-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 3
/
OrderExecution.tex
executable file
·816 lines (748 loc) · 36.8 KB
/
OrderExecution.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{mathtools,amssymb,amsmath}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{mathabx}
\usepackage{yfonts}
\usepackage{geometry}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{thmbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{array}
\usepackage{makecell}
\usepackage{multirow}
\usepackage{bbm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc, quotes}
\usepackage{ifthen}
\geometry{top=3cm,left=2cm,bottom=3cm,right=2cm}
\lhead{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Pb}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Unb}{\mathbbm{1}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Sc}{\mathcal{S}}
\newcommand{\Fg}{\mathfrak{F}}
\newcommand{\Ag}{\mathfrak{A}}
\newcommand{\Sg}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\Mc}{\mathcal{M}}
\newcommand{\GLc}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\SLc}{\mathcal{SL}}
\newcommand{\Bc}{\mathcal{B}}
\newcommand{\Pc}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Oc}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}{\mathbb{V}}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\renewcommand{\det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\argsmin}{\mathrm{argsmin}}
\newcommand{\argsmax}{\mathrm{argsmax}}
\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\Rac}{\mathrm{Rac}}
\newcommand{\Res}{\mathrm{Res}}
\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
\newcommand{\cov}{\mathrm{cov}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\Supp}{\mathrm{Supp}}
\newcommand{\Cg}{\mathfrak{C}}
\newcommand{\Lg}{\mathfrak{L}}
\newcommand{\ps}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\homeo}{\underset{\text{homéo}}{\clap{$\simeq$}}} % Homéomorphe
\newcommand{\nothomeo}{\underset{\text{homéo}}{\clap{$\not\simeq$}}}
\newcommand{\fun}[5]{\begin{array}{cccc}
#1~: & #2 & $\longrightarrow$ & #3 \\
& #4 & $\longmapsto$ & #5 \end{array}}
\newcommand{\under}[2]{\underbrace{#1}_{\clap{$#2$}}}
\newcommand{\jacobi}[2]{\genfrac{(}{)}{}{1}{#1}{#2}}
\newcommand{\defeq}{\overset{\Delta}{=}}
\newcommand{\Lm}{\preceq_\mathrm{Lm}} % leximin
\newcommand{\Lms}{\precsim_\mathrm{Lm}}
\def\restriction#1#2{\mathchoice
{\setbox1\hbox{${\displaystyle #1}_{\scriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\textstyle #1}_{\scriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\scriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\scriptscriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}}
\def\restrictionaux#1#2{{#1\,\smash{\vrule height .8\ht1 depth .85\dp1}}_{\,#2}}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[scaled]{beramono}
\newcommand{\PSS}[1]{\Pb_{SS,#1}}
\newcommand{\PMR}[1]{\Pb_{MR,#1}}
\newcommand{\TE}[1]{\mathfrak{T}_{\mathfrak{E},#1}}
\newcommand{\TM}[1]{\mathfrak{T}_{\mathfrak{M},#1}}
\newcommand{\UnbP}[1]{\Unb_{\Pb_{#1}}}
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{thm}{Théorème}[section]
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{defn}[thm]{Définition}
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{propo}[thm]{Proposition}
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{prop}[thm]{Propriété}
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{coro}[thm]{Corollaire}
\newtheorem[style=S, bodystyle=\noindent]{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Théorème, bodystyle=\noindent]{thm*}{Théorème}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Définition, bodystyle=\noindent]{defn*}{Définition}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Proposition, bodystyle=\noindent]{propo*}{Proposition}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Propriété, bodystyle=\noindent]{prop*}{Propriété}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Corollaire, bodystyle=\noindent]{coro*}{Corollaire}
\newtheorem[style=S, headstyle=\bfseries\boldmath Lemme, bodystyle=\noindent]{lem*}{Lemme}
\title{Exécution d'ordres.}
\author{}
\date{}
\rhead{}
\allowdisplaybreaks
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\maketitle
\paragraph{}
On s'intéresse aux marchés avec un unique carnet d'ordre. Soit $(A_i)_{i\in\N^*}$ l'ensemble des agents. On appele ordre tout quadruplet de la forme $o = (o_A, o_d, o_p, o_q)$ avec $o_A \in (A_i)_{i\in\N^*},~o_d \in \{\text{ask},\text{bid}\},~o_p>0$ et $o_q>0$. $\Omega$ dénote l'ensemble des ordres et $\Omega_n$ dénote l'ensemble des parties $\Oc$ de $\Omega$ à n éléments tq $\forall o \neq o' \in \Oc,~o_A \neq o'_A$. On note aussi $w_i$ le wealth de l'agent i, $c_i \geq 0$ son cash initial et $n_i \geq 0$ ses assets initiaux. On suppose aussi que les agents ne peuvent avoir de cash ni d'assets négatifs.
