presentation.Rmd

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title: "Prüfungstutorium QM2"
author: "Tobi, Lukas"
date: "Rendered at `r format(Sys.time(), '%F %H:%M')`"
output:
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---

```{r global_options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.path = "plots/", fig.align = "center", 
                      fig.retina = 2, echo = F, warning = F, message = F)
load(url("http://qm.jemu.name/data/ngo"))

# Package init script
# suppressWarnings(source("http://stats.jemu.name/qm/tools/package-init.R"))
library(sjPlot)
library(dplyr)
library(knitr)
library(ggplot2)
library(tadaatoolbox)
library(mosaic)
library(magrittr)
library(car)
library(broom)
library(tidyr)
library(pwr)
library(nortest)
library(haven)


# 3 digits are enough
options(digits = 3)
```

# Intro

![](img/pumped_Tld8USHlpopYA.gif)

## Diese Präsentation… {.flexbox .vcenter}


[Als Slideshow (das hier)](http://public.tadaa-data.de/QM/pruefungstutorien/qm2_sose_16/Presentation.html)

[Als Website (durchsuchbar)](http://public.tadaa-data.de/QM/pruefungstutorien/qm2_sose_16/Presentation_web.html)

$\rightarrow$ public.tadaa-data.de/QM $\leftarrow$


# Aufgabenblock 1 | Berechnungen per Software  


![](img/typing_5yLgoc7NuyKE9aHTEGY.gif)

## Aufgabe 1: 𝜒²-Test

Prüfen Sie die Hypothese, ob zwischen den Merkmalen **Geschlecht** und **Abschalten**
innerhalb der Grundgesamtheit aller **NGO-SchülerInnen** eine statistische Beziehung existiert. Lassen Sie sich bei der Ausgabe eine Kontigenztabelle mitanzeigen.
Berechnen Sie den Testwert per Hand.

```{r a01_table}
t1 <- sjt.xtab(var.row = ngo$abschalt, var.col = ngo$geschl,
               show.col.prc = TRUE, show.exp = TRUE, show.legend = TRUE, show.summary = FALSE,
               use.viewer = F, no.output = T)
```

<div align="center">
`r t1$knitr`

$\chi^2 = \frac{(60-69)^2}{69} + \frac{(78-69)^2}{69} + \frac{(63-54)^2}{54} + \frac{(45-54)^2}{54} \approx 5.348$
</div>

## Aufgabe 2: z-Test

Es wird davon ausgegangen, dass das Merkmal **Unterrichtsstunden** in der Grundgesamtheit der **250 NGO-SchülerInnen** $N(\mu,1.5)$-verteilt ist. Es ist eine Prüfung der Nullhypothese $\mu=33$ durchzuführen!

a) Dazu ist eine Zufallsstichprobe vom **Umfang 40** zu ziehen und bezüglich der Alternativhypothese $H_1(\mu<33)$ ein Signifikanz-Test mit einem Testniveau von $\alpha = 0.05$ durchzuführen! Erklären Sie, wie sich der Testwert ermitteln lässt.

b) Zu welchem Ergebnis würde der Inferenzschluss führen, wenn anstelle des einseitigen Tests ein zweiseitiger Test zur Prüfung der Hypothese $\mu=33$ zu erfolgen hätte?

- How to z-test:
- $$ \frac {\bar{x} - \mu} {\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$


## Aufgabe 2a: testing the z

$$ \frac {\bar{x} - \mu} {\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$

also:
```{r a02_sample_mean, echo = T}
ngo40 <- sample_n(ngo, 40)
mean(ngo40$stunzahl)
```

- $$ \frac {`r mean(ngo40$stunzahl)` - 33} {\frac {1.5}{\sqrt{40}}} = `r (mean(ngo40$stunzahl) - 33) / (1.5 / sqrt(40))`$$


