list05-numerical-methods.md

Численные методы в Python

• Для создания матриц используйте массивы из библиотеки NumPy
• Для визуализации используйте библиотеку Matplotlib
• Для поиска локального минимума (максимума) на отрезке используйте метод minimize_scalar библиотеки scipy.optimize

# Подключение библиотек
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar

Замечания

• Библиотека NumPy: При использовании функции numpy.linalg.solve для решения системы уравнений с помощью LU-разложения или QR-разложения, если система не имеет решения или имеет бесконечно много решений, библиотека NumPy выдаст ошибку типа LinAlgError.
• Для численного вычисления определенного интеграла в Python с использованием библиотеки NumPy можно воспользоваться функцией numpy.trapz для метода трапеций.

---

Упражнение 1 "Действия над матрицами"

• Даны матрицы

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \text{ и } C=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}. $$

Какие из этих матриц можно перемножить друг на друга? Найдите соответствующие произведения.

• Даны матрицы

$$ \begin{aligned} A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \text{ и } C=\begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$

Какие из этих матриц можно перемножить друг на друга? Найдите соответствующие произведения.

• Даны матрицы

$$ \begin{aligned} A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} \text{ и } B=\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 6 & 5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$

Вычислите матрицу $C=3A-2B^{\rm T}$.

• Даны матрицы

$$ \begin{aligned} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, C= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$

Вычислите матрицу $D=A^{\rm T}B+2C$.

---

Упражнение 2 "Системы линейных уравнений"

Решите систему линейных уравнений тремя способами: а) методом numpy.linalg.solve б) методом Крамера (реализуйте метод самостоятельно) в) методом обратной матрицы (реализуйте метод самостоятельно)

$$ \begin{cases} 3x_1+4x_2+6x_3=2, \\ 2x_1+3x_2-5x_3=-1, \\ 5x_1+7x_2+2x_3=1. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x_1-5x_2-3x_3+1=0, \\ 3x_1-x_2-2x_3+2=0, \\ 5x_1+x_2-3x_3+3=0. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x_1+2x_2+x_3+2x_4=1, \\ 3x_1+x_2-x_3+2x_4=-1, \\ 4x_1+3x_2+2x_3+3x_4=5, \\ 2x_1-x_2+2x_3-7x_4=19. \end{cases} $$

---

Упражнение 3 "Экстремум функции одной переменной"

Используя метод minimize_scalar библиотеки scipy.optimize выясните имеет ли функция $f(x)$ на отрезке $[-7, 7]$ экстремумы.

• $\displaystyle y=x(x+1)(x-1)$

• $\displaystyle y=\frac{x^2-1}{x-1}$

• $\displaystyle y=\frac{x^3-8}{x-2}$

• $\displaystyle y=e^{\frac{1}{x}}$

• $\displaystyle y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$

Замечание: Последовательность шагов следующая

• Постройте график функции $f(x)$
• Если функция на отрезке $[a, b]$ имеет несколько экстремумов или точки разрыва, то разбейте отрезок $[a, b]$ на отрезки меньшей длины и найдите экстремумы на них
• Для нахождения максимума функции $f(x)$, ее необходимо умножить на $-1$ и исследовать новую функцию на минимум

---

Упражнение 4 "Интеграл Римана"

Используя метод trapz (метод трапеций) библиотеки numpy вычислите численно интеграл Римана ("определенный интеграл")

• $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}\left(3x-2\right)^3 dx$
• $\displaystyle \int\limits_{-1}^{2}x(3x^4-4x^2+1) dx$
• $\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}\left(2x-1\right)^7 dx$
• $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x} dx$
• $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\left(e^x+1\right)^4 e^x dx$
• $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}\frac{3x dx}{\sqrt{5-x^2}}$
• $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\frac{x dx}{(x^2+1)^2}$
• $\displaystyle \int\limits_{-2\sqrt{3}}^{2}\frac{dx}{(4+x^2)^2}$
• $\displaystyle \int\limits_{0}^{2\pi}\sin^4{x} dx$
• $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}\frac{e^{\frac{1}{x}} dx}{x^2}$
• $\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin{x}}\cos{x} dx$
• $\displaystyle \int\limits_{e}^{e^3}\frac{\ln^2{x}}{\frac{1}{x}} dx$
• $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx$
• $\displaystyle \int\limits_{1}^{e}\cos(\ln{x}) dx$

---