-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
FSDigitaltechnik-detailed-version-ws2012-13.tex
1152 lines (938 loc) · 48.4 KB
/
FSDigitaltechnik-detailed-version-ws2012-13.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
% DigitaltechnikFS Stand: 14.01.12
% Digitaltechnik Formelsammlung für SoSe 2011
% 8 Seiten
% Dokumenteinstellungen
% ======================================================================
% Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
\documentclass[6pt,a4paper]{scrartcl}
% Seitenlayout und Ränder:
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper,landscape, left=6mm,right=6mm, top=0mm, bottom=3mm,includeheadfoot}
% Dokumentbeschreibung
\title{Mathe2FSEI SoSe 2011}
\author{Emanuel Regnath, Martin Zellner, Hendrik Böttcher}
% Pakete laden
\usepackage[utf8x]{inputenc} % Zeichenkodierung: UTF-8 (für Umlaute)
\usepackage[german]{babel} % Deutsche Sprache
\usepackage{multicol} % Spaltenpaket
\usepackage{amsmath} % Mathematische Formelzeichen
\usepackage{amssymb} % Mathematische Formelzeichen
\usepackage{esint} % erweiterte Integralsymbole
\usepackage{multicol} % ermöglicht Seitenspalten
\usepackage{booktabs} % bessere Tabellenlinien
\usepackage{color} % Farben
\usepackage{colortbl} % für die Hintergrundfarbe einzelner Zellen in Tabellen
\usepackage{graphicx} % Grafiken
\usepackage{pbox} % Intelligent parbox: \pbox{maximum width}{blabalbalb \\ blabal}
%\usepackage{undertilde} % Tilde unter Zeichen
\newcommand{\utilde}[1]{#1}
\usepackage{scrtime} % Uhrzeit
%Farben
\definecolor{lightgray}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
\definecolor{gray}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
% UPDATE WITHOUT CLASS CHANGE
% ----------------------------------------------------------------------
% LastPage
\usepackage{lastpage}
% Allow hyperlinks
\RequirePackage[pagebackref=true,pdfpagelabels]{hyperref}
% Colors
\RequirePackage{latex4ei/latex4ei_colors}
\colorlet{col_link}{tum_blue_dark}
\hypersetup{
colorlinks=true,
linkcolor=col_link,
urlcolor=col_link,
citecolor=col_link,
}
% set pdfoptions
\AtBeginDocument{
\hypersetup{
pdftitle={Digitaltechnik},
pdfauthor={Emanuel Regnath, Martin Zellner, Hendrik Böttcher},
pdfcreator={LaTeX4EI template (www.latex4ei.de)},
pdfkeywords={latex4ei}
}
}
% Date with git commit number
\newcommand{\themydate}{\today} % Default URL placeholder
\newcommand{\mydate}[1]{\renewcommand{\themydate}{#1}}
% Header and Footer
\RequirePackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\AtBeginDocument{
\IfFileExists{git.id}{\input{git.id}}{}
\ifdefined\GitNiceDate\mydate{\GitNiceDate\ (git \GitRevision)}\fi
\ifdefined\GitIssuesURL
\ifdefined\setissueslinkurl
\setissueslinkurl{\GitIssuesURL} % Set the actual URL
\fi
\fi
}
% Define Email
\providecommand{\email}[1]{\href{mailto:#1}{\nolinkurl{#1}}}
%
\fancyfoot[C]{von Emanuel Regnath (\email{emanuel.regnath@tum.de}), Martin Zellner (\email{martin.zellner@mytum.de}), Hendrik Böttcher (\email{hendrik.boettcher@tum.de})}
\fancyfoot[R]{Stand: \themydate \qquad \thepage/\pageref{LastPage}}
\fancyfoot[L]{Homepage: \url{www.latex4ei.de} -- Fehler bitte \emph{sofort} \href{\issueslinkurl}{melden}.}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.0pt} %obere Linie ausblenden
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} %obere Linie ausblenden
\newcommand{\issueslinkurl}{https://github.com/latex4ei/Allgemein/issues} % Default URL placeholder
\newcommand{\setissueslinkurl}[1]{\renewcommand{\issueslinkurl}{#1}}
% ----------------------------------------------------------------------
% Schriftart SANS für bessere Lesbarkeit bei kleiner Schrift
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
\renewcommand{\emph}[1]{\textsf{\textbf{#1}}}
% Array- und Tabellenabstände vergrößern
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\underline{\boldsymbol {#1}}}}
% Eigene Befehle
\newcommand{\todayV}{\the\day.\the\month.\the\year} % Datum D.M.YYYY
\newcommand{\iset}[2]{\ensuremath{\bigl\{ \bigl. #1 \, \bigr| \, #2 \bigr\}}} % intensional set
\newcommand{\eset}[1]{\ensuremath{\bigl\{#1\bigr\}}} % extensional set
\newcommand{\norm}[1]{\ensuremath{\|#1\|}} % Norm
\newcommand{\gk}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}} % Gaußklammer
\newcommand{\sprod}[2]{\ensuremath{\left\langle #1, #2 \right\rangle }} % Skalarprodukt
\newcommand{\abs}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}} % Betrag
\newcommand{\mat}[1]{\ensuremath{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}}} % Matrix
\newcommand{\vect}[1]{\ensuremath{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}} % Vektor
\newcommand{\mvect}[1]{\ensuremath{\left. \begin{matrix} #1 \end{matrix} \right]}} % Matrixvektor
\newcommand{\ma}[1]{\ensuremath{\utilde{\bs {#1}}}}
% Abkürzungen
\newcommand{\ul}[1]{\ensuremath{\underline{#1}}} %Untersteichen
\newcommand{\ol}[1]{\ensuremath{\overline{#1}}} %Überstreichen
\newcommand{\Ra}[0]{\ensuremath{\Rightarrow}} %Rightarrow
\newcommand{\ra}[0]{\ensuremath{\rightarrow}} %Rightarrow
\newcommand{\n}[0]{\ensuremath{\overline}} %NOT
\newcommand{\bs}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} %Fett und kursiv im mathmode
\newcommand{\diff}{\ensuremath{\ \mathrm d}} %delta
\newcommand{\grad}{\ensuremath{\mathrm{grad}\ }} %Gradient
\renewcommand{\div}{\ensuremath{\mathrm{div}\ }} %Divergenz
\newcommand{\rot}{\ensuremath{\mathrm{rot}\ }} %Rotation
\newcommand{\Sp}{\ensuremath{\mathrm{Sp}\ }} %Spur
% Für Mengen
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb N}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb C}}
