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\begin{document}
\title{一维分片多项式空间}
\author{魏华祎}
\date{\chntoday}
\maketitle

\section{从向量空间到函数空间}
\section{分片多项式空间}

函数空间有下面两个要素决定
\begin{itemize}
    \item 函数空间的基函数, 注意基函数的选取不是唯一的.
    \item 函数空间的自由度
\end{itemize}

\subsection{分片线性多项式空间}
给定区间 $I = [x_0, x_1]$, 其上的线性多项式空间定义如下：
\begin{equation}
    P_1(I) = \{v: v(x) = c_0 + c_1 x, x\in I, c_0, c_1 \in \mathbb R\},
\end{equation}

\begin{framed}
\begin{remark}
~\\
\begin{itemize}
    \item 上面表达式选取的基函数为单项式 $(1, x)$.
    \item 函数空间的自由度个数就是基函数的个数.
    \item 函数空间自由度的值 $(c_0, c_1)$, 就是相对于基函数的坐标.
    \item 给定基函数, 则区间 $I$ 上所有的线性函数和 $\mathbb R^2$ 空间中的点建
        立了一一对应关系.
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

另一种基函数的选择是重心坐标函数(节点基函数):

\begin{equation}
    \lambda_0(x) = \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}, \lambda_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1
    - x_0}.
\end{equation}

\begin{framed}
\begin{remark}
~\\
\begin{itemize}
    \item 性质
    \item 代数意义
    \item 几何意义
    \item 选择重心坐标做为基函数的好处是什么?
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

对于 $v \in P_1(I)$, 有
$$
v(x) = v(x_0)\lambda_0 + v(x_1) \lambda_1
$$

\subsection{Sylvester 插值}
Sylvester 插值多项式\cite{sheng2008} 是构造高次基函数的基础，它的定义如下
$$
R_i(k,\lambda)=
\begin{cases}
\frac{1}{i!}\prod_{l=0}^{i-1} (k\lambda-l),~& 1\leq i\leq k\\
1,& i=0\\
\end{cases}
$$
其中 $\lambda \in [0,1]$，$k$ 表示区间 $[0,1]$ 的等分数。易知 

\begin{itemize}
    \item $R_i(k, \lambda)$ 是关于 $\lambda$ 的 $i$ 次多项式。
    \item 当 $\lambda= \frac{l}{k}, l=0, 1, \cdots, i-1$ 时, $R_i(k, \lambda) =0$。
    \item 当 $\lambda=\frac{i}{k}$ 时 $R_i(k, \lambda) = 1$。
\end{itemize}

\subsection{$k$ 次多项式空间 $P_k(I)$}

给定区间 $I = [x_0, x_1]$, 其上的线性多项式空间定义如下：
\begin{equation}
    P_k(I) = \{v: v(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k, x\in I, c_0, c_1,
    \cdots c_k \in \mathbb R\},
\end{equation}

区间 $[x_0, x_1]$ 上的个 $ k\geq 1 $ 次基函数共有 

\[
n_{dof} = k+1,
\]

其计算公式如下:

\[
\phi_{m,n} = \frac{1}{m!n!}\prod_{l_0 = 0}^{m - 1}
(k\lambda_0 - l_0) \prod_{l_1 = 0}^{n-1}(k\lambda_1 -
l_1).
\]

其中 $ m\geq 0$, $ n\geq 0 $, 且 $ m+n=k $, 这里规定:

\[
 \prod_{l_i=0}^{-1}(k\lambda_i - l_i) := 1,\quad i=0, 1
\]

$k$ 次基函数的面向数组的计算
构造向量： 

\[
P = ( \frac{1}{0!},  \frac{1}{1!}, \frac{1}{2!}, \cdots, \frac{1}{k!})
\]

