chapterthermoelasticity.tex

\en{\chapter{Thermoelasticity}}

\ru{\chapter{Термоупругость}}

\thispagestyle{empty}

\newcommand{\temperaturefield}{\scalebox{0.9}[1]{$\varTheta$}} % {\hspace{.2ex} T}
\newcommand{\temperaturegradient}{\boldnabla \temperaturefield}
\newcommand{\heatfluxvector}{\bm{q}}

\label{chapter:thermoelasticity}

%~%~%~% intro to the chapter "thermoelasticity"

\begin{changemargin}{\parindent}{\parindent}
\vspace{-2.5em}
{\noindent\small
\setlength{\parskip}{\spacebetweenparagraphs}

\en{Hitherto}\ru{До~сих~пор}\en{,}
\en{modeling}\ru{моделирование}
\en{in this book}\ru{в~этой книге}
\en{was limited to}\ru{было ограничено}
\en{just only}\ru{только лишь}
\en{mechanics}\ru{механикой}.
\en{Everyday experience}\ru{Повседневный опыт}
\en{shows}\ru{показывает},
\en{however}\ru{однако},
\en{that}\ru{что}
\en{changes in~temperature}\ru{изменения температуры}
(\en{heating or cooling}\ru{нагрев\textcolor{gray}{ание} или охлаждение})
\en{deform}\ru{деформируют}
\en{bodies}\ru{тел\'{а}}.
\en{Thermal}\ru{Тепловые}
\en{deformations}\ru{деформации}
\en{and}\ru{и}~\en{stresses}\ru{напряжения}
\en{often}\ru{часто}
\en{play}\ru{играют}
\en{the~primary role}\ru{первичную роль}
\en{and}\ru{и}~\en{can lead}\ru{могут вести}
\en{to~a~breakage}\ru{к~поломке}.

\hspace*{\fill}
\emph{(\en{In this chapter}\ru{В~этой главе}\en{,}
\ru{рассматривается }\en{only the~momentless model}\ru{лишь безмоментная модель}\en{ is considered}.)}

\par}
\vspace{-1.2em}
\end{changemargin}

%~%~%~%

\en{\section{The first law of thermodynamics}}

\ru{\section{Первый закон термодинамики}}

\label{section:firstlaw.thermoelasticity}

\en{\dropcap{V}{ery}}\ru{\dropcap{О}{чень}}
\en{successful}\ru{успешный}
\en{in~mechanics}\ru{в~механике},
\en{the principle of~virtual work}\ru{принцип виртуальной работы}
\en{is not~applicable}\ru{не~примен\'{и}м}
\en{to~thermomechanics}\ru{к~термо\-механике}%
\footnote{\en{Analogue}\ru{Аналог}
\en{of the~principle of virtual work}\ru{принципа виртуальной работы}
\en{will be presented}\ru{будет представлен}
\en{below}\ru{ниже}
\en{in}\ru{в}~\sectionref{section:variationalformulations.thermoelasticity}.}\hbox{\hspace{-0.5ex}.}
\en{Considering}\ru{Рассматривая}
\en{thermal effects}\ru{тепловые эффекты},
\en{it’s possible}\ru{возможно}
\en{to~lean on}\ru{опираться на}~\en{the~two laws of~thermodynamics}\ru{два закона термодинамики}.

\en{The~first}\ru{Первый},
\en{discovered by}\ru{открытый}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/James_Prescott_Joule}{Joule}\ru{’ем},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Julius_von_Mayer}{Mayer}\ru{’ом},
\en{and}\ru{и}~\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_von_Helmholtz}{Helmholtz}\ru{’ем}\:---
\ru{это}\en{is}
\en{the~balance of~energy}\ru{баланс энергии}\::
\en{the~rate of internal energy change}\ru{скорость изменения внутренней энергии}~${\mathdotabove{E}\hspace{.1ex}}$
\en{is equal to}\ru{равна}
\en{the~sum}\ru{сумме}
\en{of }\en{the~power of external forces}\ru{мощности внешних сил}~$P^{\smthexternal}$
\en{and}\ru{и}~\en{the~rate of heat supply}\ru{скорости подвода тепла}~$\mathdotabove{Q}$

\nopagebreak
\begin{equation}\label{thefirstlawofthermodynamics}
\mathdotabove{E} = P^{\smthexternal} \hspace{-0.1ex} + \mathdotabove{Q}
\hspace{.1ex} .
\end{equation}

\vspace{-0.1em}
\en{Internal energy}\ru{Внутренняя энергия}~$E$
\en{is}\ru{это}
\en{the~sum}\ru{сумма}
\en{of the~}\en{kinetic}\ru{кинетической}
\en{and}\ru{и}~\en{the~potential}\ru{потенциальной}
\en{energies}\ru{энергий}
\en{of the~particles}\ru{частиц}.
\en{For}\ru{Для}
\en{any}\ru{любого}
\en{finite}\ru{кон\'{е}чного}
\en{volume}\ru{объёма}
\en{of a~material}\ru{материального}
\en{continuum}\ru{\rucontinuum{}а}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.1em}}\ru{\vspace{-0.8em}}%
\begin{equation}\label{internalenergy:continuumthermodynamics}
E = \hspace{-0.44ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \rho \hspace{.2ex} \Bigl( \hspace{.1ex}
   \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.2ex}
   \mathdotabove{\currentlocationvector}
   \dotp
   \mathdotabove{\currentlocationvector}
   \hspace{.1ex} +
   e
\Bigr)
d\mathcal{V}
.
\end{equation}

