-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
chapterfractures.tex
342 lines (221 loc) · 15.2 KB
/
chapterfractures.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
\en{\chapter{Fractures}} %% fissures, cracks, breaks
\ru{\chapter{Трещины}}
\thispagestyle{empty}
\label{chapter:fractures}
\newcommand{\tensilestrength}{\mathsigma_{\hspace{-0.2ex}*}}
\newcommand{\stressdeviator}{\bm{s}}
%% durability = (longevity, endurance) долговечность
%% toughness = (strength, hardness, solidity) прочность, твёрдость
\en{\section{Traditional criteria of toughness}}
%% criteria is plural for criterion (singular)
\ru{\section{Традиционные критерии прочности}}
\label{section:cracks.theoriesofailure}
\en{\dropcap{A}{fter}}\ru{\dropcap{П}{осле}}
\en{determining}\ru{определения}
\en{the~stresses in the~body}\ru{напряжений в~теле},
\en{how}\ru{как}
\en{to estimate}\ru{оценить}
\en{the~toughness}\ru{прочность}?
%
\en{When}\ru{Когда}
\en{a~sample of~material}\ru{образец материала}
\en{is uniaxially extended}\ru{одноосно растягивается}
\en{during a~test}\ru{во~вр\'{е}мя теста},
\en{there obviously is}\ru{то очевидно есть}
\en{some limit}\ru{некий предел}\:---
\en{the }\inquotes{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Ultimate_tensile_strength}{\en{tensile strength}\ru{предел прочности}}}~${\tensilestrength}$,
\en{above which}\ru{выше которого}
\en{the~material}\ru{материал}
\en{is destroyed}\ru{разрушается}.
%
\en{So}\ru{Так что}
\en{for}\ru{для}
\en{uniaxial}\ru{одноосного}
\en{(ex)tension}\ru{растяжения}
\en{with stress}\ru{с~напряжением}~$\mathsigma$,
\en{the~toughness}\ru{прочность}
\en{is thought to be}\ru{мыслится}
\en{sufficient}\ru{достаточной}\ru{,}
\en{if}\ru{если}~${\mathsigma \hspace{.1ex} \leq \tensilestrength / \hspace{.1ex} k}$,
\en{where}\ru{где}
$k$~\en{is}\ru{есть}
\en{the so-called}\ru{так называемый}
\en{safety factor~(coefficient of~safety)}\ru{коэффициент~(фактор) запаса}.
%
\en{But this approach}\ru{Но такой подход}
\en{isn’t very convincing}\ru{не~очень убедителен},
\en{because}\ru{потому что}
\en{the~values of}\ru{значения}~${\tensilestrength}$\ru{,}
\en{obtained}\ru{полученные}
\en{from}\ru{из}
\en{uniaxial tension tests}\ru{опытов на~одноосное растяжение}\ru{,}
\en{have a~big scatter}\ru{имеют большой разброс},
\en{and the~choice of~safety factor}\ru{а~выбор коэффициента запаса}
\en{is sometimes tied to bureaucracy}\ru{порой бывает завязан на бюрократии}.
%
\en{However}\ru{Однако},
\en{such views on}\ru{такие взгляды на}
\en{analysis}\ru{анализ}
\en{of~toughness}\ru{прочности}
\en{are quite widespread}\ru{весьма широк\'{о} распространены}.
\en{Without criticizing}\ru{Не критикуя},
\en{I will mention}\ru{я упомяну}
\en{the~most popular}\ru{самые популярные}
\en{of~them}\ru{из~них}.
\textbold{\en{Maximum principal stress criterion}\ru{Критерий максимального главного напряжения}}\::
\en{a~destruction occurs}\ru{разрушение происходит}\ru{,}
\en{when}\ru{когда}
\en{the~biggest}\ru{наибольшее}
\en{eigenvalue}\ru{собственное}~%
(\inquotes{\en{principal}\ru{главное}})
\en{stress}\ru{напряжение}~${\mathsigma_1}$
\en{reaches the~limit}\ru{достигает предела},
${\mathsigma_1 \hspace{-0.2ex} = \tensilestrength}$.
\en{But in the~case}\ru{Но в~случае}
\en{of uniaxial compression}\ru{одноосного сжатия}
\en{with}\ru{с}~${\mathsigma_1 \hspace{-0.2ex} = 0}$
\en{this hypothesis is false}\ru{эта гипотеза ложна}.
\begin{otherlanguage}{russian}
\textbold{Критерий максимального касательного напряжения (Tresca criterion)}:
\en{destruction happens if}\ru{разрушение случится, если}
${\mathsigma_1 \hspace{-0.2ex} - \mathsigma_3 \hspace{-0.1ex} = \tensilestrength}$ ($\mathsigma_3$\:--- наименьшее из собственных напряжений).