构造矩阵： 

\[
A :=
\begin{pmatrix}
1  &  1  \\
k\lambda_0 & k\lambda_1\\
k\lambda_0 - 1 & k\lambda_1 - 1\\
\vdots & \vdots \\
k\lambda_0 - (k - 1) & k\lambda_1 - (k - 1)
\end{pmatrix}
\]

对 $A$ 的每一列做累乘运算, 并左乘由 $P$ 形成的对角矩阵, 得矩阵:

\[
B = \mathrm{diag}(P)
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
\lambda_0 & \lambda_1\\
\prod_{l=0}^{1}(k\lambda_0 - l) & \prod_{l=0}^{1}(k\lambda_1 - l)\\
\vdots & \vdots \\
\prod_{l=0}^{k-1}(k\lambda_0 - l) & \prod_{l=0}^{k-1}(k\lambda_1 - l)
\end{pmatrix}
\]

易知, 只需从 $B$ 的每一列中各选择一项相乘(要求二项次数之和为 $k$,
其中取法共有

\[
n_{dof} = {k+1}
\]

构造指标矩阵：
\[
I = \begin{pmatrix}
k  & 0 \\ k-1 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ 0 & k
\end{pmatrix}
\]
则第 $i$ 个 $k$ 次基函数可写成如下形式
\[
\phi_i = B_{m,0}B_{n,1}, 
\]
其中 $ m = I_{i, 0}, n = I_{i, 1} $, 并且 $ m + n = k$.

\begin{align*}
    \nabla \prod_{j = 0}^{m - 1} (k\lambda_0 - j)
    = & k\sum_{j=0}^{m - 1}\prod_{0\le l \le m-1, l\not= j}(k\lambda_0 -
    l)\nabla \lambda_0,\\
    \nabla \prod_{j = 0}^{n - 1} (k\lambda_1 - j)
    = & k\sum_{j=0}^{n - 1}\prod_{0\le l \le m-1, l\not= j}(k\lambda_1 -
    l)\nabla \lambda_0,\\
\end{align*}
\begin{align*}
\bfD^0 = 
\begin{pmatrix}
k & k\lambda_0 & \cdots & k\lambda_0 \\
k\lambda_0 - 1 & k & \cdots & k\lambda_0 - 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k\lambda_0 - (k-1) & k\lambda_0 - (k-1) & \cdots & k 
\end{pmatrix},\\ 
\bfD^1 = 
\begin{pmatrix}
k & k\lambda_1 & \cdots & k\lambda_1 \\
k\lambda_1 - 1 & k & \cdots & k\lambda_1 - 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k\lambda_1 - (k-1) & k\lambda_1 - (k-1) & \cdots & k 
\end{pmatrix},\\ 
\end{align*}
把 $\bfD^0$ 和 $\bfD^1$ 的每一列沿行的方向做累乘运算，然后取它们的下三角矩阵，
最后把下三角矩阵的每一行再求和，即可得到矩阵 $\bfB$ 的每一列各个元素的求导后系
数. 可得到矩阵 $\bfD$，其元素定义为 
$$
\bfD_{i,j} = \sum_{m=0}^j\prod_{k=0}^j D^i_{k, m},\quad 0 \le i \le 1,
, 0 \le j \le k-1.
$$
最后，可以用如下的方式来计算 $\bfB$ 的梯度：
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\nabla \bfB = & \mathrm{diag}(\bfP)
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
\bfD_{0,0} \nabla \lambda_0 & 
\bfD_{1,0} \nabla \lambda_1 \\
\vdots & \vdots\\
\bfD_{0, k-1} \nabla \lambda_0 &
\bfD_{1, k-1} \nabla \lambda_1 & 
\end{pmatrix}\\
= & \mathrm{diag}(\bfP)
\begin{pmatrix}
\mathbf 0\\
\bfD
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nabla \lambda_0 \\
 & \nabla \lambda_1 \\
\end{pmatrix}\\
= & \bfF 
\begin{pmatrix}
\nabla \lambda_0 &  \\
 & \nabla \lambda_1 \\
\end{pmatrix},
\end{aligned}
\end{equation*}
其中
\begin{equation}\label{eq:F}
    \bfF = \mathrm{diag}(\bfP)
\begin{pmatrix} 
    \mathbf 0\\ \bfD
\end{pmatrix}.
\end{equation}

