variaveis.Rmd

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knit: "bookdown::render_book"
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```{r echo=FALSE}
library(gt)
```


# Variáveis aleatórias {#variaveis}

## Vídeo

```{r echo=FALSE, out.extra=center(), results='asis'}
embed_yt('8PI-rfsgNdE')
```

## O que é uma variável aleatória?

* Uma variável aleatória é uma maneira de [associar a cada resultado do espaço amostral um número real]{.hl}.

* Dependendo do conjunto de números, a variável aleatória pode ser [discreta]{.hl} ou [contínua]{.hl}.

* Falamos sobre a [probabilidade]{.hl} de uma variável aleatória assumir um valor (ou uma faixa de valores).


## Exemplos

### Lançar dois dados

* Definimos $X = \text{soma dos resultados dos dois dados}$.

* Esta é uma variável aleatória [discreta]{.hl}, com $11$ valores possíveis.

* A tabela com todos os valores possíveis de $X$ e suas probabilidades é chamada de [distribuição de probabilidade]{.hl}:

```{r dados-distr, echo=FALSE}
dados_distr <- expand.grid(1:6, 1:6) %>% 
  mutate(
    x = Var1 + Var2
  ) %>% 
  group_by(x) %>% 
  summarize(
    'P(X = x)' = paste(n(), 36, sep = '/'),
    num = n() / 36,
    .groups = 'drop'
  )

dados_distr %>% 
  select(-num) %>% 
  gt()
```

* Graficamente:

    ```{r dados-plot, echo=FALSE}
    dados_distr %>% 
      ggplot(aes(x = x, y = num)) +
        geom_col(width = .05, color = 'blue') +
        scale_x_continuous(breaks = 2:12) +
        labs(
          title = 'X = soma dos resultados de 2 dados',
          y = 'P(X = x)'
        )
    ```



* Suponha que a distribuição de probabilidade de $X$ esteja na seguinte *tibble*:

    ```{r}
    glimpse(dados_distr)
    ```

  A coluna `num` tem os valores numéricos das probabilidades.

* Qual a probabilidade de conseguir [$10$ ou mais]{.hl}?

  Basta somar as probabilidades de $X=10$, $X=11$ e $X=12$:

    ```{r prob-10-ou-mais}
    dados_distr %>% 
      filter(x >= 10) %>% 
      pull(num) %>% 
      sum()
    ```

* Qual a probabilidade de conseguir entre $6$ e $8$, inclusive?

    ```{r prob-6-a-8}
    dados_distr %>% 
      filter(x >= 6 & x <= 8) %>% 
      pull() %>% 
      sum()
    ```

### Altura de um homem adulto

* Definimos $X = \text{estatura em metros de um homem brasileiro adulto, escolhido ao acaso}$.

* Esta é uma variável aleatória [contínua]{.hl}, com um número [infinito não-enumerável]{.hl} de valores.

* Segundo o [Levantamento do Perfil Antropométrico da População Brasileira Usuária do Transporte Aéreo Nacional](https://pdf4pro.com/view/levantamento-do-perfil-antropom-201-trico-10652c.html), em $2009$, a estatura média do homem brasileiro adulto era de $1{,}73$m, com desvio-padrão de $0{,}07$m.

* Vamos simular uma amostra de muitos homens desta população:

    ```{r homens}
    media <- 1.73
    desvio <- 0.07
    homens <- tibble(
      altura = rnorm(1e5, mean = media, sd = desvio)
    )
    ```

* Eis um histograma com as [percentagens]{.hl}:

    ```{r homens-plot}
    homens_plot <- homens %>% 
      ggplot(aes(x = altura)) +
        geom_histogram(
          aes(y = after_stat(density)),
          breaks = seq(1.4, 2, 0.01)
        ) +
        scale_x_continuous(breaks = seq(1.4, 2.0, .1)) +
        labs(
          title = 'Altura de um homem brasileiro adulto',
          x = 'metros',
          y = '%'
        )
    
    homens_plot
    ```

* Agora, [sobrepomos o gráfico de uma distribuição normal]{.hl} com a mesma média e o mesmo desvio-padrão que a distribuição das alturas:

    ```{r homens-normal}
    homens_normal <- homens_plot +
      stat_function(
        fun = dnorm, 
        args = list(
          'mean' = media,
          'sd' = desvio
        ),
        geom = 'line',
        color = 'red',
        linewidth = 1
      ) +
      labs(
        subtitle = paste0('com N(', media, ', ', desvio,') em vermelho')
      )
    
    homens_normal
    ```

* A curva vermelha no gráfico é a [função de densidade de probabilidade]{.hl} da distribuição normal, dada por

  $$
  \text{fdp}(x) = {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}
  $$

  ::: {.rmdimportant latex=1}
  
  Em uma distribuição contínua, [não faz sentido perguntar o valor de $P(X = x)$]{.hl}. Como $X$ pode assumir uma quantidade infinita não-enumerável de valores, esta probabilidade é igual a zero!
