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剪绳子

题目描述

给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到最大的乘积18。

解法

解法一：动态规划法

时间复杂度O(n²)，空间复杂度O(n)。

• 长度为 2，只可能剪成长度为 1 的两段，因此 f(2)=1
• 长度为 3，剪成长度分别为 1 和 2 的两段，乘积比较大，因此 f(3) = 2
• 长度为 n，在剪第一刀的时候，有 n-1 种可能的选择，剪出来的绳子又可以继续剪，可以看出，原问题可以划分为子问题，子问题又有重复子问题。

/**
 * @author Anonymous
 * @since 2019/11/20
 */

public class Solution {

    /**
     * 剪绳子求最大乘积
     * @param length 绳子长度
     * @return 乘积最大值
     */
    public int maxProductAfterCutting(int length) {
        if (length < 2) {
            return 0;
        }
        if (length < 4) {
            return length - 1;
        }

        // res[i] 表示当长度为i时的最大乘积
        int[] res = new int[length + 1];
        res[1] = 1;
        res[2] = 2;
        res[3] = 3;
        // 从长度为4开始计算
        for (int i = 4; i <= length; ++i) {
            int max = 0;
            for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
                max = Math.max(max, res[j] * res[i - j]);
            }
            res[i] = max;
        }

        return res[length];

    }
}

贪心算法

时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)。

贪心策略：

• 当 n>=5 时，尽可能多地剪长度为 3 的绳子
• 当剩下的绳子长度为 4 时，就把绳子剪成两段长度为 2 的绳子。

证明：

• 当 n>=5 时，可以证明 2(n-2)>n，并且 3(n-3)>n。也就是说，当绳子剩下长度大于或者等于 5 的时候，可以把它剪成长度为 3 或者 2 的绳子段。
• 当 n>=5 时，3(n-3)>=2(n-2)，因此，应该尽可能多地剪长度为 3 的绳子段。
• 当 n=4 时，剪成两根长度为 2 的绳子，其实没必要剪，只是题目的要求是至少要剪一刀。

/**
 * @author Anonymous
 * @since 2019/11/20
 */

public class Solution {

    /**
     * 剪绳子求最大乘积
     * @param length 绳子长度
     * @return 乘积最大值
     */
    public int maxProductAfterCutting(int length) {
        if (length < 2) {
            return 0;
        }
        if (length < 4) {
            return length - 1;
        }

        int timesOf3 = length / 3;
        if (length % 3 == 1) {
            --timesOf3;
        }
        int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) >> 1;
        return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
    }
}

测试用例

1. 功能测试（绳子的初始长度大于 5）；
2. 边界值测试（绳子的初始长度分别为 0、1、2、3、4）。