\par
Si $W$ est une fonction de bien-être social prenant en entrée les $w_i$, on peut définir $\tilde W$ prenant en entrée les $(c_i)_{1\leq i\leq n}$, les $(n_i)_{1\leq i\leq n}$ et un séquence d'ordres $\Oc = (o_1, \ldots, o_n)$ et retourant le bien-être social $\tilde W((c_i, n_i)_{1\leq i\leq n}, \Oc)$ après l'exécution de la séquence d'ordre $\Oc$ sur le marché initialisé avec un carnet d'ordres vide et dont les agents sont initialisés avec les conditions initiales $CI = (c_i, n_i)_{1\leq i\leq n}$. On notera alors $W_{CI} : \Oc \mapsto \tilde W(CI, \Oc)$.
\par
On se demande si, à $W$ fixé, il existe une relation d'ordre total $\preceq$ sur l'ensemble $\Omega$ des ordres possibles tq pour tout sous-ensemble fini $\Oc = \{o_1, \ldots, o_n\} \in \Omega_n$, pour toutes conditions initiales $CI \in \N^{2n}$, la séquence $(o_{\sigma(1)}, \ldots, o_{\sigma(n)})$ tq $o_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o_{\sigma(n)}$ maximise le welfare, i.e. : \\
\[W_{CI}(o_{\sigma(1)}, \ldots, o_{\sigma(n)}) = \max_{\tau \in \Sg_n}W_{CI}(o_{\tau(1)}, \ldots, o_{\tau(n)})\]
\par
Remarque: Il n'y généralement pas unicité de la séquence maximisant ce welfare. On demande juste que celle triée selon $\preceq$ soit une d'entre elles.
\par On note $\Sg_\Oc$ l'ensemble des séquences dont les éléments sont exactement les éléments de $\Oc$ et $W_u$ le welfare utilitaire, $W_{\min}$ le welfare min, $W_{\max}$ le welfare max et $W_N$ le welfare de Nash. On se donne $p_0 \geq 0$ : c'est le prix initial donné aux assets lorsque qu'aucun prix n'a encore été fixé.
\section{Séquences de deux ordres}
On va montrer le résultat (simple) suivant :
\begin{prop}
Si $\Oc \in \Omega_2$, il existe une séquence $s \in \Sg_{\mathcal O}$ maximisant à la fois $W_u$, $W_N$, $W_{\min}$ et $W_{\max}$ quelles que soient les conditions initiales.
\end{prop}
\begin{proof}
Si les deux ordres ont la même direction, ou si un est un ask et l'autre un bid avec $p_\text{ask}$ > $p_\text{bid}$, alors aucun prix n'est fixé et le résultat est trivial. \\
Dans le cas où $\mathcal O = \{o_1 = (A_1, \text{ask}, p_a, q_a), o_2 = (A_2, \text{bid}, p_b, q_b)\}$ avec $p_b \geq p_a$, notons $q = \min(q_a,q_b)$. \\
Quelle que soit la séquence d'exécution, un prix $p\in\{p_a,p_b\}$ sera fixé et une quantité $q$ sera échangée. On aura donc $w_1 = (c_1 + qp) + (n_1-q)p = c_1+n_1p$ et $w_2 = (c_2 - qp) + (n_2+q)p = c_2+n_2p$, d'où $W_u = c_1+c_2+(n_1+n_2)p$, $W_N = (c_1+n_1p)(c_2+n_2p)$, $W_{\min} = \min_i(c_i + n_ip)$ et $W_{\max} = \max_i(c_i + n_ip)$. Toutes ces quantités étant croissantes selon $p$, elles sont toutes maximisées pour la séquence $(o_2, o_1)$ puisque le prix fixé sera $p_b \geq p_a$.
\end{proof}
Au passage, on peut montrer le résultat suivant :
\begin{prop}
\label{prop1}
Si $\mathcal O$ est consitué d'un ordre ask $o_a$ et d'un ordre bid $o_b$, alors :
\begin{itemize}
\item Si $p_a \geq p_b$, alors le welfare final ne dépend pas de la séquence d'exécution.
\item Si $p_a < p_b$, alors $W_u(o_b,o_a) > W_u(o_a,o_b)$ et $W_N(o_b,o_a) > W_N(o_a,o_b)$
\item Si $p_a < p_b$, alors $W_{\min}(o_b,o_a) \geq W_{\min}(o_a,o_b)$ avec cas d'égalité lorsque $n_b = 0$ et $c_b \leq c_a + n_ap_a$.