  
  Com uma distribuição contínua, [vamos sempre perguntar sobre faixas de valores]{.hl}.
  
  :::

* Qual a probabilidade de um homem ter mais de $1{,}80$m?

  * Na amostra:
  
    ```{r maior180}
    mean(homens$altura > 1.80)
    ```
  
  * Na distribuição teórica:
  
    ```{r maior180-t}
    pnorm(1.80, mean = media, sd = desvio, lower.tail = FALSE)
    ```
  
  * No gráfico:
  
    ```{r maior180-plot, echo=FALSE}
    homens_normal +
      stat_function(
        fun = dnorm, 
        args = list(
          'mean' = media,
          'sd' = desvio
        ),
        geom = 'area',
        fill = 'yellow',
        alpha = .4,
        xlim = c(1.8, 2.1)
      )
    ```
  
  
* Qual a probabilidade de um homem ter entre $1{,}60$m e $1{,}70$m?

  * Na amostra:
  
    ```{r entre}
    mean(homens$altura > 1.60 & homens$altura < 1.70)
    ```
  
  * Na distribuição teórica:
  
    ```{r entre-t}
    pnorm(1.70, mean = media, sd = desvio) -
    pnorm(1.60, mean = media, sd = desvio)
    ```

  * No gráfico:
  
    ```{r entre-plot, echo=FALSE}
    homens_normal +
      stat_function(
        fun = dnorm, 
        args = list(
          'mean' = media,
          'sd' = desvio
        ),
        geom = 'area',
        fill = 'yellow',
        alpha = .4,
        xlim = c(1.6, 1.7)
      )
    ```  


## Valor esperado

* O [valor esperado]{.hl} (ou [esperança matemática]{.hl}) de uma variável aleatória é a [média ponderada dos valores possíveis da variável]{.hl}, considerando as probabilidades (ou, no caso contínuo, a densidade de probabilidade) como pesos.

* No caso [discreto]{.hl}:

  $$
  \mu = E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)
  $$

* No caso [contínuo]{.hl}:

  $$
  \mu = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \text{fdp}(x) \text{d}x
  $$


### Lançar dois dados

* Lembrando que a *tibble* `dados_distr` contém a distribuição de probabilidades do valor da soma de dois dados, o valor esperado é

    ```{r e-dados}
    dados_distr %>% 
      summarize(E = sum(x * num)) %>% 
      pull(E)
    ```


### Lançar um dado

* O valor esperado do valor obtido em um lançamento de um dado não-viciado (onde cada valor tem a probabilidade $1/6$) é

    ```{r e-1-dado}
    lado <- 1:6
    p <- 1/6
    sum(lado * p)
    ```


### Altura de um homem adulto

* Estimamos o valor esperado da população simplesmente calculando a média da amostra:

    ```{r e-altura}
    mean(homens$altura)
    ```

* Se a variável aleatória $X$ é normalmente distribuída, com média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$, i.e., $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, então o valor esperado $E(X)$ é igual a $\mu$, que é o valor da integral

  $$
  \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}} \text{d}x
  $$


## Propriedades do valor esperado

* Vamos ver como o valor esperado se comporta.

* O valor esperado de uma constante é ela mesma:

  $$
  E(c) = c
  $$

* Somar uma constante à variável $X$ altera $E(X)$ pelo valor da constante:

  $$
  E(X \pm c) = E(X) \pm c
  $$

* Multiplicar a variável $X$ por uma constante multiplica $E(X)$ pelo valor da constante:

  $$
  E(c \cdot X) = c \cdot E(X)
  $$

* O valor esperado da soma (resp. diferença) de duas variáveis aleatórias é a soma (resp. diferença) dos valores esperados:

  $$
  E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)
  $$

* O valor esperado de uma função $f(X)$ de uma variável aleatória $X$ é

  * Caso discreto:
  
    $$
    E(f(X)) = \sum_i f(x_i) \cdot P(X = x_i)
    $$
  
  * Caso contínuo:
  
    $$
    E(f(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot \text{fdp}(x) \text{d}x
    $$


## Variância

* A [variância]{.hl} de uma variável aleatória $X$ é [a média ponderada dos desvios quadrados]{.hl}, com as probabilidades como peso.

