注：● 标号表示适于使用该算法解决的实际问题，▲ 标号表示往年的竞赛真题
| 索引 | 名称 | 概述 | 核心代码 |
|---|---|---|---|
| 3.1.1 | 差分方程 | 求递推数列通项 |
sp.rsolve() 直接求解 |
| 3.1.2 | 莱斯利 (Leslie) 种群模型 | 已知初始状态、生育率、存活率 预测种群总量 |
P, D = sp.Matrix(ins=A).diagonalize()特征值分解|相似对角化 matplotlib 刻度与刻度标签控制 |
| 3.1.3 | PageRank 算法 | 图论、马尔可夫链、互达的概率排序 | 有向图构造ax.bar() 柱状图绘制 |
| 随机冲浪模型 | 非互达，引入阻尼因子 | - | |
| 3.2.2 | 推荐系统评分 | 基于皮尔逊相关系数的评分预测 |
np.corrcoef() 按行返回相关系数矩阵ax.imshow() 热力图绘制 |
| 基于奇异值分解压缩数据 | 稀疏矩阵降维 余弦相似度 |
$\small \boldsymbol A = \boldsymbol U\begin{bmatrix}\boldsymbol \Sigma &\boldsymbol 0\ \boldsymbol 0 &\boldsymbol 0\end{bmatrix}\boldsymbol V^{\rm T}$U, S, VT = np.linalg.svd(A)其中 np.diag(S)=$\small \begin{bmatrix}\boldsymbol \Sigma &\boldsymbol 0\ \boldsymbol 0 &\boldsymbol 0\end{bmatrix}$列压缩数据降维范式 |
|
| 3.2.2 | 利用SVD进行图像压缩 | 只保留那些较大的奇异值 | 数字图像处理库 PIL.Image 妙用 ax.imshow(cmap='gray')绘制灰度图对矩阵整体进行数据压缩范式 |
| 4.1.2 | 线性规划模型 (LP) | ● 企业安排生产问题 ● 项目投资问题 ● 仓库租借问题 ● 最小费用运输问题 |
import cvxpy as cpx = cp.Variable()obj = cp.Maximize[Minimize]()cons = [...]prob = cp.Problem(obj, cons)prob.solve(solver='...')
|
| 4.2.1 | 0-1整数规划模型 | 背包问题、指派问题 旅行商问题 (TSP) |
指派问题代码见 4h5 TSP 代码见 4.4 |
| 4.2.2 | 整数规划模型 | ● 工时安排问题 ● 装修分配任务问题 (非标准指派问题) ● 网点覆盖问题 (双决策变量) |
sklearn.metrics.euclidean_distances两个矩阵的成对平方欧氏距离 |
| 4.3 | 多目标规划模型 | ▲ 组合投资问题： 将可供投资的资金分成 分别购买 同时兼顾投资的净收益和风险 |
多目标模型的目标函数线性化 优化模型线性化方法总结 - 知乎 (zhihu.com) 引入变量$x_{n+1}={\rm max} \left{q_ix_i\right}$ 投资风险为总收益的方差 |
| 4.4 | 旅行商模型 | ▲ 比赛项目排序问题 引入虚拟项目构成闭环 |
NaN的处理：data[np.isnan(data)] = 0
|
| 4h | - | ● 限制运量的最小费用运输问题 ● 面试顺序问题 ● 带约束的背包问题 ● 钢管下料问题 |
- |
| 5.2 | 非线性规划模型 | ▲ 彩电生产问题 | 灵敏性分析相关计算和表述sympy模块diff，subs等函数的使用三维图坐标刻度控制 |
| 5.3 | 二次规划模型 | 目标函数为决策向量的二次函数 约束条件均为线性的 ▲ 投资组合 (portfolio) 问题 |
cp.quad_form(x, c) 返回二次型np.cov() 按行返回协方差矩阵 |
| 5.4 | 非凸规划模型 | - |
scipy.optimize.minimize()局部最优解*先用 cvxpy 求解，发现非凸后再用 minimize*另外，对于无约束问题，可以采用 scipy.optimize.basinhopping()获得全局最优解 |
