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<mods:abstract lang="ger"><p>In dieser Doktorarbeit führen wir den neuen Begriff der Bianchi-Konvexität – einer Verallgemeinerung von Konvexität, die durch die zweite Bianchi-Identität von riemannschen Krümmungstensoren inspiriert ist – ein, untersuchen diesen und geben einige Anwendungen auf den Ricci-Fluss: Im Setting von algebraischen Krümmungstensoren verallgemeinern wir Hamiltons Maximumprinzip für Bianchi-konvexe Mengen. In Dimension drei leiten wir damit eine Familie von nichtkonvexen, aber Bianchi-konvexen Mengen her, die durch den Ricci-Fluss erhalten werden. Darüber hinaus benutzen wir das Konzept von Bianchi-konvexen Funktionen um Starrheitsresultate für kompakte Ricci-Solitonen bzw. vollständige schrumpfende Ricci-Solitonen zu beweisen. Dies führt zu expliziten Krümmungsbedingungen, sodass vollständige schrumpfende Gradienten-Ricci-Solitonen (und als Spezialfall vollständige Einsteinmannigfaltigkeiten), welche diese erfüllen, lokal symmetrisch sind.</p></mods:abstract>
<mods:tableOfContents lang="eng">Introduction 1
1 Preliminaries 7
1.1 Skew-symmetric endomorphisms, two-forms and algebraic curvature tensors . . . . 7
1.2 The frame bundle and a connection on space-time . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Curvature of Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 A brief introduction to the Ricci flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Curvature conditions and ODE-invariance 19
2.1 Curvature conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 As domain of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Properties of tangent cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Invariance under an ordinary differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Bianchi-convex sets 31
3.1 The definition and first properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Bianchi-convex sets in dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1.1 The first factor of the decomposition (3.12) . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1.2 The second factor of the decomposition (3.12) . . . . . . . . . . . 45
3.2.1.3 Another characterization of Bianchi-convex sets . . . . . . . . . . 47
3.2.1.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Example of ODE-invariant non-convex Bianchi-convex sets . . . . . . . . . 50
4 Maximum principles 57
4.1 Statements for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Hamilton’s maximum principle and the Uhlenbeck trick . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Generalization for tensors in the Bianchi-convex setting . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Bianchi-convex functions 65
5.1 The definition and first properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 A reparametrization theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.1 Scale-invariant functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.2 Two further ingredients for the proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.3 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Ricci solitons, curvature conditions and local symmetry 83
6.1 Ricci solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 Ricci solitons and curvature conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.2 Rigidity of compact Ricci solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Shrinking gradient Ricci solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1 Rigidity in the general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 The cone Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 Application 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.2.1 The Bryant soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.3 Application 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A Appendix 107</mods:tableOfContents>
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<mods:topic lang="ger">Konvexität; zweite Bianchi-Identität; algebraischer Krümmungstensor; Ricci-Fluss; Maximumprinzip; Ricci-Soliton; lokal symmetrisch</mods:topic>
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