  * Caso [discreto]{.hl}:
  
    $$
    \sigma^2(X) = \sum_i (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)
    $$
    
  * Caso [contínuo]{.hl}:
  
    $$
    \sigma^2(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \cdot \text{fdp}(x) \text{d}x
    $$

* Em qualquer caso,

  $$
  \begin{aligned}
    \sigma^2(X) &= E[(X - \mu)^2]\\
                &= E(X^2) - [E(X)]^2
  \end{aligned}
  $$
  
* Faça as contas, partindo de $E[(X - \mu)^2]$ e usando as propriedades do valor esperado para chegar a $E(X^2) - [E(X)]^2$. 


### Lançar dois dados

* A variância é

    ```{r s2-dados}
    dados_distr %>% 
      summarize(s2 = sum((x - 7)^2 * num)) %>% 
      pull(s2)
    ```


### Lançar um dado

* A variância é

    ```{r s2-1-dado}
    lado <- 1:6
    p <- 1/6
    sum((lado - 3.5)^2 * p)
    ```


### Altura de um homem adulto

* Estimando pela variância da amostra:

    ```{r s2-altura}
    var(homens$altura)
    ```

* Se $X$ é normalmente distribuída com média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$, i.e., $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, então $\sigma^2(X) = \sigma^2$. De acordo com o estudo, $\sigma^2 = 0.07^2 = `r (0.07^2) %>% fm(4)`$.


## Propriedades da variância

* A variância de uma constante é zero:

  $$
  \sigma^2(c) = 0
  $$

* Somar uma constante à variável $X$ [não altera]{.hl} a variância:

  $$
  \sigma^2(X \pm c) = \sigma^2(X)
  $$

* Multiplicar a variável $X$ por uma constante multiplica a variância pelo [quadrado]{.hl} da constante:

  $$
  \sigma^2(c \cdot X) = c^2 \cdot \sigma^2(X)
  $$

* A variância da [soma ou diferença]{.hl} de duas variáveis aleatórias é a [soma]{.hl} das variâncias das variáveis:

  $$
  \sigma^2(X \pm Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y)
  $$

  ::: {.rmdimportant latex=1}
  
  Por que a [variância da diferença]{.hl} é a [soma das variâncias]{.hl}?
  
  Variância significa [incerteza]{.hl}. 
  
  Considere o seguinte exemplo para entender por que $\sigma^2(X - Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y)$:
  
  * Você compra uma caixa de $500$g de cereal no mercado. Como o peso não é exato, considere que $X$ é a variável aleatória que representa o peso do cereal na caixa, com $\mu_X = 500$g e uma variância qualquer $\sigma^2_X$ (que corresponde à [incerteza do processo de embalagem do cereal]{.hl} na fábrica).
  
  * Você decide comer $100\text{g}$ de cereal, despejando parte do conteúdo na caixa em uma tigela. Como sua capacidade de medir $100\text{g}$ não é exata, considere que $Y$ é a variável aleatória que representa o peso do cereal na tigela, com $\mu_Y = 100\text{g}$ e uma variância qualquer $\sigma^2_Y$ (que corresponde à [incerteza do seu processo de pesar]{.hl} $100\text{g}$).
  
  * Considere a variável aleatória $Z = X - Y$, que representa a quantidade de cereal que sobrou na caixa. 
  
    * Certamente a média $\mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 400\text{g}$.
    
    * E a variância $\sigma^2_Z$? 
    
    * O fato de $Z$ ser o resultado da subtração de duas variáveis aleatórias diminui a incerteza? 
    
    * Ou a composição de incertezas aumenta a incerteza?
  
  :::


## Mais exemplos

### Seguradora

* Você tem uma seguradora, com $1.000$ segurados, cada um deles pagando $50$ dinheiros por ano.

* Por ano, $1$ dos $1.000$ segurados morre. Neste caso, sua seguradora deve pagar $10.000$ dinheiros.

* Por ano, $2$ dos $1.000$ segurados ficam inválidos. Neste caso, sua seguradora deve pagar $5.000$ dinheiros.

