diff --git a/.gitignore b/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..4650219
--- /dev/null
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1,6 @@
+index.aux
+index.fdb_latexmk
+index.fls
+index.log
+index.pdf
+index.synctex.gz
diff --git a/index.tex b/index.tex
new file mode 100644
index 0000000..6159b07
--- /dev/null
+++ b/index.tex
@@ -0,0 +1,1474 @@
+\documentclass[10pt,twocolumn,fleqn,polish]{article}
+
+% \renewcommand{\sfdefault}{lmss}
+% \renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+
+\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
+\geometry{verbose,margin=2cm}
+\usepackage{lipsum}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{enumitem}
+\setlist{topsep=0.5em,itemsep=-0em}
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage[per-mode=symbol]{siunitx}
+
+\usepackage[euler-digits,small]{eulervm}
+% \usepackage{mathpazo}
+\usepackage{palatino}
+\usepackage{microtype}
+
+% \usepackage{fontspec}
+
+% \setsansfont[Ligatures=TeX]{Itim-Regular.ttf}
+% \setsansfont[Ligatures=Tex]{Avant Garde}
+
+
+% \makeatletter
+% \def\mathcolor#1#{\@mathcolor{#1}}
+% \def\@mathcolor#1#2#3{%
+%   \protect\leavevmode
+%   \begingroup
+%     \color#1{#2}#3
+%   \endgroup
+% }
+% \makeatother
+
+\providecommand{\mathcolor}[2]{{\color{#1}#2}}
+\newcommand{\mred}[1]{\mathcolor{BrickRed}{#1}}
+\newcommand{\mgreen}[1]{\mathcolor{Green}{#1}}
+\newcommand{\mblue}[1]{\mathcolor{Blue}{#1}}
+
+\newcommand{\diff}{\mathop{}\!{d}}
+\newcommand{\derivative}[2][]{\mathop{}\!\frac{{d}#1}{{d}#2}}
+\newcommand{\fourvec}[1]{\bar{\bar{#1}}}
+
+\newenvironment{eqsystem}
+  {\left\lbrace
+    \begin{array}{@{}l@{}}}
+  {\end{array}\right.}
+
+\usepackage[polish]{babel}
+
+\begin{document}
+\setlength{\abovedisplayskip}{0.5em}
+\setlength{\belowdisplayskip}{0.5em}
+\setlength{\abovedisplayshortskip}{0.5em}
+\setlength{\belowdisplayshortskip}{0.5em}
+% \setlength{}
+
+\section{Kilka słów wstępu}
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page0}
+Cześć, w tym wykładzie omówię podstawy szczególnej teorii względności, która
+zyskała wielką sławę i jeszcze więcej niezrozumienia.
+Ponieważ obrazki są jak Rafaello i wyrażają więcej niż tysiąc słów, będę sporo
+się nimi wspomagał.
+
+Przejdziemy stopniowo od fizyki klasycznej jeszcze z czasów Galileusza do
+równań Lorentza w czasoprzestrzeni Minkowskiego.
+Opowiem dlaczego teoria względności jest nie taka względna jak by chciała
+oraz policzymy ile czasu gotuje się jajko na statku kosmicznym.
+Rozwiążemy też odwieczne pytanie czy tyczka zmieści się w stodole oraz jak
+szybko porusza się fala meksykańska.
+Na koniec wyjaśnię dlaczego $E$ nie równa się $mc^2$.
+
+Niestety, większość zagadnień jest omówiona dość powierzchownie, bo inaczej
+cały wykład zająłby kilkaset stron i wiele miesięcy pisania.
+Zachęcam cię zatem do głębszego przeanalizowania informacji zawartych na każdej stronie
+i zadawania dodatkowych pytań i udzielania na nich odpowiedzi.
+\newpage
+
+\section{Wszystko było dobrze, dopóki nie przestało być}
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page1}
+Poznajcie Alfreda. Alfred żyje w dwu-wymiarowym układzie współrzędnych,
+w którym nie dzieje się zbyt wiele. W zasadzie nie dzieje się zupełnie nic, bo
+w tym układzie nie ma czasu. Jest tylko przestrzeń i nieruchomy punkt
+zawieszony w pustce, które Alfred lubi obserwować. Ponieważ nie ma wokół żadnego
+punktu odniesienia, Alfred wybrał samego siebie jako centrum układu.
+Przecież każdy układ jest równie dobry, prawda?
+
+My mieszkający na Ziemi intuicyjnie wybieramy powierzchnię Ziemi jako
+układ odniesienia, według którego mierzymy położenie i prędkość.
+Nie jest to jedyny słuszny wybór, bo każdy układ inercjalny jest równie prawidłowy.
+Niektóre są jednak dla nas bardziej użyteczne od innych.
+Sytuacja drastycznie zmienia się w przestrzeni kosmicznej, gdzie
+takiego punktu zaczepienia nie ma.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page2}
+Problemy zaczęły się (a raczej były zawsze z powodu nieistnienia czasu),
+gdy Alfred chciał wskazać punkt Beacie i jej kotu.
+Okazuje się, że położenie mierzone przez Alfreda było niezgodne z obserwacjami innych.
+Oczywiście różne obserwacje wynikały z odmiennego położenia
+lub orientacji obserwatorów względem Alfreda.
+By zrozumieć jak inni widzą przestrzeń, Alfred musi dokonać transformacji
+współrzędnych\footnotemark:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{BrickRed}{x'} = x - x_{BA} \\
+    \mathcolor{BrickRed}{y'} = y - y_{BA},
+  \end{eqsystem}
+\]
+gdzie $(x, y)$ i $(\mathcolor{BrickRed}{x'}, \mathcolor{BrickRed}{y'})$ to położenie
+punktu zanotowane kolejno przez Alfreda i Beatę, a $(x_{BA}, y_{BA})$ to położenie
+Beaty z punktu widzenia Alfreda.
+\footnotetext{Pełna transformacja uwzględniająca obrót jest opisana w dodatkach}
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page3}
+Jeśli położenie jest względne to czy jest coś absolutnego? A może jesteśmy
+skazani na życie w świecie gdzie wszystko jest zależne od wyboru obserwatora.
+
+Jeśli dokładnie przeanalizujemy równanie transformacji współrzędnych,
+okazuje się, że jest pewna wartość, która się nie zmienia pod wpływem
+przesunięcia lub obrotu. Jest to $x^2 + y^2$ czyli inaczej
+odległość między dwoma punktami.
+Może nie jest to w pełni zadowalający rezultat, ale to przynajmniej
+jedna wielkość co do której wszyscy są zgodni.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page4}
+Zróbmy teraz małą zmianę i dodajmy trochę akcji do świata Alfreda. Będzie
+nam w tym celu potrzebny czas. Zamiast statycznych punktów będziemy od
+teraz mówić o zdarzeniach, które mają jedną współrzędną czasową (kiedy się zdarzyły)
+i jedną przestrzenną (gdzie się zdarzyły).
