04_probabilidad.Rmd

# Introducción a probabilidad 

>"Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre."
> -Wasserman

En estas notas hacemos un repaso de conceptos de probabilidad con un enfoque
computacional:

1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de 
probabilidad.  
2. Interpretación frecuentista de probabilidad.
5. Variables aleatorias: a qué se refieren.

Las referencias para esta sección son @pitman-prob, @ross y @wasserman.

<!-- Hadley:
"Probabilidad es la maquinaria matemática necesaria para responder preguntas de
eventos inciertos"
Kruschke:
"Probabilidad es simplemente una manera de asignar números a un conjunto de 
posibilidades mutuamente excluyentes."

La teoría de probabilidades tiene como problema
general describir mediante un modelo matemático cada tipo de fenómeno aleatorio,
mientras que la inferencia estadística tiene planteado el problema inverso, es decir, a
partir del conocimiento de una parte del fenómeno pretende establecer sus propiedades,
para lo cual forzosamente debe utilizar algún modelo probabilístico que describa
el fenómeno. Es esta dependencia de la estadística con la teoría de probabilidad lo que justifica profundizar el estudio de esta ultima.

-->

```{r, echo = FALSE, message=FALSE, error=TRUE}
knitr::opts_chunk$set(
    comment = "#>",
    collapse = TRUE
)
comma <- function(x) format(x, digits = 2, big.mark = ",")
options(digits=3)

library(tidyverse)
library(magrittr)
theme_set(theme_minimal())
```


## Probabilidad como extensión a proporción

#### Espacio de resultados y eventos {-}

<div class="caja">
El **espacio de resultados** $\Omega$ es el conjunto de posibles resultados de un
experimento aleatorio. A los puntos $\omega \in \Omega$ se les conoce como 
resultados muestrales, realizaciones o elementos.
</div>


Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces el espacio de resultados es:

$$\Omega = \{AA, AS, SA, SS \}$$

<div class="caja">
Un **evento** es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se 
denotan por letras mayúsculas.
</div>

El evento: que la primer lanzamiento resulte águila es

$$A=\{AA, AS\}$$


#### Eventos equiprobables {-}

Históricamente la primera aproximación a la probabilidad ocurrió con apuestas y 
juegos de azar, y se veía como una extensión de la idea de proporción, o 
cociente de una parte con respecto a un todo. 

Por ejemplo, si en la carrera de matemáticas del ITAM hay 300 estudiantes 
hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

$$\frac{300}{700+300}=0.3$$
Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir
una mujer es $0.7$.

En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoriamente),
en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma 
probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto: 

<div class="caja">
**Eventos equiprobables**. Si todos los elementos en el espacio de resultados 
tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A 
es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles 
resultados:
</div>

$$P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}$$

Por lo que solo hace falta contar.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener $AA$ si lanzamos una moneda dos veces
es $1/4 = 0.25$, y la probabilidad del evento que la primer lanzamiento resulte 
águila es $2/4 = 0.5$.

![](imagenes/manicule2.jpg) Lanzamos un dado y anotamos el número de la cara
superior, después lanzamos otro dado y anotamos el número de la cara superior.

* ¿Cuál es el espacio de resultados?

* ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea 5?  

* ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero?  

* Repite las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados con $n$ caras ($n \ge 
4$).

#### Ejemplo: combinaciones {-}

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. 
Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este
conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay $\dbinom{15}{5}$ posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de 
ser seleccionado. Por otra parte, hay $\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}$ posibles 
comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por
lo tanto, la probabilidad que buscamos es: 
$$\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} $$

y la función para calcular combinaciones en R es _choose(n, r)_

```{r}
choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
```

Los solución a problemas derivados de juegos de azar se complica rápidamente
y suele ser necesario conocer técnicas de conteo para resolverlos. Ahora, a
pesar de que históricamente el desarrollo de estás técnicas surge de los juegos
de azar, la realidad es que los jugadores en realidad estaban pensando en 
frecuencias relativas: ¿Si apuesto en un juego de dados de manera repetida, 
terminaré con ganancias o pérdidas? ¿Qué estrategia debo seguir para mejorar
mis posibilidades de ganar? Es así que la interpretación frecuentista de la 
probabilidad estaba considerada desde un inicio.

