-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
03-pr3.tex
101 lines (101 loc) · 4.05 KB
/
03-pr3.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
\section{Příklad 3}
% Jako parametr zadejte skupinu (A-H)
\tretiZadani{E}
\\Podle metody uzlových napetí si sestavíme rovnice proudů a to tak, že uzel A je tam kde začíná šipka ${U_A}$, uzel B tam kde začíná šipka napětí ${U_B}$ a uzel C tam kde začíná šipka napětí ${U_C}$. Využíváme II. Kirchoffův zákon.
\begin{gather*}
\text{Pro uzel A: }
I_{R_{1}} + I_{R_{3}} - I_{R_{2}} = 0 \\
\text{Pro uzel B: }
I_{1} - I_{R_{3}} + I_{R_{5}} = 0 \\
\text{Pro uzel C: }
I_{2} - I_{1} - I_{R_{4}} + I_{R_{5}} = 0
\end{gather*}
Nejdříve si ještě musíme určit rovnice proudů protékající jednotlivými rezistory. Na základě napětí ${U_A}$, ${U_B}$ a ${U_C}$.
\begin{gather*}
I_{R_{1}} =\frac{U - U_A}{R_1}\\
I_{R2_{2}} =\frac{U_A}{R_2}\\
I_{R_{3}} =\frac{U_B - U_A}{R_3}\\
I_{R_{4}} =\frac{U_C}{R_4}\\
I_{R_{5}} =\frac{U_B - U_C}{R_5}\\
\end{gather*}
Nyní si dosadíme od rovnic hodnoty:
\begin{gather*}
\frac{135 - U_A}{52} + \frac{U_B - U_A}{52} - \frac{U_A}{42} = 0\\
0.55 - \frac{U_B - U_A}{52} - \frac{U_B - U_C}{21} = 0\\
0.65 - 0.55 - \frac{U_C}{42} + \frac{U_B - U_C}{21} = 0\\
\end{gather*}
Rovnice si lehce upravíme:
\begin{gather*}
\frac{-U_A}{52} + \frac{U_B}{52} - \frac{U_A}{52} - \frac{U_A}{42} = -\frac{135}{52}\\
\frac{U_A}{52} - \frac{U_B}{52} - \frac{U_B}{21} + \frac{U_C}{21} = -0.55\\
\frac{U_B}{21} - \frac{U_C}{21} - \frac{U_C}{42} = -0.1\\
\end{gather*}
Rovnice si upravíme tak, že napětí ${U_A}$, ${U_B}$ a ${U_C}$ osamostaníme, abychom lehce vytvořili matici.
\begin{gather*}
-U_A \cdot(\frac{1}{42} + \frac{1}{52} + \frac{1}{52}) + U_B \cdot \frac{1}{52} = -\frac{135}{52}\\
U_A \cdot \frac{1}{52} - U_B \cdot (\frac{1}{21} + \frac{1}{52}) + U_C \cdot \frac{1}{21} = - 0.55\\
U_B \cdot \frac{1}{21} - U_C \cdot (\frac{1}{21} + \frac{1}{42}) = -0.1\\
\end{gather*}
//Vytvoříme si matici a vypočítáme jednotlivé hodnoty napětí. Odstraníme zlomky pronásobením.
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
-42-42-52 & 42 & 0 & -5670 \\
21 & -21-52 & 52 & -600.6 \\
0 & 42 & -63 & -88.2 \\
\end{array}
\end{pmatrix}
\end{gather*}
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
-136 & 42 & 0 & -5670 \\
21 & -73 & 52 & -600.6 \\
0 & 42 & -63 & -88.2 \\
\end{array}
\end{pmatrix}
\end{gather*}
Budeme používat Gaussovu eliminační metodu. Upravíme matici na trojúhelníkový tvar.
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
-136 & 42 & 0 & -5 670 \\
0 & 42 & -63 & -\frac{441}{5} \\
0 & 0 & -\frac{6497}{136} & -\frac{1098741}{680} \\
\end{array}
\end{pmatrix}
\end{gather*}
\newpage
Nyní si vypočítáme jednotlivá napětí.
\begin{gather*}
\text{Napětí ${U_C}$:} \\
(-\frac{6497}{136}) \cdot U_C = -\frac{1098741}{680} \\
4417960 \cdot U_C = 149428776 \\
U_C = \frac{1098741}{32485}
\end{gather*}
\begin{gather*}
\text{Napětí ${U_B}$:} \\
42 \cdot U_B - 63 \cdot U_C = -\frac{441}{5} \\
42 \cdot U_B - 63 \cdot \frac{1098741}{32485} = -\frac{441}{5} \\
1364370 \cdot U_B - 69220683 = -2865177 \\
1364370 \cdot U_B = 66355506 \\
U_B = \frac{1579893}{32485}
\end{gather*}
\begin{gather*}
\text{Napětí ${U_A}$:} \\
-136 \cdot U_A + 42 \cdot U_B - 0 \cdot U_C = -5670 \\
-136 \cdot U_A + 42 \cdot \frac{1579893}{32485} = -5670 \\
-4417960 \cdot U_A + 66355506 = -184189950 \\
-4417960 \cdot U_A = -250545456 \\
U_A = \frac{1842246}{32485}
\end{gather*}
\begin{gather*}
U_A = \frac{1842246}{32485} \doteq 56.71067V\\
U_B = \frac{1579893}{32485} \doteq 48.63454V\\
U_C = \frac{1098741}{32485} \doteq 33.82303V
\end{gather*}
Nyní můžeme vypočítat napětí $U_{R_{2}}$ a proud $I_{R_{2}}$.
\begin{gather*}
U_{A} = U_{R_{2}}\\
I_{R_{2}} =\frac{U_A}{R_2} = \frac{56.71067}{52} = 1.09059A \\
\end{gather*}