-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
chapteroscillations.tex
366 lines (275 loc) · 18.5 KB
/
chapteroscillations.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
\en{\chapter{Oscillations and waves}}
\ru{\chapter{Колебания и волны}}
\thispagestyle{empty}
\label{chapter:vibrationsnwaves}
\en{\section{Vibrations of three-dimensional bodies}}
\ru{\section{Вибрации трёхмерных тел}}
\label{section:vibrations.3dbodies}
\en{\dropcap{D}{ynamic}}\ru{\dropcap{Д}{инамическая}} \en{problem}\ru{задача} \en{of the classical linear elasticity}\ru{классической линейной упругости} \en{is}\ru{есть}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{classiclinearelasticity:problem}
\begin{array}{c}
\boldnabla \dotp \linearstress \hspace{.15ex} + \bm{f} = \rho \hspace{.1ex} \mathdotdotabove{\bm{u}} \hspace{.2ex} ,
\:\:
\linearstress = \stiffnesstensor \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla {\bm{u}} \hspace{.1ex} ,
\\[.32em]
%
\bm{u} \hspace{.1ex} \bigr|_{o_1} \hspace{-0.64ex} = \hspace{.2ex} \zerovector \hspace{.1ex},
\:\:
\bm{n} \dotp \linearstress \hspace{0.25ex} \bigr|_{o_2} \hspace{-0.64ex} = \hspace{.2ex} \bm{p} \hspace{.16ex} ,
\\[.4em]
%
\bm{u} \hspace{.1ex} \bigr|_{t=0} \hspace{-0.2ex} = \bm{u}^{\hspace{-0.1ex}\circ} \hspace{-0.4ex},
\:\:
\mathdotabove{\bm{u}} \hspace{.1ex} \bigr|_{t=0} \hspace{-0.2ex} = \mathdotabove{\bm{u}}^{\circ} \hspace{-0.4ex} .
\end{array}
\end{equation}
\vspace{.2em}
\en{According to the common theory}\ru{Согласно общей теории}~(\chapterdotsectionref{chapter:classicalmechanics}{section:smalloscillations}), \en{we begin}\ru{мы начинаем} \en{with the analysis}\ru{с~анализа} \en{of~harmonics}\ru{гармоник}~(\en{ortho\-gonal oscillations}\ru{орто\-гональ\-ных колебаний}):
\nopagebreak\vspace{-0.25em}\begin{equation*}
\bm{f} = \zerovector \hspace{.1ex} ,
\:\;
\bm{p} = \zerovector \hspace{.1ex} ,
\:\;
\bm{u}(\locationvector, t) \hspace{-0.2ex} = \mathboldU(\locationvector) \sine \omega t
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}
\nopagebreak\vspace{-0.22em}\begin{equation}\label{oscillations:equationsforharmonics}
\boldnabla \dotp \hspace{-0.12ex} \left( \hspace{.1ex} \stiffnesstensor \dotdotp \hspace{-0.2ex} \boldnabla \hspace{.1ex} \mathboldU \hspace{.2ex} \right) \hspace{-0.16ex}
+ \rho \hspace{.3ex} \omega^2 \hspace{.25ex} \mathboldU \hspace{-0.1ex}
= \hspace{.1ex} \zerovector
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{If}\ru{Если}
\en{a~homogeneous problem}\ru{однородная задача}
\en{has}\ru{имеет}
\en{a~nontrivial solution}\ru{нетривиальное решение},
\en{then}\ru{то}
\en{the~values of}\ru{значения}~$\omega$
\en{are}\ru{это}
\en{natural}\ru{натуральные}
\en{resonant}\ru{резонансные}
\en{frequencies}\ru{частоты},
\en{and}\ru{а}~${\mathboldU(\locationvector)}$\ru{\:---}\en{ are}
\en{ortho\-gonal}\ru{орто\-гональ\-ные}~(\en{normal}\ru{нормальные})
\inquotesx{\en{modes}\ru{моды}}[.]