## Interpretación frecuentista de probabilidad

Ya tenemos una interpretación intuitiva de probabilidad pero nos deja abierta
la pregunta de como interpretar probabilidades en aplicaciones. Abordamos ahora
la interpretación frecuentista de la probabilidad en la cuál las probabilidades 
se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la 
frecuencia total tiende a infinito.

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, 
ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones. Pensemos en un
experimento que se pueda repetir, por ejemplo, lanzar una moneda, lanzar un 
dado, el nacimiento de un bebé. Llamaremos ensayo a una repetición del 
experimento. Ahora, sea A un posible resultado del evento 
(obtener sol, obtener un 6, el bebé es niña), si A ocurre $m$ veces en
$n$ ensayos, entonces la frecuencia relativa de A en $n$ ensayos es $m/n$.


Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos los siguientes resultados:

```{r}
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10
```

Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de águila:

```{r}
cumsum(lanzamientos_10 == "A") # suma acumulada de águilas
cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10
```

Una regla general, es que las frecuencias relativas basadas en un número 
mayor de observaciones son menos fluctuantes comparado con las frecuencias
relativas basadas en pocas observaciones. Este fenómeno se conoce como la **ley 
empírica de los promedios** (y se formalizó después en las leyes de los grandes 
números):

```{r, fig.width=8.2, fig.height=3.8}
n <- 1000
data_frame(num_lanzamiento = 1:n, lanzamiento = sample(c("A", "S"), n, replace = TRUE)) %>% 
    mutate(frec_rel = cummean(lanzamiento == "A")) %>%
    ggplot(aes(x = num_lanzamiento, y = frec_rel)) +
        geom_hline(yintercept = 0.5, color = "red", alpha = 0.5) +
        geom_line(color = "darkgray") +
        geom_point(size = 1.0) +
        labs(y = "frecuencia relativa", title = "1000 volados", x = "lanzamiento")
```

Veamos las frecuencias relativas para 3 series de 1000 lanzamientos.

```{r, fig.width=8.2, fig.height=3.8}
lanzar <- function(n = 1000){
    data_frame(num_lanzamiento = 1:n, lanzamiento = sample(c("A", "S"), n, replace = TRUE)) %>% 
        mutate(frec_rel = cummean(lanzamiento == "A"))
  }
head(lanzar())

set.seed(31287931)
# usamos la función map_df del paquete purrr
map_df(1:3, ~lanzar(), .id = "serie") %>% 
    ggplot(aes(x = log(num_lanzamiento), y = frec_rel, color = as.character(serie))) +
        geom_hline(yintercept = 0.5, color = "darkgray") + 
        geom_line() +
        scale_x_continuous("lanzamiento", labels = exp, 
            breaks = log(sapply(0:10, function(i) 2 ^ i))) +
        labs(color = "serie", y = "frecuencia relativa", title = "1000 volados")
```

<div class="caja">
En la **interpretación frecuentista**, la probabilidad de un evento $A$ es la 
estimación de la frecuencia relativa de $A$ cuando el número de ensayos tiende
a infinito. Si denotemos la proporción de veces que ocurre $A$ en $n$ ensayos por 
$P_n(A)$, se espera que $P_n(A)$ sea cercana a la probabilidad $P(A)$ si $n$ 
es _grande_:
$$P_n(A) \approx P(A)$$
</div>

Veamos un ejemplo de calculo de una probabilidad como frecuencia relativa; el 
objetivo es entender cómo la interpretación frecuentista nos da el nivel de 
detalle correcto cuando suponemos resultados equiprobables.

