-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 8
/
00-polinomios.html
386 lines (339 loc) · 29.6 KB
/
00-polinomios.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta http-equiv="Content-Style-Type" content="text/css" />
<meta name="generator" content="pandoc" />
<title>Polinomios</title>
<style type="text/css">code{white-space: pre;}</style>
<link rel="stylesheet" href="otro-simple.css" type="text/css" />
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.2/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML'></script>
<!--<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>-->
</head>
<body>
<div id="header">
<h1 class="title">Polinomios</h1>
</div>
<section>
<h1 id="monomios-y-polinomios">Monomios y polinomios</h1>
<p>En Álgebra se utilizan expresiones en las que se combinan números con símbolos que representan elementos no determinados a los que llamamos según las situaciones <span><em>incógnitas</em></span> (en el contexto de ecuaciones), <span><em>variables</em></span> en el contexto de funciones, o en el caso de polinomios <span><em>indeterminadas</em></span>. Los <span><em>polinomios</em></span> son un tipo de expresiones algebraicas donde se combinan las indeterminadas con números, a los que llamamos también <span><em>coeficientes</em></span>, usando solo las operaciones suma y producto. La indeterminada (a veces son varias, pero trataremos aquí solo el caso de polinomios en una indeterminada) suele nombrarse por la letra <span class="math">\(x\)</span> (aunque también es bastante usual la <span class="math">\(t\)</span>) y no puede operarse con los coeficientes, así que la expresión <span class="math">\(1+x\)</span> no puede simplificarse; sin embargo, algunas operaciones en las que aparece la indeterminada admiten una escritura resumida:</p>
<p><span class="math">\[x+x+x=3x; \,\, x\cdot 2x = 2x^2; \,\, 3x^4-5x^4=-2x^4\]</span></p>
<p>así, podemos escribir potencias (enteras positivas) de la indeterminada y aparecen lo que se llaman <span><em>monomios</em></span>, que son términos de la forma <span class="math">\(ax^m\)</span> donde <span class="math">\(a\)</span> representa un coeficiente y el exponente <span class="math">\(m\)</span> se llama el <span><em>grado</em></span> del monomio. Un polinomio, que es una suma finita de monomios, se escribe agrupando todos los monomios del mismo grado hasta tener una expresión de la forma</p>
<p><span class="math">\[a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n=\Sigma_{i=0}^n a_i x^i\]</span> con <span class="math">\(a_0, \dots ,a_n\)</span> números; el mayor índice <span class="math">\(n\)</span> para el que <span class="math">\(a_n\not = 0\)</span> se llama el <span><em>grado del polinomio</em></span> y el correspondiente coeficiente, <span class="math">\(a_n\)</span> es el <span><em>coeficiente líder</em></span>. Los números distintos de cero pueden considerarse polinomios de grado <span class="math">\(0\)</span>, y se suele decir que el grado del polinomio <span class="math">\(0\)</span> es <span class="math">\(- \infty\)</span>.</p>
<p><span class="math">\(2-x-x^3\)</span> es un polinomio de grado 3, todos sus coeficientes son números enteros, su coeficiente líder es <span class="math">\(-1\)</span>.</p>
<p><span class="math">\(-\frac{1}{3}+\frac{2}{7}x+2x^2\)</span> es un polinomio de grado 2 con coeficiente líder <span class="math">\(2\)</span> y sus coeficientes son números racionales.</p>
<p><span class="math">\(x+\sqrt{2}x^3-\pi x^6\)</span> es un polinomio de grado 6 con coeficiente líder <span class="math">\(-\pi\)</span> y sus coeficientes son números reales.</p>
<p>Se suelen escribir los polinomios ordenando los monomios por el grado, bien en sentido ascendente como en <span class="math">\(-\frac{1}{3}+\frac{2}{7}x+2x^2\)</span> o bien en sentido descendente como en <span class="math">\(-10 x^4 - 3 x^2 + 2 x - 2\)</span>.</p>
</section>
<section>
<h1 id="suma-y-resta-de-polinomios">Suma y resta de polinomios</h1>
<p>Para sumar polinomios debemos sumar los coeficientes de asociados a una misma potencia de <span class="math">\(x\)</span>, es decir, tal como se muestra en el ejemplo siguiente:</p>
<p><span class="math">\[\begin{split}
&(-10 x^4 - 3 x^2 + 2 x - 2) + (x^3 + x^2 + x + 1) \\
&= (-10 + 0) x^4 + (0 + 1) x^3 + (-3 + 1) x^2 + (2 + 1) x + (-2 + 1) \\
&= -10 x^4 + x^3 -2 x^2 + 3 x - 1
\end{split}\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Realiza las siguientes sumas.</p>
</header>
<ol>
<li><p>\((2 + 3 x - \frac{2}{5} x^3 - 11 x^4) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{3} x + x^2 + 13 x^4)\)
<span id="sol-e1-1" style="display:none;">
\(= x^4 - \frac{2 x^3}5 + x^2 + \frac{7 x}3 + \frac{11}4\)
</span>.