+
+Zdarzenie jest niczym więcej jak punktem w czasoprzestrzeni.
+Może oznaczać uderzenie słoika majonezu o podłogę lub sekwencję położeń kota.
+Pamiętajmy, że położenie Alfreda w jego własnym
+świecie zawsze będzie $x=0$ (no chyba, że Alfred wyjdzie z siebie i stanie obok,
+ale to zdarza mu się bardzo rzadko).
+
+Jeśli połączymy linią kolejne położenia w czasoprzestrzeni
+otrzymamy ``linię świata''  danego obiektu, tor, którym porusza się w czasoprzestrzeni.
+Linia świata Alfreda obserwowana przez niego samego będzie zawsze pokrywać się z osią czasu, bo
+w swoim własnym układzie każdy jest nieruchomy.
+Linie świata innych obiektów mogą być liniami prostymi równoległymi
+do linii Alfreda, gdy ich położenie się nie zmienia, lub pochylone
+pod kątem jeśli poruszają się ruchem jednostajnym.
+
+Przypadek ruchu niejednostajnego będzie tu omawiany.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page5}
+Tak jak rozważaliśmy transformację położenia przy przesunięciu
+się w inne miejsce w przestrzeni, podobnie możemy transformować
+współrzędne czasoprzestrzenne gdy zmieniamy położenie lub prędkość.
+
+Jeśli będziemy obserwować położenie kota względem Alfreda i Beaty,
+nie tylko położenie kota będzie inne, ale dojdziemy też do wniosku,
+że kot od Beaty oddala się wolniej.
+Nie jest w tym nic dziwnego skoro Beata go goni.
+
+Albert może opisać położenie Beaty i kota prostymi wzorami:
+\[ \mathcolor{Blue}{x_B} = u\mathcolor{Blue}{t}, \]
+\[ \mathcolor{Blue}{x_K} = {x_K}_0 + v\mathcolor{Blue}{t}. \]
+Zatem położenie kota z punktu widzenia Beaty będzie wynosić:
+\[
+  \mathcolor{BrickRed}{x_K'}
+  = \mathcolor{Blue}{x_K} - \mathcolor{Blue}{x_B}
+  = {\color{Blue}x_K} - u\mathcolor{Blue}{t}
+    = {x_K}_0 + (v-u)\mathcolor{Blue}{t}.
+\]
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page6}
+Takie przekształcenie współrzędnych czasoprzestrzennych nie jest żadną
+nowością w świecie fizyki. Były opisane jeszcze przez Galileusza na przełomie
+XVI i XVII wieku. Transformacja Galileusza mówi nam, że przy zmianie układu
+odniesienia obliczając położenie zdarzenia musimy też uwzględnić jego czas.
+Nowe współrzędne będą wynosić:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{BrickRed}{x'} = \mathcolor{Blue}{x} - u\mathcolor{Blue}{t} \\
+    \mathcolor{BrickRed}{t'} = \mathcolor{Blue}{t}
+  \end{eqsystem}
+\]
+
+Graficznie jest to przesunięcie wszystkich punktów równolegle do osi $x$
+(prostopadle do osi $t$) tak aby teraz to linia świata Beaty pokrywała
+się z osią czasu.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page7}
+Po transformacji możemy obserwować świat oczami Beaty, w którym Alfred
+dostaje w tyle i oddala się z szybkością $u$ a kot nadal pozostaje
+niedościgniony, ale teraz trochę mniej.
+
+Zanim przejdziemy dalej możemy zweryfikować regułę dodawania prędkości.
+Zaczynając od równań transformacji możemy zamienić współrzędne na
+malutkie przyrosty $\diff x$ i $\diff t$ a następnie wstawić je do wyrażenia na prędkość.
+\begin{gather*}
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{BrickRed}{x'} = \mathcolor{Blue}{x}- u\mathcolor{Blue}{t} \\
+    \mathcolor{BrickRed}{t'} = \mathcolor{Blue}{t}
+  \end{eqsystem} \\
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{BrickRed}{\diff x'} = \mathcolor{Blue}{\diff x}- u\mathcolor{Blue}{\diff t} \\
+    \mathcolor{BrickRed}{\diff t'} = \mathcolor{Blue}{\diff t}
+  \end{eqsystem}
+\end{gather*}
+\[
+  \mathcolor{BrickRed}{v'}
+  = \mathcolor{BrickRed}{\derivative[x']{t'}}
+  = \frac{\mathcolor{Blue}{\diff x} - u \mathcolor{Blue}{\diff t}}{\mathcolor{Blue}{\diff t}}
+  = {\color{Blue}\derivative[x]{t}} - u
+    = {\color{Blue}{v}} - u
+\]
+Jak widać matematyka dała nam ten sam wynik, który znaliśmy już wcześniej.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page8}
+Transformacja Galileusza ma jeszcze jedną bardzo ważną właściwość,
+jest symetryczna względem kierunków. Ani układ Alfreda ani Beaty nie jest uprzywilejowany
+i przejście z jednego do drugiego odbywa się w identyczny sposób.
+W końcu z punktu widzenia Alfreda Beata porusza się z prędkością $u$,
+ale z jej punktu widzenia to Alfred się porusza z tą samą prędkością
+tylko w przeciwnym kierunku.
+\newpage
+
+\subsection*{Pytania}
+\begin{itemize}
+  \item Jakie jest położenie Alfreda względem Beaty jeśli Beata według Alfreda
+        znajduje się w punkcie $(-5, 3)$
+  \item Jakie położenie kota zaobserwuje Beata, jeśli Alfred odnotował
+        współrzędne kota $(8, 4)$ i współrzędne Beaty $(3, 6)$?
+  \item Jakie jest położenie Alfreda względem Beaty jeśli
+        odnotowane przez nich położenie kota to kolejno $(3, 4)$ oraz $(6,5)$?
+  \item Jakie przekształcą się współrzędne gdy obrócimy układ o \SI{90}{\degree}
+        przeciwnie do ruchu wskazówek zegara?
+  \item Przy ulicy stoją dwie sygnalizacje świetlne oddalone od siebie o \SI{500}{\metre}.
+        Drugie światło zmienia się na zielone dokładnie \SI{30}{s} po pierwszym.
+        Z jaką prędkością należy jechać aby obie zmiany świateł zaszły w tym samym miejscu
+        (mierzonym przed kierowcę samochodu)?
