-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
chapterrods.tex
1334 lines (1059 loc) · 86.4 KB
/
chapterrods.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\en{\chapter{Rods}}
\ru{\chapter{Стержни}}
\thispagestyle{empty}
\newcommand\internalforce{\mathboldQ} %% \bm{Q}
\newcommand\internaldistributedforce{\bm{q}}
\newcommand\internalmoment{\mathboldM}
\newcommand\internaldistributedmoment{\bm{m}}
\newcommand\tangenttoaxis{\bm{k}}
\newcommand\thirdbasisvector{\bm{e}_3}
\newcommand\rodsection{\Upomega} %% {F}
\newcommand\rodsectionexpminusone{\rodsection^{\hspace{-0.2ex}\expminusone}}
\newcommand\rodfeaturesvector{\bm{\psi}}
\newcommand\rodfeaturesvectorcomponents[1]{\psi_{#1}}
\newcommand\initialrodfeaturesvector{{\mathcircabove{\bm{\psi}}}}
\newcommand\perpendicularrodfeatures{{\bm{\psi}_{\hspace{-0.2ex}\perp}}}
\newcommand\tangentvector{{\bm{T}}}
\newcommand\normalvector{{\mathboldN}}
\newcommand\binormalvector{{\bm{B}}}
\newcommand\firstdeformationvectorcosseratline{{\bm{\Gamma}}}
\newcommand\firstdeformationvectorcosseratlinecomponents[1]{{\Gamma_{\hspace{-0.2ex}#1}}}
\newcommand\seconddeformationvectorcosseratline{{\bm{\kappa}}}
\newcommand\perpendicularboldnabla{{\boldnabla_{\hspace{-0.4ex}\perp}}}
\newcommand\perpendicularstress{{\mathboldtau_{\hspace{-0.3ex}\perp}}}
\newcommand\parallelstressvector{{\bm{\tau}_{\hspace{.1ex}\parallel}}} %{^1\hspace{-0.25ex}}\mathboldtau_{\parallel}
\newcommand\RepresentedLocationVector{{\bm{R}\hspace{.1ex}}}
\newcommand\RepresentedVolume{{\mathrm{v}}}
\label{chapter:rods}
\en{\section{Initial concepts}}
\ru{\section{Исходные представления}}
\label{section:overviewofrods}
\en{\dropcap{R}{od}}\ru{\dropcap{С}{тержень}}\ru{\:--- это}\en{ is} \en{a~thin long body}\ru{тонкое длинное тело}.
\en{It is thought of}\ru{Он мыслится} (\en{and modeled}\ru{и~моделируется}) \en{as}\ru{как} \en{a~spatial curve}\ru{пространственная кривая}\:--- \en{the~axis of~rod}\ru{ось стержня}, \en{coated with a~material}\ru{покрытая материалом}
( \textcolor{blue}{\en{a figure}\ru{рисунок}} ).
\en{The~axis of rod}\ru{Ось стержня} \en{is described}\ru{описывается} \en{as a~curve}\ru{как кривая} \en{by parameterizing}\ru{параметризацией} \en{the~location vector}\ru{вектора положения} \en{of~points of~a~curve}\ru{точек кривой}.
\en{This is a~morphism}\ru{Это морфизм}~(\en{a~function}\ru{функция}) \en{of~one}\ru{одной} \en{variable}\ru{переменной} \en{coordinate}\ru{координаты}~$s$,
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
\locationvector \hspace{-0.4ex} = \hspace{-0.3ex} \locationvector(s)
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\en{Material coating}\ru{Покрытие материалом} \en{gives}\ru{даёт} \en{at each rod’s point}\ru{в~каждой точке стержня} \en{a~plane figure}\ru{плоскую фигуру}, \en{perpendicular to the~axis}\ru{перпендикулярную оси}\:--- \en{normal section}\ru{нормальное сечение}~${\rodsection(s)}$.
...
${\bm{c} \narroweq \bm{c}(t)}$\en{ is}\ru{\:---} \en{a~parametric curve parameterized by parameter}\ru{параметрическая кривая, параметризованная параметром}~$t$.
\en{If}\ru{Если} ${dt \neq d\ell}$, \en{then}\ru{то} \en{a~parameterization}\ru{параметризация} \en{is not natural}\ru{не натуральная}.
\en{For the natural parameterization}\ru{Для натуральной параметризации} ${dt \hspace{-0.1ex} = d\ell}$, \en{where}\ru{где}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\label{lengthofdifferentialpieceofcurve}
d\ell \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.2ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle \sqrt{ \hspace{-0.2ex} \bigl( dq^1 \bigr)^{\hspace{-0.3ex}2} \hspace{-0.25ex} + \bigl( dq^2 \bigr)^{\hspace{-0.3ex}2} \hspace{-0.25ex} + \bigl( dq^3 \bigr)^{\hspace{-0.3ex}2} \hspace{.2ex} } $}
\hspace{-0.2ex} .
\end{equation*}
\en{Many different functions}\ru{Многие разные функции} \en{draw}\ru{рисуют} \en{the same curve}\ru{одну и~ту~же кривую}.
\en{But}\ru{Но} \en{among various parametrizations}\ru{среди различных параметризаций} \en{of a~curve}\ru{кривой}, \en{the parametrization by the arc length}\ru{параметризация длиной дуги} \en{is special}\ru{особенная}, \en{it is also called}\ru{её также называют} \en{the }\emph{\en{natural}\ru{естественной} \en{parametrization}\ru{параметризацией}}.
\en{The length}\ru{Длина} \en{of }\en{an~infinitesimal}\ru{бесконечно-малого} \en{piece}\ru{кусочка} \en{of~a~curve}\ru{кривой} \en{is described}\ru{описывается} \en{by the }\textgreek{Πυθαγόρας}\hbox{-}\en{formula}\ru{формулой}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
d\ell \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} \scalebox{.93}{$ \displaystyle\sqrt{ \hspace{-0.2ex} dx^{2} \hspace{-0.2ex} + dy^{2} \hspace{-0.2ex} + dz^{2} \hspace{.3ex} \hspace{.1ex} } $}
\end{equation*}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{where}\ru{где} ${dx \equiv dq^1\hspace{-0.4ex}}$, ${dy \equiv dq^2\hspace{-0.4ex}}$, ${dz \equiv dq^3\hspace{-0.2ex}}$\en{ are}\ru{\:---} \en{infinitesimal changes of~coordinates}\ru{бесконечно-малые изменения координат}.
$d\ell$ \en{is called}\ru{называется} \en{the differential length}\ru{дифференциальной длиной}, \en{that is}\ru{то есть} \en{the length}\ru{длиной} \en{of an~almost straight}\ru{почти прямого} \en{very small piece of a~curve}\ru{очень м\'{а}лого куска кривой}.
%%%%
\begin{comment}
\noindent
\en{Rewriting it}\ru{Переписав её}, \en{for example}\ru{например}, \en{thru}\ru{через}~${dy}$ \en{and derivatives}\ru{и~производные}
\nopagebreak\vspace{-0.4em}\begin{multline*}
d\ell \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.2ex}
\scalebox{.8}{$
\displaystyle\sqrt{ \hspace{-0.2ex}
\Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dx}}{dy} \hspace{.2ex} dy \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2} \hspace{-0.6ex}
+ dy^{2} \hspace{-0.1ex}
+ \hspace{-0.2ex} \Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dz}}{dy} \hspace{.2ex} dy \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2}
\hspace{.3ex} }
$} \hspace{-0.5ex} =
%
\scalebox{.8}{$
\displaystyle\sqrt{ \hspace{-0.2ex}
\Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dx}}{dy} \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2} \hspace{-0.2ex} dy^{2}
+ dy^{2} \hspace{-0.1ex}
+ \hspace{-0.2ex} \Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dz}}{dy} \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2} \hspace{-0.2ex} dy^{2}
\hspace{.3ex} }
$} \hspace{-0.4ex} =
\\
%
= dy \hspace{.2ex}
\scalebox{.8}{$
\displaystyle\sqrt{ \hspace{-0.2ex}
\Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dx}}{dy} \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2} \hspace{-0.6ex}
+ 1
+ \hspace{-0.2ex} \Bigl( \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{dz}}{dy} \Bigr)^{\hspace{-0.5ex}2}
\hspace{.3ex} }
$} \hspace{-0.3ex} .
\end{multline*}
\end{comment}
%%%%
${\bm{c}(s)}$ is a~parametric curve parameterized by the arc length (the natural parametrization), its derivative by the arc length parameter is denoted as~${ \bm{c}\hspace{.2ex}' \hspace{-0.2ex} \equiv \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \bm{c}}}{d s} $} }$.