| - | ● 供应与选址问题 |
minimize 多元决策变量的划分与解包 |
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| 5.5 | 多目标规划模型 | ▲ 生产与污染问题 | - |
| 5.6 | - | ▲ 飞行管理问题 | 绘制箭头 arrow()相对运动、三角学 numpy 模块中的复数、辐角 angle()Python特性：延迟绑定 |
| 5h6 | - | ● 组合投资问题 |
- |
| 5h7 | - | ● 生产计划问题 | cp.cumsum() |
| 6.3.1 6.3.2 |
最短路算法 | Dijkstra 算法、Floyd 算法 |
nx.dijkstra_path()nx.dijkstra_path_length()nx.shortest_path()nx.shorted_path_length()nx.floyd_warshall_numpy()
|
| 6.3.3 | 最短路应用 | ● 设备更新问题 |
nx.shortest_path() |
| 6.3.3 | 最短路应用 | ● 选址问题 |
np.argmin()，np.argmax()
|
| 6.3.4 | - | 最短路问题的 0-1 规划模型 | - |
| 6.4.1 | 最小生成树 | ● 架设电线问题 | nx.minimum_spanning_tree() |
| 6.4.2 | - | 最小生成树问题的 0-1 规划模型 | - |
| 6.5 | 着色问题 | 物资储存问题 无线交换设备的波长分配问题 ● 会议安排问题 |
计算色数的整数线性规划模型 |
| 6.6.1 | 最大流问题 | 最大流问题的 0-1 规划模型 ● 多对多招聘问题 |
nx.maximum_flow()从字典中导出邻接矩阵范式 |
| 6..6.2 | 最小费用流问题 | ● 运费网络模型 最小费用最大流 |
nx.max_flow_min_cost()nx.cost_of_flow()
|
| 6.7.4 | 计划网络的优化问题 | ● 赶工问题 | - |
| 6.7.5 | - | 求完成作业的期望和实现事件的概率 |
scipy.stats.norm (正态分布)中的 pdf()，cdf()
|
| 6.8 | - | ▲ 钢管订购和运输问题 | nx.floyd_warshall_numpy() |
| 6h4 | - | ● 允许售出的设备更新问题 | nx.shortest_path() |
| 6h7 | - | 无向图的度量图绘制 |
ax.plot() 可绘制顶点和边 |
| 7.1.1 | 一维插值 | 多项式插值 拉格朗日插值法 分段线性插值、三次样条插值 |
np.vander() 返回范德蒙行列式scipy.interpolate.lagrange() 求系数scipy.interpolate.interp1d() cubic:三次 |
| 7.1.2 | 二维插值 | 网格节点插值 散乱数据插值 |
scipy.interpolate.interp2d()scipy.interpolate.interpn()
|
| 7.1.3 | Python 插值 | 从散乱数据点估计原函数 进而求积分、微分等以解决实际问题 |
scipy.interpolate.UnivariateSpline()(scipy)[Spline].integral()np.trapz() 梯形面积积分(scipy)[Spline].derivative()scipy.interpolate.griddata() 散乱插值 |
| 7.2.2 | 线性最小二乘拟合 | 拟合函数是一个函数系的线性组合 |
A = np.linalg.pinv(R) @ Yax.contour() 绘制椭圆np.polyfit() 返回拟合多项式的系数 |
| 7.2.3 | 非线性最小二乘拟合 | 拟合函数不能视为函数系的线性组合 |
popt = curve_fit(f, x0, y0)[0]least_squares(err, x0, args=(..))