\section{插值}
\subsection{线性插值}
给定区间 $I = [x_0, x_1]$, 和一个定义在 $I$ 上的连续函数 $f$，其插值定义如下： 

$$
\pi_1f(x) = f(x_0)\lambda_0 + f(x_1)\lambda_1
$$

\begin{framed}
\begin{remark}
~\\
\begin{itemize}
    \item 如果 $f \in P_1(I)$ 则 $ f = \pi_1 f$. 
    \item 一般情况下， $f \not= \pi_1 f$. 
    \item 计算插值只需要计算函数在网格点处的值, 很容易实现.
    \item 两者之间会差多远？ $\| f - \pi_1 f \|_0$.
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

\begin{framed}
\begin{remark}
用范数衡量函数和函数插值之间的误差
\begin{itemize}
    \item 无穷范数 $$ \|v\|_\infty = \max_{x\in I} |v(x)|$$
    \item $L^2$范数 $$ \|v\|_2 = \left(\int_I v^2 \rmd x\right)^{\frac{1}{2}}$$
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

\begin{framed}
\begin{remark}
误差分析中的常用的两个不等式
\begin{itemize}
    \item 三角不等式 $$ \|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2 $$
\item Cauchy-Schwarz 不等式 $$\int_I vw \rmd x \leq \|v\|_2  \|w\|_2 $$
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

\begin{framed}
    \begin{proposition}
        插值误差满足下面估计
        \begin{align*}
            \|f- \pi_1 f\|_2 &\leq C h^2 \|f''\|_2 \\
            \|(f - \pi_1 f)\|_2 &\leq C h \|f''\|_2
        \end{align*}
    \end{proposition}
    \begin{proof}
        利用微积分基本定理, 把函数和函数的导数联系起来. 

        利用罗尔中值定理和微积基本定理把, 函数的1阶导数和2阶导数联系起来.
    \end{proof}
\end{framed}

\subsection{连续线性分片插值}

给定区间 $I=[a, b]$, 分成 $n$ 段, 共有 

$$
a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b
$$

可以定义连续函数 $f$ 在区间 $I$ 上的连续分片线性插值函数为

$$
\pi_1 f = \sum_{i=0}^n f(x_i) \phi_i(x)
$$

\begin{framed}
    \begin{proposition}
        连续分片线性插值误差满足下面估计
        \begin{align*}
            \|f- \pi_1 f\|_{2,I} &\leq C \sum_{i=0}^{n-1} h_i^4 \|f''\|_{2,
            I_i}^2 \\
            \|(f - \pi_1 f)\|_{2, I} &\leq C \sum_{i=0}^{n-1}h_i^2 \|f''\|_{2,
            I_i}^2
        \end{align*}
    \end{proposition}
\end{framed}

\section{$L^2$ 投影}

给定 $f\in L^2(I)$, 定义 $L^2$ 投影 $P_h f \in V_h$, 

\begin{align*}
    (P_h f, v)_I &= (f, v)_I, \forall v\in V_h\\
    (f - P_h f, v)_I &= 0, \forall v\in V_h
\end{align*}

\begin{framed}
\begin{remark}
 ~   
\begin{itemize}
    \item $f - P_h f \bot V_h$.
    \item $P_h f$ 和$\pi_1 f$ 是不同的.
    \item 推导 $P_h$ 对应的线性系统.
    \item 计算 $P_h f$ 需要求解线性代数系统, 计算量比插值要大.
\end{itemize}
\end{remark}
\end{framed}

\begin{framed}
    \begin{theorem}
        $$
        \|f-P_hf\|_{2, I} \leq \|f - v\|_{2, I}, \forall v \in V_h.
        $$
    \end{theorem}
    \begin{theorem}
        $$
        \|f- P_h f\|_{2,I}^2 \leq C \sum_{i=0}^{n-1} h_i^4 \|f''\|_{2, I_i}
        \leq C h \|f''\|_{2, I}^2
        $$
    \end{theorem}
    \begin{proof}
        利用投影的正交性质, 最优最近性及插值的误差估计.
    \end{proof}
\end{framed}

