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CS229 学习笔记 Part2 - 雪地
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<div class="article">
<h1>CS229 学习笔记 Part2</h1>
<div class="read-more clearfix">
<span class="date">2017/6/5 1:14 上午</span>
<span>posted in </span>
<span class="posted-in"><a href='Machine%20Learning.html'>Machine Learning</a></span>
<span class="comments">
</span>
</div>
</div><!-- article -->
<div class="article-content">
<ul>
<li>
<a href="#toc_0">判别式和生成式</a>
<ul>
<li>
<a href="#toc_1">判别式</a>
</li>
<li>
<a href="#toc_2">生成式</a>
</li>
</ul>
</li>
<li>
<a href="#toc_3">Gaussian discriminant analysis</a>
</li>
<li>
<a href="#toc_4">讨论：GDA 和 Logistic 回归</a>
</li>
<li>
<a href="#toc_5">朴素贝叶斯</a>
<ul>
<li>
<a href="#toc_6">拉普拉斯平滑</a>
</li>
<li>
<a href="#toc_7">用于文本分类的事件模型</a>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h2 id="toc_0">判别式和生成式</h2>
<p>对于一个分类任务，判别式和生成式分别代表了两种不同的思路：</p>
<h3 id="toc_1">判别式</h3>
<p>通过直接从输入数据中学习，得到一个『特定输入对应的实际类别』的概率模型，模型的参数为 \(\theta\) 。即学习建模 \(p(y\mid x)\)</p>
<h3 id="toc_2">生成式</h3>
<p>通过对每一个类进行建模，然后就可以通过条件概率算出输入的数据更可能由哪一类生成。即学习建模 \(p(x\mid y)\) 和 \(p(y)\) ，然后计算 \[\arg\max\limits_y\frac{p(x \mid y)p(y)}{p(x)}\]</p>
<p>并且实际计算中，分母 \(p(x)\) 并不会影响各个类别概率的排序，所以最终简化成 \[\arg\max\limits_y p(x \mid y)p(y)\]</p>
<span id="more"></span><!-- more -->
<h2 id="toc_3">Gaussian discriminant analysis</h2>
<p>作为生成式模型的第一个例子，它假设数据的分布 \(p(x\mid y)\) 是多元高斯分布 (multivariate normal distribution)，分类结果为二分类，即 \(y \sim \mathrm{Bernoulli}(\phi)\)。</p>
<p>根据生成式模型的思路，它通过训练数据，计算出两个类的隐含分布——多元高斯分布的参数 \(\mu_0, \mu_1,\Sigma\) （需要注意的是，这里对于两个多元正态分布的 \(\Sigma\)，我们使用的是一个公共的参数，也就是我们假设两个分布的『形状』是一样的），以及对于分类结果的伯努利分布参数 \(\phi\)</p>
<p>根据定义，我们可以得到以下模型</p>
<p>\[p(y) = \phi^y(1-\phi)^{1-y}\]</p>
<p>\[p(x\mid y=0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/ 2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_0)\right)\]</p>
<p>\[p(x\mid y=1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/ 2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1)\right)\]</p>
<p>接下来开始估计各个参数的值。我们使用一个新的似然函数 <strong>Joint likelihood</strong></p>
<p>\[\ell(\phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma) = log \prod^m_{i=1} p(x^{(i)}, y^{(i)}; \phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)\]</p>
<p>\[\phantom{ \ell(\phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)} = log \prod^m_{i=1} p(x^{(i)}\mid y^{(i)}; \mu_0, \mu_1, \Sigma)p(y^{(i)};\phi)\]</p>
<p>通过最大化此似然函数，我们能够得到以上几个参数的估计值</p>
<p>\[\phi = \frac{1}{m}\sum^m_{i=1}1\{y^{(i)}=1\}\]</p>
<p>\[\mu_0 = \frac{\sum^m_{i=1}1\{y^{(i)} = 0\}x^{(i)}}{\sum^m_{i=1}1\{y^{(i)} = 0\}}\]</p>
<p>\[\mu_1 = \frac{\sum^m_{i=1}1\{y^{(i)} = 1\}x^{(i)}}{\sum^m_{i=1}1\{y^{(i)} = 1\}}\]</p>
<p>\[\Sigma = \frac{1}{m}\sum^m_{i=1}(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})^T\]</p>
<p>而 GDA 的判别公式则是作为作业的一部分自行完成。</p>
<h2 id="toc_4">讨论：GDA 和 Logistic 回归</h2>