## Aufgabe 2a: Inferenzschluss in bunt

$$ \frac {`r mean(ngo40$stunzahl)` - 33} {\frac {1.5}{\sqrt{40}}} = `r (mean(ngo40$stunzahl) - 33) / (1.5 / sqrt(40))`$$

bei $\alpha = 5\%$, einseitig:

```{r a02a_bunt}
ztest <- (mean(ngo40$stunzahl) - 33) / (1.5 / sqrt(40))

ggplot(data = NULL, aes(x = -3.3:3.3)) +
  stat_function(fun = dnorm, geom = "density", color = "black") +
  geom_vline(aes(xintercept = qnorm(.05)), color = "red") +
  geom_vline(aes(xintercept = ztest), color = "blue") +
  annotate("text", x = qnorm(.05), y = 0.35, color = "dark red", size = 5,
           label = paste("z[krit]", "==", round(qnorm(.05), 2)), parse = T) +
  annotate("text", x = ztest - 0.5, y = 0.25, color = "dark blue", size = 7,
           label = paste("z[test]", "==", round(ztest, 2)), parse = T) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme_readthedown(base_family = "Palatino")
```


## Aufgabe 2b: Inferenzschluss in bunt

$$ \frac {`r mean(ngo40$stunzahl)` - 33} {\frac {1.5}{\sqrt{40}}} = `r (mean(ngo40$stunzahl) - 33) / (1.5 / sqrt(40))`$$

bei $\alpha = 5\%$, zweiseitig:

```{r a02b_bunt}
ggplot(data = NULL, aes(x = -3.3:3.3)) +
  stat_function(fun = dnorm, geom = "density", color = "black") +
  geom_vline(aes(xintercept = qnorm(.025)), color = "red") +
  geom_vline(aes(xintercept = qnorm(.975)), color = "red") +
  geom_vline(aes(xintercept = ztest), color = "blue") +
  annotate("text", x = qnorm(.025) + 0.7, y = 0.35, color = "dark red", size = 5,
           label = paste("z[krit]", "==", round(qnorm(.025), 2)), parse = T) +
  annotate("text", x = qnorm(.975) - 0.6, y = 0.35, color = "dark red", size = 5,
           label = paste("z[krit]", "==", round(qnorm(.975), 2)), parse = T) +
  annotate("text", x = ztest - 0.5, y = 0.2, color = "dark blue", size = 7,
           label = paste("z[test]", "==", round(ztest, 2)), parse = T) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme_readthedown(base_family = "Palatino")
```


## Aufgabe 3: A priori: t-Test (einseitig)

Durch einen **einseitigen t-Test** soll eine innerhalb einer Nullhypothese postulierte Mitte auf der Basis der Risiken $\alpha=0.05$ und $\beta=0.15$ – bei der Wahl einer Effektgröße von **-0.6** – teststatistisch abgesichert werden! Wie groß ist der **optimale Stichprobenumfang** und welche Bedeutung besitzt er? Wie verändert sich der optimale Stichprobenumfang, wenn Sie $\beta$ erhöhen oder wenn die Effektgröße verringert wird? Warum ist das so?

```{r a03_intro}
ggplot(data = NULL, aes(x = -4:7)) + 
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0)) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 3)) +
  geom_area(aes(x = seq(1.64, 7, .01), y = dnorm(seq(1.64, 7, .01), 3)), fill = "red", alpha = .4) +
  geom_area(aes(x = seq(1.64, 7, .01), y = dnorm(seq(1.64, 7, .01))), fill = "blue", alpha = .4) +
  geom_area(aes(x = seq(-4, 1.64, .01), y = dnorm(seq(-4, 1.64, .01))), fill = "green", alpha = .4) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(-5, 10, 1)) + 
  annotate("text", x = 0, y = .2, label = "H[0]", parse = TRUE, size = 6, family = "Palatino") +
  annotate("text", x = 3, y = .2, label = "H[1]", parse = TRUE, size = 6, family = "Palatino") +
  annotate("text", x = 0, y = .1, label = "1-alpha", parse = TRUE, size = 4, family = "Palatino") +
  annotate("text", x = 3, y = .1, label = "1-beta", parse = TRUE, size = 6, family = "Palatino") +
  annotate("text", x = 2, y = .025, label = "alpha", parse = TRUE, size = 4, family = "Palatino") +
  labs(x = "x", y = expression(P(x)), title = expression("N(0,1) & N(3,1)")) + 
  theme_readthedown(base_family = "Palatino") + 
  theme(panel.grid.major = element_line(size = 0.1), 
        panel.grid.minor = element_line(linetype = "blank"))
```