<button id="e1-1" class="button" onclick="show2('e1-1');">Solución</button></p>
</li>
<li><p>\((-3 x + 3 x^3 + 3 x^4) + (5 + 3 x - 2 x^2 + 4 x^3 - 3 x^4)\)
<span id="sol-e1-2" style="display:none;">
\(= 7 x^3 - 2 x^2 + 5\)
</span>.
<button id="e1-2" class="button" onclick="show2('e1-2');">Solución</button></p>
</li>
</ol>
</article
</section>
<section>
<h1 id="multiplicación-de-polinomios">Multiplicación de polinomios</h1>
<p>La multiplicación de polinomios se basa en la consideración de la variable como un “número indeterminado”, por lo que está sujeta a las reglas aritméticas numéricas. La regla que se emplea es la del producto de potencias de igual base, es decir, <span class="math">\(x^i x^j = x^{i+j}\)</span>. De esta forma la multiplicación se realiza usando la propiedad distributiva y el producto de cada monomio. Veamos un ejemplo que puede ser suficientemente significativo.</p>
<p>Multipliquemos <span class="math">\(3x^3 + 5x^2 - 3x + 1\)</span> por <span class="math">\(x^4 + 7 x - 2\)</span>, lo que hacemos multiplicando el primero por cada uno de los términos del segundo, así</p>
<p><span class="math">\[\begin{split}
-2(3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= -6 x^3 - 10 x^2 + 6 x - 2,\\
7x (3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= 21 x^4 + 35 x^3 - 21 x^2 + 7 x, \\
x^4 (3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= 3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + x^4,
\end{split}\]</span></p>
<p>y sumando los resultados parciales obtenemos el resultado,</p>
<p><span class="math">\[\begin{gathered}
(3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) (x^4 + 7 x - 2) \\
= (3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + x^4) + (21 x^4 + 35 x^3 - 21 x^2 + 7 x) + (-6 x^3 - 10 x^2 + 6 x - 2) \\
= 3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + 22 x^4 + 29 x^3 -31 x^2 + 13 x -2.\end{gathered}\]</span></p>
<p>Podemos describir la multiplicación mediante el siguiente diagrama:</p>
<p><span class="math">\[\begin{array}{rrrrrrrr}
& & & & 3x^3 & + 5x^2 & - 3x & + 1 \\
\times & & & & & x^4 & + 7 x & - 2 \\
\hline
& & & & -6 x^3 & - 10 x^2 & + 6 x & - 2 \\
& & & 21 x^4 & + 35 x^3 & - 21 x^2 & + 7 x & \\
3x^7 & + 5 x^6 & - 3 x^5 & + x^4 & & & & \\
\hline
3x^7 & + 5 x^6 & - 3 x^5 & + 22 x^4 & + 29 x^3 & -31 x^2 & + 13 x & -2
\end{array}\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Realiza las siguientes multiplicaciones.</p>
</header>
<ol>
<li><p>\(\left(x^5 - \frac{1}{5}x^4 - 2 x^3 + 4 x - \frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{3}{5} x^2 - 2 x + \frac{1}{2}\right)\)
<span id="sol-e2-1" style="display:none;">
\(= \frac{3 x^7}5 - \frac{53 x^6}{25} - \frac{3 x^5}{10} + \frac{39 x^4}{10} + \frac{7 x^3}5 - \frac{42 x^2}5 + \frac{10 x}3 - \frac{1}3\)
</span>. <button id="e2-1" class="button" onclick="show2('e2-1');">Solución</button></p>
</li>
<li>\((-3 x^4 - 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x - 7) \times (-2 x^4 - 3 x^2 - 4 x - 5)\)
<span id="sol-e2-2" style="display:none;">
\(= 6 x^8 + 4 x^7 + 17 x^6 + 22 x^5 + 49 x^4 + 32 x^3 + 49 x^2 + 38 x + 35\)
</span>. <button id="e2-2" class="button" onclick="show2('e2-2');">Solución</button></p>
</li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="división-de-polinomios.">División de polinomios</h1>
</header>
<p>La división de polinomios con coeficientes racionales (o reales) se basa en el siguiente resultado.</p>