<p>GDA 的判别公式能够化为以下形式<br/>
\[p(y=1\mid x;\phi, \Sigma, \mu_0, \mu_1) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}\]</p>
<p>也就是 Logistic 回归的形式。（这个公式转化的具体过程是课后习题的一部分）<br/>
其中 \(\theta\) 是关于 \(\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1\) 的函数。那么 GDA 和 Logistic 回归（下称 LR）的区别在哪里呢？</p>
<p>假设 \(p(x\mid y)\) 满足多元高斯分布，那么 \(p(y\mid x)\) 能够写成 logistic 函数的形式。但是，反之并不成立。\(p(y\mid x)\) 能够写成 logistic 函数的形式并不意味着 \(p(x\mid y)\) 符合多元高斯分布。这说明，GDA 做出了一个更强的假设 (<em>stronger</em> modeling assumption)。</p>
<p>并且，当这个假设符合现实（ \(p(x\mid y)\) 符合多元高斯分布 ），并且在训练集足够大的情况下，没有其他算法优于 GDA<sup id="fnref1"><a href="#fn1" rel="footnote">1</a></sup>。而且通常来说，对于一个较小的训练集，我们通常会觉得 GDA 会表现的更好。</p>
<p>反过来说，对于使用了较弱假设的 LR，它拥有更强的鲁棒性，对于错误的模型假设也更不敏感。对 \(p(x\mid y)\) 分布的假设，有很多种情况能够使得 \(p(y\mid x)\) 可以化为 Logistic 函数的形式。比如说，\(x \mid y = 0\) 和 \(x \mid y = 1\) 分别符合两个独立的泊松分布时既是如此。</p>
<h2 id="toc_5">朴素贝叶斯</h2>
<p>对于一个文本分类问题，使用50000个词的简化词袋模型时，我们的目标是对 \(p(x_1,\cdots,x_{50000}\mid y)\) 构建出最准确的模型。</p>
<p>\[p(x_1,\cdots,x_{50000}\mid y)\]</p>
<p>\[ = p(x_1\mid y)p(x_2\mid y,x_1)p(x_3\mid y,x_1,x_2)\cdots p(x_{50000}\mid y,x_1,x_2,\cdots,x_{49999})\]</p>
<p>此时的式子称为贝叶斯分类器。而朴素贝叶斯和贝叶斯的区别在于哪里呢？关键就在于以下假设：</p>
<p><strong>朴素贝叶斯假设：假设 \(x_i\) 条件独立于 \(y_i\)</strong></p>
<p>则原概率公式<br/>
\[ = p(x_1\mid y)p(x_2\mid y)p(x_3\mid y)\cdots p(x_{50000}\mid y)\]</p>
<p>此时的式子就称为<strong>朴素</strong>贝叶斯分类器了。虽然朴素贝叶斯假设是一个很强的假设 (strong assumption)，但是它出人意料的在很多问题上都表现的不错。</p>
<p>使用朴素贝叶斯概率公式，则词袋中的每个词，对于每种文本分类都属于一个独立参数的伯努利分布。即此例子中，词袋大小50000，2种文本分类，于是共有 100,000 个伯努利分布参数需要估计，以及一个对于类别 y 的伯努利分布参数 \(\phi_y\)。</p>
<p>我们使用 Joint likelihood 作为目标函数</p>
<p>\[ \mathcal{L}(\phi_y, \phi_{j\mid y=0}, \phi_{j\mid y=1}) = \prod^m_{i=1}p(x^{(i)}, y^{(i)})\]</p>
<p>最大化似然函数得到各个参数的估计</p>
<p>\[j \in \{1,2,\cdots,50000\}\]</p>
<p>\[ \phi_{j\mid y=1} = \frac{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{x_j^{(i)} = 1 \wedge y^{(i)} = 1 \}}{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{ y^{(i)} = 1 \}} \]</p>
<p>\[\phi_{j\mid y=0} = \frac{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{x_j^{(i)} = 1 \wedge y^{(i)} = 0 \}}{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{ y^{(i)} = 0 \}}\]</p>
<p>\[\phi_y = \frac{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{ y^{(i)} = 1 \}}{m}\]</p>
<p>朴素贝叶斯的判别公式如下：</p>
<p>\[p(y=1\mid x) = \frac{p(x\mid y =1)p(y=1)}{p(x)}\]</p>
<p>\[ = \frac{(\prod^n_{i=1}p(x_i|y=1))p(y=1)}{(\prod^n_{i=1}p(x_i|y=1))p(y=1)+(\prod^n_{i=1}p(x_i|y=0))p(y=0)}\]</p>
<p>最后，我们能够很容易的想到，可以将 \(x_i\) 的取值从二值变为多值，就成为了这个算法的泛化。为了做到这一点，我们只需要将对 \(p(x_i\mid y)\) 假设的伯努利分布，替换成多项式分布即可。如果原始属性是连续值，我们也可以通过分段的办法，将他离散化。之后，就可以仿照我们上述的过程来使用朴素贝叶斯算法了。当原始的连续属性使用多元正态分布不能很好的建模时，将他离散化后使用朴素贝叶斯通常能取得更好的效果。</p>
<h3 id="toc_6">拉普拉斯平滑</h3>
<p>上述标准的朴素贝叶斯通常情况下效果都很好，但是在一些特殊情况下会出现奇怪的情况。比如说，当你的分类器遇到了一个从来没有见过的词（不存在于训练数据中）的时候，对于这个词两个类别的概率都会等于零，并且由于累乘的结果，会使得整个输出都变为零。这显然不合理，所以这就是拉普拉斯平滑要解决的事情。</p>
