = \hspace{-0.1ex} \zerobivalent}$ \en{and }\ru{и~}${\variation{\wrynesstensor} = \hspace{-0.1ex} \zerobivalent}$.

\en{Before}\ru{Прежде}
\en{in}\ru{в}~\chapterdotsectionref{chapter:nonlinearcontinuum}{section:stressesAsLagrangeMultipliers}\en{,}
\en{stresses}\ru{напряжения}
\en{appeared}\ru{возникли}
\en{as}\ru{как}
\ru{множители }Lagrange’\en{s}\ru{а}\en{ multipliers}
\en{in the~principle of~virtual work}\ru{в~принципе виртуальной работы},
\textcolor{magenta}{\en{when}\ru{когда}}
\en{variation}\ru{вариация}
\en{of the~internal work}\ru{внутренней работы}
${\mathcolor{magenta}{\variation{\internalwork} \hspace{-0.2ex} = 0}}$.
\en{The~same for}\ru{Так~же и~для}
\en{the~micropolar continuum}\ru{микрополярного \rucontinuum{}а}\::

\nopagebreak\vspace{-0.3em}
\begin{multline}\label{virtualworkprinciple.1:micropolarcontinuum}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} \bm{f} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
+ \bm{m} \dotp \variation{\fieldofrotations}
- \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.4ex}
- \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.05ex} \right) \hspace{-0.32ex} d\mathcal{V} \hspace{.5ex} + \\[-1.1em]
%
+ \integral\displaylimits_o \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} \bm{p} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
+ \mathboldM \hspace{-0.1ex} \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.3ex} do \hspace{.1ex}
= \hspace{.1ex} 0
\hspace{.1ex} .
\end{multline}

\vspace{-0.2em}\noindent
\ru{Множители }Lagrange’\en{s}\ru{а}\en{ multipliers}
\en{at each point}\ru{в~каждой точке}\en{ are}\ru{\:---}
\en{non\hbox{-}symmetric}\ru{несимметричные}
\en{tensors}\ru{тензоры}
\en{of the~second complexity}\ru{второй сложности},
$\forcestresstensor$
\en{and}\ru{и}~$\couplestresstensor$.

\en{Transforming}\ru{Преобразуя}
${- \hspace{.2ex} \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T}}$
\en{and}\ru{и}~${- \hspace{.2ex} \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T}}$

\nopagebreak\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.32ex}
= \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofdisplacements}^{\hspace{-0.05ex}\T} \hspace{-0.3ex}
- \hspace{.1ex} \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.1ex}
, &
\variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.32ex} = \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofrotations}^{\T} \hspace{-0.25ex} ,
\\[.25em]
%
- \hspace{.2ex} \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.32ex}
= - \hspace{.2ex} \forcestresstensor \dotdotp \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofdisplacements}^{\hspace{-0.05ex}\T} \hspace{-0.3ex}
+ \forcestresstensor \dotdotp \hspace{-0.32ex} \left( \hspace{.12ex} \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.12ex} \right) \hspace{-0.25ex}
, &
- \hspace{.2ex} \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.32ex}
= - \hspace{.2ex} \couplestresstensor \dotdotp \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofrotations}^{\T} \hspace{-0.25ex} .
\end{array}
\end{equation*}

\noindent
\en{From}\ru{Из}

\nopagebreak\vspace{-1em}\begin{equation*}
\eqrefwithchapterdotsection{pseudovectorinvariant}{chapter:mathapparatus}{section:tensors.symmetric+skewsymmetric}
\:\Rightarrow\,
\bm{A}_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} = - \hspace{.1ex} \bm{A} \dotdotp \permutationsparitytensor
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}

\nopagebreak\vspace{-0.5em}\begin{multline*}
\bm{A} \dotdotp \hspace{-0.25ex} \left( \hspace{.1ex} \bm{b} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.1ex} \right)
= \bm{A} \dotdotp \hspace{-0.32ex} \left( \hspace{.1ex} \UnitDyad \hspace{-0.12ex} \times \bm{b} \hspace{.1ex} \right)
= \bm{A} \dotdotp \hspace{-0.32ex} \left( \hspace{-0.1ex} - \hspace{.2ex} \permutationsparitytensor \dotp \bm{b} \hspace{.1ex} \right) =
\\[-0.2em]
%
\hspace*{\fill} = \left( \hspace{-0.1ex} - \hspace{.1ex} \bm{A} \dotdotp \permutationsparitytensor \hspace{.1ex} \right) \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{.1ex} \bm{b}
\hspace{.12ex} = \bm{A}_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \bm{b}
\hspace{.64ex} \Rightarrow
\end{multline*}

\nopagebreak\vspace{-0.4em}\begin{equation*}
\Rightarrow \hspace{.64ex}
\forcestresstensor \dotdotp \hspace{-0.25ex} \left( \hspace{.12ex} \variation{\fieldofrotations} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad \hspace{.12ex} \right)
= \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \variation{\fieldofrotations}
\end{equation*}

\vspace{-0.8em}\noindent
\en{and}\ru{и}
\en{the~}\inquotes{product rule}

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}\begin{array}{c}
\boldnabla \dotp \left( \hspace{.1ex} \forcestresstensor \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \right)
= \left( \hspace{.12ex} \boldnabla \dotp \forcestresstensor \hspace{.12ex} \right) \hspace{-0.16ex} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
+ \forcestresstensor \dotdotp \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofdisplacements}^{\hspace{-0.05ex}\T} \hspace{-0.3ex} ,
\\[.25em]
%
\boldnabla \dotp \left( \hspace{.1ex} \couplestresstensor \dotp \variation{\fieldofrotations} \right)
= \left( \hspace{.12ex} \boldnabla \dotp \couplestresstensor \hspace{.12ex} \right) \hspace{-0.16ex} \dotp \variation{\fieldofrotations}
+ \couplestresstensor \dotdotp \hspace{-0.16ex} \boldnabla \variation{\fieldofrotations}^{\hspace{-0.05ex}\T} \hspace{-0.3ex} ,
\end{array}\end{equation*}