\item Si $p_a < p_b$, alors $W_{\max}(o_b,o_a) \geq W_{\max}(o_a,o_b)$ avec cas d'égalité lorsque $n_b = 0$ et $c_b \geq c_a + n_ap_b$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
Le premier point est trivial et le second point se prouve en remarquant que $n_a > 0$. \\
Le troisième point est plus long à prouver : l'inégalité est évidente mais le cas d'égalité ne l'est pas : il s'agit d'étudier quand on a $\min(c_a + n_ap_a, c_b + n_bp_a) = \min(c_a + n_ap_b, c_b + n_bp_b)$. Comme $p_a < p_b$, avoir $n_b = 0$ est une condition nécessaire, ce qui nous ramène à étudier quand $\min(c_a + n_ap_a, c_b) = \min(c_a + n_ap_b, c_b)$ ce qui est vrai ssi $c_b \leq c_a + n_ap_a$. Il suffit ensuite de vérifier que la réciproque (si $n_b = 0$ et $c_b \leq c_a + n_ap_a$ alors on a l'égalité) est vraie. \\
La quatrième point s'étudie comme le troisième.
\end{proof}
On remarque au passage qu'on ne peut pas avoir à la fois le cas d'égalité pour $W_{\min}$ et pour $W_{\max}$ lorsque $p_a < p_b$.
\section{Interlude : Un lemme utile}
On note $\argsmax_{x\in X}f(x)$ l'ensemble $\{x \in X, f(x) = \max_{y\in X}f(y)\}$.
\begin{lem}
\label{lem1}
Soit $n \geq 2$. Soit $\Oc = \{o_1, \ldots, o_n\} \in \Omega_n$. Soit $\Oc'$ et $\Oc''$ deux sous-ensembles de $\Oc$ d'intersection nulle. Soit $W$ fixé.\\
S'il existe $CI \in \N^{2n}$ tq, en notant $S = \argsmax_{s \in \Sg_\Oc}W_{CI}(s)$, on a pour tout $s \in S$ l'existence de $o_i\in\Oc'$ et $o_j\in\Oc''$ tq l'ordre $o_i$ apparait avant $o_j$ dans la séquence s, alors si $\preceq$ existe, il existe $o_i\in\Oc'$ et $o_j\in\Oc''$ tq $o_i \preceq o_j$.
\end{lem}
\begin{proof}
Sous l'hypothèse que $\preceq$ existe, la séquence $s = (o_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o_{\sigma(n)})$ maximise le welfare $W$ pour toutes les conditions initiales, donc pour $CI$ en particulier. Donc $s \in S$. Par hypothèse, il existe donc $o_i \in \Oc'$ et $o_j \in \Oc''$ tq $o_i$ apparait avant $o_j$ dans s. Donc, par définition de $s$, $o_i \preceq o_j$
\end{proof}
De ce lemme et de la propriété \ref{prop1} on peut donc déduire que :
\begin{prop}
\label{prop2}
Si $o_a, o_b \in \Omega^2$ avec $o_{a, d} = \text{ask}$, $o_{b, d} = \text{bid}$ et $o_{a, p} < o_{b,p}$, alors $o_b \preceq o_a$, si $W = W_u,~W_N,~W_{\min}$ ou $W_{\max}$ et si $\preceq$ existe.
\end{prop}
\section{Non-existence de $\preceq$ pour les welfares usuels}
On va utiliser ce les résultats précédents pour montrer qu'il n'existe pas d'ordre $\preceq$ sur $\Omega$ vérifiant la propriété voulue.
\subsection{Welfare min et welfare de Nash}
~
\begin{thm}
\label{thm1}
Soit $W = W_{\min}$ ou $W_N$. \\
Il n'existe pas d'ordre total $\preceq$ sur $\Omega$ tq pour tout ensemble $\Oc = \{o_1, \ldots, o_n\} \in \Omega_n$, pour toutes conditions initiales $CI \in \N^{2n}$, la séquence $(o_{\sigma(1)}, \ldots, o_{\sigma(n)})$ tq $o_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o_{\sigma(n)}$ est une des séquences de $\Oc$ maximisant le welfare $W_{CI}$.