%Überschreibungen
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\underline{\boldsymbol {#1}}}}
% Dokumentbeginn
% ======================================================================
\begin{document}
% Aufteilung in Spalten
\begin{multicols}{3}
% -------------------------------------------
% | Digitaltechik |
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%=======================================================================
\parbox{2.3cm}{
\includegraphics[height=2cm]{img/Logo.pdf}
}
\parbox{4cm}{
\emph{\huge{Digitale Schaltungen}}
}
% ======================================================================
\section{Moore'sches Gesetz}
\begin{itemize} \itemsep0pt
\item alle 18-24 Monate verdoppelt sich die Anzahl der Transistoren auf gleicher Fläche
\item Exponentielles Wachstum der Transistorzahl, exponentieller Rückgange des Preises pro Transistor
\item Herstellungskosten (Fixkosten, Variable Kosten, Technologiefaktor), Entwicklerproduktivität, Verlustleistungsdichte
\end{itemize}
\section{Einheiten}
\begin{multicols}{3}
\begin{tabular}{c | c}
Potenz & Vorsatz \\ \midrule
$10^{12}$ & T \\
$10^{9}$ & G \\
$10^{6}$ & M \\
$10^{3}$ & k \\
$10^{2}$ & h \\
$10^{1}$ & da
\end{tabular}
\begin{tabular}{c | c}
Potenz & Vorsatz \\ \midrule
$10^{-1}$ & d \\
$10^{-2}$ & c \\
$10^{-3}$ & m \\
$10^{-6}$ & $\mu$ \\
$10^{-9}$ & n \\
$10^{-12}$ & p \\
$10^{-15}$ & f
\end{tabular}
\begin{tabular}{ r | l }
$Hz$ & $s^{-1}$ \\
N & $kg m s^{-2} $ \\
$J $ & $ N m = V A s$\\
$W $ & $ V A = J s^{-1} $ \\
$ C $ & $ A s $ \\
$V $ & $ J C^{-1} $\\
$F $ & $ C V^{-1} $ \\
$\Omega $ & $ V A^{-1} $\\
$ H $ & $ V s A^{-1}$
\end{tabular}
\end{multicols}
$Bit \xrightarrow{\cdot 8} Byte \xrightarrow{\cdot 1024} kByte \xrightarrow{\cdot 1024} MByte$\\
\section{Polyadische Zahlensysteme}
$Z = \sum\limits^{p-1}_{i = -n} r^i \cdot d_i = d_{p-1}...d_1 d_0 . d_{-1} ... d_n$\\
$Z$:Zahl, \ \ $r$:Basis, \ \ $d_i$:Ziffer, \ \ $p$:\#Ziffern vorne \ \ $n$:\#Nachkommastellen
Binäres Zahlensystem:\\
$d_{i2} \in {0,1}$ \qquad
$B = \sum\limits_{i=-n}^{p-1} 2^i \cdot d_i$ $\quad d_{-n}: LSB; \quad d_{p-1}: MSB$ \\
\begin{tabular}{l|l}
Octalsystem: & Hexadezimalsystem:\\
$d_{i8} \in {0,1,2,3,4,5,6,7}$ & $d_{i16} \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}$\\
\end{tabular}\\
\\
Benötigte Bits: $N: n$ Bit $M: 2n$ Bit \\
$N + M = 2n +1$ Bit \\
$N \cdot M = 3n$ Bit
\subsection{Umrechnung}
\begin{tabular}{l|l|l}
& $Z \ge 1$ & $Z < 1$\\ \midrule
$r \rightarrow 10$ & $Z_{10} = \sum r^i \cdot d_i$ & $Z_{10} = \sum r^{-i} \cdot d_{-i}$\\
& $101_2 \ra 1 \cdot 1 + 0\cdot 2 + 1 \cdot 4$ & $0.11_2 \ra 1\cdot 0.5 + 1\cdot 0.25$\\ \midrule
$10 \rightarrow r$ & $d_i = Z_{10} \% r^i$ & \\
& $58 / 8 = 7\text{Rest}\ 2 (LSB)$ & $0.4 \cdot 2 = 0.8 \text{ Übertrag } 0 (MSB)$\\
& $7 / 8 = 0\text{ Rest } 7 (MSB)$ & $0.8 \cdot 2 = 1.6 \text{ Übertrag } 1$ \\
\end{tabular}
\subsection{Zweierkomplement \qquad Wertebereich: $-2^{n-1} \le Z \le 2^{n-1} -1$}
Wandle 2 in -2 um:\\
\begin{tabular}{l|l}
1. Invertieren aller Bits & $0010 \ \Rightarrow 1101$\\
2. Addition von 1 & $1101 + 1 = 1110$\\
3. Ignoriere Überträge beim MSB & $\Rightarrow \ -2_{10} = 1110_2$\\
\end{tabular}
\subsection{Gleitkommadarstellung nach IEEE 754}
\begin{tabular}{l|l}
$Wert = (-1)^s \cdot 2^{e-127} \cdot 1.f$ & Bsp: $-0.625 = -1 \cdot 2^{-1} \cdot 1.01_2$\\
$s$: Vorzeichen, $e$: Exponent, $f$: Mantisse & $\Ra\ s = 1$, $e = 126$, $f = 01_2$\\
\end{tabular}
\\[0.5em]
Spezialwerte: $Wert = 0 \Leftrightarrow e=0$ \qquad $Wert = \infty \Leftrightarrow e=255$ \\
Bitverteilung(single/double):\\
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
$s(1)$ & \quad $e(8/11)$ \quad\qquad & \qquad\qquad\qquad\ $f(23/52)$ \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \hline
\end{tabular}
\section{Halbleiter}
\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c}
& Isolator & Metall & undotiert & N-Typ & P-Typ \\ \hline
Ladungsträger & Keine & $e^-$ & $e^- / e^+$ & $e^-$ & $e^+$ \\
Leitfähigkeit & Keine & Sehr hoch & $\propto T$ & Hoch & Mittel\\
\end{tabular}
\section{MOS-FET's}
% ======================================================================
\textbf{M}etal \textbf{O}xide \textbf{S}emiconductor \textbf{F}ield \textbf{E}ffekt \textbf{T}ransistor\\
\parbox{4.0cm}{ \includegraphics{img/ds/mosfet.pdf} \\ $V_{Pinch-Off} = V_{GS} - V_{th}$ } \parbox{3.0cm}{ \includegraphics{img/ds/char_nmos.pdf} }
\subsection{Bauteilparameter}
Verstärkung: \framebox{
$\beta = K' \frac{W}{L} \text{ mit } K' = \frac{\mu \epsilon_{0x} \epsilon_0}{t_{0x}} $
} \\
\begin{tabular} {r | l}
Kanalweite & W \\
Kanallänge & L \\
Elektronenbeweglichkeit & $\mu$\quad $\mu_n \approx 250 \cdot 10^{-4} \frac{m^2}{Vs}$, $\mu_p \approx 100 \cdot 10^{-4} \frac{m^2}{Vs}$ \\
rel. Dielektrizität des Gateoxyds & $\epsilon_{ox} \approx 3,9$ \\
Dielektrizitätskonstante & $\epsilon_0 = 8.8541878 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{A\,s}}{\mathrm{V\,m}}$ \\
Gateoxyddicke & $t_{ox}$ \\
Verstärkung & $\beta = \frac{\mu_n \varepsilon_{ox} \varepsilon_0}{t_{ox}} \cdot \frac{W}{L} = K' \frac{W}{L} = \frac{\mu_n C_G}{L^2}$ \\
Kapazität & $C_G = \varepsilon_{ox} \varepsilon_0 \frac{WL}{t_{ox}}$ \\
Verzögerungszeit & $t_{pHL} \propto \frac{C_L t_{ox} L_p}{W_p \mu_p \varepsilon_{ox} (V_{DD} - |V_{th}|)}$ \\
\end{tabular}
\begin{itemize}
\item große Kanalweite $\Ra$ große Drain-Störme \\ $\Ra$ schnelle Schaltgeschwindigkeit (da $i_d \propto \beta \propto \frac{W}{L}$) \\
Aber: große Fläche.