Это более соответствует началу пластического течения.
\textbold{Критерий максимального удлинения}\::
наибольшее из собственных значений тензора деформации ${\infinitesimaldeformationeigenvalue{1} \hspace{-0.2ex} = \infinitesimaldeformationeigenvalue{*}}$.
Это приемлемо и~для~сжатия с~${\infinitesimaldeformationeigenvalue{1} \hspace{-0.12ex} > 0}$.
\textbold{Критерий энергии деформации}\::
${\potentialenergydensity = \potentialenergydensity_*}$.
Здесь учитывается, что разрушение требует энергии, а источником её может~быть лишь сам\'{о} деформированное тело.
Однако достаточный запас энергии\:--- необходимое, но не~единственное условие разрушения; должен включиться некий механизм преобразования упругой энергии в~работу разрушения.
%% maximum distortion energy criterion
\textbold{Критерий энергии формоизменения (von~Mises yield criterion)}\::
${\stressdeviator \dotdotp \stressdeviator = 2 \mathtau_{*}^{\hspace{.25ex}2}}$, ${\, \stressdeviator \equiv \cauchystress - \frac{1}{3} \hspace{.25ex} \UnitDyad \trace{\hspace{-0.1ex}\cauchystress}}$ (\inquotes{девиатор напряжений}).
Здесь не~играет роли энергия объёмной деформации.
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_von_Mises}{Richard von~Mises} предложил\footnote{\bookauthor{R.}[von~Mises]. \href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1913?tify=\%7B"pages":\%5B602\%5D,"view":"info"\%7D}{Mechanik der festen K\"{o}rper im plastisch-deformablen Zustand. \emph{Nachrichten von der K\"{o}niglichen Gesellschaft der~Wis\-sen\-schaf\-ten zu~Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse.} 1913, Seiten 582\hbox{--}592.}}\hspace{-0.25ex}
этот критерий как гладкую аппроксимацию условия \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Tresca}{Henri Tresca}.
\textbold{Критерий Mohr’а}.
Представим себе множество предельных состояний ...
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Antiplane deformation of continuum with a~crack}}
\ru{\section{Антиплоская деформация среды с~трещиной}}
\label{section:cracks.antiplanedeformation}
\begin{otherlanguage}{russian}
Любая регулярная функция компл\'{е}ксного переменного~${z = x + iy}$ содержит в~себе решение какой\hbox{-}либо антиплоской задачи статики без ...
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Crack in plane deformation}}
\ru{\section{Трещина при плоской деформации}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим плоскую область произвольного очертания с трещиной внутри; нагрузка приложена и~\inquotesx{в~объёме}[,] и на~внешнем крае.
Как и~при антиплоской деформации, решение строится в~два этапа
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Crack\hbox{-}driving force}}
\ru{\section{Трещинодвижущая сила}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Это едва~ли не~основное понятие механики трещин.
Рассмотрим его, следуя
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Criterion of crack growth}}
\ru{\section{Критерий роста трещины}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Связанная
с~энергией~$\potentialenergyfunctional$
трещинодвижущая сила~$F$\:---
не~единственное
воздействие
на~передний край
трещины.
Должна быть ещё
некая
сила сопротивления~$F_{*}$;
рост
трещины
начинается,
когда
...
\end{otherlanguage}
\section{J-\en{integral}\ru{интеграл}}
% The theoretical concept of J-integral was developed in 1967 by G. P. Cherepanov and in 1968 by J. R. Rice independently, who showed that an energetic contour path integral (called J) was independent of the path around a crack.
% https://en.wikipedia.org/wiki/J-integral
% G. P. Cherepanov, The propagation of cracks in a continuous medium, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 31(3), 1967, pp. 503–512.
% J. R. Rice, A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks, Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, pp. 379–386.
% https://en.wikipedia.org/wiki/James_R._Rice
\begin{otherlanguage}{russian}
Одно из самых известных понятий в~механике трещин выражается интегралом
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
J = \ldots
\end{equation}
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Stress intensity factors}}
\ru{\section{Коэффициенты интенсивности напряжений}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Расчёт прочности тела с~трещиной сводится к~определению коэффициентов интенсивности напряжений.
Методы расчёта таких коэффициентов\:---
как~аналитические, так~и~численные\:---
хорошо освещены в~литературе.
Рассмотрим ещё один подход к~задачам механики трещин, разработанный
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Barenblatt’s model}}
\ru{\section{Модель Barenblatt’а}}
% https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%82,_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87
\en{An~unlimited increase of~stress}\ru{Неограниченный рост напряжения} \en{at the~edge of a~crack}\ru{на~кра\'{ю} трещины} \en{seems}\ru{кажется} \en{indeed dubious}\ru{конечно~же сомнительным}.