+\end{itemize}
+\newpage
+
+\section{Problem elektromagnetyczny}
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page9}
+Dotychczasowa kinematyka opisywała ruch bardzo starannie, dopóki James Clerk Maxwell
+nie namieszał swoją teorią elektromagnetyzmu. Sformułował on cztery
+równania opisujące zmiany pola elektrycznego i magnetycznego w pobliżu
+stojących lub płynących ładunków elektrycznych oraz ich wzajemny wpływ na siebie.
+\begin{align*}
+  \nabla \cdot \vec E  & = \frac{\rho}{\varepsilon_0}                                             &
+  \nabla \times \vec E & = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}                                     \\
+  \nabla \cdot \vec B  & = 0                                                                      &
+  \nabla \times \vec B & = \mu_0 \vec j + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t},
+\end{align*}
+gdzie $\rho$ to ładunek elektryczny przypadającym na jednostkę objętości a $\vec j$ to natężenie
+prądu na jednostkę powierzchni przez którą przepływa.
+Operator $\nabla$ (nabla) jest pochodną pola wektorowego po kierunkach $x, y, z$.
+Bez wchodzenia w matematyczne szczegóły możemy zaobserwować, że zmiany pola elektromagnetycznego
+mogą występować pod całkowitą nieobecność ładunków elektrycznych, gdy $\rho = 0$ i $\vec j = 0$.
+Co więcej, podstawiając te równania do siebie nawzajem otrzymujemy równanie fali elektrycznej
+\[\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} = \nabla^2 \vec E.\]
+
+Analogicznym równaniem dla wartości skalarnych np. fal na wodzie lub fal akustycznych
+jest
+\[
+  \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 Z}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2},
+\]
+gdzie $v$ to prędkość rozprzestrzeniania się fali. Przez analogię widać, że
+nowo-odkryta fala elektromagnetyczna będzie rozchodzić się z szybkością
+$\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \SI{299792458}{\meter\per\second}$.
+
+Fizycy szybko połączyli kropki, że wyznaczona szybkość rozchodzenia się fali
+elektromagnetycznej jest taka sama co zmierzona eksperymentalnie prędkość
+światła. Więc światło i elektromagnetyzm są ze sobą ściśle
+związane lub nawet są tym samym.
+Skoro jest fala, to musi istnieć też ośrodek, w którym się ta fala rozchodzi.
+Bardzo skomplikowany ośrodek, który:
+\begin{itemize}
+  \item jest wektorowy, a nie skalarny,
+  \item przenosi pole elektryczne i magnetyczne jednocześnie,
+  \item wypełnia całą przestrzeń i kosmos wokół nas,
+  \item przenika przez materię bez przeszkód,
+  \item jest niezwykle sztywny, by móc utrzymywać tak ogromne prędkości fal.
+\end{itemize}
+Ośrodek nazwano \textit{eter} i od razu rozpoczęto jego intensywne badania.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page10}
+Jednym z pomysłów na eksperyment badający eter była obserwacja \textit{wiatru eteru}.
+Skoro cała przestrzeń kosmiczna jest nim wypełniona, a my siedząc na kamieniu
+zwanym Ziemią przemierzamy przestrzeń z prędkością \SI{30}{\kilo\meter\per\second}
+to stojąc na Ziemi powinniśmy odczuwać ``wiatr'' który będzie znosić światło
+w jakimś kierunku. Ten kierunek zmieniałby się wraz z porą dnia i porami roku.
+
+Pomysł był dobry jedynie w teorii. Żaden ówcześnie znany eksperyment nie był dość
+dokładny by zmierzyć re odchylenia.
+Najdokładniejsze pomiary prędkości światła miały margines błędu około
+\SI{5}{\percent} zaś prędkość orbitalna Ziemi jest rzędu \SI{0.01}{\percent}
+prędkości światła. Bezpośrednie pomiary były niemożliwe.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page11}
+Oderwijmy się na chwilę od elektromagnetyzmu i wykonajmy pewien eksperyment myślowy.
+Wyobraźmy sobie dwóch wioślarzy płynących w rzece, której nurt ma prędkość $u$.
+Obaj starują z tego samego punktu i płyną w wodzie z tą samą szybkością $c$.
+Jeden z nich płynie do punktu na drugim brzegu na tej samej wysokości rzeki i z powrotem.
+Drugi płynie na jednakową odległość wzdłuż brzegu. Najpierw w dół, a potem w górę rzeki.
+
+Aby nie zostać zniesionym przez nurt, pierwszy z nich musi skierować
+łódkę nieco przeciwnie do nurtu rzeki. Używając geometrii widzimy,
+że składowa prędkości prostopadła do brzegu będzie wynosić $\sqrt{c^2-u^2}$.
+Efektywna droga, którą przebył względem wody wynosi więc:
+\[
+  \mathcolor{BrickRed}{D_A}
+  = c \mathcolor{BrickRed}{t_A}
+  = c \frac{2L}{\sqrt{c^2-u^2}}
+  = \frac{2L}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}.
+\]
+
+Drugi wioślarz jest w nieco innej sytuacji. Najpierw wiosłuje z prądem, więc
+płynie szybciej $c + u$, ale wraca pod prąd i płynie wolniej $c - u$.
+Dla niego również możemy policzyć efektywną przebytą drogę:
+\[
+  \mathcolor{ForestGreen}{D_B}
+  = c (\mathcolor{ForestGreen}{t_{B1}} + \mathcolor{ForestGreen}{t_{B2}})
+  = c \left(\frac{L}{c+u} + \frac{L}{c-u}\right)
+  = \frac{2L}{1 - (u/c)^2}
+\]
+
+Już na pierwszy rzut oka widać, że wartości nie są sobie równe.
+Różnią się o czynnik $1 / \sqrt{1-(u/c)^2}$. Drugi wioślarz efektywnie
+przebył dłuższą trasę i dotarł później.
+Analizę można teraz przeprowadzić do tyłu i znając różnicę przebytych odległości
+wyznaczyć szybkość z jaką płynie woda w rzece.
+
+Myślę, że już domyślasz się co mają wioślarze wspólnego z elektromagnetyzmem.
+Ten sam eksperyment można przeprowadzić używając światła i luster,
+gdzie nurt rzeki to płynący eter. Taki eksperyment został przeprowadzony
+przez Alberta Michelsona i Edwarda Morleya pod koniec XIX w.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page12}
+Eksperyment Michelsona-Morleya, urządzenie nazwane interferometrem,
+składa się ze źródła światła, płytki półprzepuszczalnej, dwóch luster i ekranu.
+Światło (monochromatyczne lub białe) trafia na płytkę dzielącą,
+która połowę padającego światła przepuszcza, a drugą połowę odbija pod kątem prostym.
+Obie wiązki lecą wzdłuż ramion interferometru do równo oddalonych luster,
+odbijają się i wracają do płytki gdzie się łączą.
+Za płytką jest umieszczony ekran, na którym można oglądać interferencję dwóch wiązek.