\item nMos schaltet schneller als pMOS
\end{itemize}
\subsection{pMos und nMos}
\pbox{3.0cm}{ \includegraphics{img/ds/cmos.pdf} }
\pbox{10.0cm}{
\begin{tabular}{c|c|c|c}
Transistor & Source liegt immer am & $V_{GS},V_{DS},I_D$ & Substrat \\ \midrule
$\underset{\text{normally on}}{\text{pMos}}$ & höheren Potential & $\bs{< 0}$ & $+(V_{DD})$ \\
& & & \\
& & & \\
$\underset{\text{normally off}}{\text{nMos}}$ & niedrigeren Potential & $\bs{> 0}$ & $-(GND)$ \\
\end{tabular}\\[0.5cm]
}\\
Drainstromformel:\\
nMos (p-dotiertes Substrat, n-dotierte Drain/Source), schlechter pull up (Pegeldegenerierung)
\begin{equation*}
\!\!\! I_d = \begin{cases}
0, &\text{ für } U_{gs} - U_{th} \le 0 \qquad \qquad \text{(Sperrber.)}\\[0.2em]
\beta [(u_{gs} - U_{th}) \cdot u_{ds} - \frac{1}{2} u_{ds}^2] , &\text{ für } 0 \le U_{gs} - U_{th} \ge u_{ds} \ \text{(linearer Ber.)}\\\\[0.2em]
\frac{1}{2} \beta \cdot (u_{gs} - U_{th})^2, &\text{ für } 0 \le U_{gs} - U_{th} \le u_{ds} \ \text{(Sättigungsber.)}\\
\end{cases}
\end{equation*}
Drainstromformel: \\
pMos (n-dotiertes Substrat, p-dotierte Drain/Source), schlechter pull down (Pegeldegenerierung)
\begin{equation*}
\!\!\! I_d = \begin{cases}
0, &\text{ für } U_{gs} - U_{th} \ge 0 \qquad \qquad \text{(Sperrber.)}\\[0.2em]
- \beta [(u_{gs} - U_{th}) \cdot u_{ds} - \frac{1}{2} u_{ds}^2] , &\text{ für } 0 \ge U_{gs} - U_{th} \le u_{ds} \ \text{(linearer Ber.)}\\\\[0.2em]
- \frac{1}{2} \beta \cdot (u_{gs} - U_{th})^2, &\text{ für } 0 \ge U_{gs} - U_{th} \ge u_{ds} \ \text{(Sättigungsber.)}\\
\end{cases}
\end{equation*}
\subsection{Disjunktive Normalform (DNF/SOP)}
Eins-Zeilen der Wertetabelle ODER verknüpfen: \\
$Z = \overline A \cdot \overline B + \overline C \cdot D$
\subsection{Konjunktive Normalform (KNF/POS)}
Null-Zeilen der Wertetabelle negieren und UND verknüpfen: \\
$Z = ( \ol A + \ol C) \cdot ( \ol A + \ol D) \cdot ( \ol B + \ol C) \cdot ( \ol B + D)$
\subsection{Umwandlung in jeweils andere Form}
1. Doppeltes Negieren der Funktion: $ Z = \overline {\overline{\overline A \cdot \overline B + \overline C \cdot D}}$\\
2. Umformung "'untere"' Negation (DeMorgan) : $ Z = \ol{\ol{\ol A \cdot \ol B} \cdot \ol{\ol C \cdot D}} = \ol{(A+B) \cdot (C+\ol D)}$\\
3. Ausmultiplizieren: $ Z = \ol{(A+B) \cdot (C+\ol D)} = \ol{A\cdot C + A\cdot \ol D + B \cdot C + B \cdot \ol D}$\\
4. Umformung "'obere"' Negation (DeMorgan) :\\ $ Z= \ol{AC} \cdot \ol{A \ol D} \cdot \ol{BC} \cdot \ol{B\ol D} = ( \ol A + \ol C) \cdot ( \ol A + D) \cdot ( \ol B + \ol C) \cdot ( \ol B + D)$\\
Analog von KNF nach DNF.
\section{CMOS - Logik}
% ======================================================================
Komplementäre Logik liefert grundsätzlich negierte Ausgänge. $\Rightarrow$ NAND einfacher als AND.\\
Drei Grundgatter der CMOS-Technologie:\\
\begin{tabular}{ccc}
NOT (2 Trans.) & NAND (4 Trans.) & NOR (4 Trans.)\\
\includegraphics{img/ds/mosfet_not.pdf} \quad & \includegraphics{img/ds/mosfet_nand.pdf} \quad & \includegraphics{img/ds/mosfet_nor.pdf} \\
\end{tabular}\\
Falls $GND$ und $V_{DD}$ vertauscht würden, dann $NAND \ra AND$ und $NOR \ra OR$\\
Allerdings schlechte Pegelgenerierung.
\subsection{Gatterdesign}
\emph{Vorteil:} (Fast) nur bei Schaltvorgängen Verlustleistung - wenig statische Verluste
\begin{tabular}{l|l|l}
Netzwerk & Pull-Dow\bf{n} & Pull-U\bf{p} \\ \midrule
Transistoren & \textbf{n}Mos & \textbf{p}Mos \\
AND & Serienschaltung & Parallelschaltung \\
OR & Parallelschaltung & Serienschaltung \\
\end{tabular}\\
1. Möglichkeit: Direkt; ggf. Inverter vor die Eingänge und Ausgänge schalten.\\
2. Möglichkeit: Mit bullshit Algebra die Funktion nur mit NAND und NOR darstellen.\\
\subsection{CMOS Verlustleistung}
Inverterschaltvorgang $V_A: 0 \ra 1$:\\
\includegraphics{img/ds/char_inverter.pdf}
\begin{tabular}{ll}
\emph{Dynamische Verlustleistung} & $P_{dyn} = P_{cap} + P_{short}$\\
\quad Kapazitive Verluste & $P_{cap} = \alpha_{01} f C_L V_{DD}^2$\\
\quad Kurzschlussstrom & $P_{short} = \alpha_{01} f \beta_n \tau (V_{DD} - 2V_{tn})^3$\\[0.8em]
\quad Schalthäufigkeit & $\alpha_{0 \rightarrow 1} = \frac{\text{Schaltvorgänge(pos. Flanke)}}{\text{\# Betrachtete Takte}}$\\
\end{tabular}\\
Abhängig von den Signalflanken, mit Schaltfunktionen verknüpft\\
$\approx \;$ $V_{DD} 1/\propto $ Schaltzeit: $\frac{V_{DD2}}{V_{DD1}} = \frac{t_{D1}}{t_{D2}}$ (bei Schaltnetzen $t_{log}$)\\
Verzögerungszeit $\propto$ $\frac{1}{V_{DD} - V_{th}}$\\
\emph{Statische Verlustleistung} $P_{stat}$: Sub-Schwellströme, Leckströme, Gate-Ströme
Abhängigkeit: $V_{DD}\uparrow:P_{stat}\uparrow$ \qquad $V_{th}\uparrow:P_{stat}\downarrow$ \quad (aber nicht proportional)\\
\section{Sequentielle Logik}
... Logik mit Gedächtnis. Bedingungen: \\
\begin{tabular}{c | l}
$t_{Setup}$ & Stabilitätszeit vor der aktiven Taktflanke\\
$t_{hold}$ & Stabilitätszeit nach der aktiven Taktflanke\\
$t_{c2q}$ & Eingang wird spätestens nach $t_{c2q}$ am Ausgang verfügbar\\
Max. Taktperiode & $t_{clk} \ge t_{1,c2q} + t_{logic,max} + t_{2,setup}$ \\
Max. Taktfrequenz & $f_{max} = \left\lfloor \frac{1}{t_{clk}} \right\rfloor$ \qquad (Nicht aufrunden) \\
Holdzeitbedingung & $t_{hold} \le t_{c2q} + t_{logic,min}$ $\ra$ Dummy Gatter einbauen\\
Durchsatz & $\frac{1 \text{Sample}}{t_{clk,pipe}} = f$ \\
Latenz & $t_{clk} \cdot \#$Pipelinestufen (das zwischen den FFs) \\
\end{tabular}
\subsection{Pipelining} % (fold)
Nur bei synchronen(taktgesteuerten) Schaltungen möglich!