\en{The~time independent}\ru{Независимое от~времени}
\en{equation}\ru{уравнение}~\eqref{oscillations:equationsforharmonics}
\en{looks like}\ru{выглядит как}
\en{equation}\ru{уравнение}
\en{of~linear elasto\-statics}\ru{линейной эласто\-статики}
\eqrefwithchapterdotsection{lineartheory:equationsindisplacements}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:equationsindisplacements.linearelasticity}\ru{,}
\en{when}\ru{когда}
\en{the~volume load}\ru{объемная нагрузка}
\en{is equal to}\ru{равна}~${\omega^2 \hspace{-0.2ex} \rho \hspace{.25ex} \mathboldU \hspace{-0.1ex}}$.
\en{The surface load}\ru{Поверхностная нагрузка}
\en{on}\ru{на}~${o_2}$
\en{is equal to zero}\ru{равна нулю}.
\ru{Тождество }\en{The~}Clapeyron’\en{s}\ru{а}\en{ identity}~\eqrefwithchapterdotsection{clapeyron:elasticitytheorem}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:theoremsofstatics}
\en{gives}\ru{даёт}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
\omega^2 \hspace{-0.2em}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex}
\rho \hspace{.33ex} \mathboldU \hspace{-0.15ex} \dotp \mathboldU
\hspace{.1ex} d\mathcal{V}
= \hspace{.1ex}
2 \hspace{-0.2em}
\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex}
\potentialenergydensity \bigl( \scalebox{0.9}{$\boldnabla \hspace{.1ex} \mathboldU \hspace{.2ex}^{\mathsf{S}}$} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{.1ex} d\mathcal{V} .
\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{It also means that}\ru{Это также значит, что}
${\omega^2 \hspace{-0.2ex} \geq 0}$.
\en{The~zero here}\ru{Здесь нуль}
\en{means that}\ru{значит, что}
\en{a~continuum}\ru{\rucontinuum}
\en{moves}\ru{движется}~$\mathboldU$
\en{as a~rigid whole}\ru{как жёсткое целое}.
\en{When}\ru{Когда}
\en{even}\ru{даже}
\en{a~small part}\ru{малая часть}
\en{of a~surface}\ru{поверхности}
\en{is fixed}\ru{закреплена},
\en{then}\ru{тогда}
\en{all}\ru{все}~${\omega_i \hspace{-0.1ex} > 0}$.
\en{And}\ru{И}~\en{here}\ru{тут}
\en{we assume that}\ru{мы предполагаем, что}
${\omega^2\hspace{-0.1ex}}$
\en{and}\ru{и}~$\mathboldU$
\en{are real numbers}\ru{это вещественные числа}.
\en{This can be proven}\ru{Это может быть доказано} \inquotesx{\en{by~contradiction}\ru{от~противного}}[.]
\en{If}\ru{Если}~${\imaginarypart{\omega^2} \hspace{-0.2ex} \neq 0}$, \en{then}\ru{то} \en{conjugate}\ru{сопряжённая} \en{frequency}\ru{часто\-та}~${\lineover{\omega}^{\hspace{.2ex}2}\hspace{-0.2ex}}$\ru{\:---}\en{ is} \ru{тоже }\en{part}\ru{часть} \en{of the~oscillation spectrum}\ru{спектра колебания}\en{ too}, \en{and}\ru{и} \inquotes{\en{mode}\ru{мода}}~${\lineoverlower{\mathboldU}\hspace{-0.1ex}}$ \en{for this frequency}\ru{для этой часто\-ты} \en{has}\ru{имеет} \en{conjugate components}\ru{сопряжённые компоненты}.
\en{Using then}\ru{Используя далее}
\en{the~reciprocal work theorem}\ru{теорему о~взаимности работ}~\eqrefwithchapterdotsection{betti:reciprocalworktheorem}{chapter:linearclassicalelasticity}{section:theoremsofstatics}
\en{for}\ru{для}
$\mathboldU$
\en{and}\ru{и}~$\lineoverlower{\mathboldU}$,
\en{we have}\ru{мы имеем}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\omega^2 \hspace{-0.1em}
\scalebox{.92}{$
\displaystyle \integral\displaylimits_{\mathcal{V}}
$}
\hspace{-0.25ex}
\rho
\hspace{.33ex}
\mathboldU
\hspace{-0.15ex} \dotp
\lineoverlower{\mathboldU}
\hspace{.1ex}
d\mathcal{V}
= \hspace{.2ex}
\lineover{\omega}^{\hspace{.2ex}2}
\hspace{-0.1em}
\scalebox{.92}{$
\displaystyle \integral\displaylimits_{\mathcal{V}}
$}
\hspace{-0.25ex}
\rho
\hspace{.33ex}
\lineoverlower{\mathboldU}
\hspace{-0.15ex} \dotp
\mathboldU
\hspace{.1ex}
d\mathcal{V}
%
\hspace{.3em} \Rightarrow \hspace{.3em}
%
\omega^2
\hspace{-0.25ex}
= \lineover{\omega}^{\hspace{.2ex}2}
\hspace{-0.15ex}
%
\hspace{.3em} \Rightarrow \hspace{.3em}
%
\imaginarypart{\omega^2}
\hspace{-0.2ex}
= 0
\hspace{.15ex} .