\vspace{-0.5em}\noindent
\en{With the~balance of~mass}\ru{С~балансом массы}
${dm \hspace{-0.15ex} = \hspace{-0.2ex} \rho \hspace{.2ex} d\mathcal{V} \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.2ex} \rho\hspace{.1ex}' \hspace{-0.2ex} d\mathcal{V}\hspace{.2ex}'\hspace{-0.5ex}}$,
${m \hspace{-0.1ex} = \hspace{-0.2ex} \scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}}} \hspace{.3ex} \rho \hspace{.2ex} d\mathcal{V} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.2ex} \scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}\hspace{.12ex}'}} \hspace{.2ex} \rho\hspace{.1ex}' \hspace{-0.2ex} d\mathcal{V}\hspace{.2ex}'\hspace{-0.25ex}}$
%
\en{and}\ru{и}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.6em}}\ru{\vspace{-0.3em}}\begin{equation*}
\Psi = \hspace{-0.25ex}\scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}}} \hspace{.3ex} \rho \hspace{.2ex} \psi \hspace{.2ex} d\mathcal{V} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.2ex} \scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}\hspace{.12ex}'}} \hspace{.2ex} \rho \hspace{.1ex}' \psi \hspace{.2ex} d\mathcal{V}\hspace{.2ex}'
\hspace{.2ex} \Rightarrow \hspace{.33ex}
\mathdotabove{\Psi} = \hspace{-0.25ex}\scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}}} \hspace{.3ex} \rho \hspace{.2ex} \mathdotabove{\psi} \hspace{.2ex} d\mathcal{V} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.2ex} \scalebox{1.4}{$\integral$}_{\hspace{-0.5ex}\raisemath{-0.05em}{\mathcal{V}\hspace{.12ex}'}} \hspace{.2ex} \rho \hspace{.1ex}' \mathdotabove{\psi} \hspace{.2ex} d\mathcal{V}\hspace{.2ex}'\hspace{-0.5ex} ,
\end{equation*}

\vspace{-0.1em}\noindent
\en{it’s easy to get}\ru{легко получить}
\en{the~time derivative of the~internal energy}\ru{производную внутренней энергии по~времени}

\nopagebreak\vspace{-0.2em}
\begin{equation}\label{rateofinternalenergychange}
\mathdotabove{E} = \hspace{-0.44ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \rho \hspace{.2ex} \Bigl(
\mathdotdotabove{\currentlocationvector} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.1ex}
+ \hspace{.1ex} \mathdotabove{e} \hspace{.1ex}
\Bigr) d\mathcal{V} .
\end{equation}

\en{The~power}\ru{Мощность}
\en{of the~external forces}\ru{внешних сил}
\en{for}\ru{для}
\en{some}\ru{некоторого}
\en{finite}\ru{кон\'{е}чного}
\en{volume}\ru{объёма}
\en{of a~momentless}\ru{безмоментного}
\en{continuum}\ru{\rucontinuum{}а}

\nopagebreak\vspace{-0.4em}
\begin{multline}\label{powerofexternalforces}
P^{\smthexternal} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.4ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \rho \bm{f} \hspace{-0.1ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.25ex} d\mathcal{V}
+ \hspace{-0.1ex} \ointegral\displaylimits_{\mathclap{O(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.2ex} \currentunitnormal \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.25ex} dO
= \hspace{-0.4ex}
\scalebox{0.95}{$ \displaystyle\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \Bigl(
\rho \hspace{-0.06ex} \bm{f} \hspace{-0.1ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex}
+ \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.12ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.25ex}
\Bigr) d\mathcal{V} $} \hspace{-0.1ex} =
\\[-0.4em]
%
= \hspace{-0.4ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex}
\Bigl( \hspace{-0.2ex}
\bigl( \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress + \hspace{-0.1ex} \rho \bm{f} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}}
\Bigr) d\mathcal{V} .
\end{multline}

\vspace{-0.1em} \noindent \en{As before}\ru{Как и~раньше}~(\chapterref{chapter:nonlinearcontinuum}),
${\cauchystress\hspace{.1ex}}$\ru{\:---}\en{ is} \ru{тензор напряжения }Cauchy\en{ stress tensor},
%%${\rho\hspace{.1ex}}$\ru{\:---}\en{ is} \en{volume(tric) mass density}\ru{объёмная плотность массы},
$\bm{f}$\ru{\:---}\en{ is} \en{mass force}\ru{массовая сила} (\en{without}\ru{без} \en{inertial part}\ru{инерционной части} ${- \hspace{.25ex} \mathdotdotabove{\currentlocationvector}}$, \en{which}\ru{которая} \en{is included}\ru{содержится} \en{in}\ru{в}~$\mathdotabove{E}$),
${\currentunitnormal \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress}$\ru{\:---}\en{ is} \en{surface force}\ru{поверхностная сила}.
\ru{Использована }\en{The~symmetry}\ru{симметрия}\en{ of}~${\hspace{-0.1ex} \cauchystress}$\en{ is used}
\en{for expanding}\ru{для раскрытия}~${\hspace{-0.16ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \cauchystress \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.12ex}}$:

\nopagebreak\vspace{-0.25em}\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\cauchystress^{\hspace{.2ex}\T}\hspace{-0.4ex} = \cauchystress \hspace{.1ex} = \cauchystress^{\hspace{.3ex}\mathsf{S}}
\hspace{.3em}\Rightarrow\hspace{.3em}
\cauchystress \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.1ex}\T} \hspace{-0.3ex}
=
\cauchystress \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}}
\hspace{-0.25ex} ,
\\[.25em]
%
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \cauchystress \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.25ex}
=
\hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.16ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.14ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.1ex}\T} \hspace{-0.3ex}
=
\hspace{-0.12ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress \hspace{.1ex} \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.14ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}}
\hspace{-0.25ex} .
\end{array}
\end{equation*}