+Jeśli jedna z nich przebyłaby dłuższą drogę niż druga, będzie skutkować
+to przesunięciem prążków interferencyjnych.
+
+Zamiast pomiarów bezpośrednich, eksperyment pozwalał na pomiar odchylenia w stosunku do
+długości fali światła widzialnego, około \SI{600}{\nano\metre}.
+Poprzez wielokrotne odbicie światła uzyskano ramiona długości \SI{11}{\metre},
+co pozwalało obserwować nawet nanometrowe odchylenia gołym okiem.
+
+Całe urządzenie umieszczono na kamiennej płycie, która powoli obracała się
+w basenie z rtęcią. Oczekiwano, że prążki będą przesuwać się
+wraz z obrotem interferometru, jednak nie zaobserwowano
+\textbf{żadnych} przesunięć. Wielokrotne powtarzanie eksperymentu dawało
+dokładnie te same rezultaty.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page13}
+Ten niewinnie wyglądający wynik eksperymentu niósł ze sobą poważne
+konsekwencje, które postawiły na głowie świat fizyki.
+
+Ponieważ eksperymenty wskazywały na brak istnienia eteru, trzeba było
+przyjąć, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w niczym i nie ma żadnego
+punktu odniesienia do mierzenia ich prędkości. Dalej, równania Maxwella
+muszą być prawdziwe w każdym układzie odniesienia, bo nie ma powodu, by
+którykolwiek, a w szczególności nasz ziemski był przez przyrodę faworyzowany.
+Wynika więc, że każdy obserwator będzie widział taką samą prędkość światła,
+niezależnie od ruchu jego samego lub źródła światła.
+
+W tym momencie słychać już śmieciarkę jadącą po dotychczasową fizykę
+opartą na obserwacjach Galileusza. Skoro $c$ dla każdego jest takie same
+to znaczy, że prędkości się nie dodają, położenie i odległości nie mogą być
+jednoznacznie ustalone przez różnych obserwatorów i cała kinematyka i dynamika
+nadaje się do kosza.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page14}
+Wykonajmy następujący eksperyment myślowy. Cyber-kot przebiegający obok
+Alfreda, mijając go wystrzeliwuje z oczu wiązkę lasera.
+Równania elektrodynamiki jasno mówią, że światło będzie oddalać się od
+Alfreda w prędkością $c$. Ponieważ kot tą wiązkę goni, odległość między
+kotem a wiązką będzie rosnąć z prędkością $c - u$. Co więcej, jeśli kot
+będzie biegł dostatecznie szybko, to mógłby tą wiązkę nawet wyprzedzić.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page15}
+A jak sytuacja wygląda z punktu widzenia kota? Podlega on dokładnie tym samym
+prawom fizyki, więc w jego układzie odniesienia światło ucieka
+od niego z szybkością $c$. Nie ma szans dogonić wiązki, bo będzie ona
+zawsze się oddalać ze stałą prędkością.
+
+Zdecydowanie mamy tu paradoks nie tylko z dodawaniem prędkości ale też
+na podłożu przyczynowo-skutkowym. Kot nie może przegonić wiązki w jednym
+układzie i zawsze zostawać w tyle w innym.
+Transformacja Galileusza nie działa.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page16}
+Z transformacją Galileusza jest się jeszcze jeden problem.
+Co zobaczyłaby Beata przyglądająca się eksperymentowi Michelsona-Morleya z kosmosu?
+Michelson będąc stacjonarnym względem eksperymentu dochodzi do wniosku, że
+światło w obu ramionach przebyło taką samą drogę.
+
+Według Beaty cały eksperyment przemierza przestrzeń \SI{30}{\kilo\metre\per\second}.
+Wiązka światła podróżująca wzdłuż ramienia prostopadłego do kierunku ruchu całego interferometru
+przebywa pod skosem drogę ${2L}/{\sqrt{1-(v/c)^2}}$, zaś wiązka podróżująca
+w ramieniu skierowanym wzdłuż kierunku ruchu najpierw goni uciekające lustro, a potem
+wraca do zbliżającej się płytki dzielącej przebywając łącznie drogę
+${2L}/{(1-v/c)^2}$ (patrz eksperyment z wioślarzami).
+Z punktu widzenia Beaty, Michelson nie mógł nie zobaczyć przesunięcia prążków.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page17}
+Sytuację starał się ratować Hendrik Lorentz. Aby obliczenia się zgadzały, zaproponował,
+aby to transformacji Galileusza dodać, że długość obiektów w ruchu zmienia się
+o czynnik
+\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}},\]
+dokładnie tyle, ile wynosiła różnica drogi przebytej przez światło w ramionach
+interferometru. Czynnik ten nazwano czynnikiem Lorentza, a skrócenie długości
+skróceniem Lorentza.
+Można było w ten sposób wyjaśnić negatywny wynik eksperymentu
+Michelsona-Morleya, aczkolwiek było to bardziej załatanie dziury niż działająca
+teoria.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page18}
+Wielu fizyków, próbowało rozwikłać problem elektromagnetyzmu, jednak prawdziwy
+przełom nastąpił pod wpływem nowej teorii zaproponowanej przez pewnego pracownika
+szwajcarskiego urzędu patentowego.
+
+Swoją analizę zaczął od postawienia dwóch postulatów:
+\begin{enumerate}
+  \item prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych,
+  \item fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z niezmienną prędkością
+        $c$ niezależną od źródła światła.
+\end{enumerate}
+Te postulaty nie wydają się niczym odkrywczym. W końcu przyroda nie faworyzuje
+żadnego układu odniesienia. Niezależność prędkości fal od źródła również była
+powszechnie znanym, akceptowanym i potwierdzonym eksperymentalnie zjawiskiem.
+Einstein zauważył jednak, że do tego niepotrzebne jest by położenie i czas były
+czymś absolutnym. Trzeba wymyślić nową fizykę, która będzie zgodna z eksperymentami
+a nie odwrotnie.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page19}
+Spójrzmy jeszcze raz na transformacje Galileusza, kota i lasery na diagramie
+czasoprzestrzennym. Przeskalujmy osie tak, aby sekunda i sekunda świetlna miała
+jednakowe długości. Wtedy linia świata dla światła będzie pod kątem \SI{45}{\degree}.
+Kot, mijając Galileusza, emituje światło, które oddala się z tego punktu z
+prędkością $c$ w obu kierunkach.
+
+Jeśli przejdziemy do układu odniesienia kota używając transformacji Galileusza
+(pochylenie układu tak, by linia świata kota pokrywała się z osią czasu),
+widzimy, że nie zachowuje ona niezmienności prędkości światła.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page20}
+Do tej pory milcząco zakładaliśmy, że czas każdego zdarzenia pozostaje niezmienny.