<blockquote>
<p>Dados polinomios <span class="math">\(f,g\)</span> con <span class="math">\(g \neq 0\)</span> existen polinomios <span class="math">\(q\)</span> y <span class="math">\(r\)</span> tales que <span class="math">\(f = qg + r\)</span> y <span class="math">\(\operatorname{grado}(r) < \operatorname{grado}(g)\)</span>.</p>
</blockquote>
<p>La división es un proceso iterativo. Supongamos que el término líder de <span class="math">\(f\)</span> es <span class="math">\(a_n x^n\)</span>, el término líder de <span class="math">\(g\)</span> es <span class="math">\(b_m x^m\)</span> y <span class="math">\(n \geq m\)</span>. Entonces el término líder de <span class="math">\(\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g\)</span> es también <span class="math">\(a_n x^n\)</span>, luego el grado de <span class="math">\(f_1 = f -\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g\)</span> es menor que <span class="math">\(n\)</span>. De esta forma tenemos que <span class="math">\(\frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\)</span> es parte del cociente, para completar el cociente y conocer el resto debemos dividir <span class="math">\(f_1\)</span> entre <span class="math">\(g\)</span>. Veámoslo en un ejemplo.</p>
<p>Vamos a dividir <span class="math">\(f=3x^4 + 3 x^2 - \frac{2}{3} x + 1\)</span> entre <span class="math">\(g=2x^2 + x\)</span>. Debemos multiplicar el divisor por <span class="math" style="color:cornflowerblue">\(\frac{3}{2} x^2\)</span> para igualar el término líder de <span class="math">\(f\)</span>, con lo cual debemos calcular <span class="math">\(f - \frac{3}{2} x^2 (2x^2 + x)= -\frac{3}{2} x^3 + 3 x^2 - \frac{2}{3} x + 1\)</span>. Gráficamente,</p>
<style>
td{
white-space: nowrap;
padding: 0px;
width: 3em;
}
table {
border: 0px;
}
</style>
<table>
<tbody>
<tr><td style="text-align:right; color: darkred;">\(3x^4\)</td><td></td><td style="text-align: right; color:darkgoldenrod;"> <span>\(+ 3 x^2\)</td><td style="text-align: right; color: coral;"><span>\(− \frac{2}3 x\)</td><td style="text-align: right; color: chocolate;">\(+ 1\)</td><td></td><td style="font-size: large; text-align: left; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:3px; border-left-style: solid; border-left-width:3px;">\(\ 2x^2+x\)</td></tr>
<tr><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-3 x^4\)</td><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-\frac{3}2 x^3\)</td> <td></td><td></td><td></td><td></td><td><span style="color:cornflowerblue">\(\frac{3}2 x^2\)</span><span style="color:yellowgreen"> \(-\frac{3}4x\)</span><span style="color:slateblue">\(+\frac{15}{8}\)</span></td></tr>
<tr><td></td><td style="text-align: right; color: darkorange;">\(−\frac{3}2 x^3\)</td>
</tbody>
</table>
<p>Con este nuevo dividendo necesitamos multiplicar el divisor por <span class="math" style="color:yellowgreen">\(-\frac{3}{4}x\)</span> con el fin de igualar el término líder. De forma análoga al anterior tenemos que el nuevo dividendo es <span class="math">\(\frac{15}{4}x^2-\frac{2}{3}x + 1\)</span>, o gráficamente</p>
<table>
<tbody>
<tr><td style="text-align:right; color: darkred;">\(3x^4\)</td><td></td><td style="text-align: right; color:darkgoldenrod;"> <span>\(+ 3 x^2\)</td><td style="text-align: right; color: coral;"><span>\(− \frac{2}3 x\)</td><td style="text-align: right; color: chocolate;">\(+ 1\)</td><td></td><td style="font-size: large; text-align: left; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:3px; border-left-style: solid; border-left-width:3px;">\(\ 2x^2+x\)</td></tr>