\vspace{-0.3em}\noindent
\en{Denominating}\ru{Обозначая}
%%\en{velocity}\ru{скорость} \en{as}\ru{как}~${\bm{v} \equiv \mathdotabove{\currentlocationvector}}$
%%\en{and}\ru{и}
\en{the~rate of~deformation tensor}\ru{тензор скорости деформации} \en{as}\ru{как}~${ \rateofdeformationtensor \equiv \hspace{-0.15ex} \boldnabla \mathdotabove{\currentlocationvector}^{\hspace{.2ex}\mathsf{S}} }$

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\smash{P^{\smthexternal}} \hspace{-0.1ex}
= \hspace{-0.4ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \Bigl( \hspace{-0.2ex}
\bigl( \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress + \hspace{-0.1ex} \rho \bm{f} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.15ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.11ex} \rateofdeformationtensor
\Bigr) d\mathcal{V} .
\tag{\theequation \raisebox{.1em}{\textquotesingle}}\label{powerofexternalforces.denominated}
\vspace{-0.1em}\end{equation*}

\en{Heat arrives in a~volume of~continuum by two ways}\ru{Тепло прибывает в~объём среды двумя путями}.
\en{The~first}\ru{Первый}\ru{\:---}\en{ is} \en{a~surface heat transfer}\ru{поверхностная передача тепла} (heat conduction, \en{thermal conductivity}\ru{теплопроводность}, \en{convection}\ru{конвекция}, \en{diffusion}\ru{диффузия}), \en{occurring}\ru{происходящая} \en{via matter}\ru{через материю}, \en{upon a~contact of~two media}\ru{при контакте двух сред}.
\en{This}\ru{Это} \en{can be described by heat flux vector}\ru{может быть описано вектором потока \hbox{тепла}}~$\heatfluxvector$.
\en{Through}\ru{Через} \en{an infinitesimal area}\ru{бесконечно-малую площ\'{а}дку} \en{in}\ru{в}~\en{the~current configuration}\ru{текущей конфигурации} \en{towards}\ru{в~направлении} \en{normal vector}\ru{вектора нормали}~${\hspace{-0.1ex}\currentunitnormal}$ \en{per unit of~time}\ru{в~единицу времени} \en{passes}\ru{проходит} \en{heat flux}\ru{тепловой поток} ${\heatfluxvector \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \currentunitnormal \hspace{.1ex} dO}$.
\en{For}\ru{Для} \en{a~surface}\ru{поверхности} \en{with finite dimensions}\ru{конечных размеров} \en{this expression}\ru{это выражение} \en{needs to be integrated}\ru{нужно проинтегрировать}.
\en{It’s usually assumed}\ru{Обычно полагают}

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}\label{heatfluxvector.usual}
\heatfluxvector = - \hspace{.15ex} {^2\hspace{-0.16ex}\bm{k}} \dotp \hspace{-0.25ex} \temperaturegradient ,
\end{equation}

\vspace{-0.25em}\noindent
\en{where}\ru{где}
$\temperaturefield$\ru{\:---}\en{ is}
\en{the~temperature}\ru{температура}~(\en{temperature field}\ru{поле температуры});
${^2\hspace{-0.16ex}\bm{k}}$\ru{\:---}\en{ is}
\en{the~thermal conductivity tensor}\ru{тензор коэффициентов теплопроводности}
\en{as the~property of material}\ru{как свойство материала},
\en{for an~isotropic material}\ru{для~изотропного материала}
${\hspace{-0.12ex} {^2\hspace{-0.16ex}\bm{k}} = k \UnitDyad}$
\en{and}\ru{и}~${\heatfluxvector = - \hspace{.2ex} k \hspace{.2ex} \temperaturegradient \hspace{-0.2ex}}$.

\en{The~second way}\ru{Второй путь}\ru{\:---}\en{ is} \en{a~volume heat transfer}\ru{объёмная передача тепла} (\ru{тепловое излучение, }thermal radiation).
\en{Solar energy}\ru{Солнечная энергия}, \en{flame of a~campfire}\ru{пламя костра}, \en{a~microwave oven}\ru{микроволновая печь}\ru{\:---}\en{ are} \en{familiar examples}\ru{знакомые примеры} \en{of~pervasive heating}\ru{проникающего нагрева} \en{by radiation}\ru{излучением}.
\en{Thermal radiation}\ru{Тепловое излучение} \en{occurs}\ru{происходит} \en{via electromagnetic waves}\ru{через электромагнитные волны} \en{and}\ru{и} \en{doesn’t need}\ru{не нуждается} \en{an~interjacent medium}\ru{в~промежуточной среде}.
\en{Heat}\ru{Тепло} \en{is radiated~(emitted)}\ru{излучается~(эмитируется)} \en{by any matter}\ru{любой материей}~(\en{with temperature}\ru{с~температурой} \en{above the~absolute zero}\ru{выше абсолютного нуля}~$0$\:K).
\en{The~rate}\ru{Скорость} \en{of~heat transfer}\ru{передачи тепла} \en{by~radiation}\ru{излучением} \en{per mass unit}\ru{на~единицу массы}~$b$ \en{or}\ru{или} \en{per volume unit}\ru{на~единицу объёма}~${\hspace{-0.1ex}B \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.33ex} \rho \hspace{.15ex} b}$ \en{is~assumed as~known}\ru{считается известной}.