\begin{itemize} \itemsep0pt
\item Aufteilen langer kombinatorischer Pfade durch Einfügen zusätzlicher Registerstufen\\
$\ra$ Möglichst Halbierung des längsten Pfades
\item Zeitverhalten beachten (evtl. Dummy-Gatter einfügen)
\item Durchsatz erhöht sich entsprechend der Steigerung der Taktfrequenz
\item Gesamtlatenz wird eher größer
\item Taktfrequenz erhöht sich
\end{itemize}
% subsection Pipelining (end)
\subsection{Parallel Processing} % (fold)
Durchsatz = $\frac{\#\text{Modul}}{t_{clk,Modul}} = f$ \qquad \quad Latenz = $t_{clk}$
\begin{itemize} \itemsep0pt
\item Paralleles, gleichzeitiges Verwenden mehrere identischer Schaltnetze
\item Zusätzliche Kontrolllogik nötig (Multiplexer)
\item Taktfrequenz und Latenz bleiben konstant
\item Durchsatz steigt mit der Zahl der Verarbeitungseinheiten \\
ABER: deutlich höherer Ressourcenverbrauch
\end{itemize}
% subsection Parallel Processing (end)
\section{Volladdierer (VA) / Ripple-C(u)arry-Adder}
\parbox{5.0cm}{ \includegraphics{img/ds/volladdierer.pdf} }
\pbox{6.0cm}{
Generate $g_n = a_n \cdot b_n$\\
Propagate $p_n = a_n \oplus b_n$\\
Summenbit $S_n = c_n \oplus p_n$\\
Carry-out: $c_{n+1} = c_n \cdot p_n + g_n$\\ \\
Laufzeiten: \\
$t_{sn} = \begin{cases} t_{cn} + t_{xor} & t_{cn} > t_{xor} \\ 2 t_{xor} & sonst \end{cases}$\\ }\\
$t_{cn+1} = \begin{cases} t_{and} + t_{or} & p_n = 0, g_n=1 \\ t_{xor} + t_{and} + t_{or} & p_n = 0, g_n = 0 \\ t_{cn} + t_{and} + t_{or} & p_n = 1 \end{cases}$\\
\section{Speicherelemente}
\emph{Flüchtig} Speicherinhalt gehen verloren, wenn Versorgungsspannung $V_{DD}$ wegfällt - Bsp: *RAM\\
\emph{Nicht Flüchtig} Speicherinhalt bleibt auch ohne $V_{DD}$ erhalten - Bsp: Flash\\
\emph{Asynchron} Daten werden sofort geschrieben/gelesen.\\
\emph{Synchron} Daten werden erst mit $clk_{0 \ra 1}$ geschrieben.\\
\emph{Dynamisch} Ohne Refreshzyklen gehen auch bei angelegter $V_{DD}$ Daten verloren - Bsp: DRAM\\
\emph{Statisch} Behält den Zustand bei solange $V_{DD}$ anliegt (keine Refreshzyklen nötig) - Bsp: SRAM\\
\begin{description}
\item[Bandbreite:] Bitanzahl, die gleichzeitig gelesen/geschrieben werden kann.
\item[Latenz:] Zeitverzögerung zwischen Anforderung und Ausgabe von Daten.
\item[Zykluszeit:] Minimale Zeitdifferenz zweier Schreib/Lesezugriffe.
\end{description}
\framebox{$\text{Speicherkapazität} = \text{Wortbreite} \cdot 2^\text{Adressbreite}$ }
\subsection{Flip-Flop}
\begin{multicols}{2}
besteht aus zwei enable-Latches \\
\emph{Flip-Flop:} ändert Zustand bei steigender / (fallender) Taktflanke.\\
\begin{tabular}{c|c|c} $clk$ & $Q$ & $\ol Q$ \\ \hline $0 \ra 1$ & $D$ & $\ol D$ \\ sonst & $Q$ & $\ol Q$ \end{tabular}
\end{multicols}
\subsection{Register}
Ring aus zwei Invertern.
\subsection{Latch}
\begin{multicols}{2}
\emph{Set-Reset Latch:} \\ Zwei gegenseitig rückgekoppelte NAND-Gatter. $0$ an R/S schaltet. \\
\emph{Enable-Latch:} ändert Speicherzustand auf $D$ nur wenn $e=1$: \begin{tabular}{c|c} e & Q \\ \hline 0 & Q \\ 1 & D \end{tabular}
\end{multicols}
\subsection{DRAM Zelle (dynamisch)}
\parbox{3.0cm}{ \includegraphics{img/ds/DRAM.pdf} }
\parbox{6.0cm}{
lange Bitlines $\ra C_{BL} \uparrow$, Laufzeit$\uparrow$\\
quadratisch: $\frac{\text{Bit}}{\text{Zeile}} \stackrel{!}= \frac{\text{Bit}}{\text{Spalte}} = \frac{\text{Wort}}{\text{Zeile}} \cdot \frac{\text{Bit}}{\text{Wort}}$\\
\paragraph{Schreiben}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Wortleitung wird aktiviert, d.h. auf $V_{DD}$ gelegt
\item Bitleitung wird auf den gewünschten Wert ($V_{DD}$ für $1$, GND für $0$) gelegt \\
$\Ra$ Kondensator wird auf entsprechendes Potential aufgeladen oder entladen, je nach vorherigem Wert
\end{itemize}
}
\paragraph{Lesen}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Wortleitung wird aktiviert, d.h. auf $V_{DD}$ gelegt.
\item Bitleitung wird auf $V_{DD} / 2$ vorgeladen.
\item Adresstransistor wird geöffnet \\
$\ra$ Ladungsaustausch zwischen $C_S$ und $C_{BL}$ \\
$\ra$ Potential der BL wird um $\Delta V$ erhöht ($1$ lesen) oder erniedrigt ($0$ lesen) \\\
$\ra$ $\Delta V = \left(V_X - \frac{V_{DD}}{2}\right) \cdot \frac{C_S}{C_S + C_{BL}}$ \quad i.d.R $C_{BL} >> C_S \ra \Delta V$ sehr klein \\
$\ra $ Leseverstärker nötig!
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\subsection{SRAM Zelle (statisch)}
\includegraphics{img/ds/SRAM.pdf}
\subsection{ROM - Read Only Memory}
\includegraphics{img/ds/ROM.pdf}
\end{multicols}
\subsection{Flash (nicht flüchtig)}
nMos Transistor mit zusätzlichem floating Gate in der Oxidschicht.\\
\includegraphics{img/ds/flash.pdf} \qquad \includegraphics{img/ds/flashsymbol.pdf}\\
‚0’ speichern: $V_{GS} = V_{DS} = 4 \cdot V_{DD}$, S an GND\\
‚0’ löschen: S von GND trennen, G an GND und D an 4mal VDD\\
\subsection{Organisation von Speichern}
\begin{itemize} \itemsep0pt
\item 1 Byte besteht aus 8 Bit
\item Ziel: möglichst quadratische Anordnung der Speicherzellen
\item Wortbreite W berücksichtigen!