<tr><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-3 x^4\)</td><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-\frac{3}2 x^3\)</td> <td></td><td></td><td></td><td></td><td><span style="color:cornflowerblue">\(\frac{3}2 x^2\)</span><span style="color:yellowgreen"> \(-\frac{3}4x\)</span><span style="color:slateblue">\(+\frac{15}{8}\)</span></td></tr>
<tr><td></td><td style="text-align: right; color: darkorange;">\(−\frac{3}2 x^3\)</td><td style="text-align: right; color: darkgoldenrod;"></td><td style="text-align: right; color: coral;"></td><td style="text-align: right; color: chocolate;"></td></tr>
<tr><td></td><td style="text-align: right; color: yellowgreen; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(\frac{3}2 x^3\)</td><td style="text-align: right; color: yellowgreen; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(+\frac{3}{4}x^2\)</td></tr><tr><td style="height: 0.8em;"></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td style="text-align: right; color: darkgoldenrod;">\(\frac{15}4 x^2\)</td></tr>
</tbody>
</table>
<p>Finalmente necesitamos multiplicar el divisor <span class="math">\(g\)</span> por <span class="math" style="color:slateblue;">\(\frac{15}{8}\)</span> para igualar los términos líderes, lo que nos lleva a completar el cociente y a llegar al resto:</p>
<table>
<tbody>
<tr><td style="text-align:right; color: darkred;">\(3x^4\)</td><td></td><td style="text-align: right; color:darkgoldenrod;"> <span>\(+ 3 x^2\)</td><td style="text-align: right; color: coral;"><span>\(− \frac{2}3 x\)</td><td style="text-align: right; color: chocolate;">\(+ 1\)</td><td></td><td style="font-size: large; text-align: left; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:3px; border-left-style: solid; border-left-width:3px;">\(\ 2x^2+x\)</td></tr>
<tr><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-3 x^4\)</td><td style="text-align: right; color: cornflowerblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-\frac{3}2 x^3\)</td> <td></td><td></td><td></td><td></td><td><span style="color:cornflowerblue">\(\frac{3}2 x^2\)</span><span style="color:yellowgreen"> \(-\frac{3}4x\)</span><span style="color:slateblue">\(+\frac{15}{8}\)</span></td></tr>
<tr><td></td><td style="text-align: right; color: darkorange;">\(−\frac{3}2 x^3\)</td><td style="text-align: right; color: darkgoldenrod;"></td><td style="text-align: right; color: coral;"></td><td style="text-align: right; color: chocolate;"></td></tr>
<tr><td></td><td style="text-align: right; color: yellowgreen; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(\frac{3}2 x^3\)</td><td style="text-align: right; color: yellowgreen; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(+\frac{3}{4}x^2\)</td></tr><tr><td style="height: 0.8em;"></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td style="text-align: right; color: darkgoldenrod;">\(\frac{15}4 x^2\)</td></tr>
<tr><td></td><td></td><td style="text-align: right; color: slateblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-\frac{15}4x^2\)</td><td style="text-align: right; color: slateblue; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px;">\(-\frac{15}8 x\)</td></tr>
