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\documentclass[Main.tex]{subfiles}
\begin{document}
%\part{aa}
\chapter{Superfícies}
Neste capítulo, estudamos funções vetoriais do tipo $\vct{f}(u,v)$, ou seja, uma função que associa um ponto do plano real a vetores no espaço.
\section{Funções vetoriais de duas variáveis reais - superfícies}
Uma função vetorial de duas variáveis é uma função da forma $$\vct{r}:D_1\times D_2 \to \mathbb{R}^3,$$ onde $D_1\times D_2\subseteq \mathbb{R}^2$ é o domínio de definição de $\vct{r}$ e $(u,v)\in D_1\times D_2$ são os parâmetros ou as coordenadas de superfície. Em coordenadas cartesianas, uma função vetorial assume a seguinte forma:
$$\vct{r}(u,v)=x(u,v)\vct{i}+y(u,v)\vct{j}+z(u,v)\vct{k}$$
\begin{ex}\label{exfv1} São exemplos de funções vetoriais
\begin{itemize}
\item [a)] $\vct{f}(u,v)=\sin(u)\vct{i}+\cos(v)\vct{j}+uv\vct{k}$
\item [b)] $\vct{g}(u,v)=\sin(u)\cos(v) \vct{i}+\cosh(u)\sinh(v)\vct{k}+u\vct{k}$
\end{itemize}
\end{ex}
Uma superfície\index{superfície} no espaço pode ser representada pelo conjunto de pontos de uma função vetorial $\vct{r}(u,v)$ não constante em todo o seu domínio. A seguinte interpretação ajuda entender essa função: se fixamos $v$ e temos que $\vct{r}(u,v)$ descreve uma curva e $\vct{r}_u(u,v)$ é um vetor tangente a essa curva. Da mesma forma, se fixamos $u$ temos que $\vct{r}(u,v)$ descreve uma curva e $\vct{r}_v(u,v)$ é um vetor tangente a essa curva. Se essas curvas não forem paralelas, temos um sistema de coordenadas curvilíneo para escrever todos os pontos da superfície. Pense no globo terrestre, o medidiano de Greenwich e a linha do Equador: o globo como uma superfície, Greenwich e Equador como duas curvas e longitude e latitude como um sistema de coordenadas curvilíneo. Observe que esse sistema curvilíneo fica bem definido quando $\vct{r}_u$ e $\vct{r}_v$ não são paralelos nos pontos do domínio. Chamamos de superfície regular aquela que satisfaz
$$
\vct{r}_u\times \vct{r}_v\neq \vct{0}.
$$
\begin{ex}A superfície
$$
\vct{r}=a\sin(u)\cos(v)\vct{i}+a\sin(u)\sin(v)\vct{j}+a\cos(u)\vct{k},\qquad a>0,\ 0\leq u,v\leq 2\pi,
$$
descreve uma esféra centrada na origem e raio $a$. De fato, colocando $$x=a\sin(u)\cos(v),\qquad y=a\sin(u)\sin(v)\qquad\text{e}\qquad z=a\cos(u),$$
temos que
$$
x^2+y^2+z^2=a^2.
$$
\end{ex}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.25)(2,4.25)
\pstThreeDCoor[xMin=-3,yMax=3]
\pstThreeDSphere(0,0,0){2}
%\pstThreeDDot[dotstyle=x,linecolor=red,drawCoor=true](1,-1,2)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
\begin{prob}Verifique que
$$
\vct{r}=\cosh(u)\cos( v)\vct{i}+ \cosh(u)\sin(v)\vct{j}+\sinh(u)\vct{k},\ 0\leq v\leq 2\pi,\ u\in\mathcal{R}
$$
descreve um hiperbolóide de uma folha.
\end{prob}
\section{Quádricas}
A figura \ref{quadricas} apresenta uma lista das principais quádricas\index{quádricas} estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral com funções de várias variáveis. As equações são as seguintes:
\begin{itemize}
\item[a)] Cone elíptico: $\displaystyle z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$.