\en{If}\ru{Если} \ru{используется }\en{the arc length (natural) parametrization}\ru{параметризация длиной дуги (естественная)}~${\locationvector \narroweq \locationvector(s)}$\en{ is used}, \en{then}\ru{то} \en{the length}\ru{длина} \en{of derivative}\ru{производной} ${ \locationvector'(s) \hspace{-0.2ex} \equiv \scalebox{.8}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{d \hspace{.1ex} \locationvector(s)}}{\raisemath{.05em}{ds}} $} }$ (\en{of the tangent vector}\ru{касательного вектора}) \en{is always equal to}\ru{всегда равна} \en{the one unit of length}\ru{одной единице длины}:
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{gather*}
%%\tikz[baseline=-1ex] \draw[line width=.5pt, color=black, fill=white] (0, 0) circle (.8ex);
%%\hspace{2.25ex}
%%\\
%
\locationvector(s) \hspace{-0.2ex} = q_{i}(s) \hspace{.2ex} \bm{e}_{i}(s) \hspace{-0.2ex} = q_1 \bm{e}_1 \hspace{-0.2ex} + q_2 \bm{e}_2 \hspace{-0.2ex} + q_3 \bm{e}_3
\hspace{.1ex} ,
\\[.1em]
%
\locationvector'(s) \hspace{-0.2ex}
= \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{d \hspace{.1ex} \locationvector(s)}}{ds} $}
= \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{d \hspace{.1ex} q_{i}(s)}}{ds} $} \hspace{.2ex} \bm{e}_{i}(s) \hspace{-0.2ex}
= q_{i}'(s) \hspace{.2ex} \bm{e}_{i}(s)
\hspace{.1ex} ,
\\[-0.5em]
%
\| \locationvector'(s) \|^{2} \hspace{-0.2ex} \equiv \locationvector'(s) \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.2ex} \locationvector'(s) \hspace{-0.2ex}
= q_{i}'(s) \hspace{.2ex} \bm{e}_{i} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} q_{\hspace{-0.1ex}j}'(s) \hspace{.2ex} \bm{e}_{\hspace{-0.1ex}j} \hspace{-0.2ex}
= q_{i}'(s) \hspace{.2ex} q_{\hspace{-0.1ex}j}'(s) \hspace{.2ex} \delta_{i\hspace{-0.1ex}j} \hspace{-0.2ex}
= \hspace{-0.2ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\sum_{i=1}^{3} $} \hspace{-0.1ex} \bigl( \hspace{.1ex} q_{i}'(s) \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2}
\hspace{-0.4ex} ,
\\[-0.3em]
%
ds \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle \sqrt{ \hspace{-0.2ex} \bigl( dq_1 \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2} \hspace{-0.3ex} + \bigl( dq_2 \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2} \hspace{-0.3ex} + \bigl( dq_3 \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2} } $}
\hspace{.4em} \Rightarrow \hspace{.5em}
ds^2 \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.2ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\sum_{i=1}^{3} $} \hspace{-0.1ex} \bigl( \hspace{.1ex} d \hspace{.1ex} q_{i}(s) \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2}
\hspace{-0.4ex} ,
\\[-0.8em]
%
\| \locationvector'(s) \|^{2} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{.2ex} \scalebox{.85}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{\scalebox{.88}{$ \displaystyle\sum_{i=1}^{3} $} \bigl( d \hspace{.1ex} q_{i}(s) \bigr)^{\hspace{-0.2ex}2}} }{\raisemath{-0.3em}{\bigl( ds \bigr)^{\hspace{-0.3ex}2}}} $}
= 1
\hspace{.6em} \Rightarrow \hspace{.5em}
\| \locationvector'(s) \| \hspace{-0.2ex} = 1
\hspace{.1ex} .
%%\\
%
%%\hspace{2.25ex}
%%\tikz[baseline=-0.6ex] \draw[color=black, fill=black] (0, 0) circle (.8ex);
\end{gather*}
...
\en{In each section}\ru{В~каждом сечении} \en{we select}\ru{мы выбираем} \en{two}\ru{две} \en{perpendicular}\ru{перпендикулярные} \en{axes}\ru{оси} $x_{\alpha}$ \en{with co-directed}\ru{с~сонаправленными} \en{unit vectors}\ru{единичными векторами}~${\bm{e}_{\alpha}}$ (${\alpha \narroweq 1, 2}$).
\en{The reason of selection}\ru{Причина выбора} \en{for all rod sections}\ru{для всех сечений стержня} \en{is the same}\ru{одна и~та~же}, \en{for example}\ru{для примера}, \en{the main axes of inertia of the section}\ru{главные оси инерции сечения} \en{are chosen}\ru{выбираются} \en{everywhere}\ru{везде}.
%%
\begin{tcolorbox}[enhanced, colback = orange!40, before upper={\parindent2ex}, parbox = false]
\small%
\setlength{\abovedisplayskip}{2pt}\setlength{\belowdisplayskip}{2pt}%
\begin{center}
\emph{\en{The actual axis}\ru{Актуальная ось} \en{and}\ru{и} \en{the initial axis}\ru{начальная ось} \en{are different}\ru{отличаются}}
\vspace{-1em}
\end{center}
\en{When vector}\ru{Когда вектор}~${\mathcircabove{\bm{e}}_3}$ \en{is directed}\ru{направлен} \en{along the tangent}\ru{по касательной} \en{to the initial axis}\ru{к~начальной оси} \en{with location}\ru{с~положением}~$\initiallocationvector$, \en{it is written as}\ru{это пишется как}
${%
\initiallocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex}
\equiv \scalebox{.8}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{\partial \hspace{.15ex} \initiallocationvector}}{\partial s} $}
\equiv \initiallocationvector_\differentialindex{s} \hspace{-0.2ex}
\equiv \mathcircabove{\bm{e}}_3
}$.
\en{Vector}\ru{Вектор}~${\bm{e}_{3} \hspace{-0.2ex} \equiv \bm{k}}$ \en{is directed}\ru{направлен} \en{along the tangent}\ru{вдоль касательной} (\en{tangentially}\ru{тангенциально}) \en{to the actual axis}\ru{к~актуальной оси}.
\end{tcolorbox}
%%
\en{Together}\ru{Вместе} \en{with }\ru{с~}\en{the unit vector}\ru{единичным вектором}, \en{tangent}\ru{касательным} \en{to the actual axis}\ru{к~актуальной оси}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\locationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex}
\equiv \scalebox{.8}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \locationvector}}{d s} $}
%%\equiv \scalebox{.8}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{\partial \hspace{.15ex} \locationvector}}{\partial s} $}
\equiv \locationvector_\differentialindex{s} \hspace{-0.2ex}
\equiv \bm{e}_3 \hspace{-0.2ex}
\equiv \bm{k}
\hspace{.15ex} ,
\end{equation*}
\noindent
\en{we’ll get}\ru{мы получим} \en{for each}\ru{для каждого}~$s$ \en{a~triple}\ru{тройку} \en{of mutually perpendicular}\ru{взаимно перпендикулярных} \en{unit vectors}\ru{единичных векторов}.
\en{The curvature}\ru{Кривизна} \en{and}\ru{и}~\en{the torsion}\ru{кручение} \en{of~the~rod’s axis}\ru{оси стержня} \textcolor{blue}{\en{can be described}\ru{могут быть описаны}} \en{by vector}\ru{вектором}~${\rodfeaturesvector \hspace{-0.3ex} = \hspace{-0.3ex} \rodfeaturesvectorcomponents{\hspace{-0.1ex}j} \hspace{.1ex} \bm{e}_{\hspace{-0.1ex}j}}$:
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
\label{rods.thepsivector}
\bm{e}{\hspace{.1ex}'}_{\hspace{-0.7ex}j} \hspace{-0.2ex}
= \rodfeaturesvector \hspace{-0.1ex} \times \hspace{-0.1ex} \bm{e}_{j}
\hspace{.1ex} , \hspace{.5em}
\rodfeaturesvector \hspace{-0.1ex} = \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.25ex} \bm{e}_{j} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.1ex} \bm{e}{\hspace{.1ex}'}_{\hspace{-0.7ex}j}
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\en{For}\ru{Для} \en{a~}\en{cylindrical}\ru{цилиндрического} (\en{prismatic}\ru{призматического}) \en{rod}\ru{стержня} ${\rodfeaturesvector = \zerovector}$.
\en{However}\ru{Однако}, \eqref{rods.thepsivector} \en{is}\ru{есть} \en{only}\ru{лишь} \en{an~initial concept}\ru{первоначальное понятие} \en{of~vector}\ru{о~векторе}~${\rodfeaturesvector}$ \en{as}\ru{как} \en{of geometric features}\ru{о~геометрических характеристиках}.
\en{Further}\ru{Далее} \en{in}\ru{в}~\sectionref{section:rods.cosseratlines}, \en{after}\ru{после} \en{adopting}\ru{принятия} \en{the material structure}\ru{материальной структуры} \en{of a~rod}\ru{стержня}, \en{a~concept}\ru{понятие} \en{of}\ru{о}~${\rodfeaturesvector}$ \en{will change}\ru{изменится}.
\en{Moreover}\ru{Кроме этого}, \en{at each point}\ru{в~каждой точке} \en{of the rod’s axis}\ru{оси стержня}, \en{thought of as a~curve}\ru{мыслимой как кривая}, \en{there’s}\ru{есть} \en{also another}\ru{также другая} \en{triple of mutually perpendicular unit vectors}\ru{тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов}, \en{the one}\ru{та что} \en{with the normal}\ru{с~нормальным} \en{and the binormal}\ru{и~бинормальным} \en{vectors}\ru{векторами}.