<tr><td></td><td></td><td></td><td style="text-align: right; color: coral;"><span>\(− \frac{61}{24}x\)</td><td style="text-align: right; color: chocolate;">\(+ 1\)</td><td></td><td colspan="10" style="font-weight: bold; color: red;">← Resto</td></tr>
</tbody>
</table>
<p>Es decir, el cociente es <span class="math">\(\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{15}{8}\)</span> y el resto es <span class="math">\(-\frac{61}{24}x + 1\)</span>:</p>
\[
3x^4+3x^2 -\frac{2}3x+1=(2x^2+x)\left(\frac{3}2x^2-\frac{3}4 x-\frac{15}8\right)-\frac{61}{24}x+1
\]
<p>A continuación mostramos otro ejemplo:</p>
<table>
<tbody>
<tr><td style="text-align: right;" >\(5x^4\)</td><td style="text-align: right;">\(-4x^3\)</td><td></td><td style="text-align: right;">\(-x\)</td><td style="text-align: right;">\(+2\)</td><td></td><td style="text-align: left; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:2px; border-left-style: solid; border-left-width:2px; padding: 3px;">\(4x^3+2x^2-x-4\) </td>
</tr>
<tr><td style="text-align: right; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(-5x^4\)</td><td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(-\frac{5}2 x^3\)</td><td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(+\frac{5}4x^2\)</td><td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(+5x\)</td><td></td><td></td><td>\(\frac{5}4 x-\frac{13}8\)</td>
</tr>
<tr>
<td></td><td style="text-align: right;">\(-\frac{13}2 x^3\)<td style="text-align: right;">\(+\frac{21}4 x^2\)</td><td style="text-align: right;">\(+4x\)</td><td style="text-align: right;">\(+2\)</td>
</tr>
<tr>
<td></td><td style="text-align: right; border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(\frac{13}2 x^3\)<td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(+\frac{13}4 x^2\)</td><td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(-\frac{13}8 x\)</td><td style="text-align: right;border-bottom-style: solid; border-bottom-width:1px;">\(-\frac{13}2\)</td>
</tr>
<tr>
<td></td><td></td><td style="text-align: right;">\(\frac{17}2 x^2\)<td style="text-align: right;">\(+\frac{19}8 x\)</td><td style="text-align: right;">\(-\frac{9}2\)</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Puedes hacer más ejemplos en <a href="http://weitz.de/poly/"> esta página</a>.</p>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="división-de-polinomios-método-de-ruffini">División de polinomios: Método de Ruffini</h1>
</header>
<p>Este método es especial para dividir un polinomio <span class="math">\(a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n\)</span> entre un binomio de la forma <span class="math">\(x-r\)</span>. En este caso el cociente tendrá grado <span class="math">\(n-1\)</span> y el resto grado <span class="math">\(0\)</span> o <span class="math">\(-\infty\)</span>, es decir,</p>
<p><span class="math">\[a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n = (b_0 + b_1 x + \dots + b_{n-1} x^{n-1}) (x-r) + s.\]</span></p>
<p>Para realizar la división debemos calcular <span class="math">\(s, b_0, b_1, \dots, b_{n-1}\)</span>. Para calcularlos vamos a desarrollar la multiplicación:</p>
<p><span class="math">\[\begin{split}
a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n &= (b_0 + b_1 x + \dots + b_{n-1} x^{n-1}) (x-r) + s \\
&= b_0 x + b_1 x^2 + \dots b_{n-1} x^n - r b_0 - r b_1 x - \dots - r b_{n-1} x^{n-1} + s \\
&= (s - r b_0) + (b_0 - r b_1) x + \dots (b_{n-2} - r b_{n-1}) x^{n-1} + b_{n-1} x^n.
