TLDR - 用最短的语言把事情说明白

[jackalchenxu]

Shamir's Secret Sharing（SSS）

• 秘密 s
• 构造这样的一个多项式： $f(x) = s + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ... + a_{n-1}x^{n-1}$
• 阈值为n（只要有n份就可以恢复s，恢复的过程使用了拉格朗日插值法）
• 一个（x, f(x)）则为一份信息，一共有m份信息，分配给m个用户， m>n
• SSS的特点：
  • 少于n份信息，则无法恢复s
  • s的信息并不存在于m份信息中

[jackalchenxu]

Lagrange interpolation / 拉格朗日插值法

针对xy平面上的n个点: $(x_1,y_1), (x_2, y_2), ... (x_n, y_n)$ , 我们可以使用该方法构造出一个n次多项式，即:
$y= a_0+a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ... a_{n-1}x^{n-1}$
该多项式所代表的曲线，会经过以上n个点

如何来构建该多项式？
举例来说：当前有四个点，我们构造4条曲线：

• L0只在x=0处为1，其他x=1,2,3时为0
• L1只在x=1处为1， 其他x=0,2,3时为0
• 以此类推
  

然后我们把四条曲线各自乘以它们的y值，然后把四条曲线相加

最后的曲线就为目标曲线

数学式子为:
$\sum_{i=0}^{n}{y_il_i(x)}$
$l_i = (x-x_j)/(x_i-x_j), j\neq{i}$