\en{Therefore}\ru{В~результате}, \en{the~rate of heat supply}\ru{скорость подвода тепла} \en{for}\ru{для} \en{a~finite volume}\ru{кон\'{е}чного объёма} \en{is}\ru{есть}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.15em}}\ru{\vspace{-0.9em}}\begin{equation}\label{rateofheatsupply}
\mathdotabove{Q} =
- \hspace{-0.1ex} \ointegral\displaylimits_{\mathclap{O(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.2ex} \currentunitnormal \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.3ex} dO \hspace{.1ex}
+ \hspace{-0.25ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.55ex} \rho \hspace{.2ex} b \hspace{.3ex} d\mathcal{V} \hspace{.1ex}
= \hspace{-0.25ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.7ex} \left(^{\mathstrut} \hspace{-0.8ex} - \hspace{-0.5ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector + \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b \right) \hspace{-0.4ex} d\mathcal{V} .
\vspace{-0.2em}\end{equation}

\en{Applying}\ru{Применение} \eqref{rateofinternalenergychange}, \eqref{powerofexternalforces.denominated} \en{and}\ru{и}~\eqref{rateofheatsupply} \en{to~formulation}\ru{к~формулировке}~\eqref{thefirstlawofthermodynamics}
\en{gives}\ru{даёт} \en{the~equality}\ru{равенство} \en{of~integrals}\ru{интегралов} \en{over a~volume}\ru{по~объёму}

\nopagebreak\vspace{-0.15em}\begin{equation*}
\scalebox{0.95}{$%
\displaystyle\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.55ex} \rho \hspace{.15ex} \Bigl( \mathdotdotabove{\currentlocationvector} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.1ex} + \mathdotabove{e} \hspace{.1ex}
\Bigr) d\mathcal{V}
$}
= \hspace{-0.33ex}
\scalebox{0.95}{$%
\displaystyle\integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.55ex} \Bigl( \hspace{-0.2ex}
\bigl( \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress + \hspace{-0.1ex} \rho \bm{f} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.33ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.2ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.11ex} \rateofdeformationtensor
- \hspace{-0.16ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex}
+ \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b
\Bigr) d\mathcal{V}
$}
.
\end{equation*}

\vspace{-0.16em}\noindent
\en{And}\ru{И} \en{since}\ru{поскольку} \en{volume}\ru{объём}~${\mathcal{V}}$ \en{is random}\ru{случаен}, \en{integrands}\ru{подынтегральные выражения} \en{are equal too}\ru{тоже равн\'{ы}}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.16em}}\ru{\vspace{-0.66em}}\begin{equation*}
\rho \hspace{.2ex} \mathdotdotabove{\currentlocationvector} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.1ex} + \rho \hspace{.15ex} \mathdotabove{e}
\hspace{.15ex}
=
\bigl( \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \cauchystress + \hspace{-0.1ex} \rho \bm{f} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.33ex} \dotp \mathdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.2ex}
+ \cauchystress \dotdotp \hspace{-0.11ex} \rateofdeformationtensor
- \hspace{-0.16ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex}
+ \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b
\hspace{.2ex} .
\end{equation*}

\vspace{-0.15em}\noindent
\en{With}\ru{С}~\en{the~balance of~momentum}\ru{балансом импульса}

\nopagebreak\vspace{-0.15em}\begin{equation*}
\boldnabla \dotp \cauchystress \hspace{.12ex}
+ \rho \hspace{.15ex} \bigl( \hspace{.1ex} \bm{f} \hspace{-0.15ex} - \mathdotdotabove{\currentlocationvector} \hspace{.3ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
= \hspace{.1ex} \zerovector
\hspace{.5em}\eqrefwithchapterdotsection{balanceoftranslationalmomentum.local}{chapter:nonlinearcontinuum}{section:balance.elasticcontinuum}
\end{equation*}

\nopagebreak\vspace{-0.4em}\noindent
\en{this simplifies to}\ru{это упрощается до}

\nopagebreak\vspace{-0.8em}\begin{equation}\label{thermodynamics:balanceofenergy.local}
\rho \hspace{.15ex} \mathdotabove{e} \hspace{.1ex}
=
\cauchystress \dotdotp \hspace{-0.11ex} \rateofdeformationtensor
- \hspace{-0.16ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex} + \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b
\end{equation}

\nopagebreak\vspace{-0.25em}\noindent
--- \en{the~local}\ru{локальная}~(\en{differential}\ru{дифференциальная}) \en{version}\ru{версия} \en{of~}\en{the~balance of~energy}\ru{баланса энергии}.

...


\en{\section{The second law}}

\ru{\section{Второй закон}}

\label{section:secondlaw.thermoelasticity}

\ru{Распространено }\en{The~following concept}\ru{следующее представление} \en{of~laws of~thermodynamics}\ru{о~законах термодинамики}\en{ is widespread}:
\en{change in internal energy}\ru{изменение внутренней энергии}~${dE}$ \en{is equal to}\ru{равно} \en{the~sum of}\ru{сумме} \en{work of~external forces}\ru{работы внешних сил}~${\partial\hspace{.1ex}\externalwork\hspace{-0.1ex}}$ \en{and}\ru{и}~\en{supplied heat}\ru{подведённого тепла}~${\partial\hspace{.1ex}Q}$

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
dE \hspace{-0.1ex} = \partial\hspace{.1ex}\externalwork\hspace{-0.2ex} + \partial\hspace{.1ex}Q
\hspace{.1ex} .
\end{equation*}