\end{split}\]</span></p>
<p>Esto nos da una regla recursiva:</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
b_{n-1} &= a_n \\
b_{n-2} &= a_{n-1} + r b_{n-1} \\
b_{n-3} &= a_{n-2} + r b_{n-2} \\
&\quad \vdots \\
b_1 &= a_2 + r b_2 \\
b_0 &= a_1 + r b_1 \\
s &= a_0 + r b_0.\end{aligned}\]</span></p>
<p>Este método se recuerda mejor mediante una disposición gráfica que vamos a explicar con un ejemplo</p>
<p>Vamos a dividir <span class="math">\(2x^4 - \frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1\)</span> entre <span class="math">\(x-\frac{2}{3}\)</span>. Para ello escribimos los coeficientes según el siguiente gráfico:</p>
<img width="600px" src="img-pols/img-1.svg" alt="Ruffini">
<p>El coeficiente líder del cociente coincide con el coeficiente líder del dividendo:</p>
<img width="600px" src="img-pols/img-2.svg" alt="Ruffini">
<p>Multiplicamos <span class="math">\(2\)</span> por <span class="math">\(\frac{2}{3}\)</span></p>
<img width="600px" src="img-pols/img-3.svg" alt="Ruffini">
<p>y lo sumamos a <span class="math">\(-\frac{1}{3}\)</span></p>
<img width="600px" src="img-pols/img-4.svg" alt="Ruffini">
<p>Repetimos el proceso hasta calcular todos los coeficientes del cociente,</p>
<img width="600px" src="img-pols/img-5.svg" alt="Ruffini">
<p>Finalmente calculamos el resto con el mismo procedimiento,</p>
<img width="600px" src="img-pols/img-6.svg" alt="Ruffini">
<p>Por tanto el cociente es <span class="math">\(2x^3 + x^2 + \frac{13}{6}x + \frac{13}{9}\)</span> y el resto <span class="math">\(-\frac{1}{27}\)</span>.</p>
<p>Algunos ejemplos más.
<ol>
<li> <p><span class="math">\(-\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{3} x^2 + \frac{3}{7}x^2 + \frac{3}{4}\)</span> entre <span class="math">\(x+2\)</span></p>
<img width="600px" src="img-pols/img-7.svg" alt="Ruffini"> </li>
<li><p><span class="math">\(x^5 - 3x^4 + 2 x^2 - 3 x - 9\)</span> entre <span class="math">\(x-3\)</span></p>
<img width="400px" src="img-pols/img-8.svg" alt="Ruffini">
</li>
<li><p><span class="math">\(x^4 - 4 x^2 +4\)</span> entre <span class="math">\(x+1\)</span></p>
<img width="400px" src="img-pols/img-9.svg" alt="Ruffini">
</li>
</ol>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula cociente y resto obtenidos al dividir</p>
</header>
<ul>
<li><p><span class="math">\(2x^3 + 5 x^2 - 3 x + 2\)</span> entre <span class="math">\(x-2\)</span>
<span id="sol-e3-1" style="display:none;">
. El cociente es \(2x^2+9x+15\) y el resto \(32\)
</span>.
<button id="e3-1" class="button" onclick="show2('e3-1');">Solución</button></p>
</li>
<li><p><span class="math">\(x^5 + \dfrac{1}{2} x^3 - \dfrac{2}{5} x + \dfrac{4}{3}\)</span> entre <span class="math">\(x + \frac{2}{5}\)</span>
<span id="sol-e3-2" style="display:none;">
. El cociente es \(x^4-\dfrac{2}5 x^3+\dfrac{33}{50} x^2-\dfrac{33}{125}x-\dfrac{184}{625}\) y el resto \(\dfrac{11396}{9375}\)
</span>.