+Wcale jednak nie musi tak być. To, że cos wydaje się nam intuicyjne, wcale nie znaczy,
+że jest prawdziwe i zgodne z prawami przyrody.
+
+Pochylenie wzdłuż osi $x$ nie jest jedyną transformacją, która pozwala zmienić układ odniesienia.
+Można na przykład przesunąć punkty nie tylko wzdłuż osi przestrzennej, ale też
+nieco cofnąć wzdłuż osi czasu. Taka transformacja ma jedną ciekawą właściwość, faworyzuje ona
+jedną prędkość, która pozostaje niezmienna podczas przechodzenia między układami.
+Pozostaje teraz wyznaczyć parametry transformacji tak, aby nie zmieniała prędkości światła.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page21}
+Transformacja ta nosi nazwę obrotu hiperbolicznego. Nie jest ona obrotem w
+tradycyjnym tego słowa znaczeniu, ale matematycznie ma wiele własności podobnych
+to tych związanych z obrotem.
+
+W przypadku klasycznego (kołowego) obrotu, punkty przemieszczają się po okręgu.
+Nowe współrzędne można wyznaczyć funkcjami trygonometrycznymi
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{Green}{x'} = x \cos\theta - y\sin\theta \\
+    \mathcolor{Green}{y'} = x \sin\theta + y\cos\theta
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Własności okręgu gwarantują nam, że odległość każdego punktu od środka okręgu pozostaje
+niezmienna, co można również wyprowadzić z powyższego równania
+\[{\mathcolor{Green}{x'}}^2 + {\mathcolor{Green}{y'}}^2 = x^2 + y^2.\]
+
+Analogicznie, podczas obrotu hiperbolicznego\footnotemark, punkty
+przemieszczają się po hiperboli.
+Nowe współrzędne można policzyć przy pomocy funkcji hiperbolicznych, które
+noszą te same nazwy to ich trygonometryczne odpowiedniki z literą "h"
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \mathcolor{Green}{ct'} = ct \cosh\vartheta - x \sinh\vartheta \\
+    \mathcolor{Green}{x'} = -ct \sinh\vartheta + x \cosh\vartheta
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Podobnie jak ruch po okręgu zachowuje odległość od jego środka tak własności hiperboli
+gwarantują nam, że leżące na niej punkty spełniają równanie
+\[(\mgreen{ct'})^2 - {\mgreen{x'}}^2 = (ct)^2 - x^2.\]
+W szczególności, punkty leżące na asymptocie hiperboli zawsze na niej pozostają.
+Oznacza to, że linia świata wiązki światła na diagramie czasoprzestrzennym będzie
+zawsze pochylona pod tym samym kątem
+(będzie miała tą samą prędkość względem każdego obserwatora).
+
+Na potrzeby równań konieczne było przeskalowanie współrzędnej $t$, co wyjaśnimy za chwilę.
+
+\footnotetext{Kąt $\theta$ na diagramie jest kątem pochylenia osi, a nie
+  matematyczną definicją kąta hiperbolicznego.}
+
+Mamy już za sobą część matematyczną i interpretację geometryczną.
+Jak możemy dojść do tego po fizycznemu?
+
+Zacznijmy od nakreślenia wymagań jakie musi spełniać wzór na przejście do
+poruszającego się układu współrzędnych.
+Po pierwsze, nie może on się zmieniać pod wpływem przesunięcia zarówno w czasie jak
+i przestrzeni. Wykonanie tego samego eksperymentu na Marsie albo 100 lat później
+nie powinno dawać innych rezultatów. Wynika z tego, że transformacja musi być liniowa\footnotemark
+\[x'= Ax + Bt.\]
+\footnotetext{Liniowość transformacji Lorentza uzasadniam w dodatkach.}
+Parametry $A$ i $B$ nie są nam znane, ale muszą w jakiś sposób zależeć od prędkości
+poruszania się układu. Dwie niewiadome i jedno równanie zazwyczaj nie wróżą nic dobrego.
+Możemy jednak w prosty sposób pozbyć się jednej z nich.
+Z definicji, prędkość układu primowanego $u$, to przemieszczanie się początku jego
+układu współrzędnych, więc dla $x' = 0$, $\frac{dx}{dt} = u$.
+Podstawiając do równania wyżej i licząc pochodną po $t$ otrzymujemy
+\[0 = A \derivative[x]{t} + B \derivative[t]{t} = Au + B,\]
+\[B = -Au.\]
+\[x' = A(x - ut)\]
+Równanie zaczyna przypominać transformację Galileusza przeskalowaną
+o jakąś wartość $A$, a to dobry znak.
+
+Kolejnym warunkiem, który transformacja musi spełniać jest symetria.
+Przejście z pierwszego układu do drugiego musi odbywać się w dokładnie taki
+sam sposób co z powrotem. W końcu w każdym z nich to ten drugi porusza się
+z prędkością $u$, zmienia się jedynie kierunek prędkości co możemy zrealizować
+zmieniając jej znak
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = A (x - ut) \\
+    x = A (x' + ut')
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Do tego tortu trzeba teraz dodać wisienkę, która sprawi, że transformacja
+nie będzie jakimś ogólnym przekształceniem, a takim, zgodnym z fizyką.
+Ostatnim warunkiem jest niezmienność prędkości światła.
+Jeśli coś porusza się z prędkością światła w jednym układzie, to koniecznie porusza się
+z tą samą prędkością w drugim
+\[\derivative[x]{t} = c \iff \derivative[x']{t'} = c.\]
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \diff x' = A (\diff x - u \diff t)
+    = A(\diff x - \frac{u}{\derivative[x]{t}} \diff x)
+    = A(1 - \frac{u}{c}) \diff x \\
+    \diff x = A(\diff x' + u \diff t')
+    = A(\diff x + \frac{u}{\derivative[x']{t'}} \diff x')
+    = A(1 + \frac{u}{c}) \diff x'
+  \end{eqsystem}
+\]
+Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy
+\begin{gather*}
+  \diff x' = A \left(1 - \frac{u}{c}\right) \cdot A \left(1 + \frac{u}{c}\right) \diff x'
+  = A^2 \left(1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2\right) \diff x',\\
+  A^2 \left(1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2\right) = 1, \\
+  A = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}}.
+\end{gather*}
+Zatem tajemnicza stała skalująca współrzędne to znany nam czynnik
+Lorentza $\gamma$.
+Jednak, w przeciwieństwie to pierwotnej propozycji Lorentza, nie powoduje
+on skrócenia długości (przynajmniej niebezpośrednio), a skaluje współrzędne
+przy przechodzeniu między układami odniesienia.