\en{Tangent}\ru{Касательный}~$\tangentvector$, \en{normal}\ru{нормальный}~$\normalvector$ \en{and}\ru{и} \en{binormal}\ru{бинормальный}~$\binormalvector$ \en{vectors}\ru{векторы}, \en{together called}\ru{вместе называемые} \en{the }\emph{\ru{системой }Frenet\hbox{--}Serret\en{ frame}}, \en{are defined as}\ru{определяются как}:
%
\begin{itemize}
\item $\tangentvector$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~unit vector tangent to a~curve}\ru{единичный вектор, касательный к~кривой}. \en{The length}\ru{Длина} \en{of the tangent vector}\ru{касательного вектора} \en{is always one unit}\ru{всегда одна единица}, \en{if}\ru{если} \en{the natural (arc length) parametrization of~a~curve is used}\ru{используется естественная параметризация кривой (длиной дуги)}. \en{The tangent vector}\ru{Касательный вектор} \en{points to where}\ru{указывает туда, где} \en{a~curve}\ru{кривая} \en{continues further}\ru{продолжается дальше}.
%
\item $\normalvector$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~normal unit vector}\ru{нормальный единичный вектор}, \en{the derivative}\ru{производная}\en{of}~$\tangentvector$ \en{by the curve’s parameter}\ru{по параметру кривой} (\en{for instance}\ru{например}, the arc length of a~curve). \en{The normal vector}\ru{Нормальный вектор} \en{is always}\ru{всегда} \en{perpendicular}\ru{перпендикулярен} \en{to the tangent vector}\ru{касательному вектору} \en{and }\ru{и~}\en{points towards the center of curvature}\ru{направлен к~центру кривизны}. \en{It is divided by its length}\ru{Он поделён на свою длину}~${\| \normalvector \|}$\ru{,} \en{to be the one unit long}\ru{чтобы быть длиной в~одну единицу}.
%
\item $\binormalvector$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~binormal unit vector}\ru{бинормальный единичный вектор},
\en{the~}\crossproductinquotes\hbox{-}\en{product}\ru{произведение} (\inquotes{cross product}) \en{of~}$\tangentvector$ \en{and}\ru{и}~$\normalvector$, ${\binormalvector \hspace{-0.1ex} \equiv \tangentvector \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.3ex} \normalvector}$.
\end{itemize}
\ru{Формулы }\en{The }Frenet\hbox{--}Serret\en{ formulas} \en{describe}\ru{описывают} \en{the derivatives}\ru{производные} \en{of }\en{tangent}\ru{касательного}, \en{normal}\ru{нормального} \en{and }\ru{и~}\en{binormal}\ru{бинормального} \en{unit vectors}\ru{единичных векторов} \en{through relations with each other}\ru{через отношения друг с~другом}.
\begin{align*}
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{ d \hspace{.1ex} \tangentvector }}{ds} $} &= \kappa \hspace{.1ex} \normalvector ,
\\
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{ d \hspace{.2ex} \normalvector }}{ds} $} &= \hspace{-0.4ex} {}- \hspace{-0.3ex} \kappa \hspace{.25ex} \tangentvector + \tau \hspace{-0.1ex} \binormalvector ,
\\
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{ d \hspace{.1ex} \binormalvector }}{ds} $} &= \hspace{-0.4ex} {}- \hspace{.1ex} \hspace{-0.3ex} \tau \hspace{-0.1ex} \normalvector ,
\end{align*}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{where}\ru{где} ${\scalebox{.93}{$ \raisemath{.3em}{d} \hspace{-0.25ex} / \hspace{-0.33ex} \raisemath{-0.25em}{ds} $}}$ \en{denotes}\ru{обозначает} \en{the~derivative by the arc length}\ru{производную по длине дуги}, $\kappa$ \en{is}\ru{есть} \en{the curvature}\ru{кривизна} \en{and}\ru{и}~$\tau$ \en{is}\ru{есть} \en{the curve’s torsion}\ru{кручение кривой}.
\en{The associated collection}\ru{Соединённая коллекция}\:--- ${\tangentvector\hspace{-0.2ex}}$, ${\normalvector\hspace{-0.2ex}}$, ${\binormalvector\hspace{-0.1ex}}$, $\kappa$, $\tau$\:--- \en{is called}\ru{называется} \en{the }\ru{аппаратом }Frenet--Serret\en{ apparatus}.
\en{Two scalars}\ru{Два скаляра} $\kappa$ \en{and}\ru{и}~$\tau$ \en{effectively define}\ru{эффективно определяют} \en{the~curvature}\ru{кривизну} \en{and }\ru{и~}\en{the~torsion}\ru{кручение} \en{of a~space curve}\ru{пространственной кривой}.
\en{Intuitively}\ru{Интуитивно}, \en{the curvature}\ru{кривизна} \en{measures}\ru{измеряет} \en{the deviation}\ru{отклонение} \en{of a~curve}\ru{кривой} \en{from a~straight line}\ru{от прямой линии}, \en{while}\ru{тогда как} \en{the torsion}\ru{кручение} \en{measures}\ru{измеряет} \en{the deviation}\ru{отклонение} \en{of a~curve}\ru{кривой} \en{from being planar}\ru{от плоской}.
\en{Two functions}\ru{Две функции}
$\kappa(s)$
\en{and}\ru{и}~$\tau(s)$
\en{completely define}\ru{полностью определяют}
\en{the geometry of a~curve}\ru{геометрию кривой},
\en{because}\ru{потому что}
\en{they are}\ru{это}
\en{the coefficients}\ru{коэффициенты}
\en{of a~system}\ru{системы}
\en{of ordinary differential equations}\ru{обыкновенных дифференциальных уравнений}
\en{for}\ru{для}~$\tangentvector$,
$\normalvector$
\en{and}\ru{и}~$\binormalvector$.
\en{Knowing}\ru{Зная}~${\tangentvector(s)}$,
\en{we’ll obtain}\ru{мы получим}~${\locationvector(s)}$
\en{via an~integration}\ru{интегрированием}
\textcolor{magenta}{\en{of what}\ru{чего}?}
\en{with an~accuracy}\ru{с~точностью}
\en{up to}\ru{до}
\en{a~constant}\ru{постоянного}
\en{rigid movement}\ru{жёсткого движения}
\en{without deformations}\ru{без деформаций}.
...
\begin{align*}
\tangentvector = \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \locationvector}}{d s} $}
\hspace{1em} & \text{\en{or}\ru{или}} \hspace{1em}
\tangentvector = \locationvector{\hspace{.1ex}'}
\end{align*}
\en{The derivative}\ru{Производная} \en{of~}${\tangentvector}$ \en{consists of two multipliers}\ru{состоит из двух множителей}\:--- \en{the curvature}\ru{кривизны}~${\kappa}$ \en{and}\ru{и} \en{the unit normal vector}\ru{единичного нормального вектора}~${\normalvector}$
\begin{align*}
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \tangentvector}}{d s} $} = \kappa \hspace{.1ex} \normalvector
\hspace{1em} & \text{\en{or}\ru{или}} \hspace{1em}
\tangentvector{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.4ex} = \kappa \hspace{.1ex} \normalvector
\end{align*}
\en{Curvature}\ru{Кривизна}~$\kappa$ \en{is equal to}\ru{равна} \en{the magnitude}\ru{магнитуде}~(\en{length}\ru{длине}) \en{of~vector}\ru{вектора}~$\normalvector$ (\en{the~derivative}\ru{производной} \en{of~vector}\ru{вектора}~$\tangentvector$, \en{the~second derivative}\ru{второй производной} \en{of location vector}\ru{вектора положения}~$\locationvector$)
\begin{align*}
\kappa
= \| \normalvector \|
= \| \tangentvector{\hspace{.25ex}'} \|
= \left\Vert \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \tangentvector}}{d s} $} \right\Vert
= \| \locationvector'' \|
= \left\Vert \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d^2 \hspace{.15ex} \locationvector}}{d s^2} $} \right\Vert
\end{align*}
\en{Vector}\ru{Сам вектор}~$\normalvector$\en{ itself} \en{is divided by its length}\ru{поделён на свою длину}\ru{,} \en{thus}\ru{поэтому} \en{its length}\ru{его длина} \en{is equal to}\ru{равна} \en{the one unit}\ru{одной единице}.
\begin{align*}
\normalvector
= \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{ \raisemath{.5em}{ \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \tangentvector}}{d s} $} }}%
{\raisemath{-0.5em}{\left\Vert \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \tangentvector}}{d s} $} \right\Vert} } $}
\hspace{1em} & \text{\en{or}\ru{или}} \hspace{1em}
\normalvector
= \scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{\tangentvector{\hspace{.25ex}'}}}{\| \tangentvector{\hspace{.25ex}'} \|} $}
\end{align*}
\en{The~radius of~curvature}\ru{Радиус кривизны}\en{ is}\ru{\:---} \en{the~reciprocal of~curvature}\ru{число, обратное кривизне}.
\begin{align*}
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{1}}{\kappa} \hspace{.2ex} \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{d \hspace{.15ex} \tangentvector}}{d s} $} = \normalvector
\hspace{1em} & \text{\en{or}\ru{или}} \hspace{1em}
\scalebox{.88}{$ \displaystyle\frac{\raisemath{-0.15em}{1}}{\kappa} $} \hspace{.3ex} \tangentvector{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.4ex} = \normalvector
\end{align*}
...
\begin{equation*}
\kappa \ge 0
\end{equation*}
\ru{Система }\en{The }Frenet\hbox{--}Serret\en{ frame} \en{is defined}\ru{определена} \en{only if}\ru{лишь если} \en{the curvature}\ru{кривизна} \en{is nonzero}\ru{отлична от нуля}~(${\kappa > 0}$), \en{it is not defined if}\ru{она не определена, если} ${\kappa \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.1ex} 0}$.
