-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 10
/
lecture9_higher_kinded_types.tex
444 lines (414 loc) · 19.8 KB
/
lecture9_higher_kinded_types.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
\documentclass[11pt]{beamer}
\input{lecture_preamble.tex}
\title{Лекция 9: функторы, монады и все-все-все}
\begin{document}
\begin{frame}[plain]
\maketitle
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Роды типов}
\begin{itemize}
\item У значений есть типы, а у типов "--- р\'{о}ды (kinds).
\item Все обычные типы (\haskinline|Int|, \haskinline|Maybe Bool|, \haskinline|(Int, Int)|, \ldots) имеют род \haskinline|*| (синоним "--- \haskinline|Type|).
\pause
\item Пример более сложного рода "--- \haskinline|Maybe|. Он принимает тип рода \haskinline|*| и возвращает тип рода \haskinline|*|:
\begin{haskell}
ghci> :kind Maybe !\pause!
Maybe :: * -> *
\end{haskell}
\pause
\item Определите род:
\begin{itemize}
\item \haskinline!Either! (\haskinline!data Either a b = Left a | Right b!)
\pause
\item \haskinline!Shape! (\haskinline|type Shape f = f ()|)
\pause
\end{itemize}
\item В стандартном Haskell все роды строятся из \haskinline|*| и \haskinline|->|, в GHC всё сложнее (\href{https://downloads.haskell.org/~ghc/8.6.3/docs/html/users_guide/glasgow_exts.html#kind-polymorphism}{Kind polymorphism}, \href{https://downloads.haskell.org/~ghc/8.6.3/docs/html/users_guide/glasgow_exts.html#unboxed-types-and-primitive-operations}{Unboxed type kinds}, \href{https://downloads.haskell.org/~ghc/8.6.3/docs/html/users_guide/glasgow_exts.html#datatype-promotion}{Datatype promotion}, \href{https://downloads.haskell.org/~ghc/8.6.3/docs/html/users_guide/glasgow_exts.html#the-constraint-kind}{The \haskinline|Constraint| kind}).
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Частичное применение типов}
\begin{itemize}
\item Конструкторы типов могут быть частично применены (как функции).
\item Если \haskinline!Either :: * -> * -> *!, то \haskinline|Either Int|\pause\haskinline| :: * -> *|. \haskinline|Either a| "--- тоже.
\pause
\item Типы кортежей, функций и списков можно писать в префиксном виде: \\
\haskinline|(,) a b|, \haskinline|(->) a b|, \haskinline|[] a|.
\pause
\item И применять частично: \haskinline|(->) Int| читается как \enquote{функции из \haskinline|Int|} и имеет род \pause\haskinline|* -> *|.
\pause
\item Синонимы типов (как \haskinline|Shape| с прошлого слайда) всегда должны быть применены полностью.
\pause
\item Для частичного применения нужен \\
\haskinline|newtype Shape f = Shape (f ())|.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Варианты \haskinline|map|}
\begin{itemize}
\item Сравним типы нескольких функций:
\item \alt<-4>{\haskinline|map :: (a -> b) -> [a] -> [b]|}{\haskinline|map :: (a -> b) -> [] a -> [] b|}
\pause
\item \haskinline|mapMb :: (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b| (\haskinline|mapMaybe| называется другая функция)
\pause
\item \haskinline|mapMap :: (a -> b) -> Map k a -> Map k b| (она же \haskinline|Data.Map.{Lazy/Strict}.map|)
\pause
\item \alt<+>{\haskinline|mapSnd :: (a -> b) -> (c, a) -> (c, b)|}{\haskinline|mapSnd :: (a -> b) -> (,) c a -> (,) c b|} \pause
\item Видим, что все они имеют вид \pause \\
\haskinline|forall a b. (a -> b) -> f a -> f b| для разных \haskinline|f| (\haskinline|f| не под \haskinline|forall|!).
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Функторы}
\begin{itemize}
\item Можем обобщить все функции с предыдущего слайда, введя класс типов
\begin{haskell}
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
(<$) :: a -> f b -> f a
(<$) = fmap . const
\end{haskell}
\item Здесь \haskinline|f| "--- переменная типа сорта \pause \haskinline|* -> *|.