## Aufgabe 3: A priori (Code)

```{r a03_solution, echo = T}
pwr.t.test(d = -0.6, sig.level = 0.05, power = 1 - 0.15, type = "one.sample")

pwr.t.test(d = -0.6, sig.level = 0.05, power = 1 - 0.25, type = "one.sample")$n
pwr.t.test(d = -0.3, sig.level = 0.05, power = 1 - 0.15, type = "one.sample")$n
```


## Aufgabe 4: Konfidenzintervalle

Für die aus einer Zufallsauswahl vom Umfang **36** resultierenden Werte eines **normalverteilten Merkmals** erhält man den Mittelwert **33** und den Standardfehler **1.2**. Gib für $\mu$ das zugehörige **95%-Konfidenzintervall** an und erklären Sie die Bedeutung dieses Konfidenzintervalls! Diskutieren Sie die Vor- und Nachteile, die sich beim Einsatz eines Signifikanz-Tests bzw. eines Konfidenzintervalls ergeben!

- $w_{krit} \approx  `r qnorm(0.975)`$
- $CI_{lower} = 33 - 1.2 \cdot `r round(qnorm(0.975), 3)` \approx `r 33 - 1.2 * qnorm(0.975)`$
- $CI_{upper} = 33 + 1.2 \cdot `r round(qnorm(0.975), 3)` \approx `r 33 + 1.2 * qnorm(0.975)`$

```{r a04_plot, fig.height= 3, fig.width=7}
ki <- c(33 - 1.2 * qnorm(0.975), 33 + 1.2 * qnorm(0.975))
df <- data_frame(x = seq(29, 37, .01), y = dnorm(x, mean = 33, sd = 1.2))

ggplot(data = df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line() +
  geom_vline(xintercept = ki[[1]], linetype = "dotdash") +
  geom_vline(xintercept = ki[[2]], linetype = "dotdash") +
  geom_area(data = filter(df, x < ki[2], x > ki[1]), aes(x, y), fill = "green", alpha = .5) +
  geom_area(data = filter(df, x > ki[2]), aes(x, y), fill = "red", alpha = .5) +
  geom_area(data = filter(df, x < ki[1]), aes(x, y), fill = "red", alpha = .5) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 100, 1), minor_breaks = seq(0, 100, .5)) +
  annotate("label", x = ki[1]-0.4, y = 0.02, label = "frac(alpha,2)", parse = T) +
  annotate("label", x = ki[2]+0.4, y = 0.02, label = "frac(alpha,2)", parse = T) +
  annotate("label", x = 33, y = 0.1, label = "1 - alpha == 0.95", parse = T) +
  labs(title = expression(N(33, 1.2)), x = "x", y = expression(P(x))) +
  theme_readthedown()

```


## Aufgabe 5: t-Test / U-Test (?) {.build}

```{r a05_datainit}
student <- labels_to_factor(read_spss("http://qm.jemu.name/data/Student_Daten.sav"))
```

Berechnen Sie einen geeigneten Test für die Fragestellung, ob die Verteilungen des Alkoholkkonsums bei ernährungsbewussten StudentInnen (Vegetarier) und der fleischkonsumierenden StudentInnen gleich sind. Prüfen Sie einseitig die Annahme, dass die Tatsache Vegetarier zu sein, sich positiv auf einen geringeren Alkoholkonsum auswirkt. Wie kommt der resultierende Testwert zustande?

> $H_0:$ die Ernährungsart hat keinen Einfluss auf den Alkoholkonsum  
  $H_1:$ Vegetarier*innen konsumieren weniger Alkohol als Omnivore
  
Vorraussetzungen:

Test          | Sig.-Niveau 
--------------|-------------
Shapiro-Wilk  | < 0.001
Levene        | `< 0.05 

<br />
$\rightarrow$ **Mann-Whitney-U-Test!**


## Aufgabe 5: t-Test / U-Test (?)

Berechnen Sie einen geeigneten Test für die Fragestellung, ob die Verteilungen des Alkoholkkonsums bei ernährungsbewussten StudentInnen (Vegetarier) und der fleischkonsumierenden StudentInnen gleich sind. Prüfen Sie einseitig die Annahme, dass die Tatsache Vegetarier zu sein, sich positiv auf einen geringeren Alkoholkonsum auswirkt. Wie kommt der resultierende Testwert zustande?