\en{A~line}\ru{Линия} \en{with the nonzero curvature}\ru{с~ненулевой кривизной}~${\kappa \hspace{-0.2ex} \neq \hspace{-0.1ex} 0}$ \en{is considered a~curve}\ru{считается кривой}.
\en{The zero curvature}\ru{Нулевая кривизна} \en{implies that}\ru{предполагает, что} \en{a~line is straight}\ru{линия прямая}, \en{and it lies in a~plane}\ru{и она лежит в~плоскости}, \en{making}\ru{делая} \en{the torsion}\ru{кручение} \en{equal to zero too}\ru{тоже равным нулю}
(${\tau \hspace{-0.3ex} = \hspace{-0.2ex} 0}$).
...
$\tangentvector$ \en{always}\ru{всегда} \en{has}\ru{имеет} \en{the unit magnitude}\ru{единичную магнитуду}~(\en{length}\ru{длину}).
\en{Since}\ru{Поскольку} \en{the length}\ru{длина} \en{of~}$\tangentvector$ \en{is constant}\ru{постоянна}, \en{then}\ru{то}~$\normalvector$\:--- \en{the derivative}\ru{производная} \en{of~}$\tangentvector$ \en{and}\ru{и} \en{the~second derivative}\ru{вторая производная} \en{of location vector}\ru{вектора положения}~${\locationvector}$\:--- \en{is always}\ru{всегда} \en{perpendicular}\ru{перпендикулярна} \en{to~}$\tangentvector$
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\tangentvector \dotp \hspace{.2ex} \tangentvector = 1
\hspace{.4em} \Rightarrow \hspace{.4em}
\tangentvector{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.4ex} \dotp \hspace{.2ex} \tangentvector = 0
\hspace{.4em} \Rightarrow \hspace{.4em}
\normalvector \hspace{.1ex} \dotp \hspace{.2ex} \tangentvector = 0
\hspace{.1ex} .
\end{equation*}
\en{Vectors}\ru{Векторы} \en{of the }\ru{системы }Frenet\hbox{--}Serret\en{ frame} \en{make}\ru{составляют} \en{an~orthonormal basis}\ru{ортонормальный базис} ${\bm{f}_{\hspace{-0.1ex}i}\hspace{.2ex}}$:
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\bm{f}_{\hspace{-0.1ex}1} \hspace{-.3ex} = \tangentvector\hspace{-0.2ex} ,
\hspace{.4em}
%%\\
\bm{f}_{2} \hspace{-.2ex} = \hspace{-.2ex} \normalvector
\hspace{-0.2ex} ,
\hspace{.4em}
%%\\
\bm{f}_{3} \hspace{-.2ex} = \hspace{-.2ex} \binormalvector\hspace{-0.1ex} .
\end{equation*}
\en{The location vector}\ru{Вектор положения} \en{in the }\ru{в~базисе }Frenet\hbox{--}Serret\en{ basis}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\locationvector(s) \hspace{-0.2ex}
= q_{j}(s) \hspace{.1ex} \bm{f}_{\hspace{-0.2ex}j}(s) \hspace{-0.2ex}
= q_{1}(s) \tikzmark{beginTangentUnitVector} \hspace{.1ex} \bm{f}_{\hspace{-0.1ex}1}(s) \tikzmark{endTangentUnitVector} \hspace{-0.1ex} + q_{2}(s) \tikzmark{beginNormalUnitVector} \hspace{.1ex} \bm{f}_{2}(s) \tikzmark{endNormalUnitVector} \hspace{-0.1ex} + q_{3}(s) \tikzmark{beginBinormalUnitVector} \hspace{.1ex} \bm{f}_{3}(s) \tikzmark{endBinormalUnitVector}
\hspace{.1ex} .
\end{equation*}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][0, -0.1ex][yshift = -0.1ex]%
{beginTangentUnitVector}{endTangentUnitVector}%
{${\scalebox{.8}{$ \tangentvector $}}$}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][0, -0.1ex][yshift = -0.1ex]%
{beginNormalUnitVector}{endNormalUnitVector}%
{${\scalebox{.8}{$ \normalvector $}}$}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][0, -0.1ex][yshift = -0.1ex]%
{beginBinormalUnitVector}{endBinormalUnitVector}%
{${\scalebox{.8}{$ \binormalvector $}}$}%
\vspace{-0.5em}
\en{The tensor version}\ru{Тензорная версия} \en{of the }\ru{формул }Frenet\hbox{--}Serret\en{ formulas}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{frenetserretformulas.tensorversion}
\bm{f}_{\hspace{-0.1ex}i}{'} \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.1ex} {^2\hspace{-0.2ex}\bm{d}} \hspace{.1ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bm{f}_{\hspace{-0.1ex}i}
\hspace{.2ex} .
\end{equation}
\ru{Формулы }\en{The }Frenet\hbox{--}Serret\en{ formulas}\ru{,}
\en{written}\ru{написанные}
\en{using}\ru{с~использованием}
\en{the~matrix notation}\ru{матричных обозначений}
\nopagebreak\begin{equation*}
\scalebox{.88}{$ \left[ \hspace{.1ex}
\begin{array}{c}
\tangentvector{\hspace{.25ex}'}\\
\normalvector{\hspace{.25ex}'}\\
\binormalvector{\hspace{.15ex}'}
\end{array} \hspace{.1ex} \right] $}
\hspace{-0.4ex} = \hspace{-0.4ex}
\scalebox{.88}{$ \left[ \begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\hspace{.2ex} \kappa & 0 & \hspace{.3ex} \tau \hspace{.3ex} \\
0 & -\hspace{.2ex} \tau & 0
\end{array} \hspace{.4ex} \right] $}
\hspace{-0.4ex}
\scalebox{.88}{$ \left[ \hspace{.1ex}
\begin{array}{c}
\tangentvector \\
\normalvector \\
\binormalvector
\end{array} \hspace{.1ex} \right] $}
\hspace{-0.1ex} .
\end{equation*}
\en{Tensor}\ru{Тензор}~${^2\hspace{-0.2ex}\bm{d}}$\en{ is}\ru{\:---}
\en{skewsymmetric}\ru{кососимметричный},
\en{so}\ru{так что}
\en{it can be represented}\ru{он может быть представлен}
\en{via}\ru{через}
\en{the~companion}\ru{сопутствующий}
\en{pseudovector}\ru{псевдовектор}~(\chapterdotsectionref{chapter:mathapparatus}{section:tensors.symmetric+skewsymmetric}).
\en{This pseudovector}\ru{Этот псевдовектор}
\en{is known as}\ru{известен как}
\en{the}\ru{вектор} Darboux\en{ vector}.
\vspace{-0.2em}\begin{align*}
\bm{D} &= \tau \hspace{.2ex} \tangentvector + \kappa \hspace{.1ex} \binormalvector
\\
\bm{D} &= \tau \hspace{.2ex} \tangentvector + 0 \hspace{.1ex} \normalvector + \kappa \hspace{.1ex} \binormalvector
\end{align*}
\en{With}\ru{С~вектором} \en{the }Darboux\en{ vector}, \ru{формулы }\en{the }Frenet\hbox{--}Serret\en{ formulas} \en{turn into the following}\ru{превращаются в~следующее}:
\begin{align*}
\tangentvector{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.2ex} &= \hspace{-0.15ex} \bm{D} \hspace{-0.2ex} \times \tangentvector ,
\\[-0.2em]
\normalvector{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.2ex} &= \hspace{-0.15ex} \bm{D} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \normalvector ,
\\[-0.2em]
\binormalvector{\hspace{.15ex}'} \hspace{-0.2ex} &= \hspace{-0.15ex} \bm{D} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.15ex} \binormalvector
%\hspace{.1ex} .
\end{align*}
\noindent
\en{or}\ru{или} \en{as}\ru{как} \en{the vector version}\ru{векторная версия} \en{of~}\eqref{frenetserretformulas.tensorversion}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{frenetserretformulas.vectorversion}
\bm{f}_{\hspace{-0.1ex}i}{'} \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.15ex} \bm{D} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.15ex} \bm{f}_{\hspace{-0.1ex}i}
\hspace{.2ex} .
\end{equation}
\ru{Вектор }\en{The }Darboux\en{ vector} \en{is}\ru{есть} \en{the angular velocity vector}\ru{вектор угловой скорости} \ru{системы }\en{of the }Frenet--Serret\en{ frame}.
...
\en{Approximate}\ru{Приближённые} \en{applied}\ru{прикладн\'{ы}е} \en{theories of~rods}\ru{теории стержней} \en{like}\ru{вроде} \en{the }\inquotes{\en{strength of~materials}\ru{сопротивления материалов}} \en{use such concepts as}\ru{используют такие понятия как} \en{internal force}\ru{внутренняя сила}~${\hspace{-0.1ex}\internalforce\hspace{.1ex}}$ \en{and}\ru{и}~\en{internal moment}\ru{внутренний момент}~${\hspace{-0.1ex}\internalmoment}$.