\vspace{-0.28em}\noindent
\en{Work}\ru{Работа}~${\partial\hspace{.1ex}\externalwork\hspace{-0.1ex}}$ \en{and}\ru{и}~\en{heat}\ru{теплота}~${\partial\hspace{.1ex}Q}$ \en{are}\ru{суть} \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Inexact_differential}{\ru{неполные дифференциалы}\en{inexact differentials}}%
\footnote{%
\en{Because}\ru{Так~как}
\en{work}\ru{работа}
\en{and}\ru{и}~\en{heat}\ru{теплота}
\en{depend}\ru{зависят}
\en{on the~path of the~process}\ru{от~пути протекания процесса}
(\en{they are path functions}\ru{они\:--- функции пути}),
\en{they}\ru{они}
\en{can’t be}\ru{не~могут быть}
\en{the~full~(exact) differentials}\ru{полными (точными) дифференциалами},
\en{contrasting}\ru{контрастируя}
\en{with the~idea}\ru{с~идеей}
\en{of the~exact differential}\ru{полного дифференциала},
\en{expressed via}\ru{выражаемого через}
\en{the~gradient of~another function}\ru{градиент другой функции}
\en{and}\ru{и}~\en{therefore}\ru{потом\'{у}}
\en{path independent}\ru{независимого от~пути}.
}\hbox{\hspace{-0.5ex},}
\en{but}\ru{но}~\en{the~quotient}\ru{частное}~${\raisemath{.16em}{\partial\hspace{.1ex}Q} \hspace{-0.15ex} / \raisemath{-0.16em}{\hspace{-0.1ex} \temperaturefield}}$
\en{becomes}\ru{становится}
\en{the~exact differential}\ru{полным дифференциалом}\:---
\en{the~differential}\ru{дифференциалом}~${dS}$
\en{of~the~entropy}\ru{энтропии}.

\en{Further}\ru{Далее},
\en{all processes}\ru{все процессы}
\en{are divided into}\ru{делятся на}
\en{the~reversible ones}\ru{обратимые},
\en{for which}\ru{для которых}
${dS \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.1ex} \raisemath{.16em}{\partial\hspace{.1ex}Q} \hspace{-0.15ex} / \raisemath{-0.16em}{\hspace{-0.1ex} \temperaturefield}}$,
\en{and}\ru{и}~\en{the~irreversible ones}\ru{необратимые}
\en{with the~characteristic}\ru{с~характерным}
\ru{неравенством }Clausius\ru{’а}\en{ inequality}
${dS \hspace{-0.2ex} \geq \hspace{-0.1ex} \raisemath{.16em}{\partial\hspace{.1ex}Q} \hspace{-0.15ex} / \raisemath{-0.16em}{\hspace{-0.1ex} \temperaturefield}}$.

\en{But how}\ru{Но как}
\en{to~adapt}\ru{адаптировать}
\en{this}\ru{это}
\en{for}\ru{для}
\en{a~continuum}\ru{\rucontinuum{}а}
\en{with an~inhomogeneous}\ru{с~неоднородным}
\en{temperature field}\ru{полем температуры}?

\en{Sometimes}\ru{Иногда}
\en{a~process}\ru{процесс}
\en{within an~infinitesimal volume}\ru{в~бесконечномалом объёме}
\en{is thought of as}\ru{мыслится}
\en{reversible}\ru{обратимым},
\en{then}\ru{тогда}
\ru{предлагается }\en{the~equality}\ru{равенство}
\en{like}\ru{типа}

\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation}\label{reversibleprocessequality.differential}
\rho \hspace{.2ex} \temperaturefield \mathdotabove{s}
\hspace{.1ex} =
- \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex} + \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b
\end{equation}

\nopagebreak\vspace{-0.22em}\noindent
\en{is proposed }($s$\en{ is}\ru{\:---} \en{entropy}\ru{энтропия} \en{per mass unit}\ru{на единицу массы} \en{and}\ru{и}~$\mathdotabove{s}$\en{ is}\ru{\:---} \en{the~time derivative of~it}\ru{производная от~неё по времени}, \en{that is}\ru{то есть} \en{the~rate of~entropy change}\ru{скорость изменения энтропии}).

\en{However}\ru{Однако}, \en{there’s always}\ru{всегда есть} \en{heat dissipation}\ru{тепловое рассеивание~(диссипация)}\:--- \en{an~irreversible}\ru{необратимый} \en{process}\ru{процесс}, \en{and}\ru{и}~\en{therefore}\ru{поэтому}~\eqref{reversibleprocessequality.differential} \en{looks disputable}\ru{выглядит спорно}.

\en{The~most appropriate}\ru{Наиболее подходящим}
\en{expression}\ru{выражением}
\en{of the~second law of~thermodynamics}\ru{второго закона термодинамики}
\en{for}\ru{для}
\en{a~material continuum}\ru{материального \rucontinuum{}а}
\en{seems to be}\ru{видится}
\ru{неравенство }\en{the~}Clausius\ru{’а}\hbox{--}Duhem\ru{’а}\en{ inequality}

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\en{\vspace{-0.9em}}\begin{equation}\label{clausiusduheminequality.integral}
\displaystyle\left( \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \rho \hspace{.15ex} s \hspace{.25ex} d\mathcal{V} \hspace{-0.2ex} \right)^{\hspace{-0.32em}\tikz[baseline=-0.2ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);} \hspace{-0.1ex}
\geq \hspace{.1ex}
- \ointegral\displaylimits_{\mathclap{O(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.33ex} \displaystyle\frac{\raisemath{-0.1em}{\heatfluxvector}}{\temperaturefield} \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \currentunitnormal \hspace{.2ex} dO \hspace{.1ex}
+ \hspace{-0.25ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.5ex} \displaystyle\frac{\raisemath{-0.1em}{\rho \hspace{.2ex} b}}{\temperaturefield} \hspace{.25ex} d\mathcal{V} .
\end{equation}

\vspace{-0.2em}\noindent
\en{This inequality}\ru{Это неравенство} \en{as}\ru{как} \en{the~imbalance of~entropy}\ru{дис\kern.11exбаланс энтропии} \en{defines}\ru{определяет} \en{the~rate of~entropy production}\ru{скорость производства энтропии}.