\end{itemize}
Aufteilung:\\
Speicherkapazität $= 2^M \cdot 2^N$ Bester Fall für $M=N$\\
\# Reihen $= N$\\
$2^M = W \cdot 2^K$\\
\# Spalten $= K$\\
\section{Automaten} % (fold)
DFA 6-Tupel $\eset{I, O, S, R, f, g}$ \\
\begin{tabular}{r | l}
$I$ & Eingabealphabet \\
$O$ & Ausgabealphabet \\
$S$ & Menge von Zuständen \\
$R \subseteq S$ & Menge der Anfangszustände \\
$f: S \times I \ra S$ & Übergangsrelation \\
$g$ & Ausgaberelation \\
\end{tabular}
\includegraphics{img/ds/automaten.pdf}\\
\begin{tabular}{c | c}
Moore & Mealy \\ \midrule
Ouput hängt nur vom Zustand ab & Output hängt von Zustand und Eingabe ab\\
$g: S \ra O$ & $g: S \times I \ra O$
\end{tabular}
\subsection{Vorgehensweise} % (fold)
\begin{itemize}
\item $I, O$ bestimmen
\item $S$ festlegen
\item $R$ bestimmen
\item $f,g$ bestimmen
\end{itemize}
% subsection Vorgehensweise (end)
% Ende der Spalten
\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{3}
% -----------------------------------------------
% | E N T W U R F S V E R V A H R E N |
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%=======================================================================
\parbox{2.3cm}{
\includegraphics[height=2cm]{img/Logo.pdf}
}
\parbox{4cm}{
\emph{\huge{Entwurfsverfahren}}
}
\setcounter{section}{0} % Zähler für Sections zurücksetzen
\section{Boolsche Algebra}
\begin{tabular}{l|l|l}
& Mengenalgebra & Boolesche Algebra \\
& $(P(G);\cap , \cup, \overline{A};G,\emptyset )$ & $({0,1};\cdot , +, \overline{x})$ \\ \midrule
Kommutativ & $A \cap B = B \cap A$ & $x \cdot y = y \cdot x$ \\
& $A \cup B = B \cup A$ & $x + y = y + x$\\
Assoziativ & $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ & $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$\\
& $(A \cup B) \cup C = A \cap (B \cup C)$ & $x + (y + z) = (x + y) + z$\\
Distributiv & $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ & $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$\\
& $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ & $x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z)$\\
Indempotenz & $A \cap A = A$ & $x \cdot x = x$ \\
& $A \cup A = A$ & $x + x = x$\\
Absorbtion & $A \cap (A \cup B) = A$ & $x \cdot (x+y) = x$ \\
& $A \cup (A \cap B) = A$ & $x + (x \cdot y) = x$ \\
Neutral & $A \cap G = A$ & $x \cdot 1 = x$ \\
& $A \cup \emptyset = A$ & $x + 0 = x$ \\
Dominant & $A \cap \emptyset = \emptyset$ & $x \cdot 0 = 0$ \\
& $A \cup G = G$ & $x + 1 = 1$ \\
Komplement & $A \cap \overline{A} = \emptyset$ & $x \cdot \overline{x} = 0$\\
& $A \cup \overline{A} = G$ & $x + \overline{x} = 1$\\
& $\overline{\overline{A}} = A$ & $\overline{\overline{x}} = x$\\
De Morgan & $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ & $\overline{x \cdot y} = \overline{x} + \overline{y}$\\
& $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ & $\overline{x + y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$\\
\end{tabular}
\\
\subsection{Multiplexer}
\begin{tabular}{ll}
$f = x \cdot a + \overline x \cdot b$ & (2 Eingänge $a,b$ und 1 Steuereingang $x$)\\
$f = \ol x_1 \ol x_2 a + \ol x_1 x_2 b + x_1 \ol x_2 c + x_1 x_2d$ & (Eingänge: $a,b,c,d$ Steuerung: $x_1$, $x_2$)\\
\end{tabular}
\subsection{Wichtige Begriffe}
\begin{tabular}{l|l|l}
Wichtige Begriffe: & Definition & Bemerkung\\ \hline
Signalvariable & $x$ & $\hat x \in \eset{0,1}$ \\
Literal & $l_i = x_i$ oder $\overline{x_i}$ & $i \in I_0=\eset{1,...,n}$\\
Minterme,0-Kuben & M0C $\ni m_j = \prod\limits_{i\in I_0} l_i$ & $|$M0C$| = 2^n$ \\
d-Kuben & MC $\ni c_j = \prod\limits_{i\in I_j \subseteq I_0} l_i$ & $|$MC$|=3^n$\\
Distanz & $\delta(c_i,c_j) = \bigl| \iset{l}{l \in c_i \land \overline{l}\in c_j} \bigr|$ & $\delta_{ij} = \delta(c_i,c_j)$ \\
Implikanten & $MI = \iset{c \in MC}{c \subseteq f}$ & \\
Primimplikanten & $MPI = \iset{p \in MI}{p \not\subset c \ \forall c \in MI}$ & $MPI \subseteq MI \subseteq MC$\\
\end{tabular}\\ \\ \\
\begin{tabular}{l|l|l}
SOP (DNF) & eine Summe von Produkttermen & Terme sind ODER-verknüpft \\
POS (KNF) & ein Produkt von Summentermen & Terme sind UND-verknüpft\\
CSOP (nur 1)& Menge aller Minterme & analog CPOS \\
VollSOP (nur 1)& Menge aller Primimplikanten & Bestimmung siehe Quine Methode\\
& & oder Schichtenalgorithmus\\
MinSOP (min. 1)& Minimale Summe v. Primimplikanten & durch Überdeckungstabelle \\
\end{tabular}
\\ \\
FPGA: Field Programmable Gate Array\\
LUT: Look Up Table\\
\subsection{Boolesche Operatoren (Wahrheitstabelle WT)}
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c|c}
x & y & AND & OR & XOR & NAND & NOR & EQV \\
& & $x\cdot y$ & $x+y$ & $x\oplus y$ & $\overline{x\cdot y}$ & $\overline{x+y}$ & $\overline{x\oplus y}$ \\ \hline \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{tabular}
Konfiguration: $f = c_1 + c_2 + c_3 \Ra cov(f) = \eset{c_1, c_2, c_3}$
\section{Beschreibungsformen}
\subsection{Sum of products (SOP/DNF)}
Eins-Zeilen der Wertetabelle ODER verknüpfen: \\
$f = \overline x \cdot \overline y + \overline z \cdot w$
\subsection{Product of sums (POS/KNF)}
Null-Zeilen der Wertetabelle negieren und UND verknüpfen: \\
$f = ( \ol x + \ol z) \cdot ( \ol x + \ol w) \cdot ( \ol y + \ol z) \cdot ( \ol y + w)$
\subsection{Shannon Entwicklung}
$f = x_i \cdot f_{x_i} + \ol x_i \cdot f_{\ol x_i} = (x_i + f_{\ol x_i})\cdot ( \ol x_i + f_{x_i}) = (f_{x_i} \oplus f_{\ol x_i}) \cdot x_i \oplus f_{\ol x_i}$ \\
$\ol f = x_i \cdot \ol f_{x_i} + \ol x_i \cdot \ol f_{\ol x_i}$
\subsection{Umwandlung in jeweils andere Form}
1. Doppeltes Negieren der Funktion: $ f = \overline {\overline{\overline x \cdot \overline y + \overline z \cdot w}}$\\
2. Umformung "'untere"' Negation (DeMorgan) : $ f = \ol{\ol{\ol x \cdot \ol y} \cdot \ol{\ol z \cdot w}} = \ol{(x+y) \cdot (z+\ol w)}$\\
3. Ausmultiplizieren: $ f = \ol{(x+y) \cdot (z+\ol w)} = \ol{x\cdot z + x\cdot \ol w + y \cdot z + y \cdot \ol w}$\\
4. Umformung "'obere"' Negation (DeMorgan) :\\ $ f= \ol{xz} \cdot \ol{x \ol w} \cdot \ol{yz} \cdot \ol{y\ol w} = ( \ol x + \ol z) \cdot ( \ol x + w) \cdot ( \ol y + \ol z) \cdot ( \ol y + w)$\\
Analog von POS nach SOP.\\
\subsection{Quine Methode}
geg.: SOP oder Wertetabelle \\
ges.: alle Primimplikanten (VollSOP) \\
\\
spezielles Resoltuionsgesetz: $x\cdot a + \overline x \cdot a = a$ \\
Absorptionsgesetz: $a + a\cdot b = a$
\begin{itemize}
\item CSOP bestimmen (z.B. $f(x,y,z,w) = xy\overline z + x \overline y z + xyz$)
\item alle Minterme in Tabelle eintragen (Index von m ist (binär)Wert des Minterms)
\item Wenn Kubenabstand = 1 (ein "don't care") in 1-Kubus aufnehmen und $A$ abhaken. Wenn nicht ist dieser Minterm bereits ein Primimplikant.