\end{thm}
\begin{proof}
~\\
\textbf{1\up{ère} étape : Il existe $\boldsymbol{\Oc \in \Omega_3}$ constitué de deux ordres asks $\boldsymbol{o_1}$ et $\boldsymbol{o_2}$ et d'un ordre bid $\boldsymbol{o_3}$ dont le prix est supérieur à ceux des ordres asks tq ni $\boldsymbol{(o_3, o_1, o_2)}$ ni $\boldsymbol{(o_3, o_2, o_1)}$ ne maximisent le welfare.} \\
Soit $\Oc = \{o_1 = (A_1, \text{ask}, p_1, q_1) , o_2 = (A_2, \text{ask}, p_2, q_2), o_3 = (A_3, \text{bid}, p_3, q_3)\} \in \Omega_3$ \\ et soit $CI = (c_i, n_i)_{1\leq i\leq 3} \in \N^6$ tq :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $p_1 < p_3$
\item $p_2 < p_3$
\item $q_1 \leq n_1$
\item $q_2 \leq n_2$
\item $q_2 < q_3$
\item $q_3 - q_2 < q_1 < q_3$
\item $c_3 + n_3p_3 < c_1 + n_1p_3 \\< \min(c_2 + q_2p_2 + n_2p_3 - q_2p_3,\\c_3 - q_2p_2 + q_2p_3 + n_3p_3)$
\item $q_2(p_3-p_2) < (c_2 + n_2p_3) - (c_3 + n_3p_3)$\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
L'existence de tels $\Oc$ et $CI$ n'a rien d'une évidence : un exemple est donné en annexe \ref{appendix1}. \\
Dans le tableau suivant, on donne le cash et le nombre d'assets détenu par chaque agent après l'exécution de différentes séquences. Le dernier prix fixé est, dans tous les cas, $p_3$. Le détail est donné en annexe \ref{appendix2}. \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multirow{2}{*}{Séquence} & \multicolumn{2}{c|}{$A_1$} & \multicolumn{2}{c|}{$A_2$} & \multicolumn{2}{c|}{$A_3$} \\
\cline{2-7}
& cash & assets & cash & assets & cash & assets \\
\hline
\multirow{2}{*}{$(o_2, o_3, o_1)$} & \multirow{2}{*}{$c_1 + (q_3-q_2)p_3$} & \multirow{2}{*}{$n_1 - (q_3-q_2)$} & \multirow{2}{*}{$c_2 + q_2p_2$} & \multirow{2}{*}{$n_2-q_2$} & $c_3 - q_2p_2$ & \multirow{2}{*}{$n_3+q_3$} \\
& & & & & $-(q_3-q_2)p_3$ & \\
\hline
$(o_3,o_1,o_2)$ & $c_1+q_1p_3$ & $n_1-q_1$ & $c_2 + (q_3-q_1)p_3$ & $n_2 - (q_3-q_1)$ & $c_3 - q_3p_3$ & $n_3+q_3$ \\
\hline
$(o_3,o_2,o_1)$ & $c_1 + (q_3-q_2)p_3$ & $n_1-(q_3-q_2)$ & $c_2+q_2p_3$ & $n_2-q_2$ & $c_3 - q_3p_3$ & $n_3+q_3$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Donc, il vient que :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Séquence & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ \\
\hline
$(o_2, o_3, o_1)$ & $c_1 + n_1p_3$ & $c_2+q_2p_2+(n_2-q_2)p_3$ & $c_3+q_2(p_3-p_2)+n_3p_3$ \\
\hline
$(o_3,o_1,o_2)$ & \multirow{2}{*}{$c_1+n_1p_3$} & \multirow{2}{*}{$c_2+n_2p_3$} & \multirow{2}{*}{$c_3+n_3p_3$} \\
\cline{1-1}
$(o_3,o_2,o_1)$ & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On notera $(o_3, \cdot, \cdot)$ les séquences $(o_3,o_1,o_2)$ et $(o_3,o_2,o_1)$. \\
On en conclut que $W_{\min,CI}(o_3, \cdot, \cdot) = \min(c_1+n_1p_3,~c_2+n_2p_3,~c_3+n_3p_3) = c_3+n_3p_3$ d'après (7), (8) et (2). \\
De plus, $W_{\min, CI}(o_2,o_3,o_1) = \min(c_1 + n_1p_3,~c_2+q_2p_2+(n_2-q_2)p_3,~c_3+q_2(p_3-p_2)+n_3p_3) = c_1 + n_1p_3$ d'après (7).