\en{The following}\ru{Следующие} \en{relations}\ru{соотношения} \en{connect them}\ru{связывают их} \en{with the stress tensor}\ru{с~тензором напряжения}
\nopagebreak\vspace{.1em}\begin{align}
\internalforce \hspace{.1ex} (s) \hspace{-0.2ex}
&= \hspace{-0.3ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\integral_{\rodsection} $} \hspace{-0.1ex} \tractionvector{\tangenttoaxis} \hspace{.3ex} d\rodsection
= \hspace{-0.3ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\integral_{\rodsection} $} \hspace{-0.1ex} \tangenttoaxis \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.3ex} d\rodsection
\hspace{.2ex} ,
\label{stresstensortointernalforce}
\\
%
\internalmoment \hspace{.1ex} (s) \hspace{-0.2ex}
&= \hspace{-0.3ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\integral_{\rodsection} $} \hspace{-0.1ex} \bm{x} \hspace{-0.1ex} \times \tractionvector{\tangenttoaxis} \hspace{.3ex} d\rodsection
= \hspace{-0.3ex} \scalebox{.88}{$ \displaystyle\integral_{\rodsection} $} \hspace{-0.1ex} \bm{x} \hspace{-0.1ex} \times \tangenttoaxis \hspace{.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.3ex} d\rodsection
\hspace{.2ex} .
\label{stresstensortointernalmoment}
\end{align}
\begin{equation*}
\tangenttoaxis \equiv \thirdbasisvector
\hspace{.1ex} , \hspace{.6em}
\bm{x} = x_{\alpha} \bm{e}_\alpha
\hspace{.1ex} , \hspace{.6em}
\alpha \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.1ex} 1, 2
\end{equation*}
...
\en{These thoughts}\ru{Эти мысли} \en{about geometry}\ru{о~геометрии} \en{and }\ru{и~}\en{about mechanics}\ru{о~механике}\:--- \en{in particular}\ru{в~частности}, \en{about internal force}\ru{о~внутренней силе}~\eqref{stresstensortointernalforce} \en{and}\ru{и}~\en{internal moment}\ru{внутреннем моменте}~\eqref{stresstensortointernalmoment}\:--- \en{concern only}\ru{касаются только} \en{some unique single configuration}\ru{какой-то уникальной единственной конфигурации} \en{of a~rod}\ru{стержня}.
\en{It’s meaningless to continue these thoughts}\ru{Продолжать эти мысли бессмысленно}, \en{because}\ru{потому что} \en{in reality}\ru{в~реальности} \en{plane and normal sections}\ru{плоские и~нормальные сечения} \en{do~not remain}\ru{не~остаются} \en{plane and normal}\ru{плоскими и~нормальными} \en{after deforming}\ru{после деформирования}.
%%
\begin{tcolorbox}[enhanced, colback = cyan!50, before upper={\parindent2ex}, parbox = false]
\small%
\setlength{\abovedisplayskip}{2pt}\setlength{\belowdisplayskip}{2pt}%
\begin{center}
\emph{synonyms for \inquotes{deplanations}}
\vspace{-1em}
\end{center}
warp, warping = \russianlanguage{деформация} (deformation, strain), \russianlanguage{искривление}, \russianlanguage{искажение} (distort, distortion), \russianlanguage{перек\'{о}с} (skew), \russianlanguage{перекос\'{и}ть}, \russianlanguage{перек\'{а}шиваться}, \russianlanguage{кор\'{о}биться}, \russianlanguage{покор\'{о}бить}, \russianlanguage{коробл\'{е}ние}, becoming twisted or bent
\end{tcolorbox}
\ru{А}\en{And}~\en{the~addition}\ru{добавление} \en{of some assumptions-hypotheses}\ru{некоторых предположений-гипотез} \en{to the model}\ru{в~модель}, \en{like}\ru{подобных} \inquotes{\en{there are no warping (deplanations)}\ru{искривления (депланаций) нет}} \en{and}\ru{и}~\en{initially plane sections remain plane}\ru{первоначально плоские сечения остаются плоскими}\footnote{%
\en{The two very popular beam models exist}\ru{Существуют две очень популярные модели балки}\ru{,} \en{which}\ru{которые} \en{postulate}\ru{постулируют} \en{the hypothesis}\ru{гипотезу} \en{about the~absence of~deplanations}\ru{об отсутствии депланаций}.
\en{In the }\ru{В~теории балок }Euler\ru{’а}\hbox{--}Bernoulli\en{ beam theory}, \en{shear deformations are neglected}\ru{сдвиговыми деформациями пренебрегают}, \en{plane sections remain plane}\ru{плоские сечения остаются плоскими} \en{and}\ru{и}~\en{perpendicular to the~axis}\ru{перпендикулярными оси}.
\en{In the }\ru{В~теории балок }Timoshenko\en{ beam theory} \en{there’s}\ru{имеется} \en{a~constant}\ru{постоянный} \en{transverse shear}\ru{поперечный сдвиг} \en{along the section}\ru{вдоль сечения}, \en{so}\ru{так что} \en{plane sections still remain plane}\ru{плоские сечения всё ещё остаются плоскими}, \en{but they}\ru{но они} \en{are no longer perpendicular to the~axis}\ru{больше не перпендикулярны оси}.}\hspace{-0.3ex}
%
\en{introduces}\ru{вносит} \en{essential}\ru{существенные} \en{contradictions}\ru{противоречия} \en{with reality}\ru{с~реальностью}.
\en{Enough to recall}\ru{Достаточно вспомнить} \en{just one fact that}\ru{лишь один факт, что} \en{without}\ru{без} \en{deplanations}\ru{депланаций} \en{it’s impossible}\ru{невозможно} \en{to acceptably describe}\ru{приемлемо описать} \en{the torsion of a~rod}\ru{кручение стержня} (\en{and not only torsion}\ru{и~не~только кручение}).
%%warping
%%Warping due to shear noticeably complicates the behaviour of a~rod.
\en{The very reasonable}\ru{Очень резонный} \en{approach}\ru{подход} \en{to}\ru{к}~\en{modeling}\ru{моделированию} \en{deformations}\ru{деформаций} \en{of an~elastic rod}\ru{упругого стержня} \en{consists in}\ru{состоит в} \en{asymptotic splitting}\ru{асимптотическом расщеплении} \en{of the three-dimensional problem}\ru{трёхмерной проблемы} \en{with }\ru{с~}\en{a~small thickness}\ru{м\'{а}лой толщиной}.
\en{But}\ru{Но} \en{for}\ru{для} \en{a~complex asymptotic procedure}\ru{сложной асимптотической процедуры} \en{it would be much simpler}\ru{было бы намного проще} \en{to have}\ru{иметь} \en{whatever}\ru{какую-нибудь} \en{solution version}\ru{версию решения} \en{aforehand}\ru{заранее}.
\en{And}\ru{И} \en{the direct approach}\ru{прямой подход}, \en{when}\ru{когда} \en{the one\hbox{-}dimensional model}\ru{одномерная модель} \en{of a~rod}\ru{стержня}\en{ is}\ru{\:---} \en{a~material line}\ru{материальная линия}, \en{gives}\ru{даёт} \en{such a~version}\ru{такую версию}.
\en{The primary question}\ru{Первичный вопрос} \en{for building}\ru{для построения} \en{the one\hbox{-}dimensional model}\ru{одномерной модели}:
\en{what}\ru{какими} \en{degrees of~freedom}\ru{степенями свободы}\:--- \en{besides translation}\ru{помимо трансляции}\:--- \en{do}\ru{обладают} \en{the particles}\ru{частицы} \en{of a~material line}\ru{материальной линии}\en{ possess}?
\en{It is known that}\ru{Известно, что} \en{rods}\ru{стержни} \en{are sensitive}\ru{чувствительны} \en{to the moment loads}\ru{к~моментным нагрузкам}.
\en{And }\ru{А~}\en{the presence of moments}\ru{присутствие моментов} \en{among}\ru{среди} \en{generalized forces}\ru{обобщённых сил} \en{indicates}\ru{показывает} \en{the presence}\ru{наличие} \en{of rotational degrees of freedom}\ru{вращательных степеней свободы}.
\en{Therefore}\ru{Поэтому} \en{as}\ru{как} \en{the one-dimensional model}\ru{одномерную модель} \en{of~a~rod}\ru{стержня} \en{it is reasonable to take}\ru{разумно взять} \en{the }\ru{линию }Cosserat\en{ line}\:--- \en{it}\ru{она} \en{consists of}\ru{состоит из} \en{infinitesimal}\ru{бесконечно-малых} \en{absolutely rigid bodies}\ru{абсолютно жёстких тел}.
\en{However}\ru{Впрочем}, \en{another new}\ru{другие новые} \en{degrees of~freedom}\ru{степени свободы} \en{may also appear}\ru{могут тоже появиться}\:--- \en{as for thin-walled rods}\ru{как для тонкостенных стержней}, \en{described}\ru{описанных} \en{in the dedicated chapter}\ru{в~отдельной главе}~(\chapterref{chapter:thinwalledrods}).