+
+Dokonując prostych przekształceń algebraicznych możemy wyznaczyć pełną transformację
+współrzędnych przestrzennych i czasowych
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = \gamma (x - ut) \\
+    t' = \gamma (t - \frac{u}{c^2}x)
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+W przypadku, gdy prędkości sa bardzo małe $u \ll c$ oraz $\gamma \approx 1$,
+otrzymujemy z powrotem transformację Galileusza. Nowe odkrycie nie sprawiło, że samochody
+przestały jeździć a budynki się zapadły. Pokazało jedynie, że stare równania
+były przybliżeniem działającym w szczególnym przypadku małych prędkości.
+
+Co bardziej pedantyczni czytelnicy mogli zwrócić uwagę, że równania nie są symetryczne.
+Równanie przekształcające położenie jest ładne i proste, a równanie przekształcające
+czas zawiera bardzo brzydki czynnik $\frac{1}{c^2}$.
+Odpowiedź jest bardzo prosta: ludzkość używa jednostek wygodnych dla ludzi, a nie
+opartych na przyrodzie. Metr i sekunda są ustalone całkowicie arbitralnie pod
+nasz własny rozmiar i świata w którym żyjemy.
+
+Jeśli chcemy ujednolicić współrzędne przestrzenne i czasowe, powinniśmy w pierwszej
+kolejności ujednolicić ich jednostki. Możemy zacząć liczyć czas w metrach używając $ct$
+zamiast czasu. Prędkość $\beta = \derivative[x]{(ct)}$ jest teraz wyrażona częściach
+prędkości światła. Poprawmy zatem nasze równania transformacji
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = \gamma (x - \beta ct) \\
+    ct' = \gamma (ct - \beta x)
+  \end{eqsystem}, \text{gdzie}\ \beta = \frac{u}{c}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
+\]
+Teraz jest ładnie i symetrycznie.
+
+Taki zapis daje nam też pewien wgląd dlaczego intuicyjnie czas wydaje nam się
+niezmienny i absolutny. Metr jest jednostką mikroskopijnie małą w porównaniu do
+sekundy, która jest ogromna (prawie 300 milionów razy większa). We wszystkim co
+dzieje się wokół nas czas dominuje tak mocno, że trzeba bardzo precyzyjnych pomiarów
+by dostrzec jakiekolwiek jego odchyły.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page23}
+Skoro przestrzeń i czas nie są już oddzielnymi, niezależnymi od siebie bytami,
+a raczej współistniejącymi współrzędnymi, które przekształcają się razem,
+możemy potraktować je jako jeden czteroelementowy wektor -- czterowektor\footnotemark.
+\[
+  \fourvec{x} = [x_0, x_1, x_2, x_3] = [ct, x, y, z] = [ct, \vec{r}]
+\]
+
+Czterowektor ma cztery współrzędne i wskazuje punkt w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.
+Różnica między tą przestrzenią (opisaną przez Hermanna Minkowskiego i nazwaną
+przestrzenią Minkowskiego) a przestrzenią Euklidesową jest hiperboliczny obrót
+gdy w grę wchodzi czas. Konsekwencją jest dość nietypowe wyrażenie na ``długość''
+wektora
+\[s^2 = (ct)^2 - (x^2 + y^2 + z^2),\]
+co będzie miało fizycznie znaczenie później.
+
+\footnotetext{Czterowektory oznaczam dwiema kreskami $\fourvec{x}$
+  by podkreślić, kiedy mamy do czynienia z wektorem trój- a kiedy
+  czterowymiarowym. Nie jest to konwencja, a czterowektory są po prostu wektorami.}
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page24}
+Przetestujmy naszą nową teorię na przykładzie. Wykonamy nieco zmodyfikowaną
+wersję eksperymentu myślowego zaproponowanego przez Alberta Einsteina.
+
+Na środku wagonu subluminalnego ekspresu stoi Beata. Wagon ma długość \SI{2}{ls}
+(sekundy świetlne) i na jego końcach znajdują się lampy ostrzegawcze, które
+zapalają się, gdy wagon mija peron.
+Wagon ma bardzo nowoczesny design i jest
+cały oszklony tak, że można z zewnątrz obserwować, co się dzieje w środku.
+Pociąg właśnie przejeżdżał z prędkością $u = 0.6c$ obok peronu, na którym stał Albert,
+co Beacie zasygnalizowało jednoczesne zaświecenie się obu lamp ostrzegawczych.
+
+Żeby uniknąć niejasności, Beata \textit{zobaczyła} obie lampy zapalające się w tym samym
+czasie. Wiedząc, że stoi w równej odległości $d = \SI{1}{ls}$ od obu końców wagonu,
+\textit{zmierzyła}, że lampy zaświeciły się jednocześnie sekundę wcześniej.
+Podkreślam to, żeby pokazać, że efekty relatywistyczne nie są sztuczką wynikającą
+z opóźnionego widzenia zjawisk, spowodowanym skończoną prędkością światła, a faktyczną
+zmianą współrzędnych przestrzennych i czasowych zdarzeń niezależną od tego, kiedy
+i gdzie zostają zobaczone. Każdy obserwator po \textit{zobaczeniu} zdarzenia,
+może \textit{zmierzyć} gdzie w czasoprzestrzeni się ono zdarzyło.
+
+Przejdźmy teraz do układu Alberta, który stoi na peronie. Ponieważ zarówno Albert
+jak i Beata są inercjalni, obserwowane przez nich zjawiska powinny być identyczne.
+Dla uproszczenia przesuńmy układ współrzędnych Alberta tak, aby jego punkt $(0, 0)$
+pokrywał się z Beaty. Możemy to zrobić, ponieważ fizyka jest niezmienna przy przesunięciach.
+Wykonajmy najpierw transformację Galileusza, żeby pokazać na czym polega problem
+i jak rozwiązuje go transformacja Lorentza.
+
+Jeśli czas byłby absolutny, to Albert również zobaczyłby, że oba światła zaświecają
+się równocześnie. Według Beaty współrzędne zaświecenia się lamp wynoszą
+\[
+  \begin{bmatrix}\mred{t_1} \\ \mred{x_1}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{-1}{ls} \end{bmatrix};
+  \begin{bmatrix}\mred{t_2} \\ \mred{x_2}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{1}{ls} \end{bmatrix}.
+\]
+Według Alberta będą one dokładnie takie same
+\[
+  \begin{bmatrix}\mblue{t_1'} \\ \mblue{x_1'}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{-1}{ls} \end{bmatrix};
+  \begin{bmatrix}\mblue{t_2'} \\ \mblue{x_2'}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{1}{ls} \end{bmatrix}.
+\]
+
+Rozbieżność zaczyna się, gdy przeanalizujemy współrzędne zobaczenia świateł przez
+Beatę. Według niej światło z obu lamp dotrze do niej dokładnie po sekundzie
+\[
+  \mred{t_{o1}} = \mred{t_{o2}} = \SI{1}{s}.