Finalement, (7) donne aussi que $\boldsymbol{W_{\min, CI}(o_2,o_3,o_1) = c_1 + n_1p_3 > c_3 + n_3p_3 = W_{\min,CI}(o_3, \cdot, \cdot)}$. On a bien montré ce qu'on voulait pour $W_{\min,CI}$. Faisons de même pour $W_{N,CI}$ : \\ ~\\
$W_{N,CI}(o_3, \cdot, \cdot) = (c_1+n_1p_3)(c_2+n_2p_3)(c_3+n_3p_3)$ et \\
$W_{N,CI}(o_2, o_3, o_1) = (c_1+n_1p_3)(c_2+q_2p_2+(n_2-q_2)p_3)(c_3+q_2(p_3-p_2)+n_3p_3)$, d'où \\
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{W_{N,CI}(o_2, o_3, o_1)}{W_{N,CI}(o_3, \cdot, \cdot)} & = & \dfrac{(c_2+q_2p_2+(n_2-q_2)p_3)(c_3+q_2(p_3-p_2)+n_3p_3)}{(c_2+n_2p_3)(c_3+n_3p_3)} \\
& = & \ldots \\
& = & 1 + \dfrac{q_2(p_3-p_2)[(c_2+n_2p_3) - (c_3+n_3p_3) - q_2(p_3-p_2)]}{(c_2+n_2p_3)(c_3+n_3p_3)}
\end{array}$ \\
avec $q_2\underbrace{(p_3-p_2)}_{> 0 \text{ selon (2)}}\underbrace{[(c_2+n_2p_3) - (c_3+n_3p_3) - q_2(p_3-p_2)]}_{>0 \text{ selon (8)}} > 0$. \\
Donc $\boldsymbol{W_{N, CI}(o_2,o_3,o_1) > W_{N,CI}(o_3, \cdot, \cdot)}$.\\~\\
\textbf{2\up{ème} étape : Conclusion} \\
Si d'aventure il existait une relation d'ordre $\preceq_{\min}$ (resp. $\preceq_{N}$) sur $\Omega$ tq pour tout ensemble $\Oc' = \{o'_1, \ldots, o'_n\} \in \Omega_n$, pour toutes conditions initiales $CI' \in \N^{2n}$, la séquence $(o'_{\sigma(1)}, \ldots, o'_{\sigma(n)})$ tq $o'_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o'_{\sigma(n)}$ est une des séquences de $\Oc'$ maximisant le welfare $W_{\min,CI'}$ (resp. $W_{N,CI'}$), alors : \\
Comme $o_3$ est un bid et comme $o_1, o_2$ sont des asks tq $p_1 < p_3$ (1) et $p_2 < p_3$ (2), alors de la propriété \ref{prop2} découle le fait que $o_3 \preceq_{\min} o_1$, $o_3 \preceq_{\min} o_2$, $o_3 \preceq_N o_1$ et $o_3 \preceq_N o_2$. Ces inégalités sont mêmes strictes car $o_1, o_2$ et $o_3$ sont distincts. $o_3$ est donc à la fois le minimum de $\Oc$ pour $\preceq_{\min}$ et pour $\preceq_N$. Les séquences $s_{\min}$ et $s_N$ de $\Oc$ ordonnées respectivement selon $\preceq_{\min}$ et $\preceq_N$ débutent dont toutes deux par $o_3$ i.e. sont de la forme $(o_3, \cdot, \cdot)$. Par hypothèse, $s_{\min}$ (resp. $s_{N}$) est donc un point en lequel $W_{\min, CI}$ (resp. $W_{N, CI}$) atteint son maximum, ce qui contredit les résultats de la première étape.
\end{proof}
\subsection{Welfare max}
~
\begin{thm}
\label{thm2}
Il n'existe pas d'ordre total $\preceq$ sur $\Omega$ tq pour tout ensemble $\Oc = \{o_1, \ldots, o_n\} \in \Omega_n$, pour toutes conditions initiales $CI \in \N^{2n}$, la séquence $(o_{\sigma(1)}, \ldots, o_{\sigma(n)})$ tq $o_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o_{\sigma(n)}$ est une des séquences de $\Oc$ maximisant le welfare $W_{\max, CI}$.