\vspace{-0.4em}\noindent
\en{follows}\ru{следует}

\nopagebreak\vspace{-0.4em}\begin{equation*}
\begin{array}{c}
- \hspace{.2ex} \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.32ex}
= \left( \hspace{.12ex} \boldnabla \dotp \forcestresstensor \hspace{.12ex} \right) \hspace{-0.16ex} \dotp \variation{\fieldofdisplacements}
- \hspace{-0.15ex} \boldnabla \dotp \left( \hspace{.1ex} \forcestresstensor \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \right) \hspace{.1ex}
+ \hspace{.1ex} \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \variation{\fieldofrotations} \hspace{.1ex} ,
\\[.25em]
%
- \hspace{.2ex} \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.32ex}
= \left( \hspace{.12ex} \boldnabla \dotp \couplestresstensor \hspace{.12ex} \right) \hspace{-0.16ex} \dotp \variation{\fieldofrotations}
- \hspace{-0.15ex} \boldnabla \dotp \left( \hspace{.1ex} \couplestresstensor \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.25ex} .
\end{array}
\end{equation*}

\vspace{-0.25em}\noindent
\en{Because}\ru{Поскольку}
${
  \bm{a} \dotp ( \hspace{.1ex} \somebivalenttensor \dotp \bm{c} \hspace{.2ex} )
  = ( \hspace{.2ex} \bm{a} \dotp \hspace{-0.1ex} \somebivalenttensor \hspace{.1ex} ) \hspace{-0.1ex} \dotp \bm{c}
  = \bm{a} \dotp \hspace{-0.12ex} \somebivalenttensor \dotp \bm{c} \hspace{.2ex}
}$,
\en{after integration}\ru{после интегрирования}
\en{by}\ru{по}
\en{the~divergence theorem}\ru{теореме о~дивергенции}

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\displaystyle
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \boldnabla \dotp \left( \forcestresstensor \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \right) \hspace{-0.1ex} d\mathcal{V}
=
\ointegral\displaylimits_{\mathclap{\tikzwidearc{o}\hspace{.1ex}(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.1ex} \bm{n} \dotp \forcestresstensor \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \hspace{.32ex} do
\hspace{.1ex} ,
\:\:
%
\displaystyle
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \boldnabla \dotp \left( \hspace{.1ex} \couplestresstensor \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.1ex} d\mathcal{V}
=
\ointegral\displaylimits_{\mathclap{\tikzwidearc{o}\hspace{.1ex}(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.1ex} \bm{n} \dotp \couplestresstensor \dotp \variation{\fieldofrotations} \hspace{.32ex} do
%%\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}

\vspace{-0.25em}\noindent
\eqref{virtualworkprinciple.1:micropolarcontinuum}
\en{turns into}\ru{превращается в}

\nopagebreak\vspace{-0.33em}
\begin{multline*}\label{virtualworkprinciple.2:micropolarcontinuum}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} ( \hspace{.12ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \forcestresstensor + \bm{f} \hspace{.12ex} ) \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \hspace{.1ex}
+ ( \hspace{.12ex} \boldnabla \dotp \couplestresstensor \hspace{.1ex} + \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} + \bm{m} \hspace{.1ex} ) \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.32ex} d\mathcal{V} \hspace{0.5ex} + \\[-1.1em]
%
+ \integral\displaylimits_o \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} ( \hspace{.32ex} \bm{p} - \bm{n} \dotp \forcestresstensor \hspace{.2ex} ) \dotp \variation{\fieldofdisplacements} \hspace{.1ex}
+ ( \hspace{.1ex} \mathboldM - \bm{n} \dotp \couplestresstensor \hspace{.1ex} ) \dotp \variation{\fieldofrotations} \right) \hspace{-0.32ex} do \hspace{.12ex} = \hspace{.1ex} 0 \hspace{.1ex}.
\end{multline*}

\en{From the~randomness}\ru{Из случайности}
\en{of~variations}\ru{вариаций}~$\variation{\fieldofdisplacements}$
\en{and}\ru{и}~$\variation{\fieldofrotations}$
\en{inside a~volume}\ru{в~объёме}
\en{ensues}\ru{вытекает}
\en{the~balance}\ru{баланс}
\en{of~forces}\ru{сил}
\en{and}\ru{и}~\en{moments}\ru{моментов}

\nopagebreak\vspace{-0.15em}\begin{equation}\label{micropolar.equilibrium:cauchy-like}
\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \forcestresstensor + \bm{f} \hspace{.12ex} = \hspace{.1ex} \zerovector
\hspace{.1ex} ,
\:\;
\boldnabla \dotp \couplestresstensor \hspace{.1ex} + \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} + \bm{m} \hspace{.1ex} = \hspace{.1ex} \zerovector
\hspace{.1ex} ,
\end{equation}

\vspace{-0.2em}\noindent
\en{and }\ru{а~}\en{the~randomness}\ru{случайность}
\en{of a~surface}\ru{поверхности}
\en{gives}\ru{даёт}
\en{boundary conditions}\ru{краевые условия}

\nopagebreak\vspace{-0.15em}\begin{equation}\label{micropolar.equilibrium:boundaryconditions}
\bm{n} \dotp \forcestresstensor = \bm{p} \hspace{.1ex} ,
\:\;
\bm{n} \dotp \couplestresstensor = \mathboldM \hspace{.1ex} .
\end{equation}