\item der 1-Kubus muss zusammenhängend sein! (d.h. alle 1-Kubus Minterme müssen zusammenhängen)
\item Wenn möglich 2-Kubus bilden.
\item Wenn keine Kubenbildung mehr möglich $\ra$ VollSOP
\end{itemize}
Beispiel (Quine Methode):
\begin{tabular}{l | c | c || c | c | c || c | c | r}
$m_0$ & 0-Kubus & A & 1-Kubus & R & A & 2-Kubus & A \\
$m_1$ & $\overline x_1 \overline x_2 x_3$ & $\surd$ & $\overline x_2 x_3$ & $m_1 \& m_5$ & $p_1$ & &\\
$m_4$ & $x_1 \overline x_2 \overline x_3$ & $\surd$ & $x_1 \overline x_2$ & $m_4 \& m_5$ & $\surd$ & $x_1$ & $p_2$\\
$m_5$ & $x_1 \overline x_2 x_3$ & $\surd$ & $x_1 \overline x_3$ & $m_4 \& m_6$ & $\surd$& &\\
$m_6$ & $x_1 x_2 \overline x_3$ & $ \surd$ & $x_1 x_3$ & $ m_5 \& m_7$ & $ \surd$ & &\\
$m_7$ & $x_1 x_2 x_3$ & $\surd$ & $x_1 x_2$ & $m_6 \& m_7 $ & $ \surd$ & &\\
\end{tabular}
\subsection{Quine's und McCluskey's Bestimmung der MinSOP}
Geg: CSOP ($\sum m_i$) und VollSOP ($\sum p_i$) \qquad Ges: MinSOP\\
Überdeckung: $\begin{array}{rccl} C = & (m_0 \subseteq p_1) & \cdot (m_2 \subseteq p_1 + m_2 \subseteq p_2) & \stackrel{!}=1 \\ C = & \tau_1 & \cdot (\tau_1 + \tau_2) & = \tau_1 + \tau_1 \tau_2 = \tau_1 \end{array}$ \\
Alternativ: Mit Überdeckungstabelle bestimmen.
\subsection{Kubengraph}
\parbox{3.0cm}{\includegraphics{img/ds/kubengraph.pdf} }
\parbox{6.0cm}{Kubenabstand $\delta(c_1, c_2)$: Kleinste Anzahl an Kanten, die nötig sind, um $c_i$ und $c_j$ zu verbinden bzw.
Anzahl an Literalen die in $c_1$ negiert und in $c_2$ nicht negiert vorkommen.\\
\framebox{ \#Literale = \#Raumdimensionen - \#Kubusdimensionen }\\
Max. Kubenabstand: \#Dimensionen - \#Kubusdimensionen(größter Kubus) \\
} \\
überdeckte Minterme: $2^{\text{Kubendimension}}$
\subsection{(R)OBDD}
(\textbf{R}educed) \textbf{O}rdered \textbf{B}inary \textbf{D}ecision \textbf{D}iagram\\
\parbox{2.0cm}{ \includegraphics{img/ds/robdd.pdf} }
\parbox{5.0cm}{ ROBDD $\rightarrow$ SOP: Alle Pfade zur 1 verodern:\\ $f = x + \overline xy$ \\
ROBDD $ \ra$ POS: Alle Pfade zu 0 verodern, kompletten Term negieren, DeMorgan anwenden} \\
\section{Funktionale Dekomposition} % (fold)
\label{sub:Funktionale Dekomposition}
\parbox{2.7cm}{ \includegraphics[width = 2.2cm]{img/ds/decomp.pdf} }
\parbox{6.0cm}{
Bei einer Funktion $f(\vec v)$ mit $n$ Eingängen und einer möglichen Aufteilung von $\vec v$ in $\vec v = \vec x$ und $\vec y$ (wobei die Aufteilung disjunkt ist), kann $f(\vec v) = f(\vec x, \vec y)$ in $g(h(\vec x), \vec y)$ zerlegt werden. \\
\\
Zerlegung sinnvol, wenn $\abs{\vec z} \le \abs{\vec x} -1$ oder $\abs{Z} \le \frac{1}{2} \abs{X}$ \\
Kompositionsfunktion: $w = g(\vec z, \vec y)$ \\
Dekompositionsfunktion: $\vec z = h(\vec x)$ \\
\\
$\ra $ Meist kann man eine günstige Aufteilung per BDD finden. }\\
\\
Verfahren:
\begin{itemize}
\item Auswerten von $f(\vec{\hat x}, \vec y)$ und Bilder der Dekompositionsmatrix: \\
$f = \overline x_1\overline x_2 y_1 + \overline x_1 x_2 x_3 y_1 + \overline x_1 x_2 \overline x_3 \overline y_1 \ldots$
\item Trage die Funktionswerte in die Matrix ein
\item Suche Spalten, die die selben Werte je $\vec y$ haben
\item Codiere gleiche Spalten mit gleichem $z$
\end{itemize}
\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c | c | c }
freie Variablen & \multicolumn{8}{c}{gebundene Variablen $(x_1, x_2, x_3)$} \\
$(y_1, y_2)$ & 000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \\ \midrule
00 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
01 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
10 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
11 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \midrule
$\vec z = h(x)$ & 00 & 00 & 01 & 00 & 10 & 10 & 10 & 01
\end{tabular}
\begin{itemize}
\item Konstruiere die Dekompositionsfunktion \\
$ \abs{\vec z} \le \abs{\vec x} -1 $ bzw. $\abs{Z} \le \frac{1}{2} \abs{X}$
\item Stelle Zuordnungstabelle auf:\\
\begin{tabular}{ c | c | c | c }
$\vec{\hat x_i}$ & $\vec{\hat z_i}$ & $\vec z = h(x)$ & $ g(\vec z_i, \vec y) $ \\ \midrule
000, 001, 011 & 00 & $\overline z_1 \overline z_2 = \overline x_1 \overline x_2 + \overline x_1 x_2 x_3$ & $y_1 $\\
010, 111 & 01 &$ \overline z_1 z_2 = \overline x_1 x_2 \overline x_3 + x_1 x_2 x_3$ & $\overline y_1$ \\
100, 101, 110 & 10 & $z_1 \overline z_2 = x_1 \overline x_2 + x_1 x_2 \overline x_3$ & $\overline y_1 + y_2$ \\
& 11 & & 0
\end{tabular}
\item Konstruktion der Kompositionsfunktion \\
$\ra $ via Dekompositionsmatrix (1) / Zuordnungstabelle (2) \\