\item Смысл \haskinline|fmap g xs|: применить функцию \haskinline|g| ко всем значениям типа \haskinline|a| \enquote{внутри} \haskinline|xs|, не меняя структуры.
\item \haskinline|(<$)| "--- частный случай \haskinline|fmap|, который иногда может быть реализован напрямую.
\pause
\item \haskinline|(<$>)| "--- синоним \haskinline|fmap| как оператор.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Законы функторов}
\begin{itemize}
\item Что значит \enquote{не меняя структуры}?
\item Например, рассмотрим случай \haskinline|fmap id|. Чему должно быть равно \haskinline|fmap id xs|? \pause
\begin{haskell}
fmap id xs == xs
\end{haskell}
\pause
\item Этот закон также формулируется как \\ \alt<+>{\haskinline|fmap id == id|}{\haskinline|fmap (id @a) == id @(f a)|}. \pause
\item Второй закон функторов:
\begin{haskell}
fmap (g . h) xs ==!\pause! fmap g (fmap h xs)
\end{haskell}
\pause
\begin{haskell}
fmap (g . h) ==!\pause! fmap g . fmap h
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Примеры функторов}
\begin{itemize}
\item Очень многие типы (рода \haskinline|* -> *|) являются функторами. Например:
\begin{haskell}
instance Functor Maybe where
-- fmap :: (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b
fmap f (Just x) =!\pause! Just (f x)
fmap _ Nothing =!\pause! Nothing
\end{haskell}
\pause
\item
\begin{haskell}
instance Functor [] where
fmap =!\pause! map
\end{haskell}
\item Не можем определить
\begin{haskell}
instance Functor [] where
fmap f xs = []
\end{haskell}
\pause
Типы сходятся (проверьте!), но законы нарушены.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Ещё примеры функторов}
\begin{itemize}
\item Частично применённые кортежи:
\begin{haskell}
instance Functor ((,) c) where
-- fmap :: (a -> b) -> (c, a) -> (c, b)
fmap f (z, x) =!\pause! (z, f x)
\end{haskell}
\pause
\item
\begin{haskell}
data Pair a = Pair a a
instance Functor Pair where
-- fmap :: (a -> b) -> Pair a -> Pair b
fmap f (Pair x y) =!\pause! Pair (f x) (f y)
\end{haskell}
\pause
\item Дома (начните с уточнения типа \haskinline|fmap|):
\begin{haskell}
instance Functor (Either c) where ...
instance Functor ((->) c) where ...
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{... и нефункторов}
\begin{itemize}
\item Не все типы можно сделать функторами! Рассмотрим
\begin{haskell}
newtype Pred a = Pred (a -> Bool)
instance Functor Pred where
-- fmap :: (a -> b) -> Pred a -> Pred b
fmap g (Pred p) =!\pause! Pred (\x -> ???)
\end{haskell}
\pause \haskinline|g :: a -> b| не к чему применить: у нас нет ничего типа \haskinline|a|!
\pause
\item Общее правило: \haskinline|instance Functor F| можно определить, если \haskinline|a| не входит в определение \haskinline|F a| слева от нечётного числа \haskinline|->| (\href{https://downloads.haskell.org/~ghc/8.6.3/docs/html/users_guide/glasgow_exts.html#deriving-functor-instances}{объяснение}).
\pause
\item По этому правилу, функтор ли ниже?