\vspace{-0.1em}
\en{The~force stress tensor}\ru{Тензор силового напряжения}~$\forcestresstensor$
\en{satisfies}\ru{удовлетворяет}
\en{the~same}\ru{тем~же}
\en{differential}\ru{дифференциальным}
\inquotes{\en{equilibrium equations}\ru{уравнениям равновесия}}\footnote{%
\en{In quotes}\ru{В~кавычках},
\en{because}\ru{потому что}
\emph{\loosetexttr[33]{\en{equilibrium equations}\ru{уравнения равновесия}}}
\en{are}\ru{это}
\en{quite \emph{everything} that}\ru{вообще всё, что}
\en{ensues}\ru{вытекает}
\en{from}\ru{из}
\en{the~principle of~virtual work}\ru{принципа виртуальной работы}
\en{in statics}\ru{в~статике}.%
}\hspace{-0.25ex}
\en{and }\ru{и~}\en{the~same}\ru{тем~же}
\en{boundary conditions}\ru{краевым условиям},
\en{as for}\ru{как~и для}
\en{the~momentless}\ru{безмоментного}
\en{continuum}\ru{\rucontinuum{}а}.
\en{But tensor}\ru{Но~тензор}~$\forcestresstensor$
\en{is yet non-symmetric}\ru{уж\'{е} несимметричен}\::
\en{instead of}\ru{вместо}
${\forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.2ex} = \zerovector}$
\en{here is}\ru{тут}
${\hspace{-0.1ex} \boldnabla \dotp \couplestresstensor \hspace{.1ex} + \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} + \bm{m} \hspace{.1ex} = \zerovector}$\:---
\ru{появляются }\en{the~couple stresses}\ru{моментные напряжения}~$\couplestresstensor$\en{ appear},
\en{and}\ru{и}
\en{the~volume}\ru{объёмная}
\en{moment load}\ru{моментная нагрузка}~$\bm{m}$
\ru{не~нулевая}\en{is not zero}.

\en{The~meaning}\ru{Смысл}
\en{of~components}\ru{компонент}
\en{of the~couple stress tensor}\ru{тензора моментного напряжения}~$\couplestresstensor$
\en{is similar to}\ru{похож на}
\en{the~meaning}\ru{смысл}
\en{of~components}\ru{для компонент}
\en{of the~force stress tensor}\ru{тензора силового напряжения}~$\forcestresstensor$.
\en{For}\ru{Для}
\en{an~orthonormal basis}\ru{ортонормального базиса},
\en{moment}\ru{момент} ${\bm{M}_i \hspace{-0.1ex} = \bm{e}_i \hspace{-0.1ex} \dotp \couplestresstensor = \mu_{ik} \bm{e}_k}$
\en{acts}\ru{действует}
\en{on an~area}\ru{на~площ\'{а}дке}
\en{with the~normal vector}\ru{c~вектором нормали}~$\bm{e}_i$.
\en{The~diagonal}\ru{Диагональные}
\en{components}\ru{компоненты}~$\mu_{11}$, $\mu_{22}$, $\mu_{33}$
\en{are the~twisting moments}\ru{это крутящие моменты}\ru{,}
\en{and }\ru{а~}\en{the~nondiagonal}\ru{недиагональные}\en{ are}\ru{\:---}
\en{the~bending ones}\ru{изгибающие} (?? \figurename ??).

...

\en{eccentricity vector}\ru{вектор эксцентриситета}~$\mathboldoe$
\en{and}\ru{и}
\en{inertia tensor}\ru{тензор инерции}~${\inertiatensor}$

\en{For an~isotropic medium}\ru{Для изотропной среды}
${\mathboldoe = \zerovector}$, ${\inertiatensor = \inertiascalar \UnitDyad}$.

...



\en{\section{Relations of elasticity}}

\ru{\section{Отношения упругости}}

\en{In this book}\ru{В~этой книге},
\en{if something}\ru{если что\hbox{-}то}
\en{is }\inquotes{\en{elastic}\ru{упругое}},
\en{then this}\ru{то это}
\en{implies}\ru{подразумевает}
\en{the~potentiality}\ru{потенциальность}
\en{of internal forces}\ru{внутренних сил}\::
${\variation{\internalwork} = - \hspace{.16ex} \variation{\potentialenergydensity}}$,
\en{where}\ru{где}~$\potentialenergydensity$\en{ is}\ru{\:---}
\en{the~energy}\ru{энергия}
\en{of~deformation}\ru{деформации}
\en{per volume unit}\ru{на~единицу объёма}
(\en{continuing to~model}\ru{продолжая моделировать}
\en{a~geometrically linear material}\ru{геометрически линейный материал},
${\mathcal{V} \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} \mathcircabove{\mathcal{V}}\hspace{.12ex}}$).

\en{Having relations}\ru{Имея (со)отношения}
(...)

...

\begin{multline}\label{micropolar.constitutiveequations}
\hspace*{4em}
\variation{\potentialenergydensity} = - \hspace{.25ex} \variation{\internalwork} \hspace{-0.15ex}
= \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.25ex}
+ \hspace{.1ex} \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T}
\hspace{.6ex} \Rightarrow
\\[-0.1em]
%
\Rightarrow \hspace{.88ex}
\forcestresstensor = \scalebox{.92}{$ \displaystyle
   \frac{\raisemath{-0.125em}{\partial\hspace{.1ex} \potentialenergydensity^{\mathstrut}}}{\partial \distortiontensor}
$} \hspace{.15ex} ,
\hspace{.8ex}
\couplestresstensor = \scalebox{.92}{$ \displaystyle
   \frac{\raisemath{-0.125em}{\partial\hspace{.1ex} \potentialenergydensity^{\mathstrut}}}{\partial \wrynesstensor}
$} \hspace{.2ex} .
\hspace*{3.33em}
\end{multline}

\en{And yep}\ru{И~да},
\en{the~last equalities}\ru{последние равенства}
\en{are}\ru{это}
\en{the~relations of~elasticity}\ru{отношения упругости}
(\en{or}\ru{или},
\en{in other words}\ru{другими словами},---
\ru{определяющие уравнения, }\en{the~}constitutive equations).