(1) alle eingetragenen 1en $\hat =$ 1 am Ausgang \\
$\ra$ müssen in der Kompositionsfunktion auftreten \\
(2) $\vec{\hat z_i} \cdot g(z,y)$ stellen die Komposistionsfunktion dar \\
\\
$g(\vec z, \vec y) = \overline z_1 \overline z_2 y_1 + \overline z_1 z_2 \overline y_1 + z_1 \overline z_2 \overline y_1 + z_1 \overline z_2 y_1 y_2 $ = Kompositionsfunktion
\item Notationen:
$\abs{\vec x} = $ Zahl der Eingangsvariablen (gebunden) \\
$\abs{\vec z} = $ Zahl der Dekompositionsvariablen \\
$\abs{X} = 2^{\abs{\vec x}} =$ Zahl der möglichen Zustände aller gebundenen Variablen \\
$\abs{Z} = 2^{\abs{\vec z}} = $ Zahl aller Dekompositionsvariablen
\end{itemize}
\subsection{Funktionale Dekomposition mit ROBDD}
Ermitteln der gebundenen bzw. freien Variablen mittels BDD: \\
\parbox{2.7cm}{ \includegraphics[width = 5cm]{img/eds/fdk.pdf} }
\paragraph{Dekompositionsbedingung} % (fold)
$\abs{\vec z} \le \abs{\vec x} - 1$ bzw. $\abs{Z} \le \frac{1}{2} \abs{X}$ \\
\begin{itemize}
\item Nehme immer eine Ebene an:\\
Oberhalb = gebundene Variablen \\
Unterhalt = freie Variablen
\item Zähle die Knoten, die durch die kreuzenden Äste erreicht werden (hier mit $\Delta$ bezeichnet)
\item Auch wenn ein Knoten durch zwei oder mehrere Äste erreicht wird, darf er nur \emph{einmal} gezählt werden (im Beispiel: $\Delta = 4$)
\item Wenn $\abs{\vec z} = \lceil \log_2 \Delta \rceil \le \abs{\vec{x}} - 1 \ra$ DK-Bed. erfüllt
\item Pfade zur 1 ergeben Dekompositionsfunktion ( gebundene Variablen \ra freie Variablen \ra 1)
\end{itemize}
Zuordnungstabelle:\\
\begin{tabular}{l|cc|l}
geb. Variablen & $z_1$ & $z_2$ & freie Variablen \\ \midrule
111 & 0 & 0 & $x_4 x_5$ \\
110, 010, 011 & 0 & 1 & $x_4 x_5 + \ol x_4 \ol x_5$ \\
101, 100 & 1 & 0 & 1 \\
& 1&1& \\
\end{tabular}
% subsection Funktionale Dekomposition (end)
\subsection{Heuristische Minimierung}
Kofaktorbildung: Setze alle $x_i = 1$ und alle $\overline x_i = 0$ \\
z.B. $f = x\overline y + \overline x yw + x w \Ra f_x = \overline y + w$
\subsubsection{Kubenentfernung (remove)}
\begin{itemize}
\item $h = f \setminus c$ ($f$ ohne den zu entfernenden Kubus) \\
z.B. $ f = \overline x y z+ x y z + \overline x yz \Ra \text{ für } c = \overline x y z \Ra h = xyz + \overline x y z$ \\
$h_{\ol xyz} = 1 + 0 = 1 \Ra$ entfernbar
\item Bildung des Kofaktors $h_c$
\item Wenn $h_c = 1 \Ra c$ ist entfernbar
\end{itemize}
2 Kuben gemeinsam entfernen: teste 2. Kubus \textbf{nachdem} der 1. entfernt wurde.
\subsubsection{Literalentfernung (expand)}
\begin{itemize}
\item Aufstellen von $h = \eset{f \setminus c_l \cdot l}$ \\
z.B. $ f = \overline x y + x y z + \overline x \cdot \overline y \cdot \overline z$ (entferne $x$: d.h. $l = x$ und $c_l = yz$) \\
$h = \overline x y + \overline x \cdot \overline y \cdot \overline z$
\item Wenn $h_{c_l \cdot \overline l} = 1$ ist das Literal entfernbar \\
z.B. $h_{c_l \cdot \overline l} = (\overline x y + \overline x \cdot \overline y \cdot \overline z)_{\overline x y z} = 1$
\end{itemize}
\subsubsection{Literal hinzufügen (reduce)}
Kann man $l$ zu $c$ hinzufügen ohne $f$ zu verändern? \\
$f = c + h \overset{?}{=} c \cdot l + h$
\\ Zulässigkeitsbedingung: $c \cdot \overline l \subseteq h$ \\
z.B. $f = xy + \overline x y z + xz$ (füge $l = \overline z$ hinzu) \\
Ist $xyz \subseteq \overline x yz + xz$? \\
Ja $\Ra f^* = xy \overline z + \overline x yz + xz$
Gemeinsame Literalentfernung: Prüfe 2. Literal nachdem 1. Literal entfernt wurde.\\
\subsection{Strukturanalyse}
Tautologie: $f_{x_i} = 1 \ \land \ f_{\overline x_i} = 1 \quad \Rightarrow f=1$\\
Monoton steigend in $x_i$: \boxed{ f_{\overline x_i} \subseteq f_{x_i}} dann gilt auch $f_{\ol x_i} = 1 \ \Ra\ f = 1$\\
Monoton fallend in $x_i$: \boxed{ f_{x_i} \subseteq f_{\overline x_i} } dann gilt auch $f_{x_i} = 1 \ \Ra\ f = 1$\\
Beispiel: \\
$f = yz + xz + \n y z + \n y \n z + y \n z \Ra$ monoton steigend in $x$ \\
$f(x,y,z) = x \; \varphi (z) + h(y,z) \Ra $ Prüfe $h$ auf Tautologie
\section{Nützliches Wissen}
\subsection{Mehrfachimplikanten}
Sind gleiche Implikanten in mehreren verschiedenen Funktionen vorhanden? \\
Prüfe $f_1 \cap f_2 $ auf Mehrfachimplikanten: $f_1 \cdot f_2 = ?$ \\
Nutzung von Mehrfachimplikanten ist sinnvoll wenn die Gesamtliteralzahl beider SOPs kleiner ist als ohne Verwendung von Mehrfachimplikanten.
\subsection{VollSOP erstellen} % (fold)
\label{sub:VollSOP erstellen}
Benutze die Resolventenmethode um alle Resolventen zu erzeugen und so aus der MinSOP eine VollSOP zu erstellen.