\end{equation*}
...
\en{However}\ru{Однако}, \en{a~bright picture}\ru{яркая картина} \en{with decomposition}\ru{с~разложением} \en{by modes}\ru{по модам} \en{is of little use}\ru{малопригодна} \en{for}\ru{для} \en{practical calculations}\ru{практических расчётов} \en{of~}\en{oscillations}\ru{колебаний}~(\en{vibrations}\ru{вибраций}) \en{of a~three-dimensional elastic body}\ru{трёхмерного упругого тела}.
\en{The reason}\ru{Причина}\en{ is}\ru{\:---} \en{density}\ru{густота} \en{of the spectrum}\ru{спектра}, \en{driven oscillations}\ru{вынужденные колебания} \en{excite}\ru{возбуждают} \en{many modes}\ru{много мод}.
\en{When}\ru{Когда} \en{the natural frequency density}\ru{плотность собственных частот} \en{is high}\ru{высокая}, \en{even}\ru{даже} \en{a~small friction}\ru{малое трение} \en{qualitatively}\ru{качественно} \en{changes}\ru{меняет} \en{the resonance curve}\ru{резонансную кривую}.
\en{Damping}\ru{Демпфирование} (\en{decrease in~amplitudes}\ru{уменьшение амплитуд}) \en{in real bodies}\ru{в~реальных телах} \en{is also important}\ru{тоже важно}.
\en{In addition}\ru{Вдобавок}, \en{wave nature}\ru{волновая природа} \en{of non-stationary processes}\ru{нестационарных процессов} \en{hinders}\ru{мешает} \en{to just transfer}\ru{просто перенести} \en{the theory of oscillations of discrete systems}\ru{теорию колебаний дискретных систем} \en{to the continuum}\ru{на~\rucontinuum}: \en{in case of}\ru{в~случае} \en{sudden}\ru{внезапного} \en{local}\ru{локального} \en{excitation}\ru{возбуждения} \en{it’s more correct}\ru{корректнее} \en{to consider waves}\ru{рассматривать волны} \en{instead of superposing modes}\ru{вместо наложения мод}.
\en{The way}\ru{Путь} \en{from}\ru{от} \en{a~continuous dynamic model}\ru{непрерывной динамической модели} \en{to a~discrete one}\ru{к~дискретной} \en{goes}\ru{проходит} \en{through}\ru{через} \en{the variational approach}\ru{вариационный подход}.
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}\label{oscillations.variationalapproach}
\displaystyle\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.4ex}
\Bigl( \bigl(
\bm{f} - \rho \mathdotdotabove{\bm{u}}
\bigr) \hspace{-0.1ex} \dotp \variation{\bm{u}}
- \linearstress \dotdotp \variation{\infinitesimaldeformation} \Bigr) d\mathcal{V} \hspace{.1ex}
+ \hspace{-0.3ex}
\displaystyle\integral\displaylimits_{o_2} \hspace{-0.4ex}
\bm{p} \dotp \variation{\bm{u}} \hspace{.3ex} do \hspace{.2ex}
= 0
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{This is}\ru{Это} \en{the principle of virtual work}\ru{принцип виртуальной работы} \en{with forces of inertia}\ru{с~силами инерции}.