\en{Decomposing}\ru{Разлагая}
\en{the strain~(deformation) and stress tensors}\ru{тензоры деформации и~напряжения}
\en{into}\ru{на}
\en{the~symmetric}\ru{симметричные}
\en{and }\ru{и~}\en{the~antisymmetric}\ru{антисимметричные}
\en{parts}\ru{части}

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\distortiontensor = \distortiontensor^{\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.32ex} \distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\:\:
%
\wrynesstensor \hspace{.1ex} = \wrynesstensor^{\hspace{.12ex}\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.32ex} \wrynesstensor_{\hspace{.15ex}\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\\[.6em]
%
\variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.33ex} = \hspace{.1ex} \variation{\distortiontensor}^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} + \hspace{.2ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.32ex} \variation{\distortiontensor}_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\:\:
%
\variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.33ex} = \hspace{.1ex} \variation{\wrynesstensor}^{\hspace{.12ex}\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} + \hspace{.2ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.32ex} \variation{\wrynesstensor}_{\hspace{.15ex}\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\\[.6em]
%
\forcestresstensor = \forcestresstensor^{\hspace{.32ex}\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.2ex} \forcestresstensor_{\hspace{-0.1ex}\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\;\:
%
\couplestresstensor = \couplestresstensor^{\mathsf{S}} \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.32ex} \couplestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex} \times \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\end{array}
\end{equation*}

\noindent
\en{the expression}\ru{выражение}
${\variation{\potentialenergydensity} = \forcestresstensor \dotdotp \variation{\distortiontensor}^{\T} \hspace{-0.3ex}
+ \couplestresstensor \dotdotp \variation{\wrynesstensor}^{\T} \hspace{-0.25ex}}$
\en{changes into}\ru{изменяется до}

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}
\variation{\potentialenergydensity} = \ldots
\end{equation}

...

\begin{equation*}
\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.16ex}
= \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.1ex} \fieldofdisplacements \hspace{.12ex} - \hspace{.12ex} 2 \hspace{.16ex} \fieldofrotations
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}

\begin{equation*}
\wrynesstensor_{\hspace{.15ex}\Xcompanion} \hspace{-0.16ex}
= \boldnabla \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.1ex} \fieldofrotations
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}

\begin{equation*}
\infinitesimaldeformation \equiv \distortiontensor^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}}
\hspace{-0.3ex} = \hspace{-0.2ex}
\boldnabla {\fieldofdisplacements}^{\hspace{.1ex}\mathsf{S}}
\hspace{-0.25ex} , \:\:
\end{equation*}

...

{\small%
The classical isotropic linear elastic material behavior is described by two material parameters, for example, the Young’s modulus and the Poisson’s ratio, while the isotropic Cosserat continuum needs six material parameters

even when assumed to be linear, homogeneous and isotropic, it requires six independent material constants, in contrast to only two such constants for the classical continuum
\par}

...


\en{Relations}\ru{Соотношения}~\eqref{micropolar.constitutiveequations}
\en{are inverted}\ru{обращаются}
\en{by a~}\ru{преобразованием }Legendre\ru{’а}\en{ transformation}

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
\begin{array}{c}
\distortiontensor = \scalebox{.92}{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.125em}{\partial\hspace{.1ex} \complementaryenergydensity^{\mathstrut}}}{\partial \forcestresstensor}$}
\hspace{.15ex} ,
\hspace{.8ex}
\wrynesstensor = \scalebox{.92}{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.125em}{\partial\hspace{.1ex} \complementaryenergydensity^{\mathstrut}}}{\partial \couplestresstensor}$}
\hspace{.2ex} ,
\\[.8em]
%
\complementaryenergydensity(\hspace{-0.1ex} \forcestresstensor, \couplestresstensor \hspace{.12ex}) \hspace{-0.12ex}
= \forcestresstensor \dotdotp \distortiontensor^{\T} \hspace{-0.25ex}
+ \hspace{.1ex} \couplestresstensor \dotdotp \wrynesstensor^{\T} \hspace{-0.25ex}
- \hspace{.1ex} \potentialenergydensity (\distortiontensor , \wrynesstensor \hspace{.1ex})
\hspace{.1ex} .
\end{array}
\end{equation}

...

material’s intrinsic (internal) length scale $\elcursive$

\begin{otherlanguage}{russian}

Если устремить $\elcursive$ к~нулю,
то исчезает вклад $\wrynesstensor$ в~$\potentialenergydensity$,
а~с~ним и моментные напряжения~$\couplestresstensor$.
Когда вдобавок нет объёмной моментной нагрузки~$\bm{m}$,
тогда тензор~${\hspace{-0.1ex}\forcestresstensor}$ становится симметричным:
${\boldnabla \dotp {\color{black!66}{\couplestresstensor}} \hspace{.1ex}
+ \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.1ex}
+ {\color{black!66}{\bm{m}}} \hspace{.1ex}
= \zerovector}$,
${{\color{black!66}{\couplestresstensor}} = \hspace{-0.15ex} \zerobivalent}$,
${{\color{black!66}{\bm{m}}} = \zerovector \,\Rightarrow \hspace{.1ex} \forcestresstensor_{\Xcompanion} \hspace{-0.2ex} = \zerovector}$,
и модель превращается в~классическую безмоментную.

\end{otherlanguage}

\en{Yet using of}\ru{Использование~же}
\en{the~micropolar model}\ru{микрополярной модели}
\en{is natural}\ru{естественно}
\en{for a~case}\ru{для случая}\ru{,}
\en{when}\ru{когда}
\en{the~real material}\ru{реальный материал}
\en{has a~certain smallest volume}\ru{имеет некий наименьший объём}\ru{,}
\inquotesx{\en{which is impossible to penetrate}\ru{в~который невозможно проникнуть}}[.]
\en{And}\ru{И}~\en{such a~situation}\ru{такая ситуация}
\en{occurs}\ru{возникает}
\ru{весьма часто}\en{quite often}\::
\en{for}\ru{для}
\en{composites}\ru{композитов}
\en{with a}\ru{с}~\inquotes{\en{representative}\ru{представительным}}
\en{volume}\ru{объёмом},
\en{for}\ru{для}
\en{polycrystalline materials}\ru{поликристаллических материалов},
\en{for}\ru{для}
\en{polymers}\ru{полимеров}
\en{with}\ru{с}~\en{large molecules}\ru{большими молекулами}~(\en{macro\-molecules}\ru{макро\-молекулами}).