> $H_0:$ die Ernährungsart hat keinen Einfluss auf den Alkoholkonsum  
  $H_1:$ Vegetarier*innen konsumieren weniger Alkohol als Omnivore

```{r a05_wilcox.test}
student %<>% mutate(Trinkverhalten = as.numeric(Trinkverhalten))
tadaa_wilcoxon(student, Trinkverhalten, Ernährungstyp, print = "markdown")
```


## Aufgabe 6: ANOVA + posthoc

Die Hypothese, dass es für die Schülerinnen keine **jahrgangsstufenspezifischen** Unterschiede im Hinblick auf die Anzahl von Wochentagen gibt, an denen für das Fach **Deutsch** gelernt wird, ist mit den für die **NGO-SchülerInnen** erhobenen Daten teststatistisch zu prüfen!

Falls ein signifikantes Testergebnis vorliegt, ist die **empirische Effektgröße** zu ermitteln und zu überprüfen, zwischen welchen Jahrgängen Unterschiede bestehen könnten!

- Was ist zu tun?
  - ANOVA: `aov()`
  - Effektgröße $\eta^2$: `lsr::etaSquared()`
  - Untergruppen-Test (Bonferroni, Scheffé): `asbio::pairw.anova()`


## Aufgabe 6: ANOVA + posthoc (Code)

```{r a06_1, echo = T}
probe6 <- ngo %>% filter(geschl == "Weiblich")
anova6 <- aov(deutsch ~ jahrgang, data = probe6)
anova6 %>% tidy() %>% kable(digits = 8)
lsr::etaSquared(anova6, type = 3)
```


## Aufgabe 6: ANOVA + posthoc (Code)

```{r a06_2, echo = T}
asbio::pairw.anova(probe6$deutsch, probe6$jahrgang, method = "scheffe")$summary %>% kable(digits = 8)
```


## Aufgabe 7: ANOVA {.incremental}

In 3 Kursen (A, B, C) der 11. Jahrgangsstufe werden Schüler und Schülerinnen nach unterschiedlichen Methoden unterrichtet. Aus jedem der 3 Kurse werden jeweils 9 SchülerInnen durch eine Zufallsauswahl bestimmt. Bei einem abschließenden Leistungstest werden die folgenden Ergebnisse erzielt:

SchülerInnen des Kurses A: `10, 19, 21, 24, 22, 16, 11, 21, 19`  
SchülerInnen des Kurses B: `16, 19, 18, 16, 11, 19, 19, 16, 21`  
SchülerInnen des Kurses C: `22, 17, 12, 20, 16, 21, 22, 11, 21`

Wenden Sie einen geeigneten Test an.

```{r a07_df}
kurse <- data.frame(A = c(10, 19, 21, 24, 22, 16, 11, 21, 19),
                    B = c(16, 19, 18, 16, 11, 19, 19, 16, 21),
                    C = c(22, 17, 12, 20, 16, 21, 22, 11, 21)) %>% 
  gather(Kurs, Ergebnis, A, B, C)
```

<div class="columns-2">
![](img/jehova_l41lGAcThnMc29u2Q.gif)  
  
<font size = "18">
$$ \rightarrow \text{ANOVA!} $$
</font></div>


## Aufgabe 7: ANOVA

```{r a07_anova}
tadaa_aov(Ergebnis ~ Kurs, data = kurse, print = "markdown")
```


## Aufgabe 8: Optimales N & t-Test (abhängig)

Auf dem Testniveau $\alpha=0.05$ ist zu prüfen, ob bei den Schülerinnen Mittelwertunterschiede bei den Merkmalen **Mathe** und **Deutsch** festzustellen sind! Dazu ist zu unterstellen, dass beide Merkmale innerhalb der Grundgesamtheit der **125 NGO-Schülerinnen** normalverteilt sind! Es ist ein **zweiseitiger** Test durchzuführen und der **Stichprobenumfang** so zu wählen, dass ein **mittlerer Effekt** mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens **0.85** aufgedeckt werden kann. Wie viele Stichprobenelemente wären für die Durchführung eines **einseitigen Tests** angemessen gewesen?