\en{Looking for}\ru{Разыскивая} \en{an approximate solution}\ru{приближённое решение} \en{in series}\ru{в~рядах}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\bm{u}(\bm{r}, t) = \scalebox{0.8}{$ \displaystyle\sum_{\scriptstyle k=1}^{\scriptstyle N} $}
\alpha_{k} ( t ) \varphi_{k} ( \bm{r} )
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{where}\ru{где}~$\varphi_{k}$ \en{are given}\ru{даются} ${ \Bigl( \varphi_{k} \hspace{.1ex} \bigr|_{o_1} \hspace{-0.64ex} = \hspace{.2ex} \zerovector \Bigr) }$,
\en{and}\ru{а}~${\alpha_{k} ( t )}$ \en{are varying}\ru{варьируются}.
\en{The solution}\ru{Решение}????\en{ is}\ru{\:---} \en{\textcolor{red}{a/?????the system}}\ru{система} \en{of ordinary equations}\ru{обыкновенных уравнений}
...
\en{In place of}\ru{Вместо} \en{the principle of virtual work}\ru{принципа виртуальной работы}~\eqref{oscillations.variationalapproach} \en{one can use}\ru{можно использовать} \ru{смешанную формулировку } \en{the }Hellinger\ru{’а}\hbox{--}Reissner\ru{’а}\en{ mixed formulation} \en{with }\ru{с~}\en{an independent approximation}\ru{независимой аппроксимацией} \en{of~stresses}\ru{напряжений}.
\en{In the dynamic theory of elasticity}\ru{В~динамической теории упругости}\en{,} \ru{часто применяется }\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform}{\ru{интегральное преобразование }\en{the }Laplace\ru{’а}\en{ integral transform}}\en{ is often applied}.
\en{For simple shaped bodies}\ru{Для тел простой формы} \en{it is }\en{sometimes}\ru{иногда} \en{possible}\ru{возможно} \en{to find}\ru{найти} \en{an analytical solution}\ru{аналитическое решение} \en{in transforms}\ru{в~трансформах}.
\en{The original}\ru{Оригинал} \en{can be found}\ru{может быть найден} \en{by the numerical inversion}\ru{численным обращением}, \en{but sometimes}\ru{но иногда} \en{it’s possible}\ru{возможно} \en{to take}\ru{взять} \en{the }\ru{интеграл }Riemann\ru{’а}\hbox{--}Mellin\ru{’а}\en{ integral}\footnote{\ru{Интеграл }\en{The }Riemann\ru{’а}\hbox{--}Mellin\ru{’а}\en{ integral} \en{determines}\ru{определяет} \en{the inverse Laplace transform}\ru{обратное преобразование Лапласа} ${F(s) \mapsto f(t)}$.}\ru{,} \en{using}\ru{используя} \en{the }\inquotes{\en{saddle-point method}\ru{метод перевала}} (or \inquotes{\en{method of steepest descents}\ru{метод крутых спусков}}) \en{with a~deformation of~contour}\ru{с~деформацией контура} \en{in the complex plane}\ru{в~комплексной плоскости}~\cite{poruchikov-dynamicelasticity, slepyan-nonstationeryelasticwaves}.
\en{\section{Vibrations of rods}}
\ru{\section{Вибрации стержней}}
\label{section:vibrations.rods}
\en{In the linear dynamics}\ru{В~линейной динамике} \en{of~rods}\ru{стержней} \en{we have}\ru{мы имеем} \en{the following system}\ru{следующую систему} \en{for}\ru{для} \en{forces}\ru{сил}~$\mathboldQ$, \en{force couples}\ru{пар сил}~(\en{moments}\ru{моментов})~$\mathboldM$, \en{displacements}\ru{смещений}~$\bm{u}$ \en{and}\ru{и}~\en{rotations}\ru{поворотов}~$\bm{\theta}~(\chapterdotsectionref{chapter:rods}{section:rods-lineartheory})$:
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{gather}
\bm{Q}' + \bm{q}
= \rho \bigl( \mathdotdotabove{\bm{u}} + \mathdotdotabove{\bm{\theta}} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \infinitesimaldeformation \bigr)
\hspace{.1ex} ,
\hspace{.3em}
\bm{M}' + \bm{r}' \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \bm{Q} + \bm{m} =
\bm{J} \dotp \mathdotdotabove{\bm{\theta}} + \rho \infinitesimaldeformation \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \mathdotdotabove{\bm{u}}
\hspace{.1ex} ,
\\[-0.2em]
%
...