##### Ejemplo: Lanzamiento de dos monedas {-}
Supongamos que lanzamos dos monedas de manera simultánea. ¿Cuál es la 
probabilidad de que las dos monedas sean águila?

* Las dos son águila o no, así que la posibilidad es 1/2.

* Si definimos el resultado como el número de caras que se leen en las monedas, 
puede haber 0, 1 o 2. Si suponemos que estos tres resultados son igualmente
probables, entonces la posibilidad es 1/3.

* A pesar de que las monedas son similares supongamos que se pueden distinguir, 
llamémoslas moneda 1 y moneda 2. Ahora tenemos cuatro posibles resultados:
AA, AS, SA, SS, (la primer letra corresponde a la cara observada en la 
moneda 1 y la segunda en la moneda 2). Si estos 4 resultados son igualmente 
probables entonces el evento AA tiene posibilidad de 1/4.

¿Cuál es la respuesta correcta?  

En cuanto a teoría formal todas son correctas, cada escenario tiene supuestos
de resultados equiprobables claramente enunciados y en base a éstos determina
una probabilidad de manera correcta; sin embargo, los supuestos son diferentes
y por tanto también las conclusiones. Únicamente una de las soluciones puede
ser consistente con la interpretación frecuentista, ¿cuál es?

La primer respuesta es incorrecta pues supone probabilidad cero para el evento 
águila y sol. La solución dos, por otra parte, no es fácil de desacreditar, así
que realicemos el experimento para encontrar la respuesta:

```{r}
n <- 10000
moneda_1 <- sample(c("A", "S"), n, replace = TRUE)
moneda_2 <- sample(c("A", "S"), n, replace = TRUE)
sum(moneda_1 == moneda_2 & moneda_1 =="A") / n
```

La respuesta 3 es la correcta, y lo que vemos es que incluso cuando el supuesto
de igualmente probables es apropiado a un cierto nivel de descripción 
determinado, este _nivel_ no es algo que se pueda juzgar usando únicamente
matemáticas, sino que se debe juzgar usando una interpretación de la 
probabilidad, como frecuencias relativas en ensayos. Más aún, hay ejemplos
donde las monedas no son _justas_, o el sexo de un bebé recién nacido, donde 
el supuesto de equiprobabilidad no es adecuado.

## Simulación para el cálculo de probabilidades
En el ejemplo anterior vimos que puede ser sencillo usar simulación para 
calcular probabilidades, pues usando la interpretación de frecuencia relativa 
simplemente hace falta simular el experimento y contar los casos favorables 
entre el total de casos. 

<div class="caja">
Simulación para el cálculo de probabilidades:

1. Definir el espacio de resultados.

2. Describir el mecanismo que genera los resultados, esto incluye entender 
los pasos que involucran azar y los que no.

3. Replicar el experimento con código, siguiendo el conocimiento elicitado en 1 
y 2. 

4. Repetir el paso 3 $n$ veces y calcular la frecuencia relativa de éxitos, 
estimando así la probabilidad.
</div>

Para el paso 2, en R suelen ser de utilidad las funciones `runif` y `sample()`,
revisa la ayuda de estas funciones.

#### Ejemplo: comité {-}
Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. 
Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este 
conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

1. El espacio de resultados es $\Omega = \{M_1M_2M_3M_4M_5, M_2M_3M_4M_5M_6,...
H_1,H_2H_3H_4H_5,H_2H_3H_4H_5H_6\}$. 

2. Se seleccionan 5 integrantes al azar del conjunto de hombres y mujeres, es
claro que cada persona solo puee estar una vez.

3. 

```{r}
candidatos <- c(paste("M", 1:9, sep = "_"), paste("H", 1:6, sep = "_"))
sample(candidatos, 5, replace = FALSE)
```

```{r}
comite <- function(){
    candidatos <- c(paste("M", 1:9, sep = "_"), paste("H", 1:6, sep = "_"))
    comite <- sample(candidatos, 5, replace = FALSE)
    n_mujeres <- sum(substr(comite, 1, 1) == "M")
    n_mujeres == 2
}

rerun(1000, comite()) %>% flatten_dbl() %>% mean()
```

#### Ejemplo: La ruina del jugador {-}

* Un jugador tiene $100, y va a apostar en un juego donde
la probabilidad de ganar es p = 0.47 (e.g. una ruleta 18/38), si gana recibe el 
doble de lo que arriesgó, si no gana pierde todo lo que apostó.