## Aufgabe 8: Optimales N & t-Test (abhängig)

Auf dem Testniveau $\alpha=0.05$ ist zu prüfen, ob bei den Schülerinnen Mittelwertunterschiede bei den Merkmalen **Mathe** und **Deutsch** festzustellen sind! Dazu ist zu unterstellen, dass beide Merkmale innerhalb der Grundgesamtheit der **125 NGO-Schülerinnen** normalverteilt sind! Es ist ein **zweiseitiger** Test durchzuführen und der **Stichprobenumfang** so zu wählen, dass ein **mittlerer Effekt** mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens **0.85** aufgedeckt werden kann. Wie viele Stichprobenelemente wären für die Durchführung eines **einseitigen Tests** angemessen gewesen?

```{r a08_pwr_paired_twosided, echo = T}
pwr.t.test(d = 0.5, sig.level = 0.05, power = 0.85, 
           type = "paired", alternative = "two.sided")
```


## Aufgabe 8: Optimales N & t-Test (abhängig)

Wie viele Stichprobenelemente wären für die Durchführung eines **einseitigen Tests** angemessen gewesen?

```{r a08_pwr_paired_onesided, echo = T}
pwr.t.test(d = 0.5, sig.level = 0.05, power = 0.85, 
           type = "paired", alternative = "greater")
```


## Aufgabe 9: Optimales N & t-Test (unabhängig)

Auf dem Testniveau von $\alpha=0.01$ ist zu prüfen, ob **geschlechtsspezifische** Mittelwertunterschiede beim Merkmal **Deutsch** festzustellen sind! Dazu ist zu unterstellen, dass das Merkmal **Deutsch** innerhalb der beiden Grundgesamtheiten der jeweiligen **125 NGO-Schüler und Schülerinnen** normalverteilt ist! Zur Prüfung der **zweiseitigen** Fragestellung ist der **Umfang** der beiden Zufallsstichproben so zu wählen, dass ein durch die **Effektgröße 0.9** beschriebener Effekt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens **0.85** aufgedeckt werden kann! Wie berechnet sich der Testwert?

```{r a09_pwr_unpaired, echo = T}
pwr.t.test(d = 0.9, sig.level = 0.01, power = 0.85, 
           type = "two.sample", alternative = "two.sided")
```


## Aufgabe 10: ANOVA

a) Es ist zu prüfen, ob die These **Das Geschlecht und die Jahrgangsstufe üben einen Interaktionseffekt auf *Deutsch* aus, und das Geschlecht wirkt *nicht* als Haupteffekt.** akzeptabel ist!

b) Welche Voraussetzungen sind zu erfüllen, damit eine 2-faktorielle Varianzanalyse durchgeführt werden kann?

c) Welche Feststellungen lassen sich – auf der Basis eines Testniveaus von $\alpha=0.05$ - über potentiell wirksame Effekte treffen?

d) Wie viele SchülerInnen wären für jede der 6 Zellen des Versuchsplans erforderlich gewesen, um – auf der Basis des Testniveaus $\alpha=0.05$ - einen tatsächlich vorliegenden, nach Cohen als **stark** taxierten Interaktionseffekt mit einer Mindest-Teststärke von **0.8** „aufdecken“ zu können?