\en{In the mechanics}\ru{В~механике}
\en{of a~continuous elastic media}\ru{сплошных упругих сред}\en{,}
\en{the place of rods is special}\ru{у~стержней\:--- специальное место}.
\en{At first}\ru{Во-первых},
\en{the moments}\ru{моменты}
\en{play}\ru{играют}
\en{here}\ru{здесь}
\en{the main role}\ru{главную роль},
\en{not the role}\ru{а~не~роль}
\en{of the small additions}\ru{малых добавок}
\en{as in a~three-dimensional}\ru{как в~трёхмерном \rucontinuum{}е}
Cosserat\en{ continuum}.
\en{At second}\ru{Во\hbox{-}вторых},
\en{the rods}\ru{стержни}
\en{can be}\ru{могут быть}
\en{used}\ru{использованы}
\en{to test}\ru{для тестирования}
\en{models}\ru{моделей}
\en{with the additional degrees of freedom}\ru{с~дополнительными степенями свободы},
\en{before}\ru{прежде, чем}
\en{the presence}\ru{наличие}
\en{of these degrees}\ru{этих степеней}
\en{will be researched}\ru{будет исследовано}
\en{for}\ru{для}
\en{the three-dimensional models}\ru{трёхмерных моделей}.
\en{The following section}\ru{Следующая секция}
\en{presents and describes}\ru{представляет и~описывает}
\en{a~simple}\ru{простую}
\en{one-dimensional}\ru{одномерную}
\en{Cosserat-like moment model}\ru{моментную модель типа Cosserat}.
\en{\section{Kinematics of Cosserat lines}} % Cosserat curves
\ru{\section{Кинематика линий Коссера}} % кривых Коссера
\label{section:rods.cosseratlines}
\en{Model described further}\ru{Модель, описанная далее}\en{ is}\ru{\:---} \en{a~simplified version of}\ru{упрощённая версия}~\chapterref{chapter:cosseratcontinuum}.
\en{There’s no more a~triple}\ru{Больше нет тройки} \en{of material coordinates}\ru{материальных координат}~${q_{\hspace{.1ex}i}}$, \en{but}\ru{но} \en{the only one}\ru{лишь одна}\:--- $s$.
\en{It may be}\ru{Это может быть} \en{the arc length parameter}\ru{параметр длины дуги} \en{in the initial configuration}\ru{в~начальной конфигурации}.
\en{The motion}\ru{Движение} \en{of a~particle}\ru{частицы} \en{over time}\ru{со~временем} \en{is described}\ru{описывается} \en{by the location vector}\ru{вектором положения}~${\locationvector(s,t)}$ \en{and}\ru{и} \en{the rotation tensor}\ru{тензором поворота}~${\rotationtensor(s,t)}$.
\en{The~}\en{linear}\ru{Линейная}
\en{and}\ru{и}~\en{angular}\ru{угловая}~\eqrefwithchapterdotsection{angularvelocityvector}{chapter:mathapparatus}{section:rotationtensors}
\en{velocities}\ru{скорости}
\en{of~a~rod’s particle}\ru{частицы стержня}
\en{are}\ru{суть}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{gather}
\mathdotabove{\locationvector} = \bm{v}
\hspace{.1ex} , %\hspace{.5em}
\label{cosseratrod.linearvelocity}
\\[-0.2em]
%
\mathdotabove{\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} = \bm{\omega} \times \hspace{-0.1ex} \rotationtensor
\hspace{.3em} \Leftrightarrow \hspace{.3em}
\bm{\omega} \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \scalebox{.96}{$ \bigl( \mathdotabove{\rotationtensor} \hspace{-0.1ex} \dotp \rotationtensor^{\T} \hspace{.1ex} \bigr)_{\hspace{-0.3ex}\Xcompanion} $}
\hspace{.1ex} .
\label{cosseratrod.angularvelocity}
\end{gather}
\en{Deformation of a~rod}\ru{Деформация стержня} \en{as}\ru{как} \en{a~Cosserat line}\ru{линии Cosserat} \en{is defined}\ru{определяется} \en{by two vectors}\ru{двумя векторами}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{gather}
\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} \equiv \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex} - \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.15ex} \initiallocationvector{\hspace{.1ex}'}
\hspace{-0.25ex} ,
\label{cosseratrod.firstdeformationvector}
\\[.1em]
%
\seconddeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} \equiv \hspace{-0.1ex} - \hspace{.25ex} \smalldisplaystyleonehalf \scalebox{.96}{$ \bigl( \rotationtensor{\hspace{.15ex}'} \hspace{-0.3ex} \dotp \rotationtensor^{\T} \hspace{.1ex} \bigr)_{\hspace{-0.3ex}\Xcompanion} $}
\hspace{.25em} \Leftrightarrow \hspace{.3em}
\rotationtensor{\hspace{.15ex}'} \hspace{-0.33ex} = \seconddeformationvectorcosseratline \times \hspace{-0.1ex} \rotationtensor
\hspace{.1ex} .
\label{cosseratrod.seconddeformationvector}
\end{gather}
\begin{equation*}
\Bigl( \hspace{.2em}
\initiallocationvector(s) \hspace{-0.1ex}
\equiv
\currentlocationvector(s, 0)
\hspace{.2em} \Bigr)
\vspace{-0.2em}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\| \bm{e}_{3} \| = \| \mathcircabove{\bm{e}}_{3} \| = 1 = \constant
\end{equation*}
\noindent
\eqref{cosseratrod.firstdeformationvector}
\en{and}\ru{и}~\eqref{cosseratrod.seconddeformationvector}
\en{are really}\ru{реально}
\en{the deformation vectors}\ru{векторы деформации},
\en{it follows}\ru{это следует}
\en{from their equality}\ru{из равенства их}
\en{to zero}\ru{нулю}
\en{on movements}\ru{на движениях}
\en{of~a~body}\ru{тела}
\en{as}\ru{как}
\en{a~rigid whole}\ru{жёсткого целого}
\textcolor{magenta}{(.... add some equation(s) here describing movements as a~rigid whole .....)}.
\en{Further}\ru{Дальше}
\en{we will clarify}\ru{мы проясним}
\en{the idea}\ru{идею}
\en{of the first deformation vector}\ru{первого вектора деформации}~$\firstdeformationvectorcosseratline$.
\en{Without a~loss}\ru{Без потери}
\en{of~universality}\ru{универсальности},
\en{the parameter}\ru{параметр}~$s$
\en{is}\ru{это}
\en{the initial arc length}\ru{начальная длина дуги},
\en{the third initial basis vector}\ru{третий начальный базисный вектор}~${\mathcircabove{\bm{e}}_{3}}$
\en{is directed}\ru{направлен}
\en{along the tangent}\ru{вдоль касательной}
\en{in the initial configuration}\ru{в~начальной конфигурации}:
${ \mathcircabove{\bm{e}}_{3} = \initiallocationvector{\hspace{.1ex}'} }$.
\en{And then}\ru{И~тогда}
\nopagebreak\vspace{-0.3em}\begin{multline}
\label{cosseratrod.firstdeformationvectorexplained}
%
\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} \equiv \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex} - \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.15ex} \initiallocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.4ex}
,
\hspace{.5em}
\initiallocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.2ex} = \mathcircabove{\bm{e}}_{3}
\hspace{.2ex} ,
\hspace{.5em}
\rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.15ex} \initiallocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.2ex}
= \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.15ex} \mathcircabove{\bm{e}}_{3} \hspace{-0.2ex}
= \bm{e}_{3}
%
%%\hspace{.4em} \Rightarrow
\\[-0.25em]
\Rightarrow \hspace{.4em}
%
\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} = \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex} - \bm{e}_{3}
\hspace{.2ex} ,
\end{multline}
\nopagebreak\vspace{-0.5em}\begin{multline*}
\currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex} = \firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} + \bm{e}_{3}
\hspace{.2ex} ,
\hspace{.5em}
\| \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \|^{2} \hspace{-0.3ex}
= \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.4ex} \dotp \hspace{.1ex} \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.4ex}
= \bigl( \firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} + \bm{e}_{3} \bigr) \hspace{-0.3ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bigl( \firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} + \bm{e}_{3} \bigr)
\\
%
= \firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.2ex} \dotp \firstdeformationvectorcosseratline + 2 \hspace{.2ex} \firstdeformationvectorcosseratline \dotp \bm{e}_{3} \hspace{-0.2ex} + \bm{e}_{3} \hspace{-0.2ex} \dotp \bm{e}_{3}
\hspace{.2ex} ,
\end{multline*}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\| \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \|
= \displaystyle\sqrt{ \| \firstdeformationvectorcosseratline \|^{2} \hspace{-0.2ex} + 2 \hspace{.2ex} \firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{3} \hspace{-0.2ex} + 1 \hspace{.2ex} }
\hspace{.1ex} ,
\end{equation*}
\nopagebreak\begin{equation}
\label{cosseratrod.firstdeformationvectordescribesextension}
%
\| \currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \| - 1
= \displaystyle\sqrt{ \| \firstdeformationvectorcosseratline \|^{2} \hspace{-0.2ex} + 2 \hspace{.2ex} \firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{3} \hspace{-0.1ex} + 1 \hspace{.2ex} } - 1
= \hspace{.1ex} \firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{3} \hspace{-0.1ex} + \infty^{\hspace{-0.3ex}\expminusone} \hspace{-0.2ex} \bigl( \| \firstdeformationvectorcosseratline \|^{2} \bigr)
\hspace{.2ex} .