* [Quanto sua seguradora espera ter de lucro (ou prejuízo) por segurado, por ano?]{.hl}

  * [Chamando de $X$ a variável aleatória que representa o dinheiro pago pela seguradora por apólice, por ano]{.hl}, temos
  
    $$
    \begin{aligned}
    P(X = 10000) &= 1/1000\\
    P(X = 5000)  &= 2/1000\\
    P(X = 0)     &= 997/1000
    \end{aligned}
    $$
    
  * Daí, 
  
   $$
   \begin{aligned}
   E(X) &= 10000 \cdot \frac{1}{1000} \;+\; 5000 \cdot \frac{2}{1000} \;+\; 0 \cdot \frac{997}{1000} \\
        &= 20
   \end{aligned}
   $$

  * Como cada segurado paga $50$ dinheiros por ano, sua seguradora lucra, em média, $30$ dinheiros por apólice, por ano.
  
* E o desvio-padrão?

  * Calculando a variância antes:
  
    $$
     \begin{aligned}
     \sigma^2(X) &= (10000 - 20)^2 \cdot \frac{1}{1000} \;+\; (5000 -20)^2 \cdot \frac{2}{1000} \;+\; (0 - 20)^2 \cdot \frac{997}{1000} \\
          &= 9980^2 \cdot \frac{1}{1000} \;+\; 4980^2 \cdot \frac{2}{1000} \;+\; (- 20)^2 \cdot \frac{997}{1000} \\
          &= 149600
     \end{aligned}
    $$
    
  * O desvio-padrão é a raiz quadrada de $\sigma^2$:
  
    $$
    \sigma = 386{,}78
    $$

### Gerador de números aleatórios

* Você programa um gerador de números aleatórios $x \in [1, 3] \subset \mathbb{R}$.

* Considere $X$ a variável aleatória que representa os números gerados.

* $X$ é uma variável aleatória contínua, com fdp

  $$
  f(x) = 
    \begin{cases}\displaystyle
      \frac{1}{2} & \text{se } x \in [1, 3] \\
      \,0 & \text{se } x \not\in [1, 3]
    \end{cases}
  $$
  
  cujo gráfico é
  
    ```{r unif, echo=FALSE}
    ggplot() +
      stat_function(
        fun = dunif,
        args = c(1, 2.999),
        xlim = c(0, 4),
        geom = 'step',
        color = 'blue',
        linewidth = 1
      ) +
      labs(
        y = NULL,
        x = 'X'
      )
    ```

* Isto significa que a densidade de probabilidade está distribuída uniformemente no intervalo $[1, 3]$.

* Vamos calcular o valor esperado $E(X)$:

  $$
  \begin{aligned}
  E(X) 
    &= \int_{-\infty}^{+ \infty} x \cdot f(x) \text{d}x \\
    &= \int_{1}^{3} x \cdot \frac{1}{2} \text{d}x \\
    &= \frac12 \cdot \left.\frac{x^2}{2} \right|_1^3 \\
    &= 2
  \end{aligned}
  $$
  
* Ou seja, a média dos números gerados, depois de muitas execuções, vai ser $2$.

* Vamos calcular a variância $\sigma^2(X)$:

$$
\begin{aligned}
\sigma^2(X) 
  &= \int_{-\infty}^{+ \infty} (x - 2)^2 \cdot f(x) \text{d}x \\
  &= \int_{1}^{3} (x-2)^2 \cdot \frac{1}{2} \text{d}x \\
  &= \frac13
\end{aligned}
$$

* Isto vai dar um desvio-padrão $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx `r round(sqrt(3)/3, 2)`$.

* Mas R tem este gerador! Vamos gerar muitos valores e calcular a média e o desvio-padrão:

    ```{r unif13}
    valores <- runif(n = 1e6, min = 1, max = 3)
    mean(valores)
    sd(valores)
    ```

* Como exercício, verifique que, para qualquer variável aleatória contínua $X$ distribuída uniformemente entre $a$ e $b$, i.e., com fdp

  $$
  f(x) = 
    \begin{cases}\displaystyle
      \frac{1}{b - a} & \text{se } x \in [a, b] \\
      \,0 & \text{se } x \not\in [a, b]
    \end{cases}
  $$

  ocorre que
  
  * $E(X) = \frac{a+b}{2}$, e
  
  * $\sigma^2(X) = \frac{(a - b)^2}{12}$.