* Cada vez que juega puede apostar cualquier cantidad siempre y cuando aún 
cuente con dinero. 

* El jugador dejará de jugar cuando su capital sea $0 o cuando gane $200.

* El jugador busca una estrategia que le ayude a aumentar su probabilidad de 
ganar y te pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apuesto en incrementos 
de $5 cada vez que apuesto?

Siguiendo los pasos enunciados:

1. El espacio de resultados es $\Omega = \{GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG, 
PGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG, GPGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG, ...\}$.

2. El jugador juega mientras tenga capital y este sea menor a $200, el 
monto de la apuesta está fijo en $5, no importa el capital en cada momento. La
componente aleatoria involucra si gana cada uno de los juegos y esto 
ocurre con probabilidad 0.47.

```{r, cache=TRUE}
apostar <- function(dinero = 100, apuesta = 5, tope = 200){
    while(0 < dinero & dinero < tope){
        if(sample(1:38, 1) <= 18){
            dinero <- dinero + apuesta
        } 
        else{
            dinero <- dinero - apuesta
        }
    }
    dinero > 0
}
n_juegos <- 5000
juegos <- rerun(n_juegos, apostar()) %>% flatten_dbl()
mean(juegos)

# incrementos de 50?
juegos <- rerun(n_juegos, apostar(apuesta = 50)) %>% flatten_dbl()
mean(juegos)
```

La solución analítica la pueden leer en este documento de [caminatas aleatorias](http://web.mit.edu/neboat/Public/6.042/randomwalks.pdf):

```{r}
p = 0.47
1 - (1 - (p / (1 - p)) ^ (100 / 5)) / (1 - (p / (1 - p)) ^ (200 / 5)) # apostando de 5 en 5
1 - (1 - (p / (1 - p)) ^ (100 / 50)) / (1 - (p / (1 - p)) ^ (200 / 50)) # apostando de 50 en 50
```



![](imagenes/manicule2.jpg) Cumpleaños. ¿Cuántas personas debe haber en un 
salón para que la probabilidad de encontrar 2 con el mismo cumpleaños sea 0.5?
Supuestos:

* Mismo cumpleaños implica mismo día y mes.

* No hay años bisiestos.

* La probabilidad de que alguien nazca un día dado es la misma para todos los 
días del año.

```{r, eval = FALSE, include=FALSE}
cumpleanos <- function(n_personas = 100){
    cumpleanos <- sample(1:365, size = n_personas, replace = TRUE)
    n_distinct(cumpleanos) < n_personas
}
calcula_prob <- function(n_personas = 100, n_sims = 1000){
    rerun(n_sims, cumpleanos(n = n_personas)) %>% flatten_dbl() %>% mean()
}

probs_sim <- data_frame(n_personas = 2:60) %>% 
    mutate(p_sim = map_dbl(n_personas, ~calcula_prob(n_personas = .)))
dplyr::filter(probs_sim, p_sim > 0.44, p_sim < 0.56)
ggplot(probs_sim, aes(x = n_personas, y = p_sim)) +
    geom_line() +
    geom_hline(yintercept = 0.5, color = "red")
```

![](imagenes/manicule2.jpg)  Chabelo (Monty Hall) Supongamos que estamos 
jugando las catafixias de Chabelo, en este juego hay 3 catafixias: 2 de ellas 
están vacías y una tiene un premio:

1. El juego comienza cuando escoges una catafixia.
2. A continuación Chabelo abre una catafixia vacía de las dos catafixias 
restantes.
3. Tu eliges si te mantienes con tu catafixia o cambias a la otra que continúa 
cerrada. Chabelo abre tu segunda elección de catafixia y se revela si ganaste.