\item[b)] Elipsóide: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
\item[c)] Parabolóide Elíptico: $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
\item[d)] Parabolóide Hiperbólico: $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$
\item[e)] Hiperbolóide de uma folha: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
\item[f)] Hiperbolóide de duas folhas: $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
\end{itemize}
\begin{figure}[htp]
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=20 20 10,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{cone}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=cone,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=20 20]%
\psset{linecolor=black}
\black
\rput(0,-1.8){Cone Elíptico}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(3,3,3)
\end{pspicture}\hspace{2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=20 20 10,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{esfera}(u,v){3 u Sin v Cos mul mul}{2 u Sin v Sin mul mul}{1.5 u Cos mul}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=0 4 0 2 pi mul,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=esfera,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=30 30]%
\psset{linecolor=black}\black
\rput(0,-1.8){Elipsóide}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(4,3,2)
\end{pspicture} \hspace{2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=20 20 10,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{cone}(u,v){v u Cos mul}{v u Sin mul}{v v mul} \psSolid[object=surfaceparametree,base=0 6.28 0 1.5,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=cone,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=20 20]%
\psset{linecolor=black}\black
\rput(0,-1.8){Parabolóide Elíptico}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(3,3,3)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=15 20 20,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{par_hip_a}(u,v){u}{v}{u u mul v v mul sub} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-1.5 1.5 -1.5 1.5,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=par_hip_a,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=20 20]%
\psset{linecolor=black}\black
\rput(0,-1.8){Parabolóide Hiperbólico}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(3,3,3)
\end{pspicture} \hspace{2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=20 20 10,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{hip_one}(u,v){u cosh v Cos mul}{u cosh v Sin mul}{u sinh} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-1 1 0 6.28,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=hip_one,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=20 20]%
\psset{linecolor=black}\black
\rput(0,-1.8){Hiperbolóide de uma folha}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(3,3,3)
\end{pspicture} \hspace{2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.0,1.8)
%\psframe*(-3,-3)(3.5,3.5)
\psset{viewpoint=20 20 10,Decran=15,lightsrc=20 10 5}
%\psSolid[object=grille,base=-2 2 -2 2,linecolor=black](0,0,-2)
\defFunction{hip_d_a}(u,v){u sinh v Cos mul}{u sinh v Sin mul}{u cosh 1.5 div}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=-1.6 0 0 6.28,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=hip_d_a,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=30 30]%
\defFunction{hip_d_b}(u,v){u sinh v Cos mul}{u sinh v Sin mul}{u cosh -2 div}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=0 1.6 0 6.28,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,function=hip_d_b,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=30 30]%
\psset{linecolor=black}\black
\rput(0,-1.8){Hiperbolóide de duas folhas}
\axesIIID[linecolor=blue](0,0,0)(4,3,2)
\end{pspicture}
\caption{\label{quadricas}Quádricas}
\end{figure}
\section{Casos $y=f(x,z)$, $z=f(x,y)$ ou $x=f(y,z)$}
O caso particular da superfície representada por uma função $z=f(x,y)$, podemos assumir uma parametrização natural $\vct{r}=u\vct{i}+v\vct{j}+f(u,v)\vct{k}$. Analogamente para os casos $y=f(x,z)$ ou $x=f(y,z)$, podemos assumir, respectivamente, as parametrizações $\vct{r}=u\vct{i}+f(u,v)\vct{j}+v\vct{k}$ ou $\vct{r}=f(u,v)\vct{i}+v\vct{j}+u\vct{k}$. Para o caso $z=f(x,y)$ (analogamente para os demais), a condição $\vct{r}_u\times \vct{r}_v\neq \vct{0}$ assume a forma
\begin{eqnarray*}
\vct{r}_u\times \vct{r}_v&=&\left|\begin{array}{ccc}\vct{i}&\vct{j}&\vct{k}\\ 1&0&f_u(u,v)\\0&1&f_v(u,v)\end{array} \right|\\&=&-f_u\vct{i}-f_v\vct{j}+\vct{k}\neq \vct{0}.
\end{eqnarray*}
Isso implica que $ \vct{r}_u\times \vct{r}_v \neq 0$, ou seja, a superfície \'{e} regular. Voltaremos a discutir esse assunto nos próximos capítulos, quando o vetor gradiente estiver definido.
\section{Vetor unitário normal}\index{vetor normal à uma superfície}
Para os fins de teoria de integraçao sobre superfícies, que discutiremos mais adiante, é fundamental definir o vetor unitário normal. Dado uma superfície e um ponto nela, dizemos que um vetor é normal à superfícies, se ele é perpendicular no ponto a cada curva contida na superfícies. Em especial, um vetor normal à superfícies no ponto $x_0=x(u_0,v_0)$, $y_0=y(u_0,v_0)$ e $z_0=z(u_0,v_0)$, deve ser perpendicular às curvas $\vct{r}(u_0,v)$ e $\vct{r}(u,v_0)$, isto é, as curvas geradas quando se fixa um dos parâmetros $u_0$ ou $v_0$, respectivamente. Assim, podemos concluir que cada vetor normal está da mesma direção do produto vetorial $\vct{r}_u\times\vct{r}_v$. Finalmente, o vetor normal unitário deve ter normal unitário, portanto, deve ser da forma:
\begin{equation}
\vct{n} = \pm \frac{\vct{r}_u\times\vct{r}_v}{\|\vct{r}_u\times\vct{r}_v\|}.
\end{equation}
Aqui o sinal indica para qual lado o vetor normal aponta.
%\section{Casos $y=f(x,z)$, $z=f(x,y)$ ou $x=f(y,z)$}
%\section{Curvas e superfícies de nível}
%Seja $f(x,y,z)$ uma um campo escalar, dizemos que uma curva\index{curba de nível} é curva de nível do campo $f$ se $f$ é constante em todos os pontos da curva. Analogamente, uma superfície\index{superfície de nível} é dita uma superfície de nível do campo $f$, se $f$ é constante em todos os pontos da superfícies.
\end{document}