\begin{equation*}
- \hspace{-0.2ex} \ointegral\displaylimits_{\mathclap{O(\boundary \mathcal{V})}} \hspace{-0.4ex} \currentunitnormal \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.18ex} \temperaturefield^{-1} dO
=
- \hspace{-0.4ex} \integral\displaylimits_{\mathcal{V}} \hspace{-0.6ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \heatfluxvector \hspace{.18ex} \temperaturefield^{-1} \hspace{.1ex} \bigr) d\mathcal{V}
\end{equation*}

\begin{equation*}
- \boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \heatfluxvector \hspace{.18ex} \temperaturefield^{-1} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
= - \hspace{.16ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex} \bigr) \temperaturefield^{-1} \hspace{-0.2ex}
- \heatfluxvector \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \Bigl( \hspace{-0.1ex} \boldnabla \raisemath{.1em}{\scalebox{0.83}{$\displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{1}}{\temperaturefield}$}} \hspace{.1ex} \Bigr)
\end{equation*}

\begin{equation*}
- \boldnabla \raisemath{.1em}{\scalebox{0.83}{$\displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{1}}{\temperaturefield}$}}
= \raisemath{.1em}{\scalebox{0.83}{$\displaystyle\frac{\raisemath{-0.2em}{1}}{\temperaturefield^2}$}} \boldnabla \temperaturefield
\end{equation*}

\begin{equation*}
- \boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \heatfluxvector \hspace{.18ex} \temperaturefield^{-1} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
= - \hspace{.16ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex} \bigr) \temperaturefield^{-1} \hspace{-0.15ex}
+ \hspace{-0.1ex} \bigl( \heatfluxvector \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \temperaturefield \hspace{.1ex} \bigr) \temperaturefield^{-2}
\end{equation*}

\begin{equation}\label{clausiusduheminequality.differential}
\rho \hspace{.15ex} \mathdotabove{s} \hspace{.1ex}
\geq
\bigl( - \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \heatfluxvector \hspace{.1ex} + \hspace{-0.1ex} \rho \hspace{.2ex} b \hspace{.1ex} \bigr) \temperaturefield^{-1} \hspace{-0.15ex}
+ \hspace{-0.1ex} \bigl( \heatfluxvector \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \temperaturefield \hspace{.1ex} \bigr) \temperaturefield^{-2}
\end{equation}

\ru{Неравенство }\en{The~}Clausius\ru{’а}\hbox{--}Duhem\ru{’а}\en{ inequality} is also called \en{the~dissipation inequality}\ru{неравенством диссипации}.
For a~real matter, the~dissipation is always greater than zero, it can never be negative and can’t be zero whenever irreversible processes are present.

...

\ru{свободная энергия }Helmholtz\ru{’а}\en{ free energy} \en{per mass unit}\ru{на единицу массы}

\nopagebreak\vspace{-0.33em}\begin{equation}\label{helmholtzfreeenergy.permassunit}
a \equiv e - \temperaturefield s
\hspace{.15ex} ,
\end{equation}

\[
\mathdotabove{a} = \mathdotabove{e} - \temperaturefield \mathdotabove{s} - \mathdotabove{\temperaturefield} s
\]

\en{\section{Constitutive equations}}

\ru{\section{Определяющие уравнения}}

\label{section:constitutiveequations.thermoelasticity}

\begin{otherlanguage}{russian}

К~балансу импульса, балансу момента импульса и~законам термодинамики нужно добавить определяющие уравнения, выражающие свойства среды. Эти уравнения

...

Термоупругим называется материал, в~котором свободная энергия~$a$ и~энтропия~$s$\:--- функции деформации $\bm{C}$ и~температуры~$\temperaturefield$

\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}\begin{array}{c}
a \narroweq a(\bm{C} \hspace{-0.1ex} , \temperaturefield)
\\[.2em]
%
\mathdotabove{a}
= \scalebox{0.92}[0.92]{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.2em}{\partial\hspace{.1ex} a}}{\partial \bm{C}}$}
\hspace{-0.15ex} \dotdotp \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\bm{C}}
+ \scalebox{0.92}[0.92]{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.2em}{\partial\hspace{.1ex} a}}{\partial \temperaturefield}$}
\hspace{.2ex} \mathdotabove{\temperaturefield}
\end{array}\end{equation*}

...

\end{otherlanguage}

\en{\section{Heat equation}}

\ru{\section{Уравнение теплопроводности}}

\label{section:heatequation}

\en{In}\ru{В}~\en{mathematical physics}\ru{математической физике}\en{,}
\en{a~parabolic differential equation}\ru{параболическое дифференциальное уравнение}
\en{like}\ru{вида}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.15em}}\ru{\vspace{-0.88em}}\begin{equation}\label{heatequation:mathematicalphysics}
k \hspace{-0.1ex} \Laplacian \temperaturefield + \hspace{-0.1ex} B = c \hspace{.33ex} \mathdotabove{\temperaturefield}
\end{equation}

\nopagebreak\en{\vspace{-0.3em}}\ru{\vspace{-0.4em}}\noindent
\en{is declared}\ru{объявляется}
\en{as the~}\inquotesx{\en{heat equation}\ru{уравнением теплопроводности}}[.]
\en{Here}\ru{Здесь}
$k$\en{ is}\ru{\:---} \en{thermal conductivity}\ru{тепло\-проводность},
${B \hspace{-0.2ex} = \hspace{-0.33ex} \rho \hspace{.2ex} b}$\en{ is}\ru{\:---}
\en{the~rate of~heat transfer by~radiation per volume unit}\ru{скорость передачи тепла излучением на единицу объёма},
$c$\en{ is}\ru{\:---}
\en{the~thermal capacity}\ru{тепло\-ёмкость} \en{per volume unit}\ru{на единицу объёма}.
\en{The~boundary conditions}\ru{Краевые условия}
\en{most often}\ru{чаще всего}
\en{are}\ru{таков\'{ы}}\::
\en{the~external temperature}\ru{внешняя температура}~${\temperaturefield^\smthexternal_{\hspace{-0.1ex}\raisemath{-0.1em}{1}}}$
\en{on}\ru{на}
\ru{части~}${O_1}$\en{~part}
\en{of~the~surface}\ru{поверхности}

