-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
11_korelace_regrese.qmd
199 lines (154 loc) · 7 KB
/
11_korelace_regrese.qmd
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
# Závislost dvou veličin {#seq-zavislost}
## Korelace {#sec-korelace}
Korelace je vztah mezi dvěma náhodnými veličinami. Zkoumá, zda se jedna ze zkoumaných veličin mění, pokud se zároveň mění i druhá. Korelace nezkoumá příčinnost, nelze tedy jednoznačně určit závislou a nezávislou proměnnou.
Míru korelace dvou veličin posuzujeme korelačním koeficientem. V případe normality u obou veličin lze použít **Paersonův** korelační koeficient,
$$
r_{xy} = \dfrac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar{y})^2}}
$$ {#eq-pearson}
přičemž platí $r_{xy}\in\langle-1;1\rangle$. Alternativně můžeme použít neparametrický výpočet **Spearmana**, založený na diferencích pořadí pozorovaných hodnot, které definujeme jako $d_i = x_{ri} - y_{ri}$
$$
\rho = r_s = 1 - \dfrac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}
$$ {#eq-spearman}
::: callout-tip
## Cvičení
1. Napište vlastní funkci, které pro dané vektory `x` a `y` spočítá korelační Spearmanův koeficient.\
a) Nejprve je nutné identifikovat pořadí,\
b) dále spočítat kvadrát vzdáleností,\
c) a po dosazení počtu měření $n$ dosadit do rovnice.\
2. Vyzkoušejte obě funkce na datech
Řešení:\
```{r, eval=FALSE}
#| code-fold: true
sp_k <- function(x, y) {
rank_x <- rank(x)
rank_y <- rank(y)
d <- rank_x - rank_y
d_sq <- sum(d^2)
n <- length(x)
1 - ((6 * d_sq) / (n*(n^2 - 1)))
}
```
```{r, eval=FALSE}
sp_k(_, _)
cor(_, _, method = "Spearman")
```
3. Pokuste se odhadnout korelační koeficient následujících veličin
```{r, echo=FALSE, fig.align='center'}
par(mfrow = c(2, 2))
plot(x = sin(seq(-1, 4, length.out = 100) + rnorm(100, sd = 0.4)),
xlab = "",
ylab = "",
axes = FALSE)
plot(x = sort(c(sin(seq(-1, 4, length.out = 50)),
cos(seq(-3, 1, length.out = 50)))) + rnorm(n = 100,
sd = 1.4),
xlab = "",
ylab = "",
axes = FALSE)
plot(x = 1:100/10,
y = 5 + rnorm(100, sd = 5.5),
xlab = "",
ylab = "",
axes = FALSE,
xlim = c(-10, 25),
ylim = c(-10, 20))
plot(x = 1:100 * rnorm(100, sd = 500),
xlab = "",
ylab = "",
axes = FALSE)
```
:::
`pairs()`
## Kovariance
## Regresní model
Narozdíl od korelace, v regresní analýze sledujeme příčinnou závislost. Identifikujeme **nezávislou proměnnou** a **závislou proměnnou**. Míru závislosti posuzujeme pomocí lineárního regresního modelu. Cílem regrese je proložit naměřenými body přímku, která nejlépe vystihuje vztah mezi proměnnými.
$$
y = \beta_0 + \beta_1x
$$ kde $y$ je závislá proměnná, $x$ je nezávislá proměnná, $\beta_0$ je počátek (intercept) a $\beta_1$ je sklon přímky.
Lineární model regresního typu definujeme v R pomocí funkce `lm()`, které na první pozici dosazujeme výraz ve formátu rovnice `formula`, např. `lm(y ~ x)`. Model vyhodnocujeme funkcí `summary` a mezi sebou porovnáváme pomocí kritérií zohledňující vysvětlenou variabilitu/věrohodnost modelu a jeho komplexnost, např. **Akaikeho informační kritérium**.
$$
\text{AIC} = 2k - 2\ln(\hat{L})
$$ kde $k$ je počet volných parametrů modelu a $\hat{L}$ je věrohodnostní funkce modelu.