\end{equation}
\noindent
\en{Equality}\ru{Равенство}~\eqref{cosseratrod.firstdeformationvectordescribesextension} \en{describes}\ru{описывает} \en{a~relative elongation}\ru{относительное удлинение}.
\en{Roughly speaking}\ru{Грубо говоря}, \en{component}\ru{компоненту}~${\firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{3} \hspace{-0.2ex} \equiv \firstdeformationvectorcosseratline \dotp \bm{e}_{3} \hspace{-0.2ex}}$ \en{can be considered an~elongation}\ru{можно считать удлинением}, \en{and}\ru{а}~\en{components}\ru{компоненты}~${\firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{1} \hspace{-0.2ex} \equiv \firstdeformationvectorcosseratline \dotp \bm{e}_{1}}$, ${\firstdeformationvectorcosseratlinecomponents{2} \hspace{-0.2ex} \equiv \firstdeformationvectorcosseratline \dotp \bm{e}_{2} \hspace{-0.2ex}}$ \en{present}\ru{представляют} \en{a~transverse shear}\ru{поперечный сдвиг}.
\en{It’s more accurate}\ru{Более точно} \en{to rely}\ru{полагаться} \en{on formulas}\ru{на формулы}~\eqref{cosseratrod.firstdeformationvectorexplained} \en{and}\ru{и}~\eqref{cosseratrod.firstdeformationvectordescribesextension}.
......
\en{The~Cosserat-like model of~a~rod}\ru{В~модели стержня типа Cosserat} \en{doesn’t have a~section as a~plane figure}\ru{нет сечения как плоской фигуры}.
....
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Balance of forces and moments}}
\ru{\section{Баланс сил и моментов}}
\label{section:rods.forcesandmomentsbalance}
\en{Possible loads}\ru{Возможные нагрузки}\ru{,} \en{acting}\ru{действующие} \en{on a~rod}\ru{на стержень} \en{as}\ru{как} \en{the~}\ru{линию }Cosserat\en{ line}\en{ are}\ru{\:---} \en{forces}\ru{\hbox{силы}} \en{and}\ru{и}~\en{moments}\ru{моменты}: \en{on~infinitesimal element}\ru{на~бесконечно-малый элемент}~$ds$ \en{of a~rod}\ru{стержня} \en{act}\ru{действуют} \en{external force}\ru{внешняя сила}~${\bm{q}ds}$ \en{and}\ru{и}~\en{external moment}\ru{внешний момент}~${\bm{m}ds}$.
\en{The internal interactions}\ru{Внутренними взаимо\-действиями} \en{will be}\ru{будут} \en{force}\ru{сила}~${\internalforce(s)}$ \en{and }\ru{и~}\en{moment}\ru{момент}~${\internalmoment(s)}$\:--- \en{this is the action}\ru{это действие} \en{of the particle}\ru{частицы} \en{with coordinate}\ru{с~координатой}~${s\!+\!0}$ \en{on the particle}\ru{на частицу} \en{with}\ru{с}~${s\!-\!0}$.
\en{The~action--re\-action principle}\ru{Принцип действия--про\-ти\-во\-действия} \en{gives that}\ru{даёт, что}
\en{a~reverse}\ru{реверс} (\en{a~change of direction}\ru{перемена направления}) \en{of~}\en{coordinate}\ru{координаты}~$s$ \en{changes signs}\ru{меняет знаки} \en{of~}${\internalforce}$ \en{and}\ru{и}~${\internalmoment}$.
...
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Principle of virtual work and consequences}}
\ru{\section{Принцип виртуальной работы и следствия}}
\label{section:rods.principleofvirtualwork}
\noindent
\en{For a~piece of~rod}\ru{Для куск\'{а} стержня} ${s_0 \hspace{.2em} \scalebox{.9}{$\leq$} \hspace{.18em} s \hspace{.22em} \scalebox{.9}{$\leq$} \hspace{.2em} s_1}$ \en{formulation of the~principle is as~follows}\ru{формулировка принципа таков\'{а}}
......
\en{Conventionally}\ru{Условно}
$\bm{a}$ \en{is}\ru{есть} \en{the~tensor of~stiffness for bending and~twisting}\ru{тензор жёсткости на~изгиб и~кручение},
$\bm{b}$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~tensor of~stiffness for (ex)tension and~shear}\ru{тензор жёсткости на~растяжение и~сдвиг},
\en{and}\ru{а}~$\bm{c}$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~tensor of~crosslinks}\ru{тензор перекрёстных связей}.
\en{Stiffness tensors}\ru{Тензоры жёсткости} \en{rotate}\ru{поворачиваются} \en{along}\ru{вместе} \en{with a~particle}\ru{с~частицей}:
...
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Classical Kirchhoff’s model}}
\ru{\section{Классическая модель Kirchhoff’а}}
\label{section:rods.modelofkirchhoff}
\en{It is also called}\ru{Её ещё называют} \en{the }\emph{\en{Kirchhoff’s rod theory}\ru{теорией стержней Kirchhoff’а}}.
\en{Until now}\ru{До~сих~пор} \en{functions}\ru{функции} ${\locationvector(s,t)}$ \en{and}\ru{и}~${\rotationtensor(s,t)}$ \en{were independent}\ru{были независимы}.
\en{The }\ru{Классическая теория }Kirchhoff\en{’s}\ru{’а}\en{ classical theory}
\en{postulates}\ru{постулирует}
\en{the internal con\emph{strain}t}\ru{внутреннюю связь}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{kirchhoffmodelinternalconstraint}
\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} = \zerovector
\hspace{.4em} \Leftrightarrow \hspace{.4em}
\currentlocationvector_\differentialindex{s} \hspace{-0.2ex} = \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \initiallocationvector_\differentialindex{s} \hspace{-0.2ex}
\hspace{.5em} \text{\en{or}\ru{или}} \hspace{.5em}
\currentlocationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.33ex} = \rotationtensor \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \initiallocationvector{\hspace{.1ex}'}
\hspace{-0.33ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{Having}\ru{Имея} \en{the idea of vector}\ru{идею вектора}~$\firstdeformationvectorcosseratline$ \eqref{cosseratrod.firstdeformationvectorexplained}, \en{here we can tell that}\ru{здесь мы можем сказать, что}:
(1)~\en{a~rod is non-extensible}\ru{стержень нерастяжим}, (2)~\en{there are no transverse shears}\ru{поперечных сдвигов нет}.
\en{If}\ru{Если} \en{basis vector}\ru{базисный вектор}~${\mathcircabove{\bm{e}}_3}$ \en{was directed}\ru{был направлен} \en{along}\ru{вдоль} \en{the tangent to the axis}\ru{касательной к~оси} \en{in the initial configuration}\ru{в~начальной конфигурации}, \en{then}\ru{то} \en{it}\ru{он} \en{will remain}\ru{будет оставаться} \en{on the tangent}\ru{на~касательной} \en{also}\ru{также} \en{after deforming}\ru{после деформирования}.
\en{The rod particles}\ru{Частицы стержня} \en{rotate}\ru{вращаются} \en{only together}\ru{лишь вместе} \en{with }\ru{с~} \en{the tangent to the axis}\ru{касательной к~оси} \en{and around it}\ru{и~вокруг неё}.
\begin{otherlanguage}{russian}
Уравнения баланса сил и~моментов (импульса и~момента импульса) не~меняются от введения связи~\eqref{kirchhoffmodelinternalconstraint}.
Но локальное вариационное соотношение (...) становится короче:
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Euler’s problem about stability of rods}}
\ru{\section{Проблема Euler’а об устойчивости стержней}}
\label{section:rods.eulerstabilityproblem}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассматривается прямой стержень, защемлённый на одном конце и~нагруженный силой~$\bm{P}$ на~другом (рисунок ?? 123 ??).
Сила \inquotes{мёртвая}~(не~меняется в~процессе деформирования)
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Variational equations}} % Equations in variations
\ru{\section{Вариационные уравнения}} % Уравнения в вариациях
\label{section:rods.equationsinvariations}
\en{In the nonlinear mechanics of elastic media}\ru{В~нелинейной механике упругих сред} \ru{полезны }\en{variational equations}\ru{вариационные уравнения}\en{ are useful}, \en{which describe}\ru{которые описывают} \en{a~small change}\ru{малое изменение} \en{in the current configuration}\ru{текущей конфигурации}~(\chapterdotsectionref{chapter:nonlinearcontinuum}{section:variationofconfiguration}).