\begin{haskell}
newtype Tricky a = T ((a -> Int) -> a)
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Доказательство законов для экземпляра \haskinline|Functor|}
\begin{itemize}
\item Возьмём для примера \haskinline|instance Functor Pair|. Нужно доказать, что для него:
\item $\forall$ \haskinline|a :: *|, \haskinline|pair :: Pair a|
\begin{haskell}
fmap id pair == pair
\end{haskell}
\pause
\item Шаг 1: \haskinline|pair = Pair x y|, где \haskinline|x, y :: |\pause\haskinline|a|
\begin{haskell}
fmap id pair ==
fmap id (Pair x y) == !\pause! -- определение fmap \pause
Pair (id x) (id y) == !\pause! -- определение id \pause
Pair x y ==
pair
\end{haskell}
\pause
\item $\forall$ \haskinline|a, b, c :: *|, \haskinline|pair :: Pair a|, \haskinline|h :: a -> b|, \haskinline|g :: b -> c|
\begin{haskell}
fmap (g . h) pair == fmap g (fmap h pair)
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Использование функторов}
\begin{itemize}
\item Предскажите результаты:
\begin{haskell}
(+ 3) <$> Just 1
(+ 3) <$> Nothing
(+ 3) <$> [1, 2, 3]
\end{haskell}
\pause
\item[]
\item
\begin{haskell}
void :: Functor f => f a -> f ()
void x = ???
void [1, 2]
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Чего не могут функторы?}
\begin{itemize}
\item Удобно считать, что \haskinline|fmap| берёт функцию \haskinline|a -> b| и \enquote{поднимает} её в тип \haskinline|f a -> f b|.
\item Можно ли с её помощью поднять функцию двух аргументов? Т.е. можно ли реализовать
\begin{haskellsmall}
fmap2 :: Functor f => (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c
fmap2 g fx fy = ???
\end{haskellsmall}
\pause
\item Нет! Единственное, с чего мы можем начать: \pause \haskinline|fmap g|. Она имеет тип \pause \haskinline|f a -> f (b -> c)|.
\item Применив к \haskinline|fx| (тип подходит), получим
\haskinline|fmap g fx :: f (b -> c)|. \pause
\item Но \haskinline|f (b -> c)| и \haskinline|f b| скомбинировать уже не получится.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Аппликативные функторы}
\begin{itemize}
\item Если добавить к функторам метод получения \haskinline|f c| из \haskinline|f (b -> c)| и \haskinline|f b|, и метод поднятия любого значения, получится понятие аппликативного функтора:
\begin{haskell}
class Functor f => Applicative f where
pure :: a -> f a
infixl 4 <*>, *>, <*
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
(*>) :: f a -> f b -> f b
(<*) :: f a -> f b -> f a
\end{haskell}
\item \haskinline|(*>)| и \haskinline|(<*)| имеют определения по умолчанию.
\item Теперь можно определить
\begin{haskell}
liftA2 :: Applicative f => (a -> b -> c) ->
f a -> f b -> f c
liftA2 g fx fy = ???
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Законы аппликативных функторов}
\begin{itemize}
\item У \haskinline|Applicative| 5 законов:
\item
\begin{haskell}
pure id <*> v = v
pure f <*> pure x = pure (f x)
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u
u <*> (v <*> w) = pure (.) <*> u <*> v <*> w
fmap g x = pure g <*> x
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Моноидальные функторы}
\begin{itemize}
\item Эти законы не очень удобны и их трудно запомнить. Но мы можем использовать другой класс:
\item
\begin{haskell}
class Functor f => Monoidal f where
unit :: f ()
(**) :: f a -> f b -> f (a,b)
\end{haskell}
\item Он взаимовыразим с аппликативными функторами (т.е. \haskinline|pure| и \haskinline|(<*>)| выражаются через \haskinline|unit| и \haskinline|(**)| и наоборот).
\item Законы ($\simeq$: с точностью до изоморфизма):
\begin{haskell}
unit ** v !$\simeq$! v
u ** unit !$\simeq$! u
u ** (v ** w) !$\simeq$! (u ** v) ** w
\end{haskell}
\item Упражнение: записать точные их версии
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Примеры аппликативных функторов}
\begin{itemize}
\item Многие функторы являются аппликативными:
\begin{haskell}
instance Applicative Maybe where
-- pure :: a -> Maybe a
pure =!\pause! Just
-- (<*>) :: Maybe (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b
Just g <*> Just x =!\pause! Just (g x)
_ <*> _ =!\pause! Nothing
\end{haskell}
\pause
\item Для списков есть 2 варианта. Стандартный:
\begin{haskell}
instance Applicative [] where
-- pure :: a -> [a]
pure x =!\pause! [x]
-- (<*>) :: [a -> b] -> [a] -> [b]
gs <*> xs =!\pause! [g x | g <- gs, x <- xs]
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Примеры аппликативных функторов}
\begin{itemize}
\item Второй аппликативный функтор для списков (определён в \haskinline|Control.Applicative|):
\begin{haskell}
newtype ZipList a = ZipList { getZipList :: [a] }
instance Applicative ZipList where
(ZipList fs) <*> (ZipList xs) = ZipList (zipWith ($) fs xs)
pure x = ???