\end{gather}
...
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Small perturbations of parameters}}
\ru{\section{Малые возмущения параметров}}
\label{section:vibrations.smallperturbations}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим задачу об~определении собственных частот и~форм \en{with small perturbations}\ru{с~малыми возмущениями} масс и~жёсткостей:
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\begin{array}{c}
\bigl( C_{i\hspace{-0.1ex}j} \hspace{-0.15ex} - \omega^2 \hspace{-0.2ex} A_{i\hspace{-0.1ex}j} \bigr) \hspace{.1ex} U_{\hspace{-0.2ex}j} \hspace{-0.15ex} = 0 \hspace{.1ex} ,
\\[.2em]
%
C_{i\hspace{-0.1ex}j} \hspace{-0.2ex} = C_{i\hspace{-0.1ex}j}^{\hspace{.2ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(0)}} \hspace{-0.2ex} + \smallparameter \hspace{.2ex} C_{i\hspace{-0.1ex}j}^{\hspace{.2ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(1)}} \hspace{-0.4ex} ,
\;\:
A_{i\hspace{-0.1ex}j} \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} A_{i\hspace{-0.1ex}j}^{\hspace{.2ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(0)}} \hspace{-0.2ex} + \smallparameter \hspace{-0.1ex} A_{i\hspace{-0.1ex}j}^{\hspace{.2ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(1)}} \hspace{-0.4ex} ,
\;\:
\smallparameter \hspace{-0.12ex} \to 0 \hspace{.1ex} .
\end{array}\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
Наход\'{я} решение в~виде
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\omega = \omega^{\hspace{.1ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(0)}} \hspace{-0.25ex} + \smallparameter \hspace{.2ex} \omega^{\hspace{.1ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(1)}} \hspace{-0.25ex} + \ldots \hspace{.1ex} ,
\;\;
U_{\hspace{-0.2ex}j} \hspace{-0.15ex} = U_{\hspace{-0.2ex}j}^{\hspace{.1ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(0)}} \hspace{-0.25ex} + \smallparameter \hspace{.2ex} U_{\hspace{-0.2ex}j}^{\hspace{.1ex}\scalebox{0.66}[0.66]{(1)}} \hspace{-0.25ex} + \ldots \hspace{.1ex} ,
\end{equation*}
\vspace{-0.25em}\noindent
получаем последовательность задач
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Vibrations of shells}}
\ru{\section{Вибрации оболочек}}
\label{section:vibrations.shells}
\begin{otherlanguage}{russian}
Динамика оболочек рассматривалась многими
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Waves in an elastic continuum}}
\ru{\section{Волны в упругом \rucontinuum{}е}}
\label{section:wavesinelastic}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим линейные уравнения динамики однородной изотропной среды без объёмных сил
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Waves in a rod}}
\ru{\section{Волны в стержне}}
\label{section:wavesinrod}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим прямой стержень.
Продольная деформация описывается уравнениями
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Nonlinear oscillations}}
\ru{\section{Нелинейные колебания}}
\label{section:oscillations.nonlinear}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим простой пример: продольные колебания прямого стержня с~м\'{а}лой нелинейной добавкой в~соотношениях упругости
...
\end{otherlanguage}
\section*{\small \wordforbibliography}
\begin{changemargin}{\parindent}{0pt}
\fontsize{10}{12}\selectfont
\begin{otherlanguage}{russian}
Методы решения динамических задач упругости представлены в~книгах
Л.\,И.\;Слепяна~\cite{slepyan-nonstationeryelasticwaves}
и~В.\,Б.\;Поручикова~\cite{poruchikov-dynamicelasticity}.
О~м\'{а}лых линейных колебаниях~(вибрациях) написано
у~С.\,П.\;Тимошенко, D.\,H.\:Young’а и~W.\,Weaver’а~\cite{timoshenko.young.weaver},
И.\,М.\;Бабакова~\cite{babakov-theoryofoscillations},
В.\,Л.\;Бидермана~\cite{biderman-oscillations},
В.\,Т.\;Гринченко и~В.\,В.\;Мелешко~\cite{grinchenko.meleshko}.
Асимптотические проблемы колебаний оболочек освещены
у~...
\end{otherlanguage}
\end{changemargin}