\section{数值积分}

所有的数值积分公式本质上都是给一组积分点 $(x_0, x_1, \cdots, x_{m-1})$ 及相应的
权重 $(w_0, w_1, \cdots, w_{m-1})$. 
$$
\int_I f(x) \rmd x \approx |I|(w_0 f(x_0) + w_1 f(x_1) + \cdots + w_{m-1}
f(x_{m-1}) = |I|\sum_{i=0}^{m-1} w_if(x_i)
$$

\begin{framed}
    \begin{remark}
        ~
        \begin{itemize}
            \item $\sum_{i=0}^{m-1}w_i = 1$.
            \item $|I|$ 是区间的长度.
            \item 数值积分的理论基础是积分中值定理.
            \item 上面数值积分公式形式同样适用于高维区域上的积分.
        \end{itemize}
    \end{remark}
\end{framed}

\begin{framed}
    设 $m$ 是区间  $I = [x_0, x_1]$ 的中点, 下面给出几种常见的积分公式。
    \begin{description}
        \item[中点积分公式:] 
            $$ |I|f(m)$$
        \item[梯形积分公式:] 
            $$ |I|\left[\frac{1}{2}f(x_0) +\frac{1}{2}f(x_1) \right] $$
        \item[辛普森积分公式:]
            $$|I|\left[\frac{1}{6}f(x_0) + \frac{4}{6}f(m) + \frac{1}{6}f(x_1)\right]$$
    \end{description}
\end{framed}

\section{实现}

\subsection{Numpy 多维数组}

利用 Python 数据分析的课件讲解。

\subsection{爱因斯坦求和}

einsum 函数是 NumPy 的中最有用的函数之一。由于其强大的表现力和智能循环，它在速
度和内存效率方面通常可以超越我们常见的 array 函数。但缺点是，可能需要一段时间才
能理解符号，有时需要尝试才能将其正确的应用于棘手的问题。

\begin{listing}[H]
    \caption{利用 einsum 求和进行向量和矩阵相乘}
    \begin{pythoncode}
        import numpy as np
        a = np.array([1, 2, 3])
        b = np.array([4, 5, 6])
        np.einsum('i', a) # 返回 a 本身
        np.einsum('i->', a) # 对 a 求和
        np.einsum('i, i->i', a, b) # a 与 b 对应元素相乘
    \end{pythoncode}
\end{listing}


\begin{listing}[H]
    \caption{利用 einsum 求和进行向量和矩阵相乘}
    \begin{pythoncode}
        import numpy as np
        A = np.arange(3)
        B = np.arange(12).reshape(3, 4)
        C = np.einsum('i, ij->i', A, B)
    \end{pythoncode}
\end{listing}

\begin{listing}[H]
    \caption{利用 einsum 求和进行矩阵相乘}
    \begin{pythoncode}
        import numpy as np
        A = np.array([[1, 1, 1], [2, 2, 2], [5, 5, 5]])
        B = np.array([[0, 1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]])
        C = np.einsum('ij, jk->i', A, B)
    \end{pythoncode}
\end{listing}

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[scale=2]{./figures/twomat.png}
    \caption{两矩阵相乘示意图。}
    \label{fig:twomat}
\end{figure}

\subsection{插值、积分与投影的 Python 实现}
基于 Python 的 Numpy 实现相应的 L2 投影.

\section{问题}

\cite{fem_2010}
\bibliographystyle{abbrv}
\bibliography{ref}
\end{document}