<button id="e3-2" class="button" onclick="show2('e3-2');">Solución</button></p>
</li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{4}{5} x^3 - \dfrac{4}{7} x^2 - 3 x - 2\)</span> entre <span class="math">\(x-1\)</span>
<span id="sol-e3-3" style="display:none;">
. El cociente es \( \dfrac{4}5x^2+\dfrac{8}{35}x-\dfrac{97}{35}\) y el resto \( -\dfrac{167}{35}\)
</span>.
<button id="e3-3" class="button" onclick="show2('e3-3');">Solución</button></p>
</ul>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="raices-de-un-polinomio-y-factorización">Raices de un polinomio y factorización</h1>
</header>
<p>Dado un polinomio <span class="math">\(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n\)</span>, una <span><em>raiz</em></span> es un número <span class="math">\(\alpha\)</span> tal que al evaluar el polinomio en <span class="math">\(\alpha\)</span> (sustituir la indeterminada por dicho valor) el resultado es <span class="math">\(0\)</span>, es decir, <span class="math">\(p(\alpha)=0\)</span>.</p>
<p>El siguiente resultado es una aplicación del algoritmo de la división de polinomios, en efecto, la división de <span class="math">\(p(x)\)</span> entre <span class="math">\(x-\alpha\)</span> nos proporciona la fórmula <span class="math">\[p(x)=q(x)\cdot (x-\alpha) + r\]</span> donde <span class="math">\(r\)</span> es un polinomio de grado menor que 1, es decir, es un número.</p>
<p>Para un polinomio <span class="math">\(p(x)\)</span> son equivalentes las siguientes afirmaciones:</p>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\alpha\)</span> es una raiz de <span class="math">\(p\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\alpha\)</span> es una solución de la ecuación <span class="math">\(p(x)=0\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(p(x)=q(x)(x-\alpha)\)</span>.</p></li>
</ol>
<p>A los divisores de la forma <span class="math">\(x-\alpha\)</span> de un polinomio se les denomina <span><em>factores lineales</em></span>. Es de gran utilidad obtener la descomposición en factores lineales de un polinomio, o lo que es lo mismo obtener todas las soluciones de una ecuación polinómica. La resolución de algunos tipos de estas ecuaciones es tratado en el apartado ”Ecuaciones polinómicas” de la siguiente sesión, sin embargo, es interesante el siguiente método para calcular las posibles raices enteras de un polinomio con coeficientes también enteros.</p>
<p>Supongamos que tenemos un polinomio de grado <span class="math">\(n\)</span> con coeficientes enteros, digamos</p>
<p><span class="math">\[a_nx^n +\dots +a_1x+a_0\]</span></p>
<p>si tuviese una raiz entera, <span class="math">\(\alpha\)</span>, entonces el polinomio sería exactamente el producto de otro polinomio de grado <span class="math">\(n-1\)</span>, también con coeficientes enteros, y el factor lineal correspondiente, es decir:</p>
<p><span class="math">\[a_nx^n +\dots +a_1x+a_0=(x-\alpha)\cdot(a_nx^{n-1}+\dots +b_1x+b_0)\]</span></p>
<p>El hecho de que los coeficientes del cociente son enteros puede deducirse comprobando que en el método de Ruffini todas las operaciones son sumas y productos de números enteros. Ahora observamos que los términos de grado 0 en ambos miembros de la igualdad deben ser iguales</p>
<p><span class="math">\[a_0=\alpha \cdot b_0\]</span></p>
<p>y así la raiz <span class="math">\(\alpha\)</span> es un divisor del término independiente, y como un número entero distinto de cero tiene una cantidad finita de divisores, puede explorarse el conjunto completo de divisores en busca de las posibles raices.</p>