\en{Singular solutions}\ru{Сингулярные решения} \en{desire}\ru{желают} \en{support}\ru{поддержки} \en{by some}\ru{какими\hbox{-}либо} \en{additional}\ru{дополнительными} \en{reasonings}\ru{рассуждениями} \en{or}\ru{или} \en{by~}\en{using of~another model}\ru{использованием иной модели}.
\en{And}\ru{И}~\en{such support}\ru{такая поддержка}
\en{was given}\ru{была дан\'{а}}
\en{in the~work}\ru{в~работе}
...
\en{\section{Deformational criterion}}
\ru{\section{Деформационный критерий}}
\begin{otherlanguage}{russian}
D.\,S.\;Dugdale\footnote{\bookauthor{Dugdale,}[D.][S.] Yielding of~steel sheets containing slits. \emph{Journal of the Mechanics and Physics of~Solids.} 1960, Volume~8, Issue~2, pages 100\hbox{--}104.
}\hspace{-0.4ex}, а~также М.\,Я.\;Леонов и В.\,В.\;Панасюк\footnote{\bookauthor{Леонов}[М.][Я.], \bookauthor{Панасюк}[В.][В.] Развитие мельчайших трещин в~твёрдом теле. \emph{Прикладная механика.} 1959, Т.\:5, №\,4, с.\:391\hbox{--}401.} предложили модель, напоминающую построения Баренблатта.
Также есть силы сцепления~$q$ и равен нулю итоговый коэффициент интенсивности напряжений.
Но, во\hbox{-}первых, $q$ имеет иной вид:
...
Второе отличие рассматриваемой модели\:---
в~формулировке критерия прочности:
трещина начинает расти,
когда расхождение берегов
в~конце свободного участка
достигает критического значения~$\delta_{*}$
(этот параметр\:--- константа материала),
то~есть при
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Growth of cracks}}
\ru{\section{Рост трещин}}
\begin{otherlanguage}{russian}
%%\textbold{1}.
Пусть нагрузка на~тело с~трещиной выросла настолько, что выполняется условие
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Elastic field ahead of a~moving crack}}
\ru{\section{Упругое поле п\'{е}ред движущейся трещиной}}
\en{Considering this topic}\ru{Рассматривая эту тему}
...
\en{\section{Balance of energy for a moving crack}}
\ru{\section{Баланс энергии для движущейся трещины}}
\en{The~balance of~energy equation}\ru{Уравнение баланса энергии}
\en{in~the linear theory}\ru{в~линейной теории}
(${\potentialenergydensity = \smash{\smalldisplaystyleonehalf} \hspace{.25ex} \infinitesimaldeformation \hspace{-0.1ex} \dotdotp \stiffnesstensor \dotdotp \infinitesimaldeformation}$,
${\kineticenergydensity = \smash{\smalldisplaystyleonehalf} \hspace{.25ex} \rho \hspace{.2ex} \mathdotabove{\bm{u}} \dotp \mathdotabove{\bm{u}}}$):
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.42ex} \left(^{\mathstrut} \hspace{-0.2ex} \kineticenergydensity + \potentialenergydensity \right)^{\hspace{-0.12em}\tikz[baseline=-0.2ex] \draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);} \hspace{-0.25ex} d\mathcal{V} \hspace{.2ex}
= \hspace{-0.1ex}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \bm{f} \hspace{-0.1ex} \dotp \mathdotabove{\bm{u}} \hspace{.25ex} d\mathcal{V} \hspace{.16ex}
+ \hspace{-0.1ex}
\integral\displaylimits_{\mathcal{O}} \hspace{-0.32ex} \bm{n} \dotp \linearstress \dotp \mathdotabove{\bm{u}} \hspace{.25ex} d\mathcal{O} .
\end{equation}
...
\section*{\small \wordforbibliography}
\begin{changemargin}{\parindent}{0pt}
\fontsize{10}{12}\selectfont
\begin{otherlanguage}{russian}
Список книг по~механике трещин уж\'{е} вел\'{и}к. В~нём ст\'{о}ит отметить работы Л.\,М.\;Качанова~\cite{kachanov-fracturemechanics}, Н.\,Ф.\;Морозова~\cite{morozov-fractures}, В.\,З.\;Партона и Е.\,М.\;Морозова~\cite{parton.morozov-destructionofelastoplastic}, Г.\,П.\;Черепанова~\cite{cherepanov-fragilefracture}. Обзор статей есть у~... Экспериментальные данные представлены, например, в~\cite{kerstein.klyushnikov.lomakin.shesterikov-experimentalfracturemechanics}.
\end{otherlanguage}
\end{changemargin}