\nopagebreak\vspace{-0.3em}
\begin{equation*}
\temperaturefield \hspace{.1ex} \bigr|_{O_1} \hspace{-0.64ex} = \hspace{.2ex} \temperaturefield^\smthexternal_{\hspace{-0.1ex}\raisemath{-0.1em}{1}}
%
\hspace{1em} \text{\en{and}\ru{и}} \hspace{1em}
%
k \hspace{.25ex} \partial_n \temperaturefield \bigr|_{O_2} \hspace{-0.64ex} = \hspace{.2ex} q^{\raisemath{-0.15em}{\smthexternal}}
\end{equation*}
%
--- \en{the~heat flux}\ru{поток тепла}~${q^{\raisemath{-0.15em}{\smthexternal}}}$
\en{from the~outside}\ru{снаружи}
\en{of}\ru{части}~${O_2}$\en{~part}
\en{of~the~surface}\ru{поверхности}.

\en{Sometimes}\ru{Иногда}\en{,}
\en{the~external flux}\ru{внешний поток}~${q^{\raisemath{-0.15em}{\smthexternal}}}$
\en{is thought to be}\ru{считается}
\en{proportional}\ru{пропорциональным}
\en{with some coefficient}\ru{с~некоторым коэффициентом}~$\hcursive$
\en{to the~difference}\ru{разности}
\en{between}\ru{между}
\ru{температурой}\en{the~ambient temperature}~${\temperaturefield^\smthexternal\hspace{-0.25ex}}$\ru{ внешней среды}
\en{and}\ru{и}~\en{the~body temperature}\ru{температурой тела}~$\temperaturefield$

\nopagebreak\vspace{-0.27em}\begin{equation*}
k \hspace{.25ex} \partial_n \temperaturefield + \hcursive \hspace{-0.2ex} \Bigl( \temperaturefield - \temperaturefield^\smthexternal \hspace{.15ex} \Bigr) \hspace{-0.3ex} = \hspace{.1ex} 0
\hspace{.1ex} .
\end{equation*}

\vspace{-0.3em}\noindent
\en{If}\ru{Если}
\en{the~heat transfer coefficient}\ru{коэффициент тепло\-обмена}~$\hcursive$
\en{is infinitely large}\ru{бесконечно большой},
\en{it turns into the~first condition}\ru{оно превращается в~первое условие}
${\temperaturefield = \temperaturefield^\smthexternal\hspace{-0.25ex}}$,
\en{and}\ru{а}~\en{when}\ru{когда}~${\hcursive \hspace{-0.4ex} \to 0}$\:---
\en{into the~condition}\ru{в~условие}~${\partial_n \temperaturefield = 0}$
\en{of thermal insulation}\ru{тепло\-изоляции}.

\en{But}\ru{Но}
\en{how is equation}\ru{как уравнение}~\eqref{heatequation:mathematicalphysics}
\ru{связано}\en{related}
\en{to the~fundamental principles}\ru{с~фундаментальными принципами}
\en{of~balance}\ru{баланса}?
\en{Since}\ru{Ведь}
\en{no}\ru{никакой}
\en{special}\ru{особенной}
\inquotes{\en{thermal energy}\ru{тепловой энергии}}
\en{exists}\ru{не~существует},
\en{but}\ru{но}
\en{there is}\ru{есть}
\en{the~internal energy}\ru{внутренняя энергия},
\en{and it changes}\ru{и~она меняется}
\en{according to}\ru{согласно}
\en{the~first law of~thermodynamics}\ru{первому закону термодинамики}~%
\eqref{thermodynamics:balanceofenergy.local}.

....

\begin{equation*}
e = a + \temperaturefield s
\hspace{.7ex} \Rightarrow \hspace{.7ex}
\mathdotabove{e} = \mathdotabove{a} + \mathdotabove{\temperaturefield} s + \temperaturefield \mathdotabove{s}
\end{equation*}

\nopagebreak\vspace{1.2em}\begin{equation*}
\rho \hspace{.15ex} \mathdotabove{e} \hspace{.12ex}
= \rho \hspace{.2ex} \bigl( \mathdotabove{a}
+ \mathdotabove{\temperaturefield} s + \temperaturefield \mathdotabove{s}
\hspace{.2ex} \bigr) \hspace{-0.25ex}
= \rho \hspace{.2ex} \Bigl( \hspace{.1ex}
\tikzmark{beginFreeEnergyTimeDerivative} \scalebox{0.92}[0.92]{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.2em}{\partial\hspace{.1ex} a}}{\partial \bm{C}}$}
\hspace{-0.15ex} \dotdotp \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\bm{C}}
+ \tikzmark{beginEntropyAsDerivative} \scalebox{0.92}[0.92]{$ \displaystyle \frac{\raisemath{-0.2em}{\partial\hspace{.1ex} a}}{\partial \temperaturefield}$}
\hspace{.2ex} \mathdotabove{\temperaturefield} \hspace{-0.33ex} \tikzmark{endFreeEnergyTimeDerivative} \hspace{.33ex}
+ \mathdotabove{\temperaturefield} s \tikzmark{endEntropyAsDerivative}
+ \temperaturefield \mathdotabove{s}
\hspace{.15ex} \Bigr)
\end{equation*}%
\AddOverBrace[line width=.75pt][0.4ex,0.88ex][yshift=-0.24ex]{beginFreeEnergyTimeDerivative}{endFreeEnergyTimeDerivative}{${%
\scalebox{0.77}{$ \mathdotabove{a}(\bm{C} \hspace{-0.1ex} , \temperaturefield) $}
}$}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][-0.1ex,-1.25ex][xshift=5ex, yshift=0.88ex]{beginEntropyAsDerivative}{endEntropyAsDerivative}{${%
\scalebox{0.77}{$%
\scalebox{0.92}[1]{$=$} \hspace{.5ex} 0
\hspace{.7ex} \Leftarrow \hspace{.6ex}
s = \scalebox{0.92}{$ - \hspace{.33ex} \displaystyle \frac{\raisemath{-0.23em}{\partial\hspace{.1ex} a}}{\partial \temperaturefield}$}%
$}%
}$}