\end{thm}
\begin{proof}
La preuve est identitque en tous points à la preuve pour $W_{\min}$ : la seconde étape est identique, on va donc se contenter de préciser la première étape. \\
\textbf{1\up{ère} étape : Il existe $\boldsymbol{\Oc \in \Omega_3}$ constitué de deux ordres asks $\boldsymbol{o_1}$ et $\boldsymbol{o_2}$ et d'un ordre bid $\boldsymbol{o_3}$ dont le prix est supérieur à ceux des ordres asks tq ni $\boldsymbol{(o_3, o_1, o_2)}$ ni $\boldsymbol{(o_3, o_2, o_1)}$ ne maximisent le welfare.} \\
Soit $\Oc = \{o_1 = (A_1, \text{ask}, p_1, q_1) , o_2 = (A_2, \text{ask}, p_2, q_2), o_3 = (A_3, \text{bid}, p_3, q_3)\} \in \Omega_3$ \\ et soit $CI = (c_i, n_i)_{1\leq i\leq 3} \in \N^6$ tq :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $p_1 < p_3$
\item $p_2 < p_3$
\item $q_1 \leq n_1$
\item $q_2 \leq n_2$\\
\item $q_1 < q_3 < q_2$
\item $q_3p_3 < c_3$
\item $\max(c_1+q_1p_1+(n_1-q_1)p_3,~c_2+n_2p_3) \\ < c_3+q_1(p_3-p_1)+n_3p_3$
\item $\max(c_1+n_1p_3,~c_2+n_2p_3) < c_3+n_3p_3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Un exemple est fournit en annexe \ref{appendix3}
Dans le tableau suivant, on donne le cash et le nombre d'assets détenu par chaque agent après l'exécution de différentes séquences. Le dernier prix fixé est, dans tous les cas, $p_3$. Le détail est donné en annexe \ref{appendix4}. \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multirow{2}{*}{Séquence} & \multicolumn{2}{c|}{$A_1$} & \multicolumn{2}{c|}{$A_2$} & \multicolumn{2}{c|}{$A_3$} \\
\cline{2-7}
& cash & assets & cash & assets & cash & assets \\
\hline
\multirow{2}{*}{$(o_1, o_3, o_2)$} & \multirow{2}{*}{$c_1 + q_1p_1$} & \multirow{2}{*}{$n_1-q_1$} & \multirow{2}{*}{$c_2 + (q_3-q_1)p_3$} & \multirow{2}{*}{$n_2-(q_3-q_1)$} & $c_1 - q_1p_1$ & \multirow{2}{*}{$n_3+q_3$} \\
& & & & & $-(q_3-q_1)p_3$ & \\
\hline
$(o_3,o_1,o_2)$ & $c_1+q_1p_3$ & $n_1-q_1$ & $c_2 + (q_3-q_1)p_3$ & $n_2 - (q_3-q_1)$ & $c_3 - q_3p_3$ & $n_3+q_3$ \\
\hline
$(o_3,o_2,o_1)$ & $c_1$ & $n_1$ & $c_2+q_3p_3$ & $n_2-q_3$ & $c_3-q_3p_3$ & $n_3+q_3$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Donc, il vient que :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Séquence & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ \\
\hline
$(o_1, o_3, o_2)$ & $c_1 + q_1p_1 + (n_1-q_1)p_3$ & $c_2+n_2p_3$ & $c_3+q_1(p_3-p_1)+n_3p_3$ \\
\hline
$(o_3,o_1,o_2)$ & \multirow{2}{*}{$c_1+n_1p_3$} & \multirow{2}{*}{$c_2+n_2p_3$} & \multirow{2}{*}{$c_3+n_3p_3$} \\
\cline{1-1}
$(o_3,o_2,o_1)$ & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On notera $(o_3, \cdot, \cdot)$ les séquences $(o_3,o_1,o_2)$ et $(o_3,o_2,o_1)$. \\
On a $W_{\max,CI}(o_3, \cdot, \cdot) = \max(c_1+n_1p_3,~c_2+n_2p_3,~c_3+n_3p_3) = c_3+n_3p_3$ selon (8). \\
Et $W_{\max,CI}(o_1, o_3, o_2) = \max(c_1 + q_1p_1 + (n_1-q_1)p_3,~c_2+n_2p_3,~c_3+q_1(p_3-p_1)+n_3p_3) = c_3+q_1(p_3-p_1)+n_3p_3$ selon (7), \\
d'où $\boldsymbol{W_{\max,CI}(o_3, \cdot, \cdot) = c_3+n_3p_3 < c_3+q_1(p_3-p_1)+n_3p_3 = W_{\max,CI}(o_1, o_3, o_2)}$ selon (1).