## Aufgabe 10: ANOVA + Voraussetzungen (a-c)

```{r a10_anova, echo = FALSE}
aov(deutsch ~ geschl * jahrgang, data = ngo) %>% 
  tidy() %>% 
  kable()
```

<br />
Vorraussetzungen:

Vorraussetzung      | Test          | p-Wert
--------------------|---------------|----------
Normalverteilung    | Shapiro-Wilk  | `r shapiro.test(ngo$deutsch)$p.value`  
Varianzhomogenität  | Levene        | `r leveneTest(deutsch ~ geschl * jahrgang, data = ngo)$Pr[1]`

## Aufgabe 10: ANOVA: A priori (d)

Effektgröße für die Software ist: $f = \sqrt{\frac{\eta^2}{1 - \eta^2}}$  
Gilt für G*Power sowie die R-funktionen aus dem `pwr` package!

```{r a10_anova_apriori, echo = TRUE}
pwr.anova.test(k = 6, f = sqrt(0.14 / (1 - 0.14)), sig.level = 0.05, power = 0.8)
```


## Aufgabe 11: Kruskal-Wallis & Wilcoxon-Test (1)

Wählen Sie selbst für Sie interessante Variablen einmal für eine Varianzanalyse, einmal für den Kruskal-Wallis-Test & einmal für den Wilcoxon-Test aus dem Psychologie-Datensatz aus und interpretieren Sie die Daten.

**Anzahl sexueller Partner\*innen und Parteipräferenz**

Anova:

```{r a11_psystat_aov}
psych <- labels_to_factor(read_spss("http://qm.jemu.name/data/qm_2_survey_final.sav"))

tadaa_aov(sex_partner ~ partei, psych, print = "markdown")
```
Kruskal-Wallis:
```{r a11_kw}
tadaa_kruskal(sex_partner ~ partei, psych, print = "markdown")
```


## Aufgabe 11: Kruskal-Wallis & Wilcoxon-Test (2)

***"Wie viele Stunden Schlaf brauchst du im Schnitt, um dich ausgeschlafen zu fühlen?"***  
und  
***"Hattest du schon mal einen One Night Stand?*"**

Wilcoxon:
```{r a11_wilcoxon}
tadaa_wilcoxon(psych, schlaf, sex_one_night_stand, print = "markdown")
```



# Aufgabenblock 2 | Berechnungen per Hand ಠ_ಠ 

![](img/despair_oEsUZ3jmzHGFi.gif)

## Aufgabe 13: ANOVA (1)

Berechnen Sie auf Basis folgender Daten die **Binnenvarianz**, die **Treatmentvarianz**, den **F-Wert** und den **kritischen Wert**:

<img src='http://dump.jemu.name/VkCCo.png' width = 90%>

Zu welchem Inferenzschluss gelangen Sie?

```{r a13, echo=T}
a13 <- data.frame(hormon_1 = c(9, 12, 8), hormon_2 = c(4, 2, 5), kontrolle = c(3, 6, 3))
a13 %<>% gather(Gruppe, Wert) 
a13 %>% group_by(Gruppe) %>% 
  summarize(mean      = mean(Wert), 
            variation = var(Wert) * (length(Wert) - 1)) %>%
  select(variation) %>% sum %>% divide_by(6) # 6 = n - k = 9 - 3
```

## Aufgabe 13: ANOVA (2)

<img src='http://dump.jemu.name/VkCCo.png' width = 90%>

<div class="columns-2">

Binnenvarianz $MS_{within}$:  

$$\sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^n \frac{(x_{i, j} - \bar{x_j})^2}{n - k}$$

Treatmentvarianz $MS_{between}$:  

$$\sum_{j=1}^k n_j \frac{(x_{j} - \bar{x})^2}{k -1}$$

F-Wert:  
$$F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$$

$F_{krit}$:  

$$\text{df}_F = (k-1, n-k)$$  
</div>

## Aufgabe 13: ANOVA (3)

```{r a13_2, echo=T}
a13 %>% group_by(Gruppe) %>% 
  summarize(mean = mean(Wert)) %>% 
  mutate(meandiffsquared = 3 * (mean(a13$Wert) - mean)^2) %>% 
  select(meandiffsquared) %>% sum %>% divide_by(2) # 2 = k - 1
```

- $$MS_{between} = \frac{SS_{between}}{k-1} = 34.11$$
- $$MS_{within} = \frac{SS_{within}}{n - k} = 3.22$$
- $$F_{(k-1, n-k)} = \frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \frac{34.11}{3.22} \approx 10.586$$
- $$F {(2, 6)}_{krit} = 5.143$$

## Aufgabe 14

Sie haben folgende Testwerte von 6 frühgeborenen Kindern bezüglich ihrer motorischen Fähigkeiten vorliegen: `7, 8, 11, 9, 8, 10`. Welches Intervall enthält mit einer **Mutmaßlichkeit von 99%** den wahren Mittelwert der motorischen Fähigkeiten? Erklären Sie: Wie ist es möglich anhand des Konfidenzintervalls eine Aussage über die Mutmaßlichkeeit einer Mitte zu treffen?