%%%\begin{otherlanguage}{russian}

...

%%%\end{otherlanguage}

\en{\section{Linear thermoelasticity}}

\ru{\section{Линейная термоупругость}}

\label{section:linearthermoelasticity}

\begin{otherlanguage}{russian}

Квадратичная аппроксимация свободной энергии наиболее естественна в~линейной теории

...



\end{otherlanguage}

\en{\section{Equations in displacements}}

\ru{\section{Уравнения в смещениях}}

\label{section:equationsindisplacements.thermoelasticity}

\begin{otherlanguage}{russian}

Полагая поле температуры известным

...



\end{otherlanguage}

\en{\section{Thermal stress}}

\ru{\section{Температурное напряжение}}

\label{section:thermalstress}

\begin{otherlanguage}{russian}

Это напряжение ст\'{о}ит рассмотреть детально, хотя оно и~определяется очевидным образом полями смещений и~температуры.
\en{For}\ru{Для}
\en{an~equilibrium}\ru{равновесия}
свободного тела без внешних нагрузок

...



\end{otherlanguage}

\en{\section{Variational formulations}}

\ru{\section{Вариационные формулировки}}

\label{section:variationalformulations.thermoelasticity}

\begin{otherlanguage}{russian}

Когда
температура
постоянна,
уравнения термоупругости
выглядят
так~же, как
в~механике.

...

Для переноса
вариационного метода
на термоупругость
достаточно заменить
\en{in the}\ru{в~принципе}~(Lagrange’\en{s}\ru{а})\en{ principle}
\en{of~minimum potential energy}\ru{минимума потенциальной энергии}
${\potentialenergydensity (\bm{C})}$
на \ru{свободную энергию }Helmholtz\ru{’а}\en{ free energy}
${A(\bm{C}\hspace{-0.12ex}, \temperaturefield)}$,
а в~принципе Reissner’а--Hellinger’а
заменить
${\complementaryenergydensity(\hspace{-0.1ex}\cauchystress\hspace{.12ex})}$
на \ru{свободную энтальпию }Gibbs\ru{’а}\en{ free enthalpy}
(\en{Gibbs function}\ru{функцию Gibbs’а})
${G(\hspace{-0.1ex}\cauchystress\hspace{.12ex}, \temperaturefield)}$.

%~%~%{\small
\en{The}\ru{Свободная энергия} \emph{Gibbs\ru{’а}\en{ free energy}}
(%
  \en{the~}\emph{\ru{энергия }Gibbs\ru{’а}\en{ energy}}
  \en{or}\ru{или}
  \en{the~}\emph{\ru{функция }Gibbs\ru{’а}\en{ function}}
  \en{or}\ru{или}
  \en{the~}\emph{\en{free enthalpy}\ru{свободная энтальпия}}%
  \footnote{%
    To distinguish
    \en{it}\ru{её}
    \en{from}\ru{от}
    \en{the~}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_free_energy}{\ru{свободной энергии }Helmholtz\ru{’а}\en{ free energy}}.%
  }%
)
\en{is}\ru{это}
\en{a~thermodynamic potential}\ru{термодинамический потенциал}\ru{,}
\en{which}\ru{который}
\en{measures}\ru{измеряет}
\en{the~maximum}\ru{максимум}
\en{of the~}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Reversible_process_(thermodynamics)}{\en{reversible work}\ru{обратимой работы}}\ru{,}
\en{produced}\ru{произведённой}
%%by a~thermodynamic system
\en{with a~constant}\ru{с~постоянными}
\en{temperature}\ru{температурой}
\en{and pressure}\ru{и~давлением}.
%~%~%\par}

...

...

Более сложные вариационные постановки для нестационарных задач можно найти, например, в~книге~\cite{belyaev.ryadno}.

\end{otherlanguage}

\section*{\small \wordforbibliography}

\begin{changemargin}{\parindent}{0pt}
\fontsize{10}{12}\selectfont

\begin{otherlanguage}{russian}

Шириной и~глубиной
описания термоупругости
выделяются книги
\hbox{W\hspace{-0.2ex}.\:Nowacki}~\cite{nowacki-problemsofthermoelasticity, nowacki-elasticity},
книга E.\:Melan’а и~H.\:Parkus’а~\cite{parkus.melan-waermespannungen}
и~моно\-графия H.\:Parkus’а~\cite{parkus-waermespannungen}.
C.\:Truesdell~\cite{truesdell-firstcourse}
внёс большой вклад
в~создание
и~распространение
новых взглядов
на~термодинамику
сплошной среды.
Чёткое
изложение основных законов
есть у~C.\:Teodosiu~\cite{teodosiu-crystaldefects}.
Методы расчёта
температурных полей
представлены
у~Н.\,М.\;Беляева и~А.\,А.\;Рядно~\cite{belyaev.ryadno}.

\end{otherlanguage}

\end{changemargin}