% subsection VollSOP erstellen (end)
\section{Automaten}
sind abstrakte Maschinen mit $r$ Zuständen $S_i \in S$ , die auf sequentielle Eingangssignale $X_j \in I = \mathbb B^n$ mit Ausgangssignalen $Y_l\in O = \mathbb B^m$ und Zustandsänderungen reagiern.\\
\begin{tabular}{ll}
Startzustand & $S^0 \in S$ \\
Zustandsfkt. & $\delta : S \times I \rightarrow S,\ S_k \mapsto \delta(S_i , X_j)$ \\
Ausgangsfkt. & $\lambda : S \times I \rightarrow O,\ Y_l \mapsto \lambda(S_i , X_j)$ \\
ZA-fkt. & $\mu : S \times I \rightarrow S \times O,\ (S_k, Y_l) \mapsto \mu(S_i , X_j)$ \\
\end{tabular}\\
\\
\paragraph{$k$-Äquivalenz $S_i \stackrel{k}{\sim} S_j$}
Für eine Eingangssequenz der Länge $k$ sind bei $S_i$ und $S_j$ die Ausgaben gleich und die Zustandsübergänge gleich bzw. $k-1$ Äquivalent.\\
\paragraph{Totale Äquivalenz $S_i \sim S_j$} falls für alle Einganssequenzen die Ausgaben und die Zustandsübergänge äquivalent sind. \\ $\ra$ Zeige: es lassen sich keine weiteren Äquivalenzklassen bilden.\\
\section{Karnaugh- Diagramm} % (fold)
Zyklische Gray-Codierung: 2dim:$00,01,11,10$ 3dim:$000,001,011,010,110,111,101,100$
\begin{tabular}{l | c | c | c | r}
$_z\!\!\diagdown \!\!^{xy}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \midrule
0 & 1 \cellcolor{gray} & 0 & 0 & 0 \\
1 & X \cellcolor{gray} & 1 \cellcolor{lightgray} & 1 \cellcolor{lightgray} & 0 \\
\end{tabular}
Gleiche Zellen zusammenfassen: z.B. $\overline x \overline y + y \cdot z$\\
Don't Care Werte ausnutzen!\\
% section Karnaugh- Diagramm (end)
\section{Resolventenmethode} % (fold)
\label{sec:Resolventenmethode}
Ziel: alle Primimplikanten \\
Wende folgende Gesetze an: \\
Absorptionsgesetz: $a + ab = a$ \\
allgemeines Resolutionsgesetz: $x \cdot a + \overline x \cdot b = x \cdot a + \overline x \cdot b + ab$ \\
\\
Anwendung mit Schichtenalgorithmus
\begin{enumerate}
\item schreibe die Funktion $f$ in die 0. Schicht
\item bilde \textbf{alle möglichen} Resolventen aus der 0. Schicht und schreibe sie in die nächste Schicht als ODER Verknüpfungen (Resolventen zu $f$ "hinzufügen")
\item überprüfe ob Resolventen aus der 1. Schicht Kuben aus Schicht 0 überdecken(Absorbtion) und streiche diese Kuben aus Schicht 0
\item Schicht i besteht aus den möglichen Resolventen von Schicht 0 bis $(i-1)$. Abgestrichene Kuben aus vorherigen Schichten brauchen \textbf{nicht} mehr beachtet werden.
\item Sobald in der i-ten Schicht +1 steht oder keine weiteren Resolventen gebildet werden können, ist man fertig.
$\Ra $ alle nicht ausgestrichenen Terme bilden die VollSOP
\end{enumerate}
\begin{tabular}{l | r}
$f(x_1, \ldots, x_n)$ & Schicht \\ \midrule
$x \cdot w + \overline x \cdot w + x \cdot y \cdot w \cdot \overline z + \overline x \cdot y \cdot w \cdot \overline z + \overline y \cdot w \cdot \overline z $& $0$ \\
$+ w + y \cdot w \cdot \overline z$ & $1$ \\
$+ w \cdot \overline z $ & $2$ \\
$+ w$ &$ 3$
\end{tabular}
% section Resolventenmethode (end)
\section{Laufzeit}
\subsection{Laufzeitabhängige Effekte}
\begin{itemize}
\item \emph{Race}, "'Wettlauf"' zweier Signalwertänderungen vor einem gemeinsamen Gatter\\
\item \emph{Hazard / Spike / Glitch}, Stelle des Signalwertverlaufes, die wegen der Laufzeitverzögrung nicht den Erwartungen entspricht\\
\end{itemize}
\subsection{Simulation}
\pbox{4cm}{\includegraphics[scale = 0.8]{img/ds/laufzeit.pdf}}
\pbox{9cm}{ $\tau_{OR}=2$ und $\tau_{NOT}=1$ Eingangsbelegung $a=0$,$b=0$ \\Eingangsereignis (b,'1',0, 2) }\\
Auswertung erfolgt durch eine Tabelle:\\
\begin{tabular}{l|cccc|l|l}
t& a &b &z &y& ausgewertete Elemente & neue Ereignisse\\ \midrule
0& '0' & '0' & '1'& '0' & init & (b,'1',0, 2) \\
2& & '1' & & & OR & (z,'1',2,4) \\
4& & & '1' & & NOT & (y,'0',4,5)\\
5& & & & '0' & & \\
\end{tabular}
\\
Ereignis: (betroffenes Signal, neuer Signalwert, $t$, $t+\tau$)
\subsection{Delay}
\begin{itemize}
\item transport delay: Verzögerung um $\tau_{pd} $
\item inertial delay: Verzögerung um $\tau_{pd}$ und Impulse die kleiner als $\tau_{pd}$ sind werden ignoriert
\end{itemize}
\subsection{VHDL- VHSIC Hardware Description Language}
\begin{tabular}{ll}
\texttt{ENTITY} Bausteinname \texttt{IS} & //Definiert die Schnittstelle einer Logik\\
\texttt{PORT} (Schnittstellenliste) & //Definiert Ein- und Ausgänge\\
\\
\texttt{ARCHITECTURE} Rumpfname \texttt{OF} Bausteinname \texttt{IS} & //Beschreibt den internen Aufbau\\
\texttt{PROCESS} (Signalliste) & // Alle Processes laufen nebeneinander ab\\
\texttt{COMPONENT} Gattername & // Beschreibt eine interne Komponente\\
\end{tabular}
\section{Testverfahren}
Mit wenig Fragen viel Information erhalten. Signal muss beobachtbar und einstellbar sein!\\
\subsection{Begriffe}
Fehlergruppe $F_\nu = \iset{f_\mu \in F}{t_\nu R f_\mu}$: Menge aller Fehler die vom Test $t_\nu$ erkannt werden.\\
Fehleranzahl = $2 \cdot$ Signalanzahl = $2 (\text{Eingänge} + \text{Interne Signale} + \text{Ausgänge})$\\
Testgruppe $T_\mu = \iset{t_\nu \in T}{t_\nu R f_\mu}$ ist die Menge aller Tests die den Fehler $f_\mu$ erkennen.\\
Zwei einzelne Fehler sind nicht unterscheidbar, wenn sie immer gemeinsam von einem Test entdeckt werden.\\
\subsection{Bullshit-Differenz $y_z$}
Ziel: schnelles finden von Testbedingungen für $f = y(z(\vec x))$\\
\\
\boxed{ y_z = y(z,\vec x) \oplus y(\overline z, \vec x) } \ $\mathrel{\widehat{=}} y(z = 1) \oplus y(z=0)$\\
\subsubsection{Rechenregeln}