当定义矩阵、向量或者多项式时，有时候需要， 有时候是必须要指定其所在的“环”。 环 是一个数学结构， 在其上定义的加法和乘法有很好的性质。如果你从来没有听说过这些概念， 至少要了解以下这四个常用的环：
- 整数环 {..., -1, 0, 1, 2, ...}, Sage中叫
ZZ; - 有理数环 -- 即，整数构成的分数，Sage中叫
QQ; - 实数环，Sage中叫
RR; - 复数环，Sage中叫
CC.
你需要了解它们之间的区别，因为对于同一个多项式， 处理方式完全取决于它定义在哪个环上。比如说，多项式 x^2-2 有两个根, pm sqrt{2}. 这些根不是有理数， 所以如果你是讨论有理系数多项式，那么该多项式不能进行因式分解， 如果是实系数，就可以。所以你可能要指定环以保证得到的结果是你所期望的。 下面两个命令定义有理系数多项式和实系数多项式集合。 集合的名字分别是“ratpoly”和“realpoly”， 这两个名字并不重要， 但是要注意变量的名字“.<t>”和“.<z>”的使用。
sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ) sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)
现在我们展示 x^2-2 的因式分解。
sage: factor(t^2-2) t^2 - 2 sage: factor(z^2-2) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)
对于矩阵存在同样的问题：矩阵的行消去形式取决于其所定义的环， 还有它的特征值和特征向量的计算。更多关于多项式构造的内容请参见: :ref:`section-poly`, 更多关于矩阵的内容请参见 :ref:`section-linalg`.
符号 I 代表 -1 的平方根; i 等同于 I.
当然这不是一个有理数
sage: i # square root of -1 I sage: i in QQ False
注意：如果 i 已经被赋了其他的值，比如循环变量，
那么上面的代码不会给出预期的结果。出现这种情况，请输入
sage: reset('i')
来得到 i 的原始复数值。
定义复数的时候还有一个细节：如上所述 i 代表 -1 的平方根，
但是它是 -1 的 形式上的 或 符号的 平方根。
调用 CC(i) 或 CC.0 返回 -1 的 复的 平方根。
sage: i = CC(i) # floating point complex number sage: i == CC.0 True sage: a, b = 4/3, 2/3 sage: z = a + b*i sage: z 1.33333333333333 + 0.666666666666667*I sage: z.imag() # imaginary part 0.666666666666667 sage: z.real() == a # automatic coercion before comparison True sage: a + b 2 sage: 2*b == a True sage: parent(2/3) Rational Field sage: parent(4/2) Rational Field sage: 2/3 + 0.1 # automatic coercion before addition 0.766666666666667 sage: 0.1 + 2/3 # coercion rules are symmetric in SAGE 0.766666666666667
下面是关于Sage中基本环的几个例子。上面已经提到有理数环可以用 QQ,
也可以用 RationalField()
(域 是环的一种，乘法是可交换的，且所有非零元素均有乘法逆元。
所有有理数可以构成一个域，但是整数不行）
sage: RationalField() Rational Field sage: QQ Rational Field sage: 1/2 in QQ True
十进制数 1.2 属于 QQ:
正好是有理数的十进制数可以被强制转换为有理数。
pi 和 sqrt{2} 都不是有理数:
sage: 1.2 in QQ True sage: pi in QQ False sage: pi in RR True sage: sqrt(2) in QQ False sage: sqrt(2) in CC True
为用于高等数学，Sage还知道其他的环，比如有限域, p-adic整数， 代数数环，多项式环和矩阵环。下面是其中一些环的构造:
sage: GF(3) Finite Field of size 3 sage: GF(27, 'a') # need to name the generator if not a prime field Finite Field in a of size 3^3 sage: Zp(5) 5-adic Ring with capped relative precision 20 sage: sqrt(3) in QQbar # algebraic closure of QQ True