\end{haskell}
\pause
\item Подсказка: реализация определяется законом
\begin{haskell}
pure id <*> v = v
\end{haskell}
\pause
\item Ответ:
\begin{haskell}
pure x = ZipList (repeat x)
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Пример неаппликативного функтора}
\begin{itemize}
\item
\begin{haskell}
instance Applicative ((,) c) where
-- pure :: a -> (c, a)
pure = ???
\end{haskell}
\pause Невозможно определить без ограничений на \haskinline|c|.
\pause
\item А какие ограничения нужны? \pause
\begin{haskell}
instance Monoid c => Applicative ((,) c) where
pure x = (mempty, x)
(c1, g) <*> (c2, x) =!\pause! (c1 <> c2, g x)
\end{haskell}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Что можно сделать с аппликативными функторами}
\begin{itemize}
\item Предскажите результаты:
\begin{haskell}
pure (+) <*> [2, 3, 4] <*> pure 4
[(+1), (*2)] <*> [2, 3]
[1, 2] *> [3, 4, 5]
[1, 2] <* [3, 4, 5]
ZipList [1, 2] *> ZipList [3, 4, 5]
\end{haskell}
\pause
\item Реализуйте
\begin{haskell}
when :: Applicative f => Bool -> f () -> f ()
sequenceAL :: Applicative f => [f a] -> f [a]
\end{haskell}
\item У второй есть обобщённая версия \href{http://hackage.haskell.org/package/base/docs/Data-Traversable.html#v:sequenceA}{\haskinline|sequenceA|}, определяющая ещё один класс \haskinline|Traversable|.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{... и что нельзя}
\begin{itemize}
\item Структура результата аппликативного вычисления зависит только от структуры аргументов, а не от значений внутри них.
\item Т.е. мы не можем определить функцию
\begin{haskell}
ifA :: Applicative f => f Bool -> f a -> f a -> f a
\end{haskell}
так, чтобы выполнялось
\begin{haskell}
ifA [True] [1, 2] [3] == [1, 2]
ifA [False] [1, 2] [3] == [3]
\end{haskell}
(в случае списков структура "--- число элементов).
\pause
\item Попробуйте написать какие-нибудь варианты \haskinline|ifA| по типу и убедиться в этом.
\pause
\item Эту проблему решают монады, о которых будет следующая лекция.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Диаграмма классов типов высших родов}
\includegraphics[width=\linewidth]{Typeclassopedia-diagram.png}
\end{frame}
% TODO восстановить слайды
%\begin{frame}[fragile]
%\frametitle{\haskinline|Foldable| и \haskinline|Traversable|}
%\begin{itemize}
% \item TODO
%\end{itemize}
%\end{frame}
%
%\begin{frame}[fragile]
%\frametitle{Вывод \haskinline|Functor|, \haskinline|Foldable|, \haskinline|Traversable|}
%\begin{itemize}
% \item TODO
%\end{itemize}
%\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Дополнительное чтение}
\begin{itemize}
\item \href{https://wiki.haskell.org/Typeclassopedia}{Typeclassopedia} (диаграмма на предыдущем слайде оттуда). Особенно посмотрите на \haskinline|Foldable|, \haskinline|Traversable| и \haskinline|Alternative|.
\item \href{https://stackoverflow.com/questions/7220436/good-examples-of-not-a-functor-functor-applicative-monad}{Good examples of Not a Functor/Applicative/Monad?}
\item \href{http://adit.io/posts/2013-04-17-functors,_applicatives,_and_monads_in_pictures.html}{Functors, Applicatives, And Monads In Pictures.}
\item Глава \href{https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Applicative_functors}{Applicative Functors} в Wikibook.
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}