Sage对数论有广泛的支持。例如我们可以在 \ZZ/N\ZZ 上进行运算：
sage: R = IntegerModRing(97) sage: a = R(2) / R(3) sage: a 33 sage: a.rational_reconstruction() 2/3 sage: b = R(47) sage: b^20052005 50 sage: b.modulus() 97 sage: b.is_square() True
Sage包含标准的数论函数。如：
sage: gcd(515,2005) 5 sage: factor(2005) 5 * 401 sage: c = factorial(25); c 15511210043330985984000000 sage: [valuation(c,p) for p in prime_range(2,23)] [22, 10, 6, 3, 2, 1, 1, 1] sage: next_prime(2005) 2011 sage: previous_prime(2005) 2003 sage: divisors(28); sum(divisors(28)); 2*28 [1, 2, 4, 7, 14, 28] 56 56
完美！
Sage的 sigma(n,k) 函数求 n 的所有因子的 k
次幂的和：
sage: sigma(28,0); sigma(28,1); sigma(28,2) 6 56 1050
下面展示的是推广的Euclidean算法，Euler的 \phi 函数和中国剩余定理：
sage: d,u,v = xgcd(12,15) sage: d == u*12 + v*15 True sage: n = 2005 sage: inverse_mod(3,n) 1337 sage: 3 * 1337 4011 sage: prime_divisors(n) [5, 401] sage: phi = n*prod([1 - 1/p for p in prime_divisors(n)]); phi 1600 sage: euler_phi(n) 1600 sage: prime_to_m_part(n, 5) 401
下面验证关于 3n+1 问题的一些内容。
sage: n = 2005 sage: for i in range(1000): ... n = 3*odd_part(n) + 1 ... if odd_part(n)==1: ... print i ... break 38
最后我们展示中国剩余定理。
sage: x = crt(2, 1, 3, 5); x -4 sage: x % 3 # x mod 3 = 2 2 sage: x % 5 # x mod 5 = 1 1 sage: [binomial(13,m) for m in range(14)] [1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1] sage: [binomial(13,m)%2 for m in range(14)] [1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1] sage: [kronecker(m,13) for m in range(1,13)] [1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1] sage: n = 10000; sum([moebius(m) for m in range(1,n)]) -23 sage: list(partitions(4)) [(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 2), (1, 3), (4,)]
Sage支持 p-adic 数域。注意，一旦建立了一个 p-adic 数域，就不能再修改它的精度了。
sage: K = Qp(11); K 11-adic Field with capped relative precision 20 sage: a = K(211/17); a 4 + 4*11 + 11^2 + 7*11^3 + 9*11^5 + 5*11^6 + 4*11^7 + 8*11^8 + 7*11^9 + 9*11^10 + 3*11^11 + 10*11^12 + 11^13 + 5*11^14 + 6*11^15 + 2*11^16 + 3*11^17 + 11^18 + 7*11^19 + O(11^20) sage: b = K(3211/11^2); b 10*11^-2 + 5*11^-1 + 4 + 2*11 + O(11^18)
在 p-adic 域或数域上的整数环的实现工作已经完成了很多。
感兴趣的读者可以到Sage支持论坛(sage-support
Google group)上向专家们询问相关细节。
许多相关方法已经在NumberField类中实现了。
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ) sage: K = NumberField(x^3 + x^2 - 2*x + 8, 'a') sage: K.integral_basis() [1, 1/2*a^2 + 1/2*a, a^2]
sage: K.galois_group(type="pari") Galois group PARI group [6, -1, 2, "S3"] of degree 3 of the Number Field in a with defining polynomial x^3 + x^2 - 2*x + 8
sage: K.polynomial_quotient_ring() Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Rational Field with modulus x^3 + x^2 - 2*x + 8 sage: K.units() [3*a^2 + 13*a + 13] sage: K.discriminant() -503 sage: K.class_group() Class group of order 1 with structure of Number Field in a with defining polynomial x^3 + x^2 - 2*x + 8 sage: K.class_number() 1