<p>原理很简单，我们对于一个多项式分布输入的类别概率计算公式如下</p>
<p>\[p(z=j) = \phi_j = \frac{\sum^m_{i=1} \operatorname{1}\{z^{(i)}=j\}}{m}\]</p>
<p>我们想要让这个式子不等于零，很直觉的办法是在分子上加上一个很小的数。所以我们在分子上加一个 1。但是这还不够，我们需要让多项式分布的各个类整体概率和仍然为 1，即 \(\sum^k_{j=1}\phi_j = 1\)，\(k\) 是多项式分布可选的类的数量。所以我们分母也需要稍作改动，最终我们得到</p>
<p>\[p(z=j) = \phi_j = \frac{\sum^m_{i=1} \operatorname{1}\{z^{(i)}=j\}+1}{m+k}\]</p>
<p>读者可以自己验算 \(\sum^k_{j=1}\phi_j = 1\)</p>
<h3 id="toc_7">用于文本分类的事件模型</h3>
<p>之前的模型我们称为『多变量伯努利分布事件模型』<sup id="fnref2"><a href="#fn2" rel="footnote">2</a></sup>，而对于文本分类的任务，接下来这个模型通常能够取得更好的效果，称为『多项式分布事件模型』<sup id="fnref3"><a href="#fn3" rel="footnote">3</a></sup>。</p>
<p>在这个模型中，一个由 n 个词组成的文本段将化为一个 n 维向量，每一维符合都一个相同的多项式分布，多项式分布一个选项对应一个特定的词。比如一个电子邮件内容为『快来 购买……』，在多项式分布中，快来对应的类别编号为33，购买的类别编号为580，则形成的输入向量就是 [33, 580, …]</p>
<p>文本段中每一个词的分布都来自同一个多项式分布，需要注意的是，词在文中的位置并不影响他的取值分布。</p>
<p>则似然函数定义如下</p>
<p>\[\mathcal{L}(\phi, \phi_{k\mid y=0}, \phi_{k\mid y=1}) = \prod^m_{i=1}p(x^{(i)}，y^{(i)})\]</p>
<p>\[= \prod^m_{i=1}\left( \prod^{n_i}_{j=1}p(x_j^{(i)}\mid y;\phi_{k\mid y=0},\phi_{k\mid y=1}) \right)p(y^{(i)};\phi_y)\]</p>
<p>最大化似然函数得到参数估计</p>
<p>\[\phi_{k\mid y=1} = \frac{\sum^m_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1} \operatorname{1}\{x_j^{(i)} = k\wedge y^{(i)} = 1 \} }{\sum^m_{i=1} \operatorname{1}\{ y^{(i)} = 1\} n_i}\]</p>
<p>\[\phi_{k\mid y=0} = \frac{\sum^m_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1} \operatorname{1}\{x_j^{(i)} = k\wedge y^{(i)} = 0 \} }{\sum^m_{i=1} \operatorname{1}\{ y^{(i)} = 0\} n_i}\]</p>
<p>\[\phi_y = \frac{\sum^m_{i=1}\operatorname{1}\{y^{(i)} = 1\}}{m}\]</p>
<p>多项式分布事件模型和之前的模型的不同点在于，新模型除了统计某一个词是否出现，还考虑了某一个词出现的次数。</p>
<div class="footnotes">
<hr/>
<ol>
<li id="fn1">
<p>in the limit of vary large training sets (large m), there is no algorithm that is strictly better than GDA. <a href="#fnref1" rev="footnote">↩</a></p>
</li>
<li id="fn2">
<p>multi-variate Bernoulli event model <a href="#fnref2" rev="footnote">↩</a></p>
</li>
<li id="fn3">
<p>multinomial event model <a href="#fnref3" rev="footnote">↩</a></p>
</li>
</ol>
</div>
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/**
* RECOMMENDED CONFIGURATION VARIABLES: EDIT AND UNCOMMENT THE SECTION BELOW TO INSERT DYNAMIC VALUES FROM YOUR PLATFORM OR CMS.
* LEARN WHY DEFINING THESE VARIABLES IS IMPORTANT: https://disqus.com/admin/universalcode/#configuration-variables
*/
/*
var disqus_config = function () {
this.page.url = PAGE_URL; // Replace PAGE_URL with your page's canonical URL variable
this.page.identifier = PAGE_IDENTIFIER; // Replace PAGE_IDENTIFIER with your page's unique identifier variable
};
*/
(function() { // DON'T EDIT BELOW THIS LINE
var d = document, s = d.createElement('script');
s.src = '//yinzo.disqus.com/embed.js';
s.setAttribute('data-timestamp', +new Date());
(d.head || d.body).appendChild(s);
})();
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