\end{proof}
\subsection{Welfare utilitaire}
On notera dans cette partie les conditions initiales $CI = (c_i(0), n_i(0))_{1\leq i\leq n}$. On appelle instant $t+1$ l'instant où est placé le premier ordre ou où est fixé le premier prix depuis l'instant $t$.
\begin{lem}
Soit $CI$ fixées. \\
Il existe $C\geq 0$ et $N\geq 0$ tq $\forall \Oc = \{o_1, \ldots, o_n\}\in \Omega_n, \forall m \leq n$, $W_{u, CI}(o_1, \ldots, o_m) = C + Np_m$ où $p_m$ est le dernier ordre fixé après l'exécution de la séquence $(o_1, \ldots, o_m)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Soit $t \geq 0$.\\
Si l'instant $t+1$ a été fixé par un ordre placé, on a trivialement $\sum_{1\leq i\leq n}c_i(t+1) = \sum_{1\leq i\leq n}c_i(t)$ et $\sum_{1\leq i\leq n}n_i(t+1) = \sum_{1\leq i\leq n}n_i(t)$. \\
Si l'instat $t+1$ a été fixé par un prix qui a été fixé, noté $A_i$ l'agent dont provient l'ordre ask, $A_j$ celui dont provient le bid, $q$ la quantité échangée et $p$ le prix fixé. On a $\forall k \not\in \{i,j\}, c_k(t+1) = c_k(t)$ et $n_k(t+1) = n_k(t)$ et : \\
$c_i(t+1) = c_i(t) + qp$, $n_i(t+1) = n_i(t) - q$, $c_j(t+1) = c_j(t) - qp$ et $n_j(t+1) = n_j(t) + q$. \\
Donc $\sum_{1\leq i\leq n}c_i(t+1) = \sum_{1\leq i\leq n}c_i(t)$ et $\sum_{1\leq i\leq n}n_i(t+1) = \sum_{1\leq i\leq n}n_i(t)$ dans tous les cas : $\sum_ic_i$ et $\sum_in_i$ sont constantes. On les notes respectivement $C$ et $N$.
Alors $W_{u,CI}(t) = \sum_iw_i(t) = \sum_i c_i(t) + n_i(t)p = C + Np$ avec $p$ le dernier prix fixé.
\end{proof}
En fait, on pourra montrer qu'il n'existe pas de contre-exemples avec 3 ordres, mais il en existe avec 4 ordres.
\section{Welfare leximin}
\subsection{Formalisme}
~
\begin{defn}[Pré-ordre total leximin]
Soit $n\in\N^*$ et $x,y \in \R^n$. On définit le pré-ordre total leximin $\Lm$ par $x \Lm y$ ssi, en notant $\sigma, \tau \in \Sg_n$ des permutations tq $x_{\sigma(1)} \leq \ldots \leq x_{\sigma(n)}$ et $y_{\tau(1)} \leq \ldots \leq y_{\tau(n)}$, il existe $k \in [\![1,n+1]\!]$ tq $\forall i < k, x_{\sigma(i)} = y_{\tau(i)}$ et, si $k \leq n$, $x_{\sigma(k)} < y_{\tau(k)}$. \\
Informellement, $x$ est plus petit que $y$ lorsque la séquence des coordonnées de x triées dans l'ordre croissant est lexicographiquement plus petite que la séquence des coordonnées de y triées également dans l'ordre croissant.
\end{defn}
\par
On quotiente alors $\R^n$ par la relation d'équivalence $\sim$ définie par $x\sim y$ lorsque $x \Lm y$ et $y \Lm x$ (i.e. lorsque les coordonnées de x sont une permutations des coordonnées de y). La relation $\Lms$ sur $\R^n/\sim$ définie par $X\Lms Y$ lorsque $\forall x \in X,\forall y \in Y, x\Lm y$ est alors une relation d'ordre totale\footnote{Bourbaki, \'Eléments de mathématique : Théorie des ensembles, Paris, Masson, 1998, ch III, \S 1, n\up{o}2, p3} sur $\R^n/\sim$. Pour une partie finie $P$ de $\R^n$, on définit alors $\max_{\Lms}P$ comme étant égal à l'intersection entre $P$ et le maximum de $\{\bar x, x \in P\}$ pour $\Lms$, où $\bar x$ désigne la classe d'équivalence de $x$ par $\sim$.
\par
On se demande si, en appellant welfare lexmin $W$ la fonction identité définie sur l'union des $R^n$ avec $n\in\N^*$, il existe un ordre total $\preceq$ sur $\Omega$ tq pour tout $n$, pour tout ensemble $\Oc = \{o_1,\ldots,o_n\}\in\Omega_n$, pour toutes conditions initiales $CI\in\N^{2n}$, on a $W_{CI}(o_{\sigma(1)},\ldots,o_{\sigma(n)}) \in \max_{\Lms, \tau \in \Sg_n}W_{CI}(o_{\tau(1)}, \ldots, o_{\tau(n)})$ avec $\sigma \in \Sg_n$ tq $o_{\sigma(1)} \preceq \ldots \preceq o_{\sigma(n)}$.