    ¿Cuál es la probabilidad de que ganes si cambias de catafixia?

![](imagenes/manicule2.jpg) **Urna**: 10 personas (con nombres distintos) 
escriben sus nombres y los ponen en una urna, después seleccionan un nombre (al 
azar). 

* Sea A el evento en el que ninguna persona selecciona su nombre, ¿Cuál es la
probabilidad del evento A?  

* Supongamos que hay 3 personas con el mismo nombre, ¿Cómo calcularías la
probabilidad del evento A en este nuevo experimento?


* El señor J. tiene 2 cachorros, el mayor es hembra. ¿Cuál es la probabilidad 
de que los dos sean hembra?
* La señora K. tiene 2 cachorros, al menos uno es macho. ¿Cuál es la probabilidad 
de que los dos sean macho?

```{r, eval = FALSE, include=FALSE}
pups <- function(){
    pups <- sample(c(0, 1), 2, replace = TRUE)
    while (sum(pups) < 1){
        pups <- sample(c(0, 1), 2, replace = TRUE)   
    }
    sum(pups) == 2    
}
rerun(1000, pups()) %>% flatten_dbl() %>% mean()
```


Podemos generalizar las definiciones de equiprobable al caso continuo, como 
ejemplo supongamos que se lanza un dado a un table cuadrandgular de lado 2, 
¿cuál es la probabilidad de que el dado caiga en el círculo de radio 1 inscrito 
en un cuadrado de lado 2?

```{r, eval = FALSE}
tablero <- ggplot() + 
    ggforce::geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 1)) +
    geom_rect(aes(xmin = -1, xmax = 1,   ymin = -1, ymax = 1),   fill = "white", 
        color = "black", alpha = 0.5) +
    coord_equal()
ggsave("imagenes/tablero.png", tablero, width = 3, height = 3)
```

```{r, out.width = "400px"}
knitr::include_graphics("imagenes/tablero.png")
```

En este caso usamos áreas relativas para calcular la probabilidad: denotemos C
al evento tal que el dardo cae en el círculo, entonces:

$$P(B) = \frac{Área(B)}{Área(\Omega)}$$
¿Y simulando?

```{r}
circunferencia <- function(){
  x <- runif(1) * sample(c(-1, 1), 1)
  y <- runif(1) * sample(c(-1, 1), 1)
  sqrt(x ^ 2 + y ^ 2) < 1
}
rerun(10000, circunferencia()) %>% flatten_dbl() %>% mean()
```

```{r, eval = FALSE}
dardos <- data_frame(x = runif(1000, -1, 1), y = runif(1000, -1, 1), 
    en_circulo = sqrt(x ^ 2 + y ^ 2) < 1)

tablero_dardos <- tablero +
    geom_point(data = dardos, aes(x, y, color = en_circulo), alpha = 0.5, 
        show.legend = FALSE)

ggsave("imagenes/tablero_dardos.png", tablero_dardos, width = 3, height = 3)
```

```{r, out.width = "400px"}
knitr::include_graphics("imagenes/tablero_dardos.png")
```


Ahora, en el ejemplo de los dardos es más realista pensar que la probabilidad 
de que el dardo caiga en un segmento de la zona central no es la misma a que 
caiga en un segmento de igual área en las orillas.

```{r, eval = FALSE}
tablero_zonas <- tablero +
    geom_rect(aes(xmin = -1, xmax = -0.8,   ymin = -1, ymax = -0.8), 
        fill = "red", alpha = 0.5) + 
    geom_rect(aes(xmin = -.1, xmax = 0.1,   ymin = -0.1, ymax = 0.1), 
        fill = "red", alpha = 0.5)
ggsave("imagenes/tablero_zonas.png", tablero_zonas, width = 3, height = 3)
```


```{r, out.width = "400px"}
knitr::include_graphics("imagenes/tablero_zonas.png")
```

La definición de probabilidad como área relativa no se puede usar en estos 
casos, sin embargo, el enfoque de simulación se continúa manteniendo.