\en{Variating}\ru{Варьируя} \en{equations}\ru{уравнения} \en{of the complete system}\ru{полной системы} \en{of the }\ru{модели }Cosserat\en{ model}, \en{we get}\ru{мы получаем}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{gather*}
\variation{\hspace{.1ex}\internalforce}{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.3ex} + \variation{\bm{q}}
= \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.15ex} \bigl( \fieldofdisplacements + \varbivalent{\hspace{-0.2ex}\cauchystress} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \infinitesimaldeformation \bigr)^{ \hspace{-0.1ex} \tikz[baseline=-0.2ex] \draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex); \hspace{.25ex} \tikz[baseline=-0.2ex] \draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex); }
\hspace{-0.2ex} ,
\\
%
\variation{\hspace{.1ex}\internalmoment}{\hspace{.25ex}'} \hspace{-0.3ex} + \fieldofdisplacements{'} \hspace{-0.3ex} \times \hspace{-0.2ex} \internalforce + \locationvector{\hspace{.1ex}'} \hspace{-0.3ex} \times \hspace{-0.2ex} \variation{\hspace{.1ex}\internalforce} + \variation{\internaldistributedmoment}
= \ldots
\end{gather*}
...
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Non-shear model with (ex)tension}}
\ru{\section{Модель без сдвига с растяжением}}
\label{section:rods.nonshearmodelwithextension}
\en{Kirchhoff’s model}\ru{Модель Kirchhoff’а}
\en{with an internal constraint}\ru{с~внутренней связью}~${\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.2ex} \zerovector}$~\eqref{kirchhoffmodelinternalconstraint}
\en{doesn’t describe}\ru{не~описывает}
\en{the~simplest case}\ru{простейший случай}
\en{of a~straight rod extension/compression}\ru{растяжения/сжатия прямого стержня}.
\en{This nuisance}\ru{Эта неприятность}
\en{disappears}\ru{исчезает}
\en{with}\ru{со}~\inquotes{\en{softening}\ru{смягчением}}
\en{of the~con\emph{strain}t}\ru{связи},
\en{for example}\ru{например}
\en{by adding}\ru{добавлением}
\en{the~possibility of (ex)tension}\ru{возможности растяжения}
\en{and}\ru{и}
\en{inhibiting}\ru{подавлением}
\en{only the transverse shear}\ru{лишь поперечного сдвига}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}
\begin{equation}\label{kirchhoffinternalconstraintwithextension}
\firstdeformationvectorcosseratline \hspace{-0.1ex} = \Gamma \bm{e}_3 \hspace{-0.2ex}
\hspace{.4em} \Leftrightarrow \hspace{.4em}
\Gamma_{\hspace{-0.2ex}\alpha} \hspace{-0.2ex} = 0
\end{equation}
...
%%\begin{otherlanguage}{russian}
%%\end{otherlanguage}
\en{\section{Mechanics of flexible thread}}
\ru{\section{Механика гибкой нити}}
\label{section:rods.flexiblethreadmechanics}
\en{A~thread}\ru{Нить}\en{ is}\ru{\:---} \ru{это} \en{a~momentless rod}\ru{безмоментный стержень}.
\begin{otherlanguage}{russian}
\en{A~flexible thread~(chain)}\ru{Гибкая нить~(цепь)} \en{is simpler than a~rod}\ru{проще стержня}, \en{because}\ru{потому что} \en{its particles}\ru{её частицы} \en{are}\ru{суть} \inquotes{\ru{простые}\en{simple}} \en{material points}\ru{материальные точки} \en{with only translational degrees of~freedom}\ru{с~лишь трансляционными степенями свободы}.
\en{Therefore}\ru{Поэтому} среди нагрузок нет моментов, только \inquotes{линейные} силы\:--- внешние распределённые~$\bm{q}$ и~внутренние сосредоточенные~$\bm{Q}$.
Движение нити полностью определяется одним вектором-радиусом~${\locationvector(s,t)}$, а~инерционные свойства\:--- линейной плотностью~${\rho\hspace{.1ex}(s)}$.
% linear density
Вот принцип виртуальной работы для куск\'{а} нити ${s_0 \leq s \leq s_1}$
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}
\scalebox{.95}{$
\displaystyle \integral\displaylimits_{\raisemath{.05em}{\mathclap{s_0}}}^{\raisemath{.15em}{\mathclap{s_1}}}
$}
\hspace{-0.25ex} \Bigl( \hspace{-0.1ex}
\bigl( \bm{q} - \hspace{-0.12ex} \rho \hspace{.2ex} \mathdotdotabove{\locationvector} \hspace{.36ex} \bigr)
\hspace{-0.25ex} \dotp \variation{\locationvector}
- \variation{\potentialenergydensity}
\Bigr) ds
\hspace{.1ex} + \hspace{-0.1ex} \Bigl[ \hspace{.1ex}
\bm{Q} \hspace{-0.1ex} \dotp \variation{\locationvector}
\hspace{.15ex} \Bigr]_{\hspace{-0.25ex}s_0}^{\hspace{-0.25ex}s_1}
\hspace{-0.33ex} = 0
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
...
Механика нити детально описана в~книге~\cite{merkin-threadmechanics}.
\end{otherlanguage}
\en{\section{Linear theory}}
\ru{\section{Линейная теория}}
\label{section:rods-lineartheory}
\begin{otherlanguage}{russian}
В~линейной теории внешние воздействия считаются малыми, а~отсчётная конфигурация\:--- ненапряжённым состоянием покоя.
Уравнения в~вариациях в~этом случае дают
...
\end{otherlanguage}
\section{\en{Rod of small thickness}\ru{Стержень м\'{а}лой толщины}}
\label{section:rods.smallthickness}
\en{When}\ru{Когда}
\en{the rod’s relative thickness}\ru{относительная толщина стержня}
\en{is small}\ru{мал\'{а}},
\en{then}\ru{тогда}
\en{for such a~rod}\ru{для такого стержня}
\en{the Cosserat-like model}\ru{модель типа Cosserat}
\en{can be replaced}\ru{может быть заменена}
\en{with the~classical one}\ru{классической}.
\en{The~}\inquotes{\en{smallness}\ru{М\'{а}лость}}
\en{of~thickness}\ru{толщины}
\en{is determined}\ru{определяется}
\en{by the~ratio of rigidities (stiffnesses)}\ru{отношением жёсткостей}.
%
\en{But since}\ru{Но поскольку}
$\bm{a}$, $\bm{b}$ \en{and}\ru{и}~$\bm{c}$
\en{are measured in different units}\ru{измеряются в~разных единицах},
\en{taking}\ru{взяв}
\en{some range of~length}\ru{некий диапазон длины}~$\hcursive$
\en{and}\ru{и}~\en{denoting}\ru{обозначая}
${\bm{a} = \hcursive^{\hspace{-0.25ex}2} \hspace{.2ex} \tikzwidearc{\bm{a}}}$
\en{and}\ru{и}~${\bm{c} = \hcursive \tikzwidearc{\bm{c}}}$,
\en{the~units of~tensors}\ru{единицы тензоров}
${\tikzwidearc{\bm{a}}}$, $\bm{b}$
\en{and}\ru{и}~${\tikzwidearc{\bm{c}}\hspace{.2ex}}$
\en{will be the same}\ru{будут одинаковыми}.
%
\en{By picking}\ru{Подбором}~$\hcursive$
\en{so that}\ru{так, чтобы}
\en{the~characteristic values}\ru{характеристические значения}
\en{of~tensors}\ru{тензоров}
${\tikzwidearc{\bm{a}}}$, $\bm{b}$ \en{and}\ru{и}~${\tikzwidearc{\bm{c}}}$
\en{become closer}\ru{сближались},
\ru{может быть найдена }\en{the~rod’s }\inquotes{\en{equivalent thickness}\ru{эквивалентная толщина}}~$h$\ru{ стержня}\en{ can be found}
(\en{for real}\ru{для реальных}
\en{three-dimensional}\ru{трёхмерных}
\en{rods}\ru{стержней},
$h$~\en{is~somewhere around}\ru{где\hbox{-}то около}
\en{the cross-section diameter}\ru{диаметра поперечного сечения}).
\en{Representing}\ru{Представляя}
$\internalforce$ \en{and}\ru{и}~$\internalmoment$
\en{via vectors}\ru{через векторы}
\en{of infinitesimal linear deformation}\ru{бесконечномалой линейной деформации}
....
\en{The transition}\ru{Переход}
\en{from}\ru{от}
\en{the Cosserat-like model}\ru{модели типа Cosserat}
\en{to the classical one}\ru{к~классической}
\en{seems more obvious if}\ru{кажется более очевидным, если}
\en{equations}\ru{уравнения}~(...)
\en{are integrated}\ru{интегрируются}
\en{immediately}\ru{непосредственно}.
...
\en{\section{Saint\hbox{-\hspace{-0.2ex}}Venant’s problem}}
\ru{\section{Задача Saint\hbox{-}Venant’а}}
\label{section:rods.problemofsaint-venant}
\en{It’s hard}\ru{Тяжело}
\en{to overestimate}\ru{переоценить}
\en{the~role that}\ru{ту роль, которую}
\ru{играет классическое решение}\en{the} Saint\hbox{-\hspace{-0.2ex}}Venant’\en{s}\ru{а}\en{ classical solution plays}
\en{in the~mechanics of~rods}\ru{в~механике стержней}.
\en{This solution}\ru{Это решение}
\en{was already considered earlier}\ru{уж\'{е} рассматривалось ранее}
\en{in}\ru{в}~\chapterdotsectionref{chapter:linearclassicalelasticity}{section:twistingofrods.saintvenant}.
\en{In place of~conditions}\ru{На место условий} ...