La réponse est non : il suffit de reprendre le contre-exemple de $W_{\min}$ (et la propriété \ref{prop1} reste vraie).
\newpage
\appendix
\section{Détails de la preuve du théorème \ref{thm1}}
\subsection{Exemple d'ensembles $\Oc$ et $CI$ vérifiant les hypothèses}
\label{appendix1}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
i & p_i & q_i & c_i & n_i \\
\hline
1 & 1463 & 3 & 20932 & 4 \\
\hline
2 & 1248 & 4 & 45856 & 24 \\
\hline
3 & 5528 & 6 & 12339 & 5 \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\subsection{Preuve des valeurs obtenues pour le cash et les assets après exécution des différentes séquences}
\label{appendix2}
\par
On représente un carnet d'ordre de la façon suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,2) --(3,2);
\node [above left] at (3,2) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,2) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,2) {\small $A_3$};
\draw [thick] (0,3) --(2,3);
\node [above right] at (0,3) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,3) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,3) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
avec, sur cet exemple, $A_i$ un agent ayant placé un ordre au prix $p_i$ pour une quantité $q_i$. Les ordres 1 et 2 sont des asks, l'ordre 3 est un bid, et l'échelle verticale est l'échelle des prix : $p_1 < p_3 < p_2$.
\subsubsection{Séquence $(o_2,o_3,o_1)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_2$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_2$ & Ajout de $o_3$ & Match entre $o_2$ et $o_3$
\end{tabular} \\ \vspace{1cm}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_2$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1 - (q_3-q_2)$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_1$ & Match entre $o_1$ et $o_3$
\end{tabular}
\end{center}~
\subsubsection{Séquence $(o_3,o_1,o_2)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_3$ & Ajout de $o_1$ & Match entre $o_1$ et $o_3$
\end{tabular} \\ \vspace{1cm}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2-(q_3-q_1)$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_2$ & Match entre $o_2$ et $o_3$
\end{tabular}
\end{center}~
\subsubsection{Séquence $(o_3,o_2,o_1)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_2$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_3$ & Ajout de $o_2$ & Match entre $o_2$ et $o_3$
\end{tabular} \\ \vspace{1cm}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_2$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1-(q_3-q_2)$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_1$ & Match entre $o_1$ et $o_3$
\end{tabular}
\end{center}~
\section{Détails de la preuve du théorème \ref{thm2}}
\subsection{Exemple d'ensembles $\Oc$ et $CI$ vérifiant les hypothèses}
\label{appendix3}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
i & p_i & q_i & c_i & n_i \\
\hline
1 & 1166 & 1 & 23500 & 11 \\
\hline
2 & 1002 & 13 & 14969 & 15 \\
\hline
3 & 2048 & 11 & 32763 & 24 \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\subsection{Preuve des valeurs obtenues pour le cash et les assets après exécution des différentes séquences}
\label{appendix4}
~
\subsubsection{Séquence $(o_1,o_3,o_2)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_1$ & Ajout de $o_3$ & Match entre $o_1$ et $o_3$
\end{tabular} \\ \vspace{1cm}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2-(q_3-q_1)$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_2$ & Match entre $o_2$ et $o_3$
\end{tabular}
\end{center}~
\subsubsection{Séquence $(o_3,o_1,o_2)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_3$ & Ajout de $o_1$ & Match entre $o_1$ et $o_3$
\end{tabular} \\ \vspace{1cm}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3-q_1$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2-(q_3-q_1)$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_2$ & Match entre $o_2$ et $o_3$
\end{tabular}
\end{center}~
\subsubsection{Séquence $(o_3,o_2,o_1)$}
~\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (1,3) --(3,3);
\node [above left] at (3,3) {\small $p_3$};
\node [below left] at (3,3) {\small $q_3$};
\node [right] at (3,3) {\small $A_3$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2-q_3$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\node [right] at (0,0) {\small ASKS};
\node [left] at (3,0) {\small BIDS};
\draw [thick] (0,1) --(2,1);
\node [above right] at (0,1) {\small $p_2$};
\node [below right] at (0,1) {\small $q_2-q_3$};
\node [left] at (0,1) {\small $A_2$};
\draw [thick] (0,2) --(2,2);
\node [above right] at (0,2) {\small $p_1$};
\node [below right] at (0,2) {\small $q_1$};
\node [left] at (0,2) {\small $A_1$};
\end{tikzpicture}
\\
Ajout de $o_3$ & Ajout de $o_2$ & Match entre $o_2$ et $o_3$ & Ajout de $o_1$
\end{tabular}
\end{center}~
\end{document}