Comencemos con el caso del dardo univariado.

```{r, out.width="350px"}
unif <- ggplot() +
    geom_rect(aes(xmin = 0.3, xmax = 0.6,   ymin = 0, ymax = 1), 
        fill = "red", alpha = 0.5) +
    xlim(0, 1)
unif    
```

En este caso de área relativa, calculamos la probabilidad cómo el área sombreada

$$P([a, b]) = \frac{b-a}{1} = \int_a^b 1dx$$

Ahora, si el dardo cae en ciertas zonas con mayor probabilidad:

```{r, out.width="350px"}
ggplot(data_frame(x = c(0 , 1)), aes(x)) + 
    stat_function(fun = dbeta, args = list(shape1 = 5, shape2 = 2)) +
    geom_rect(data = NULL, aes(xmin = 0, xmax = 1, ymin = 0, ymax = 1), 
        fill = "red", alpha = 0.2)
```



$$P([a,b])=\int_a^bf(x)dx$$
Y lo podemos calcular con simulación, por ejemplo la probabilidad de x en 
[0.2, 0.5]:

```{r}
curva <- function(){
    x <- runif(1)
    y <- runif(1) * 2.5
    while(dbeta(x, 5, 2) < y){
        x <- runif(1)
        y <- runif(1) * 2.5
    }
    x
}

sims_x <- rerun(5000, curva()) %>% flatten_dbl()
mean(sims_x > 0.2 & sims_x < 0.5)
```

```{r, out.width="350px"}
data_frame(x = runif(1000), y = runif(1000) * 2.5, dentro = dbeta(x, 5, 2) > y, 
    en_int = dentro * (x > 0.2 & x < 0.5), cat = case_when(!dentro ~ "a", 
        dentro & en_int ~ "b", TRUE ~ "c")) %>% 
    ggplot()+ 
    stat_function(fun = dbeta, args = list(shape1 = 5, shape2 = 2)) +
        geom_point(aes(x, y, color = cat), alpha = 0.5, 
            show.legend = FALSE)
```


En el caso discreto: Supongamos que el proceso de selección del comité tiene 
sesgo, las mujeres se seleccionan con mayor probabilidad que los hombres:

```{r}
comite <- function(){
    candidatos <- c(paste("M", 1:9, sep = "_"), paste("H", 1:6, sep = "_"))
    comite <- sample(candidatos, 5, replace = FALSE, 
        prob = c(rep(2, 9), rep(1, 6)))
    n_mujeres <- sum(substr(comite, 1, 1) == "M")
    n_mujeres == 2
}

rerun(1000, comite()) %>% flatten_dbl() %>% mean()
```


## Probabilidad: definición matemática
Desde un punto de vista puramente matemático, la probabilidad se define como
una función de eventos. Los eventos se representan como conjuntos, y suponemos 
que la función de probabilidad satisface las reglas básicas de proporción. Antes
de definir estas reglas consideremos la representación de los eventos como 
subconjuntos de un espacio de resultados.

Supongamos que tenemos un espacio de resultados $\Omega$, y que todos los 
eventos de interés están representados como subconjuntos de $\Omega$. Podemos
pensar en $\Omega$ como una representación de todas las situaciones que pueden
ocurrir, no suponemos que es finito, ni que los eventos son igualmente 
probables.