|
| 7.3 | 函数逼近 | 用简单函数逼近复杂函数 | sympy |
| 7.4 | - | ▲ 黄河小浪底调水调沙问题 | 三次样条插值 根据剩余标准差确定拟合函数次数 |
| 8.1 | 常微分方程问题 | ● 物体冷却模型 目标跟踪问题 |
牛顿冷却定律 |
| 8.2 | 传染病预测问题 | 指数传播模型 SI 模型、SIS 模型、SIR 模型 |
- |
| 8.3 | 常微分方程 (组) 的求解 | 符号解 (解析解) 数值解 ● 洛伦兹模型 (自洽常微分方程 ) ● 狗追人模型 (目标跟踪问题) |
sp.dsolve(eq, func, ics)sp.lambdify()scipy.integrate.odient()
|
| 8.4.1 | Malthus 模型 | 无限制增长 | - |
| 8.4.2 | Logistic 模型 | 增长率为人口的减函数 向前差分，向后差分 |
np.diff() |
| 8.4.3 | 种群竞争模型 | - | - |
| 8.4.3 | 捕食者-被捕食者模型 | 弱肉强食问题 (差分方程) |
ax.quiver(x, y, u, v) 矢量场图 |
| 8.5 | 差分方程建模 | 离散化 差分方程的解及其稳定性 |
- |
| 8.6 | 差分方程+搜索算法 | ▲ 最优捕鱼策略 | 符号运算解方程过慢的解决方法 |
| 8h10 | 微分方程问题 | ▲ 药物中毒问题 | - |
| 8h11 | 差分方程建模 | ● 预测销售量 | - |
| 9.1 | 简单的统计分析 | scipy.stats |
详见 Jupyter 文件 |
| 9.2.2 | 统计量计算 | NumPy | Pandas | - |
| 9.2.3 | 统计图绘制 | 直方图 箱线图 经验分布函数 Q-Q 图 |
ax.hist()ax.boxplot()ax.hist(cumulative=True)- |
| 9.3.1 | 参数估计 | 标准误差 |
scipy.stats.sem() |
| 9.3.2 | 参数假设检验 |
两个正态总体均值差的 柯尔莫哥洛夫检验 |
statsmodels.stats.weightstats.ztest()scipy.stats.ttest_1samp()statsmodels.stats.weightstats.ttest_ind()scipy.stats.chisquare()scipy.stats.kstest()
|
| 9.4.1 | 单因素方差分析方法 | 判段单个因素对指标是否有显著影响 | statsmodels.api.stats.anova_lm() |
| 9.4.2 | 双因素方差分析方法 | 无交互影响的双因素方差分析 关于交互效应的双因素方差分析 |
同上 |
| 9h6 | 非参数假设检验 模拟与搜索 |
● 自动化车床管理 | - |
| 10.1 | 一元线性回归 | 野值检验 误差棒 |
sm.formula.ols('y~x', mod_dic)mod.summary()mod.outlier_test()ax.errorbar(num, mod.resid, r, fmt=)
|
| 10.2 | 多元线性回归 | - |
sm.formula.ols('y~x1+x2', mod_dic)sm.OLS(y, X)
|
| 10.3 | 多项式回归 | 纯二次、交叉二次、混合二次 回归系数检验 |
- |
| 10.4 | 逐步回归 | 从众多变量中有效地挑选重要变量 | - |
| 10.5.1 | 分组数据的 Logistic 回归模型 |
把自变量按一定值分组， 构建 Logistic 模型预测因变量（概率） |
线性化（逻辑变换）后 sm.OLS()直接 sm.formula.glm('y~x', [...])
|
| 10.5.2 | 未分组数据的 Logistic 回归模型 |
构建关于多个自变量的 Logistic模型， 对因变量的行为 (0-1) 进行预测 |
sm.formula.logit('y~x1+[...], mod_dic')sm.formula.glm('y~x1+[...]', [...])
