dist_discrete.qmd

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# 이산형 확률분포

이산형 확률분포(discrete probability distribution)는 확률변수가 가질 수 있는 값이 유한하거나 셀 수 있는 무한한 경우의 확률분포로 정의된다. 대표적인 이산형 확률분포로 베르누이분포, 이항분포, 포아송분포를 들 수 있다.

```{mermaid}
graph TB
A[이산형 확률분포] --- B{베르누이 관련 분포}
A --- C{포아송분포}
A --- D{기타 이산형 분포}

subgraph B [베르누이 관련 분포]
  B1(베르누이분포) --> B2(이항분포)
  B2 --> B3(음이항분포)
end

subgraph C [포아송분포]
  C1(포아송분포)
end

subgraph D [기타 이산형 분포]
  D1(기하분포)
  D2(초기하분포)
end
```


## 베르누이분포

베르누이분포(Bernoulli distribution)는 가장 간단한 이산형 확률분포 중 하나로, 단 두 가지 가능한 결과(성공 또는 실패)만을 가지는 시행을 모형화한 것이다. 동전 던지기에서 앞면이 나오는 경우를 대표적으로 들 수 있다.

확률변수 $X$가 베르누이분포를 따른다고 할 때, 성공할 확률을 $p$라 하면 확률질량함수(PMF)는 다음과 같이 정의된다.

$$P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} \qquad x = 0, 1$$

평균 $E(X) = p$이고 분산 $Var(X) = p(1-p)$ 이다.


베르누이분포 누적분포함수(CDF)는 확률변수 $X$가 특정 값 이하일 확률로 정의되고, 베르누이분포 CDF는 다음과 같다.

$$
\begin{align*}
F(x) &= P(X \leq x) \\ 
\newline
F(x) &= \begin{cases} 
  0 & \text{if } x < 0 \\
  1-p & \text{if } 0 \leq x < 1 \\
  1 & \text{if } x \geq 1
\end{cases}
\end{align*}
$$

- **$x < 0$ 일 때**: $F(x) = 0$ 이 되는 것은 확률변수 $X$가 0보다 작은 값을 취할 수 없기 때문이다.
- **$0 \leq x < 1$ 일 때**: $X$가 0 또는 1의 값을 취할 수 있으며, $X = 0$ 일 확률이 $1-p$이므로, $x$가 0과 1 사이일 때 $F(x)$의 값은 $1-p$이 된다.
- **$x \geq 1$ 일 때**: $F(x) = 1$ 이 되는 이유는 $X$가 1 이상의 값을 취할 수 있는 최대 확률이 1이기 때문이다.

## 이항분포

이항분포(Binomial distribution)는 베르누이분포의 확장으로, $n$번의 독립적인 베르누이 시행에서 성공의 횟수를 모형화한 것이다. 예를 들어, 동전을 10번 던져 앞면이 나오는 횟수의 분포를 생각해 볼 수 있다.

확률변수 $X$가 이항분포를 따른다고 할 때, 시행 횟수 $n$과 각 시행의 성공 확률 $p$가 주어지면 확률질량함수는 다음과 같다.

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, ..., n$$

평균 $E(X) = np$이고 분산 $Var(X) = np(1-p)$ 이다.




이항계수(binomial coefficient)는 $\binom{n}{k}$ 으로 다음과 같이 정의된다.

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

이항분포의 누적분포함수(CDF)는 확률변수 $X$가 특정 값 이하일 확률을 표현하고 이항분포의 CDF는 다음과 같이 정의된다.

$$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$$

$\lfloor x \rfloor$는 $x$의 바닥 함수(floor function)로, $x$보다 작거나 같은 최대의 정수를 나타낸다.


## 포아송분포

포아송분포(Poisson distribution)는 일정 시간 또는 공간 내에서 독립적으로 발생하는 사건의 횟수를 모형화한 것이다. 단위 시간 또는 공간 내에서 사건이 발생할 평균 횟수를 $\lambda$라고 할 때, 확률변수 X가 포아송분포를 따르면 확률질량함수는 다음과 같다.

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \text{ for } k = 0, 1, 2, ...$$

$e$는 자연상수(약 2.71828...)이고, $k!$는 k의 계승(factorial)을 나타낸다.

포아송분포의 누적분포함수(CDF)는 확률변수 $X$가 특정 값 이하일 확률을 나타내고 포아송분포 CDF는 다음과 같이 정의된다.

$F(x) = P(X \leq x) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \frac{\lambda^k}{k!}$

$\lfloor x \rfloor$는 x의 바닥 함수(floor function)로, $x$보다 작거나 같은 최대의 정수를 나타낸다.

평균 $E(X) = \lambda$이고 분산 $Var(X) = \lambda$ 이다.

포아송분포는 사건의 발생 횟수가 많지 않고 독립적일 때 적합한 확률모형으로 일정 시간 내 고장 발생 횟수, 일정 면적 내 나무의 개수 등을 모형화할 때 적합하다.