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# 动态规划：一和零！给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3 输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2： 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1 输出：2 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
提示：
- 1 <= strs.length <= 600
- 1 <= strs[i].length <= 100
- strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
- 1 <= m, n <= 100
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢哈哈。
来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。
其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系
多重背包是每个物品，数量不同的情况。
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
但本题其实是01背包问题！
这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
开始动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
- dp数组如何初始化
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
代码如下：
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？
没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历那个都行！
- 举例推导dp数组
以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};不少同学刷过这道提，可能没有总结这究竟是什么背包。
这道题的本质是有两个维度的01背包，如果大家认识到这一点，对这道题的理解就比较深入了。
Java：
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}Python：
class Solution:
def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 默认初始化0
# 遍历物品
for str in strs:
ones = str.count('1')
zeros = str.count('0')
# 遍历背包容量且从后向前遍历！
for i in range(m, zeros - 1, -1):
for j in range(n, ones - 1, -1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1)
return dp[m][n]Go：
func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
// 定义数组
dp := make([][]int, m+1)
for i,_ := range dp {
dp[i] = make([]int, n+1 )
}
// 遍历
for i:=0;i<len(strs);i++ {
zeroNum,oneNum := 0 , 0
//计算0,1 个数
//或者直接strings.Count(strs[i],"0")
for _,v := range strs[i] {
if v == '0' {
zeroNum++
}
}
oneNum = len(strs[i])-zeroNum
// 从后往前 遍历背包容量
for j:= m ; j >= zeroNum;j-- {
for k:=n ; k >= oneNum;k-- {
// 推导公式
dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-zeroNum][k-oneNum]+1)
}
}
//fmt.Println(dp)
}
return dp[m][n]
}
func max(a,b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}传统背包，三维数组法
func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
//dp的第一个index代表项目的多少，第二个代表的是背包的容量
//所以本处项目的多少是len（strs），容量为m和n
dp:=make([][][]int,len(strs)+1)
for i:=0;i<=len(strs);i++{
//初始化背包容量
strDp:=make([][]int,m+1)
for j:=0;j<m+1;j++{
tmp:=make([]int,n+1)
strDp[j]=tmp
}
dp[i]=strDp
}
for k,value:=range strs{
//统计每个字符串0和1的个数
var zero,one int
for _,v:=range value{
if v=='0'{
zero++
}else{
one++
}
}
k+=1
//计算dp
for i:=0;i<=m;i++{
for j:=0;j<=n;j++{
//如果装不下
dp[k][i][j]=dp[k-1][i][j]
//如果装的下
if i>=zero&&j>=one{
dp[k][i][j]=getMax(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-zero][j-one]+1)
}
}
}
}
return dp[len(strs)][m][n]
}
func getMax(a,b int)int{
if a>b{
return a
}
return b
}Javascript：
const findMaxForm = (strs, m, n) => {
const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0));
let numOfZeros, numOfOnes;
for(let str of strs) {
numOfZeros = 0;
numOfOnes = 0;
for(let c of str) {
if (c === '0') {
numOfZeros++;
} else {
numOfOnes++;
}
}
for(let i = m; i >= numOfZeros; i--) {
for(let j = n; j >= numOfOnes; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - numOfZeros][j - numOfOnes] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
};TypeScript：
滚动数组，二维数组法
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
const goodsNum: number = strs.length;
const dp: number[][] = new Array(m + 1).fill(0)
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
for (let j = m; j >= numOfZero; j--) {
for (let k = n; k >= numOfOne; k--) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
let numOfZero: number = 0,
numOfOne: number = 0;
for (let s of str) {
if (s === '0') {
numOfZero++;
} else {
numOfOne++;
}
}
return { numOfZero, numOfOne };
}传统背包，三维数组法
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
/**
dp[i][j][k]: 前i个物品中, 背包的0容量为j, 1容量为k, 最多能放的物品数量
*/
const goodsNum: number = strs.length;
const dp: number[][][] = new Array(goodsNum).fill(0)
.map(_ => new Array(m + 1)
.fill(0)
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0))
);
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[0]);
for (let i = numOfZero; i <= m; i++) {
for (let j = numOfOne; j <= n; j++) {
dp[0][i][j] = 1;
}
}
for (let i = 1; i < goodsNum; i++) {
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
for (let j = 0; j <= m; j++) {
for (let k = 0; k <= n; k++) {
if (j < numOfZero || k < numOfOne) {
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
} else {
dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
}
}
}
}
return dp[dp.length - 1][m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
let numOfZero: number = 0,
numOfOne: number = 0;
for (let s of str) {
if (s === '0') {
numOfZero++;
} else {
numOfOne++;
}
}
return { numOfZero, numOfOne };
}回溯法（会超时）
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
/**
思路：暴力枚举strs的所有子集，记录符合条件子集的最大长度
*/
let resMax: number = 0;
backTrack(strs, m, n, 0, []);
return resMax;
function backTrack(
strs: string[], m: number, n: number,
startIndex: number, route: string[]
): void {
if (startIndex === strs.length) return;
for (let i = startIndex, length = strs.length; i < length; i++) {
route.push(strs[i]);
if (isValidSubSet(route, m, n)) {
resMax = Math.max(resMax, route.length);
backTrack(strs, m, n, i + 1, route);
}
route.pop();
}
}
};
function isValidSubSet(strs: string[], m: number, n: number): boolean {
let zeroNum: number = 0,
oneNum: number = 0;
strs.forEach(str => {
for (let s of str) {
if (s === '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
});
return zeroNum <= m && oneNum <= n;
}