\en{\section{Compatibility equations}}

\ru{\section{Уравнения совместности}}

\label{section:compatibilityequations.cosseratcontinuum}

\en{Having}\ru{Имея}
\en{the~identity}\ru{тождество}
${\boldnabla \hspace{-0.33ex} \times \hspace{-0.5ex} \boldnabla \bm{a} \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.2ex} \zerobivalent \hspace{.6em} \forall \bm{a}}$
\en{and }\ru{и~}\en{the~definitions}\ru{определения}
\en{for}\ru{для}
\en{the~deformation ten\-sors}\ru{тензоров деформации}~\eqref{deformationtensors:micropolarcontinuum}

\nopagebreak\vspace{-0.8em}\begin{equation}
\begin{array}{r@{\hspace{1ex}}c@{\hspace{1ex}}l}
\wrynesstensor \hspace{.16ex} \equiv \boldnabla \fieldofrotations
& \hspace{.1ex} \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \wrynesstensor \hspace{.1ex} = \zerobivalent
\hspace{.1ex} ,
\\[.3em]
%
\distortiontensor \hspace{.1ex} - \hspace{.1ex} \fieldofrotations \hspace{-0.12ex} \times \hspace{-0.25ex} \UnitDyad \hspace{.12ex} = \hspace{-0.1ex} \boldnabla \fieldofdisplacements \hspace{.1ex}
& \hspace{.1ex} \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.2ex} \bigl(
\distortiontensor \hspace{.1ex} - \hspace{.1ex} \fieldofrotations \hspace{-0.12ex} \times \hspace{-0.25ex} \UnitDyad \hspace{.12ex}
\bigr) \hspace{-0.22ex}
= \zerobivalent
\hspace{.8ex} ...
\end{array}
\end{equation}

....


\en{\section{Theorems of statics}}

\ru{\section{Теоремы статики}}

\en{Theorems}\ru{Теоремы}
\en{of~statics}\ru{статики}
\en{for}\ru{для}
\en{linear conservative systems}\ru{линейных консервативных систем},
\en{easily derivable}\ru{легко выводимые}
\en{for}\ru{для}
\en{a~finite number}\ru{конечного числа}
\en{of~degrees o’freedom}\ru{степеней свободы}~(\chapterdotsectionref{chapter:classicalmechanics}{section:statics}),
\en{such as}\ru{такие как}
\en{the~minimality of~energy}\ru{минимальность энергии},
\en{the~uniqueness of the~solution}\ru{единственность решения},
\en{the}\ru{теорема} Clapeyron’\en{s}\ru{а}\en{ theorem},
\en{the reciprocal work theorem}\ru{теорема о~взаимности работ},
\en{are equitable}\ru{справедливы}
\eqrefwithchapterdotsection{kirchhoff:uniquenessforstatics}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:theoremsofstatics},
\eqrefwithchapterdotsection{clapeyron:elasticitytheorem}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:theoremsofstatics},
\eqrefwithchapterdotsection{betti:reciprocalworktheorem}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:theoremsofstatics}
\ru{также и~}\en{for}\ru{для}
\en{infinity}\ru{бесконечности}
\en{degrees o’freedom}\ru{степеней свободы}\en{ as well},
\en{that is}\ru{то есть}
\en{for}\ru{для}
\en{any}\ru{любого}
\en{linear}\ru{линейного}
\en{elastic}\ru{упругого}
\en{continuum}\ru{\rucontinuum{}а},
\en{including}\ru{включая}
\en{the~micropolar model}\ru{микрополярную модель}
(\en{a~medium with force couples}\ru{среду с~парами сил}
\en{or}\ru{или}
\en{moments}\ru{моментами}).

...


\en{\section{The Cosserat pseudocontinuum}}

\ru{\section{Псевдо\rucontinuum{} Cosserat}}

\label{section:caseoflatenttrihedron.smalldisplacementsandrotations}

\en{Besides}\ru{Помимо}
\en{the~model with free rotation}\ru{модели со~свободным вращением}
(\inquotes{\en{the~truly micropolar continuum}\ru{истинно микрополярного \rucontinuum{}а}}),
\en{there is}\ru{существует}
\en{the~simplified model}\ru{упрощённая модель}
\en{of a~medium with the force couples}\ru{среды с~парами сил},
\en{in which}\ru{в~которой}
\en{rotations}\ru{повороты}
\en{are expressed}\ru{выражаются}
\en{via displacements}\ru{через смещения},
\en{like}\ru{как}
\en{for}\ru{для}
\en{the~}\en{linear momentless}\ru{линейного безмоментного}
(\inquotes{\en{classical}\ru{классического}})
\en{continuum}\ru{\rucontinuum{}а}~\eqrefwithchapterdotsection{lineartheory:displacementgradientdecomposed}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:displacementsfromdeformations}

\nopagebreak\vspace{-0.15em}\begin{equation}
\label{pseudocontinuum.rotationsviadisplacements}
\fieldofrotations = \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.2ex} \boldnabla \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.1ex} \fieldofdisplacements
\hspace{.6ex}\Leftrightarrow\hspace{.6ex}
\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.32ex} = \zerovector
\hspace{.6ex}\Leftrightarrow\hspace{.6ex}
\distortiontensor = \infinitesimaldeformation = \hspace{-0.12ex} \boldnabla {\fieldofdisplacements}^{\hspace{.1ex}\mathsf{S}}
%%\hspace{-0.25ex} .
\end{equation}

\vspace{-0.2em}\noindent
--- \en{the~model}\ru{модель}
\en{with }\ru{со~стеснённым вращением (}constrained rotation\ru{)}\footnote{%
\ru{Братья }Cosserat\en{ brothers}
\en{named it}\ru{именовали это}
\emph{cas de trièdre caché}
(\ru{случай скрытого трёхгранника, }case of latent trihedron).%
}\hspace{-0.5em}.