|
| 10.5.3 | Probit 回归模型 | 假设随机扰动服从正态分布 | 分组：Probit 变换后sm.OLS()未分组： sm.formula.probit()
|
| 10.5.4 | 赔率和赔率比 | Logistic 模型参数的解释 | - |
| 11.1.4 | 系统聚类 | 最短距离法 最长距离法 重心法、类平均法、离差平方和法 |
sch.linkage()sch.fcluster()sch.dendrogram()计算距离 scipy.spatial.distance.pdist()标准化（无量纲化） scipy.stats.zscore()
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| 11.1.5 | 动态聚类 |
|
sklearn.cluster.KMeans(k).fit(data)sklearn.metrics.silhouette_score()
|
| 11.1.6 | R 型聚类法 | ● 服装标准制定 | sch.linkage() |
| 11.2.1 | 距离判别法 | - |
scipy.spatial.distance.mahalanobis() |
| 11.2.2 | Fisher 判别 | - | - |
| 11.2.3 | 判别标准的评价 | 回代误判率 交叉误判率 |
sklearn.model_selection.cross_val_score() |
| 11h5 | 距离判别和 Fisher 判别 | 判断样本所属种类 |
LDA()，KNC()
|
| 12.1.1 | 主成分分析 | 数据降维 去除变量的线性相关信息 |
sklearn.decomposition.PCA() |
| 12.1.2 | 主成分回归分析 | 降维，用主成分拟合回归方程 | - |
| 12.1.3 | 核主成分分析 | 非线性相关问题 ● 高校科创能力评价 |
sklearn.decomposition.KernelPCA() |
| 12.2.2 | 因子分析 | ● 学生综合评价 | factor_analyzer.FactorAnalyzer() |
| 13.3 | 偏最小二乘回归分析 | 多对多回归分析 ▲ 体能训练数据回归建模 ● 交通业和旅游业的回归分析 |
skl.cross_decomposition.PLSRegression() |
| 14.2 | 数据预处理 | 一致化 规范化（无量纲化） 定性指标定量化 |
sklearn.preprocessing |
| 14.3 | 综合评价数学模型 |
past: 主成分分析法，PageRank 法 线性加权综合评价法 TOPSIS 法（理想解法） 灰色关联度分析 熵值法、秩和比法 |
scipy.stats.rankdata() 编秩 |
| 14.4 | 模糊综合评价 | 处理具有模糊性的评价因素 或评价对象，非常好用 |
- |
| 14.5 | 数据包络分析 | CCR模型 (C^2^R) 适用于具有多输入多输出的系统 ● 可持续发展评价 |
- |
| 14.6 | 模糊综合评价实例 | ▲ 招聘公务员问题 | - |
| 14h4 | 模糊聚类 (FCM) 分析 | 某样本以一定比率隶属于某簇 |
fcmeans.FCM()聚类验证图的绘制（只能有两个） |
| 15.1.1 | GM(1,1) 模型 | 只适用于具有较强指数规律的序列 只能描述单调变化过程 对于非单调的振荡数据则不适用 |
def GM1_1(x0, m) |
| 误差检验 | 相对误差和级比误差 |
def rela_err(x0, x0hat)def ratio_err(x0, uhat)
|
|
| 15.1.2 | GM(2,1) 模型 | 可以用于振荡数据 | def GM2_1(x0, m) |
| 15.1.2 | DGM(2,1) 模型 | 针对GM的稳定性不足、 误差较大做的改进 |
def DGM2_1(x0, m) |
| 15.1.2 | Verhulst 模型 | 主要用来描述具有饱和状态的过程， 即 S 形过程，常用于 人口、经济、繁殖等的预测 |
def Verhulst(x0, m) |
| 15.2 | 马尔可夫预测 | 系统未来时刻的情况只与现在有关 而与过去的历史无直接关系、 马氏链的极限分布 |
- |
| 15.3.2 | 感知器 | 对输入向量进行分类 | sklearn.linear_model.Perceptron() |
| 15.3.3 | 多层感知机分类器 | 分类 | sklearn.neural_network.MLPClassifier() |
| 15.3.3 | 多层感知机回归分析 | 回归分析 | sklearn.neural_network.MLPRegressor() |
| 16.3 | 零和博弈的混合策略 | 方程组解法和线性规划解法 | - |
| 16.4 | 非合作的双矩阵博弈 | 纯策略解和混合策略解 | scipy 的 optimize() 约束条件的注意事项 |
| 16h4 | 0-1 整数规划 满意度评价 |
● 相亲配对问题 | - |
| 17.1 | 偏微分方程的定解问题 | 椭圆型、抛物型、双曲型 | - |
| 17.2 | 简单偏微分方程的符号解 | - | sp.pdsolve() |