Las reglas de la probabilidad involucran relaciones lógicas entre eventos; estas
se traducen a relaciones de conjuntos. Por ejemplo, si C es el evento que ocurre
si sucede A o si sucede B, entonces el conjunto de maneras en las que ocurre C
es la unión del conjunto de maneras en que ocurre A y el conjunto de maneras en 
que ocurre B. Veamos como se traduce de eventos a conjuntos

Lenguaje de eventos | Lenguaje de conjuntos | Notación de conjuntos
--------------------|-----------------------|----------------------
Espacio de resultados| conjunto universal   | $\Omega$
evento              | subconjunto de $\Omega$| $A,B,C,...$
evento imposible    | conjunto vacío        | $\emptyset$
no A, opuesto de A  |complemento de A       | $A^c$
A o B               |unión de A y B         | $A\cup B$
tanto A como B      | intersección de A y B | $AB,A\cap B$ 
A y B mutuamente excluyentes |A y B disjuntos | $AB=\emptyset$
si A entonces B     | A es subconjunto de B | $A\subset B$


#### Particiones y axiomas de probabilidad {-}
<div class="caja">
Decimos que un conjunto de $n$ eventos $B_1,...,B_n$ es una **partición** del evento 
$B$ si $B=B_1 \cup B_2 \cup \cdot\cdot\cdot \cup B_n$ y los eventos 
$B_1,...,B_n$ son mutuamente excluyentes. 
</div>

Ahora podemos definir probabilidad:

<div class="caja">
Una función $P$ es una **función de probabilidad** si satisface las siguientes 
condiciones:

1. Un valor de probabilidad debe ser no-negativo: 
$$P(B) \geq 0$$ para cualquier evento $B$  
2. La suma de las probabilidades a través de todos los posibles eventos en el 
espacio de resultados debe ser 1 (i.e. uno de los eventos en el espacio de 
resultados debe ocurrir). 
$$P(\Omega) = 1$$
3. Si $B_1,...,B_n$ es una partición del evento $B$ entonces, la probabilidad 
de que ocurra B es la suma de las probabilidades individuales:
$$P(B)=P(B_1)+P(B_2) + \cdot\cdot\cdot +P(B_n)$$
</div>

### Propiedades de la función de probabilidad:
* $P(A^c) = 1 - P(A)$    
* $P(\emptyset)=0$  
* Si $A \subset B$ entonces $P(A) \le P(B)$  
* $0\le P(A) \le 1$
* La regla general de la suma: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$



## Variables aleatorias

A partir de un experimento aleatorio se pueden definir muchas preguntas de 
probabilidad, por ejemplo, en el caso de la ruina del jugador podríamos 
preguntarnos: las ganancias después del tercer juego, probabilidad de ganar, 
duración del experimeto (cuántos juegos se jugaron antes de alcanzar las 
reglas de término). Sin embargo, muchas veces nos centramos en estudiar un solo
aspecto del experimento.

<div class="caja">
La variable aleatoria $X$ es un mapeo entre el espacio de resultados y los 
números reales.
</div>

#### Distribución de probabilidad {-}

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria $X$ es simplemente
una lista de todos los posibles valores y sus probabilidades correspondientes 
(en el caso discreto). Podemos pensar en el término distribución como una masa 
distribuida sobre un área o volumen $\Omega$, y $P(A)$ representa la proporción 
de esa masa en el 
subconjunto $A$.

![](imagenes/manicule2.jpg) Definimos $X$ como la variable aleatoria del 
número de juegos antes de que termine el experimento de la ruina del jugador, 
grafica la distribución de probabilidad de $X$ 
(calcula $P(X=1), P(X=2),...,P(X=50)$).

La función de distribución acumulada contiene la misma información que la
función de distribución y se define como 
$$P(X \le x)$$
con la ventaja de que la definición aplica tanto al caso discreto como en el 
caso continuo.

#### Esperanza {-}
<div class="caja">
La **esperanza** (valor esperado o media) de una variable aleatoria $X$,
es la media de la distribución $X$, esto es,
$$E(X)=\sum_{x\in \Omega_x} x P(X=x)$$
el promedio de todos los posibles valores de $X$ ponderados por sus probabilidades.
</div>

Por ejemplo, si $X$ toma únicamente dos posibles valores, $a,b$ con
probabilidad $P(a)$ y $P(b)$ entonces
$$E(X)=aP(a)+bP(b).$$

Ejemplo: Supongamos que $X$ es el valor que se produce cuando tiro un
dado justo. Entonces,
$$E(X)=1\cdot P(X=1) +2\cdot P(X=2) +3\cdot P(X=3) +4\cdot P(X=4) +5\cdot P(X=5) +6\cdot P(X=6) = 3.5$$
Lo que nos dice que si tiramos el dado muchas veces deberíamos esperar que el promedio de las tiradas sea cercano a 3.5.