\en{The~symmetry of}\ru{Симметрия}~$\distortiontensor$
(${\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.32ex} = \zerovector}$)
\en{can be}\ru{может быть}
\en{thought of as}\ru{м\'{ы}слима как}
\en{an~internal constraint}\ru{внутренняя связь}~(\chapterdotsectionref{chapter:nonlinearcontinuum}{section:internalconstraints}).
\en{Here}\ru{Тут}
${\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion}}$
\en{disappears}\ru{исчезает}
\en{from}\ru{из}
\en{the~energy}\ru{энергии}~$\potentialenergydensity$,
\en{and }\ru{а~}\en{a~relation of~elasticity}\ru{отношение упругости}
\en{for}\ru{для}~${\forcestresstensor_{\hspace{-0.1ex}\Xcompanion}}$
\en{cannot be written}\ru{не~может быть написано}.
\en{That place}\ru{То место}
\en{in the~complete set of~equations}\ru{в~полном наборе уравнений}
\en{is taken}\ru{занимает}
\en{by the~equation of a~constraint}\ru{уравнение связи}.

\en{For the~classical}\ru{Для классической}
(\en{linear momentless}\ru{линейной безмоментной})
\en{model}\ru{модели},
\en{the~complete}\ru{полный}
\en{set}\ru{набор}~(\en{system}\ru{система})
\en{may be}\ru{может быть}
\en{presented as}\ru{представлен как}
\en{the~just one}\ru{всего к~одному}
\en{equation}\ru{уравнению}
\en{for}\ru{для}
\en{the~vector}\ru{вектора}~$\fieldofdisplacements$~\eqrefwithchapterdotsection{lineartheory:equationsindisplacements}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:equationsindisplacements.linearelasticity}.
\en{The~model}\ru{Модель}
\en{with }\ru{с~}\en{moments}\ru{моментами}
\en{and}\ru{и}
\en{free rotation}\ru{свободным вращением}
\en{may be}\ru{может быть}
\en{described}\ru{описана}
\en{by the~two}\ru{двумя}
\en{vector equations}\ru{векторными уравнениями}
\en{for}\ru{для}~$\fieldofdisplacements$
\en{and}\ru{и}~$\fieldofrotations$.
\en{And for}\ru{А~для}
\en{the~model}\ru{модели}
\en{with constrained rotation}\ru{со~стеснённым вращением}
\en{it’s again}\ru{это опять}
\en{the~single}\ru{одно}
\en{equation}\ru{уравнение}
\en{for}\ru{для}~$\fieldofdisplacements$.

.....



\en{\section{Plane deformation}}

\ru{\section{Плоская деформация}}

\label{section:planedeformation.cosseratcontinuum}

\begin{otherlanguage}{russian}

Все переменные в~этой постановке проблемы не~зависят от декартовой координаты~${z \equiv x_3}$
(единичный вектор оси ${\bm{k} \equiv \bm{e}_z \equiv \bm{e}_3}$).
Смещения и~силы перпендикулярны оси~$z$, а~повороты и~моменты\:--- параллельны ей:

...


Это краткое изложение плоской задачи относится к~модели с~независимыми поворотами.
Псевдо\rucontinuum Cosserat (модель \inquotes{со~стеснённым вращением}) получается
либо наложением внутренней связи~${\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.32ex} = \zerovector}$,
либо предельным переходом ...

Подробнее о~плоской моментной задаче написано в~книгах Н.\,Ф.\;Морозова~\cite{morozov-twodimensionalproblems, morozov-fractures}.

\end{otherlanguage}

\en{\section{Nonlinear theory}}

\ru{\section{Нелинейная теория}}

\label{section:nonlinear.micropolar}

\begin{otherlanguage}{russian}

Кажущееся на~первый взгляд чрезвычайно трудным, построение теории конечных деформаций \rucontinuum{}а Cosserat становится прозрачным, если опираться на общую механику, тензорное исчисление и~нелинейную теорию безмоментной среды.

Построение модели
упругого \rucontinuum{}а
проходит
обычно
четыре этапа:
\begin{itemize}
\item определение степеней свободы частиц,
\item выявление нагрузок~(\inquotesx{силовых факторов}[,] напряжений) и~условий их баланса,
\item подбор соответствующих мер деформации
\\
\hspace*{-\listlabelwithsep}и, наконец,
\item вывод соотношений упругости между напряжениями и~деформациями.
\end{itemize}

\vspace{-0.16em}\noindent
Этот путь очень сокращается, если опираться на принцип виртуальной работы.

Как и в~\chapterref{chapter:nonlinearcontinuum}, среда состоит из~частиц с~материальными координатами~$q^i$ и вектором\hbox{-}радиусом~${\currentlocationvector(q^i\hspace{-0.4ex}, t)}$.
В~начальной~(исходной, отсчётной) конфигурации ${\currentlocationvector(q^i\hspace{-0.4ex}, 0) \hspace{-0.12ex} \equiv \hspace{.12ex} \initiallocationvector(q^i)}$.
Но кроме трансляции, частицы имеют независимые степени свободы поворота, описываемого ортогональным тензором

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\rotationtensor(q^i\hspace{-0.4ex}, t) \hspace{-0.1ex}
\equiv
\bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{.16ex} \mathcircabove{\bm{a}}^j \hspace{-0.32ex}
= \hspace{-0.1ex} \bm{a}^j \hspace{-0.12ex} \mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.25ex}
= \hspace{-0.1ex} \rotationtensor^{\hspace{-0.1ex}\expminusT}
\hspace{-0.5ex} ,
\end{equation*}