##### Cvičení {.unnumbered}
1. Uvažujme následující data, kde předpokládáme příčinnou závislost $y$ na $x$.
```{r}
dfr <- data.frame(
x <- c( 3.93, 3.83, 7.11, 6.98, 7.87, 9.11, 10.04, 9.99, 10.11, 10.93,
11.01, 11.93, 11.94, 11.88, 11.82, 12.98, 13.04, 13.04, 13.11, 13.99,
13.97, 13.99, 13.97, 15.08, 14.93, 14.86, 15.89, 16.15, 17.08, 17.18,
16.96, 17.95, 18.14, 18.09, 18.05, 19.04, 19.08, 19.07, 20.11, 20,
20, 20.14, 19.92, 22.13, 23.09, 23.9 , 23.95, 24.06, 23.95, 24.94
),
y <- c( 1.93, 10.01, 3.73, 22.09, 15.86, 10.09, 18.09, 25.91, 34.09, 16.89,
28.04, 13.95, 19.98, 23.98, 27.78, 26.19, 33.85, 33.96, 45.88, 25.96,
35.89, 60. , 80.03, 20.06, 25.92, 54.03, 31.96, 40.12, 32.03, 39.95,
50.2 , 41.91, 55.92, 75.92, 83.89, 35.94, 45.94, 67.85, 32.05, 48.11,
52.11, 55.95, 64.02, 65.9 , 53.94, 69.92, 92.1 , 92.78, 99.03, 85.09)
)
```
2. Sestrojme lineární model `md1`
```{r}
md1 <- lm(formula = y ~ x, data = dfr)
```
3. Struktura objektu `md1` je komplexní, můžeme vybírat jednotlivé proměnné k dalším účelům, například pro tvorbu grafů.
```{r}
str(md1, 1) #<1>
```
1. Vypíšeme strukturu objektu do první hierarchické úrovně
```{r}
with(data = dfr,
expr = plot(x,
y,
xlim = c(0, 30),
ylim = c(md1$coefficients[1],
max(md1$fitted.values) + 2)))
abline(md1$coefficients, col = "orangered")
abline(v = 0, lty = "dashed")
abline(h = md1$coefficients[1], lty = "dashed")
```
4. Model vyhodnotíme pomocí `summary`
```{r}
summary(md1)
```
Souhrn obsahuje původní zadání v podobě rovnice, dále identifikované koeficienty modelu, významnost závislosti indikuje přítomnost jedné nebo více `*` u vysvětlující proměnné; dále lze vyčíst podíl vysvětlené variabiltiy `Adjusted R-squared: 0.6417`.\
```{r}
par(mfrow = c(2, 2))
plot(md1, 1:4)
```
R dále poskytuje grafické nástroje k posouzení vhodnosti zvoleného modelu. Zde nás budou zajímat zejména **residua** modelu. Dle prvního grafu by mohl model se závislostí na polynomu být lepší volbou.\
Pokusme se sestavit alternativní model s kvadratickou vysvětlující proměnnou.
```{r}
md2 <- lm(y ~ poly(x, 2))
summary(md2)
```
```{r}
par(mfrow = c(2, 2))
plot(md2, 1:4)
```
```{r}
with(data = dfr,
expr = plot(x, y, xlim = c(0, 30)))
pred <- predict(md2)
ix <- sort(dfr$x, index.return=T)$ix
lines(x[ix], pred[ix], col = 'orangered')
```
Srovnejme modely vzájemně
```{r}
AIC(md1, md2)
```
::: callout-tip
## Cvičení
1. Prozkoumejte závislost odtoku na velikosti povodí\
| Povodí | velikost $x_i$ | pořadí | odtok $y_i$ | pořadí | rozdíl $d_i$ | $d_i^2$ |
|--------|----------------|--------|-------------|--------|--------------|---------|
| 1 | | | | | | |
| 2 | | | | | | |
| 3 | | | | | | |
| 4 | | | | | | |
| 5 | | | | | | |
| 6 | | | | | | |
| 7 | | | | | | |
| 8 | | | | | | |
| 9 | | | | | | |
| 10 | | | | | | |
:::