- $$CI_{\text{lower}} = \bar{x} - S_{\bar{x}} \cdot z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \quad CI_{\text{upper}} = \bar{x} + S_{\bar{x}} \cdot z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$$
- $$\bar{x} \approx 8.83 \quad S_{\bar{x}} \approx 0.6 \quad z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \approx 2.576$$

```{r a14_plot, fig.height= 3, fig.width=7}
values <- c(7, 8, 11, 9, 8, 10)
alpha <- 0.01/2
m <- mean(values)
sem <- sd(values)/sqrt(length(values))
ki <- c(m - sem * qnorm(1-alpha), m + sem * qnorm(1-alpha))
df <- data_frame(x = seq(m-3, m+3, .01), y = dnorm(x, mean = m, sd = sem))

ggplot(data = df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line() +
  geom_vline(xintercept = ki[[1]], linetype = "dotdash") +
  geom_vline(xintercept = ki[[2]], linetype = "dotdash") +
  geom_area(data = filter(df, x < ki[2], x > ki[1]), aes(x, y), fill = "green", alpha = .5) +
  geom_area(data = filter(df, x > ki[2]), aes(x, y), fill = "red", alpha = .5) +
  geom_area(data = filter(df, x < ki[1]), aes(x, y), fill = "red", alpha = .5) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 100, 1), minor_breaks = seq(0, 100, .5)) +
  annotate("label", x = ki[1]-0.4, y = 0.02, label = "frac(alpha,2)", parse = T) +
  annotate("label", x = ki[2]+0.4, y = 0.02, label = "frac(alpha,2)", parse = T) +
  annotate("label", x = m, y = 0.1, label = "1 - alpha == 0.99", parse = T) +
  labs(title = expression(N(8.83, 0.6)), x = "x", y = expression(P(x))) +
  theme_readthedown()

```

## Aufgabe 15

Nutzen Sie die Standardnormalverteilungstabelle in Studip. Wiederholen Sie die Kenntnisse aus der Deskriptiven Statistik, indem Sie die Wahrscheinlichkeiten von Werten in folgenden Bereichen berechnen:

Wie wahrscheinlich ist es, dass Werte im Bereich

- 2 bis 2.5
- 0.75 bis 1.3 
- $-\infty$ bis -0.2 liegen?

### Lösungen:

- $P(2, 2.5) = `r round(pnorm(2.5) - pnorm(2), 4)`$
- $P(0.75, 1.3) = `r round(pnorm(1.3) - pnorm(0.75), 4)`$
- $P(-\infty, -0.2) = `r round(pnorm(-0.2), 4)`$

## Aufgabe 16 

10 Frauen in der Alterskategorie 40+ wurden in einer Studie über ihre sportlichen Aktivitäten befragt. Jede dieser Frauen war in den letzten Monaten als Mitglied im Fitnessstudio registriert. Berechnen Sie auf Basis der nachfolgenden Daten den Standardfehler und die Standardabweichung. Vergleichen Sie die Werte.

<img src='http://dump.jemu.name/wlc4l.png' width=50%>

## Aufgabe 16: Rechnung

- $x = \{1,7,1,2,1,3,2,1,1,1\}$
- $n = 10$
- $\bar{x} = `r mean(c(1,7,1,2,1,3,2,1,1,1))`$
- $S_x = \sqrt{\frac{1}{10 - 1} (2-1)^2 + (2-7)^2 + \ldots + (2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{\frac{32}{9}} \approx 1.886$
- $S_{\bar{x}} = \frac{S_x}{\sqrt{n}} = \frac{1.886}{\sqrt{10}} \approx 0.5963$

- $$S_{\bar{x}} \leq S_x$$