\vspace{-0.1em} \noindent где тройка векторов~${\bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j}(q^i\hspace{-0.4ex}, t)}$ жёстко связана с~каждой частицей, показывая угловую ориентацию относительно как\hbox{-}либо выбираемых\footnote{%
Один из вариантов: ${\mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.4ex} = \initiallocationvector_{\hspace{-0.2ex}j} \hspace{-0.1ex} \equiv \partial_j \currentlocationvector}$.
Другое предложение: ${\mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.2ex}}$ это ортонормальная тройка собственных векторов тензора инерции частицы. %% (но как обосновать такой выбор в~статике?)
Вообще, ${\mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.2ex}}$ могут быть любой тройкой линейно-независимых векторов.
}\hspace{-0.2ex}
векторов
${\mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j}(q^i) \hspace{-0.1ex} \equiv \bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j}(q^i\hspace{-0.4ex}, 0)}$,
${\bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.2ex} = \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.2ex} \mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j}}$;
${\bm{a}^j\hspace{-0.2ex}}$\:--- тройка взаимных векторов:
${\bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j} \bm{a}^j \hspace{-0.25ex}
= \hspace{-0.15ex} \bm{a}^j \hspace{-0.2ex} \bm{a}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.25ex}
= \hspace{-0.2ex} \UnitDyad}$
(${t\!=\!0}$, ${\mathcircabove{\bm{a}}^j}$: ${\mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \mathcircabove{\bm{a}}^j \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.15ex} \mathcircabove{\bm{a}}^j \mathcircabove{\bm{a}}_{\hspace{-0.12ex}j} \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.2ex} \UnitDyad}$).
Движение среды полностью определяется функциями ${\currentlocationvector(q^i\hspace{-0.4ex}, t)}$ \en{and}\ru{и}~${\rotationtensor(q^i\hspace{-0.4ex}, t)}$.

Имея представления ${\initiallocationvector(q^i)}$ и~${\currentlocationvector(q^i\hspace{-0.4ex}, t)}$,
вводим базис~${\currentlocationvector_i \equiv \partial_i \currentlocationvector}\hspace{-0.2ex}$,
взаимный базис~${\currentlocationvector^i}$: ${\currentlocationvector_{\hspace{-0.2ex}j} \hspace{-0.2ex} \dotp \currentlocationvector^i \hspace{-0.25ex} = \delta^{\hspace{.1ex}i}_{\hspace{-0.2ex}j}}$,
\en{differential operators}\ru{дифференциальные операторы}~$\boldnablacircled$ \en{and}\ru{и}~${\hspace{-0.16ex}\boldnabla}\hspace{-0.1ex}$,
а~также \en{motion gradient}\ru{градиент движения}~$\motiongradient$

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}
\boldnablacircled \equiv \initiallocationvector^{\hspace{.1ex}i} \partial_i
\hspace{.1ex} ,
\:\;
\boldnabla \equiv \currentlocationvector^i \partial_i
\hspace{.1ex} ,
\:\;
\boldnabla = \motiongradient^{\expminusT} \hspace{-0.32ex} \dotp \boldnablacircled
,
\:\;
\motiongradient \equiv \hspace{-0.16ex}
\boldnablacircled \currentlocationvector^{\T} \hspace{-0.5ex}
= \currentlocationvector_i \hspace{.2ex} \initiallocationvector^{\hspace{.1ex}i}
\hspace{-0.25ex} .
\end{equation}

Вариационное уравнение принципа виртуальной работы для \rucontinuum{}а с~нагрузками в~объёме и на~поверхности:

\nopagebreak\vspace{-0.3em}\begin{multline}
\hspace*{2em}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} \bigl( \bm{f} \dotp \variation{\currentlocationvector} + \bm{m} \dotp \littlerotationvector \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.1ex} + \hspace{.1ex} \variation{\internalwork} \hspace{.1ex} \right) \hspace{-0.3ex} d\mathcal{V}
\hspace{.5ex} + \\[-1.2em]
%
+ \integral\displaylimits_{\mathcal{O}} \hspace{-0.64ex} \left(^{\mathstrut} \bm{p} \dotp \variation{\currentlocationvector} + \mathboldM \hspace{-0.1ex} \dotp \littlerotationvector \right) \hspace{-0.3ex} d\mathcal{O} \hspace{.1ex}
= \hspace{.1ex} 0 \hspace{.1ex} .
\hspace*{2em}
\end{multline}

\vspace{-0.2em} \noindent \en{Here}\ru{Здесь}
$\rho$\ru{\:---}\en{~is} \en{mass density}\ru{плотность массы};
$\bm{f}$ \en{and}\ru{и}~$\bm{m}$\ru{\:---}\en{~are} \en{external}\ru{внешние} \en{force}\ru{сила} \en{and}\ru{и}~\en{moment}\ru{момент} \en{per mass unit}\ru{на~единицу массы};
$\bm{p}$ \en{and}\ru{и}~$\mathboldM$\:--- они~же \en{per surface unit}\ru{на~единицу поверхности};
${\variation{\internalwork}\hspace{-0.2ex}}$\:--- работа внутренних сил \en{per volume unit}\ru{на~единицу объёма} в~текущей конфигурации.
Вектор м\'{а}лого поворота~$\littlerotationvector$

\nopagebreak\vspace{-0.5em}\begin{multline*}
\scalebox{0.98}{$ \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \rotationtensor^{\T} \hspace{-0.2ex} = \UnitDyad
\:\Rightarrow\,
\variation{\hspace{.1ex}\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} \dotp \rotationtensor^{\T} \hspace{-0.2ex}
= - \hspace{.2ex} \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \variation{\hspace{.1ex}\rotationtensor}^{\T}
\Rightarrow $}
\\[-0.15em]
%
\scalebox{0.98}{$ \Rightarrow\,
\variation{\hspace{.1ex}\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} \dotp \rotationtensor^{\T} \hspace{-0.25ex}
= \hspace{.1ex} \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad
= \hspace{.1ex} \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \rotationtensor^{\T}
\Rightarrow\,
\variation{\hspace{.1ex}\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} = \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \rotationtensor , $}
\end{multline*}