**Esperanza como un promedio cuando n es grande**. Si vemos las probabilidades de los valores de $X$ como una aproximación de frecuencias relativas cuando n es grande, entonces $E(X)$ es aproximadamente el valor promedio del valor de $X$ cuando n es grande.

```{r}
x <- rnorm(10000, mean = 10)
mean(x)
```

<!--
**Esperanza y predicción**. Supongamos que deseamos predecir el valor de una variable aleatoria $X$. ¿Cuál es el mejor predictor de X? Para responder la pregunta es preciso seleccionar un criterio. Es común que el criterio 
sea minimizar el 
-->

La esperanza cumple las siguientes reglas: 

1. **Constantes**. La esperanza de una variable aleatoria constante
es su valor constante,
$$E(c) = c$$

2. **Indicadoras**. Si $I_A$ es la función indicadora del evento $A$, 
$$E(I_A) = P(A)$$

3. **Funciones**. Típicamente, $E[g(X)]\ne g[E(X)]$, pero
$$E[g(X)] = \sum_{x \in \Omega_X} g(x) P(X=x)$$

4. **Factores constantes**. Para una constante c,
$$E(cX)=cE(X)$$

5. **Adición**. Para cualquier par de variables aleatorias $X$, $Y$,
$$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$$

6. **Multiplicación**. Típicamente $E(XY) \ne E(X)E(Y)$, pero
si $X$ y $Y$ son independientes, entonces $$E(XY)=E(X)E(Y)$$





<!-- Supongamos que lanzamos una moneda al aire y definimos la variable 
aleatoria
$Z$ como el tiempo en segundos que transcurre antes de que la moneda toque el suelo. En este caso el espacio de resultados es inconveniente de describir. Sin
embargo, el soporte de $Z$ sería $(0, \infty)$, es claro que el conjunto $(0, \infty)$ es demasiado grande, pero veremos que en la práctica a veces es
conveniente estudiar el soporte extendido. -->


#### Varianza y desviación estándar {-}
Si intentamos predecir el valor de una variable aleatoria usando su media 
$E(X)=\mu$, vamos a fallar por una cantidad aleatoria $X-\mu$. Suele ser 
importante tener una idea de que tan grande será esta desviación. Debido a que
$$E(X-\mu) = E(X)-\mu=0$$
es necesario considerar la diferencia absoluta o la diferencia al cuadrado de 
$X-\mu$ con el fin de tener una idea del tamaño de la desviación sin importar el 
signo de esta. 

**Varianza y desviación estándar**. La varianza de $X$, denotada 
$var(X)=\sigma^2$ es la media de la desviación cuadrada de $X$ respecto a su 
valor esperado $\mu=E(X)$: $$\sigma^2(X)=var(X)=E(X-\mu)^2$$
La desviación estándar de $X$, es la raíz cuadrada de la varianza de X:
$$\sigma(X)=sd(X)=\sqrt{var(X)}$$

Intuitivamente, $sd(X)$ es una medida de la dispersión de la distribución de $X$ 
alrededor de su media. Debido a que la varianza es el valor central de la 
distribución de $(X-\mu)^2$, su raíz cuadrada da una idea del tamaño típico de 
la desviación absoluta $|X-\mu|$. Notemos que $E(X)$, $var(X)$ y $sd(X)$ están 
determinados por $X$, de tal manera que si dos variables aleatorias tienen la 
misma distribución, también tienen la misma media, varianza y desviación 
estándar.