+\]
+Co zaś zmierzyłby Albert? Według niego Beata ucieka od światła wyemitowanego z tyłu wagonu
+i zbliża się do światła wyemitowanego z przodu. Czas po którym tylne światło ją dogoni
+wynosi zatem
+\[ \mblue{t_{o1}} = \frac{d}{c - u} = \frac{\SI{1}{ls}}{0.4 c} = \SI{2.5}{s},\]
+a czas dogonienia przedniego światła wynosi
+\[ \mblue{t_{o2}} = \frac{d}{c + u} = \frac{\SI{1}{ls}}{1.6 c} = \SI{0.625}{s}.\]
+Zatem, z jego punktu widzenia, do Beaty promienie światła nie dotarły jednocześnie.
+
+Można by powiedzieć ``Wielkie rzeczy, przecież transformacja Lorentza też robi dziwne
+rzeczy z przestrzenią i czasem. Dlaczego tamte dziwności mamy akceptować a tych nie?''
+Miałoby to sens, gdyby nie to, że transformacja Galileusza powoduje
+niemożliwe do zaistnienia sytuacje.
+
+Co jeśli głowa Beaty eksploduje tylko wtedy,
+gdy światła z obu lamp dotrą do niej jednocześnie? Inni pasażerowie jadący
+z Beatą zobaczyliby jej mózg rozbryzgujący się na ścianach wagonu. Jednak według
+ludzi na peronie Beata jedzie pociągiem dalej w jednym kawałku.
+Gdyby teraz ktoś z peronu wsiadł do pociągu, mielibyśmy bardzo poważny problem
+ustalić, co zastanie w środku. Według niego Beata żyje, ale inni w wagonie,
+w tym sama Beata, by się z tym zdecydowanie nie zgodzili\footnote{Nie, to nie jest
+  efekt kwantowy. Nie doszukuj się tu paradoksu Shr\"odingera.}.
+
+Jak zatem z tym samym problemem poradzi sobie transformacja Lorentza?
+Przy prędkości $u = 0.6 c$ współczynnik Lorentza wynosi $\gamma = 1.25$.
+Zaczynamy w ten sam sposób, w układzie Beaty światła zaświecają się równocześnie
+na obu końcach pociągu
+\[
+  \begin{bmatrix}\mred{ct_1} \\ \mred{x_1}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{-1}{ls} \end{bmatrix};
+  \begin{bmatrix}\mred{ct_2} \\ \mred{x_2}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix} 0 \\ \SI{1}{ls} \end{bmatrix}.
+\]
+Światło z obu lamp dociera do niej dokładnie po sekundzie powodując eksplozję
+jej głowy w punkcie
+\[
+  \begin{bmatrix}\mred{ct_o} \\ \mred{x_o}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}\SI{1}{ls} \\ 0 \end{bmatrix}.
+\]
+
+Jakie współrzędne zdarzeń zmierzy zatem Albert? Ponieważ położenie i czas nie są
+rozdzielne i muszą być traktowane razem, musimy obliczyć gdzie i kiedy według
+niego zaświecą się światła ostrzegawcze.
+Pamiętaj, że z perspektywy pociągu, peron porusza się z prędkością $\beta = -0.6$.
+\[
+  \begin{bmatrix}\mblue{ct_1'} \\ \mblue{x_1'}\end{bmatrix} =
+  \gamma\begin{bmatrix}
+    \mred{ct_1} + \beta \mred{x_1} \\
+    \mred{x_1} + \beta \mred{ct_1}
+  \end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}\SI{-0.75}{ls} \\ \SI{-1.25}{ls}\end{bmatrix},
+\]
+\[
+  \begin{bmatrix}\mblue{ct_2'} \\ \mblue{x_2'}\end{bmatrix} =
+  \gamma\begin{bmatrix}
+    \mred{ct_2} + \beta \mred{x_2} \\
+    \mred{x_2} + \beta \mred{ct_2}
+  \end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}\SI{0.75}{ls} \\ \SI{1.25}{ls}\end{bmatrix}.
+\]
+Już na pierwszy rzut oka widać, że zdarzenia, które były jednoczesne w układzie
+Beaty, wcale takie nie są w innych układach. Osoby stojące na peronie zmierzą,
+że tylne światło zaświeciło się wcześniej, zaś przednie później.
+
+Można teraz wyznaczyć gdzie i kiedy światło wyemitowane przez
+lampy dotrze do Beaty. Najprościej zrobić to układając układ równań dla położenia
+frontów fali świetlnych oraz położenia Beaty.
+Otrzymamy z nich, że światła z obu lamp spotkają się z Beatą w tym samym czasie
+w punkcie
+\[ \begin{bmatrix}\mblue{ct_o} \\ \mblue{x_o}\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}
+    \SI{1.25}{ls} \\ \SI{0.75}{ls}
+  \end{bmatrix}, \]
+rozsadzając jej głowę.
+
+Różni obserwatorzy może i nie są teraz zgodni gdzie i kiedy coś się zdarzyło,
+ale dzięki temu są zgodni co się zdarzyło, a to dużo ważniejsze.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page25}
+Niejednoczesność jednoczesnych zdarzeń nie jest jedyną nietypową rzeczą,
+z którą przyjdzie nam się zmierzyć. Wiele podręczników wprowadza w tym
+momencie zjawisko \textit{dylatacji czasu}, opisując że czas obiektów będących w
+ruchu upływa wolniej. Wynika to bezpośrednio z transformacji Lorentza.
+Każda sekunda na kieszonkowym zegarku Beaty jest odmierzania, według niej,
+w punkcie $\mred{x} = 0$. Podstawiając to do transformacji czasu w formie
+różnicowej
+\[c\mblue{\Delta t} = \gamma (c\mred{\Delta t'} + \beta \mred{\Delta x'}),\]
+otrzymujemy
+\[\mblue{\Delta t} = \gamma \mred{\Delta t'}.\]
+Jeśli Beata przelatuje obok Alberta, to Albert zobaczy, że zmierzenie sekundy
+przez zegarek Beaty będzie trwało $\gamma$ razy dłużej.
+
+Ale chwila moment, przecież z punktu widzenia Beaty to Albert jest w ruchu
+i to jego czas upływa wolniej
+\[\mred{\Delta t'} = \gamma \mblue{\Delta t}.\]
+Albert i Beata nie mogą być jednocześnie starsi i młodsi w
+w stosunku do tego drugiego. Gdyby nasi bohaterowie się spotkali i
+porównali swój wiek, to muszą być razem zgodni co do obserwacji.
+
+Paradoks tkwi w tym, że czas jest tu wyjęty z szerszej perspektywy.