\vspace{-0.4em}\begin{equation*}
\littlerotationvector = - \, \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.1ex}
\scalebox{1}{$ \left( \variation{\hspace{.1ex}\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} \dotp^{\mathstrut} \hspace{-0.1ex} \rotationtensor^{\T} \hspace{.1ex} \right)_{\hspace{-0.15em}\Xcompanion} $}
\end{equation*}

\vspace{-0.1em}
При движении среды как жёсткого целого нет деформаций, и~работа~$\variation{\internalwork}\hspace{-0.2ex}$ внутренних сил равна нулю:

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\variation{\currentlocationvector}
= \boldconstant \hspace{.1ex}
+ \hspace{.1ex} \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.12ex} \locationvector ,
\:\,
\littlerotationvector = \boldconstant
\hspace{.64ex}\Rightarrow\hspace{.5ex}
\variation{\internalwork} \hspace{-0.2ex}
= 0 \hspace{.1ex} ,
\\[.25em]
%
\boldnabla \littlerotationvector
= \zerobivalent
\hspace{.1ex} ,
\:\,
\boldnabla \variation{\currentlocationvector}
= \hspace{-0.25ex} \boldnabla \littlerotationvector %%\zerobivalent
\hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \locationvector
- \hspace{-0.25ex} \boldnabla \locationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \littlerotationvector
= - \UnitDyad \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \littlerotationvector
= - \hspace{.2ex} \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad
\hspace{.1ex} ,
\\[.25em]
%
\boldnabla \variation{\currentlocationvector}
+ \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \UnitDyad
= \zerobivalent
\hspace{.1ex} .
\end{array}
\end{equation*}

К~нагрузкам.
Несимметричные тензоры напряжения, силового~$\forcestresstensor$ и моментного~$\couplestresstensor$, введём как множители Lagrange’а:

\nopagebreak\vspace{-0.3em}\begin{multline}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.64ex}
\left(^{\mathstrut} \hspace{-0.1ex}
\rho \hspace{.2ex} \bigl(
\bm{f} \dotp \variation{\currentlocationvector}
+ \bm{m} \dotp \littlerotationvector
\hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
- \forcestresstensor \dotdotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \hspace{.16ex} \boldnabla \variation{\currentlocationvector} + \littlerotationvector \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.25ex} \UnitDyad \hspace{.2ex} \bigr)^{\hspace{-0.25ex}\T} \hspace{-0.5ex}
- \couplestresstensor \dotdotp \hspace{-0.16ex} \boldnabla \littlerotationvector^{\T}
\right) \hspace{-0.3ex} d\mathcal{V}
\hspace{.5ex} + \\[-1.2em]
%
+ \integral\displaylimits_{\mathcal{O}} \hspace{-0.64ex}
\left(^{\mathstrut}
\bm{p} \dotp \variation{\currentlocationvector}
+ \mathboldM \hspace{-0.1ex} \dotp \littlerotationvector
\right) \hspace{-0.3ex} d\mathcal{O} \hspace{.1ex}
= \hspace{.1ex} 0 \hspace{.1ex} .
\end{multline}

\textcolor{magenta}{После тех~же преобразований, что и~в~\sectionref{section:introtolinearmicropolar}, получаем}

...

Отсюда вытекают уравнения баланса сил и~моментов в~объёме и~краевые условия в~виде \textcolor{magenta}{формул типа Cauchy}.
Они по~существу те~же, что и в~линейной теории.

Найдём теперь тензоры деформации.
Их можно вводить по\hbox{-}разному, если требовать лишь одного\:--- нечувствительности к~движению среды как жёсткого целого.
Читатель найдёт не~один вариант таких тензоров.
Однако, вид тензоров деформации \inquotes{подсказывает} принцип виртуальной работы.

...



\end{otherlanguage}

\en{\section{Nonlinear model with constrained rotation}}

\ru{\section{Нелинейная модель со стеснённым вращением}}

\label{section:caseoflatenttrihedron.largedisplacementsandrotations}

\begin{otherlanguage}{russian}

Вспомним переход к~модели со~стеснённым вращением в~линейной теории~(\sectionref{section:caseoflatenttrihedron.smalldisplacementsandrotations}).
Разделились соотношения упругости для~симметричной части тензора силового напряжения ${\forcestresstensor^{\hspace{.32ex}\mathsf{S}}}\hspace{-0.2ex}$ и~кососимметричной его части~${\forcestresstensor_{\hspace{-0.1ex}\Xcompanion}}$.
Возникла внутренняя связь~${\distortiontensor_{\hspace{-0.25ex}\Xcompanion} \hspace{-0.32ex} = \zerovector}$

...




\end{otherlanguage}

\section*{\small \wordforbibliography}

\begin{changemargin}{\parindent}{0pt}
\fontsize{10}{12}\selectfont

\begin{otherlanguage}{russian}

Все работы по~моментной теории упругости упоминают книгу братьев Eugène et~François Cosserat~\cite{cosserat}, где~трёх\-мерной среде посвящена одна глава из~шести.
Переведённая монография \hbox{W\hspace{-0.2ex}.\:Nowacki}~\cite{nowacki-elasticity} была одной из первых книг на~русском языке с~изложением линейной моментной теории.
Ранее эта область представлялась статьями\:--- например, R.\,D.\:Mindlin’а и~H.\,F.\:Tiersten’а~\cite{mindlin.tiersten}.
Краткое изложение моментной теории, но с~подробным рассмотрением задач содержится в~книгах Н.\,Ф.\:Морозова~\cite{morozov-twodimensionalproblems, morozov-fractures}.

\end{otherlanguage}

\end{changemargin}