<p>Para encontrar todas las raices enteras del polinomio <span class="math">\[x^4-7x^2+7x-2\]</span> observamos que como el término independiente es <span class="math">\(-2\)</span>, sus posibles divisores son <span class="math">\(1,-1,2,-2\)</span> así que probamos si alguno de ellos es raiz. Esto puede hacerse realizando la división por Ruffini o simplemente evaluando el polinomio (es más eficiente Ruffini para evaluar)<span class="math">\[\begin{array}{l}
p(1)=1^4-7\cdot 1^2+7\cdot 1-2=-1\\
p(-1)=(-1)^4-7\cdot (-1)^2+7\cdot (-1) -2=1+7-7-2=-1\\
p(2)=2^4-7\cdot 2^2+7\cdot 2-2= 16-28+14-2=0\\
p(-2)=(-2)^4-7\cdot (-2)^2+7\cdot (-2)-2= 16-28-14-2=-28\\
\end{array}\]</span> Así que <span class="math">\(2\)</span> es raiz del polinomio, para factorizar dividimos por <span class="math">\(x-2\)</span>:</p>
<img width="400px" src="img-pols/img-10.svg" alt="Ruffini">
<p>El cociente es <span class="math">\(x^3+2x^2-3x+1\)</span>, que solo podría tener como raices enteras a <span class="math">\(1\)</span> y <span class="math">\(-1\)</span>, y ya hemos comprobado que no lo son del polinomio dado, y por tanto tampoco del cociente.</p>
<p>Dado un polinomio con coeficientes racionales sus raices son las mismas que las de un polinomio con coeficientes enteros que se obtiene al multiplicar el original por el mínimo comúm múltiplo de todos los denominadores que aparezcan en los coeficientes. Por ejemplo, el polinomio <span class="math">\( x^3+\frac{1}{6}x^2+ \frac{1}{5}x-1\)</span> tiene las mismas raices que <span class="math">\(30x^3+5x^2+6x-30\)</span>, así que si tuviese raices enteras estarían entre los divisores de <span class="math">\(30\)</span>.</p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(x^3+6x^2+9x\)</span>
<span id="sol-e4-1" style="display:none;">
\(= (x + 3)^2 x\)
</span>.
<button id="e4-1" class="button" onclick="show2('e4-1');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(x^4-2x^2+1\)</span>
<span id="sol-e4-2" style="display:none;">
\(= (x + 1)^2 (x - 1)^2\)
</span>.
<button id="e4-2" class="button" onclick="show2('e4-2');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(x^3+3x^2-4x-12\)</span>
<span id="sol-e4-3" style="display:none;">
\(= (x + 3)(x + 2)(x - 2)\)
</span>.
<button id="e4-3" class="button" onclick="show2('e4-3');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(x^5+20x^3 +100x\)</span>
<span id="sol-e4-4" style="display:none;">
\(= (x^2 + 10)^2 x\)
</span>.
<button id="e4-4" class="button" onclick="show2('e4-4');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(2x^5-32x\)</span>
<span id="sol-e4-5" style="display:none;">
\(= 2(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)x\)
</span>.
<button id="e4-5" class="button" onclick="show2('e4-5');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\frac{2}{5}x^5- \frac{6}{5}x^4+\frac{14}{15}x^2\)</span>
<span id="sol-e4-6" style="display:none;">
\(= \frac{2}{15}(3 x^3 - 9 x^2 + 7) x^2\)
</span>.
<button id="e4-6" class="button" onclick="show2('e4-6');">Solución</button></p></li>
</ol>
</article>
</section>
<div class="footnotes">
<hr />
<p style="font-size: 10pt">Esta página está basada en las transparencias de Javier Lobillo y Evangelina Santos Aláez para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Maquetado y javascript por Pedro A. García Sánchez.</p>
</div>
<script type="text/javascript" language="javascript">
function show(str, obj){
document.getElementById(obj).innerHTML = str;
MathJax.Hub.Typeset();
}
function show2(divID) {
var sol = document.getElementById("sol-"+divID);
var div = document.getElementById(divID);
if(sol.style.display == "none"){
sol.style.display = "unset";
}else{
sol.style.display = "none";
}
if(div.innerHTML == "Solución"){
div.innerHTML = "Oculta solución";
}else{
div.innerHTML = "Solución";
}
}
</script>
</body>
</html>