+Jak ustaliliśmy wcześniej, współrzędne czasowe i przestrzenne nie są
+rozdzielne i muszą być traktowane razem. Rozważanie samego czasu bez
+przestrzeni sprowadzi nas na manowce.
+
+Skorzystajmy jeszcze raz z transformacji Lotentza, tym razem w pełnej formie.
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    c\mblue{t} = \gamma (c\mred{t'} + \beta \mred{x'}) \\
+    \mblue{x} = \gamma (\mred{x'} + \beta c\mred{t'})
+  \end{eqsystem}.
+\]
+Kolejne sekundy Beaty będą mierzone przez nią samą w punktach
+\[
+  \mred{B_B} = \left\{
+  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \dots
+  \right\}.
+\]
+Albert zaś zmierzy te same zdarzenia w punktach
+\[
+  \mblue{B_A} = \left\{
+  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma\beta \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 2\gamma \\ 2\gamma\beta \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 3\gamma \\ 3\gamma\beta \end{bmatrix},
+  \dots
+  \right\}.
+\]
+Analogicznie, Albert mierzy swoje sekundy w punktach
+\[
+  \mblue{A_A} = \left\{
+  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \dots
+  \right\},
+\]
+a Beata zmierzy je w punktach
+\[
+  \mred{A_B} = \left\{
+  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} \gamma \\ -\gamma\beta \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 2\gamma \\ -2\gamma\beta \end{bmatrix},
+  \begin{bmatrix} 3\gamma \\ -3\gamma\beta \end{bmatrix},
+  \dots
+  \right\}.
+\]
+
+Albert faktycznie zaobserwuje, że każda sekunda Beaty jest odmierzona przez nią
+w odstępach większych niz sekunda i vice-versa, ale są też odmierzane
+coraz dalej od niego. Kluczowe jest też to, że poruszając się ruchem jednostajnym
+nigdy nie będą mieli okazji spotkać się ponownie by porównać czas z bliska.
+Dylatacja czasu jest nierozerwalnie połączona ze zmienianiem położenia.
+
+Jeśli jesteś zainteresowany zgłębieniem tematu, to po przerobieniu całego
+wykładu spróbuj policzyć upływ czasu w sytuacji, gdy Beata zwalnia i zawraca
+by znów spotkać Alberta. Można to wyznaczyć całkując po czasie własnym lub
+licząc długość zakrzywionej linii świata w czasoprzestrzeni Minkowskiego.
+Wtedy okazuje się, że od ostatniego spotkania upłynęło jej mniej lat niz Albertowi.
+Receptą na podróż do przyszłości jest szybka podróż w tą i z powrotem
+(albo czekanie na kanapie aż przyszłość przyjdzie do nas sama).
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page26}
+Skomplikujmy teraz nieco sprawę. Ustaliliśmy, że Albert i Beata mogą jednocześnie
+obserwować, że to drugie jest młodsze. Tak długo jak poruszają się ruchem
+jednostajnym i mają tylko jedną szansę spotkać się z bliska, żeby porównać
+swój wiek, nie prowadzi to do paradoksu.
+
+Co jeśli Beata będzie trzymać w rękach bardzo długi kij, do którego z przodu
+i z tyłu przymocuje zsynchronizowane zegarki odmierzające jej wiek?
+Ten kij może być nawet nieskończenie długi i mieć w regularnych odstępach przymocowane
+zsynchronizowane zegary, tak, żeby Albert w każdej chwili mógł
+sprawdzić ile lat ma Beata bez spotykania jej po raz drugi.
+Nie ma teraz innej opcji, zegarek Alberta musi wskazywać czas
+wcześniejszy, albo późniejszy niż mijany przez niego zegar Beaty.
+
+Czy ten sposób będziemy mogli absolutnie ustalić, które z nich jest
+młodsze? Nie! Zarówno Albert jak i Beata zmierzą, że każdy mijany przez niego zegar
+na kiju wskazuje \textbf{dokładnie} ten sam czas co jego własny.
+Jak to możliwe skoro mamy dylatację czasu a zegary pokazują aktualny
+wiek Beaty? Otóż nie pokazują! Tak samo jak w eksperymencie z wagonem,
+zdarzenia jednoczesne dla jednego, nie będą jednoczesne dla drugiego.
+Zegary zsynchronizowane przez Beatę nie będą
+zsynchronizowane w układzie odniesienia Alberta.
+Według niego wszystkie chodzą wolniej o czynnik $\gamma$,
+ale te z tyłu kija pokazują późniejszą godzinę -- zostały wystartowane wcześniej.
+W ten sposób, każdy zegar w chwili mijania będzie pokazywać dokładnie tą samą godzinę co jego własny.
+Pomimo bycia bardzo nieintuicyjną na chłopski rozum, STW zapewnia nam
+spójne obserwacje.
+
+Sugeruję ci w tym momencie samodzielnie przeliczyć sytuację, w której Beata biegnie
+z kijem, to którego na obu końcach przymocowane są budziki.
+Jeśli oba budziki zadzwonią w tej samej chwili według Beaty, to w jakich
+miejscach i czasie zadzwonią według Alberta?
+
+Jako dodatek wyobraźmy sobie, że subluminalny pociąg jest cały wypełniony
+Beatami w ``tym samym'' wieku.
+Stojący na peronie Albert widziałby, że jadące Beaty siedzące z
+tyłu pociągu są starsze od tych z przodu.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page27}
+W ten sam sposób co policzyliśmy dylatacje czasu oddzielającego od siebie zdarzenia,
+możemy też policzyć zmianę odległości między zdarzeniami. Podstawiamy wtedy
+$\Delta t = 0$ w równaniu transformacji $\Delta x$ i otrzymamy
+\[ \mblue{\Delta x} = \gamma \mred{\Delta x'}. \]
+
+Chwila moment. Przecież Lorentz zaproponował, że obiekty będą się skracać w kierunku ruchu
+a samo zjawisko nosi nazwę \textit{skrócenia} Lorentza.
+Tutaj zdecydowanie mamy wydłużenie.
+
+Owszem! To dlatego, że to wcale nie jest długość tylko odległość między dwoma zdarzeniami.
+Długość to nic innego jak jednoczesne zmierzenie położenia początku i końca.
+A gdzie coś jest \textit{jednoczesne} tam są problemy.
+
+Zróbmy jak zawsze eksperyment myślowy. Beata jednocześnie mierzy położenia początku
+i końca metrowej linijki. Dla niej oczywiście $\mred{\Delta t} = 0$ i $\mred{\Delta x} = L$.
+Zaś według Alberta $\mblue{\Delta x'} = \gamma L$ ale również $\mblue{\Delta t'} = \gamma\beta L$.
+Dla niego, Beata zmierzyła położenie tylnego końca linijki przed przednim (licząc względem kierunku ruchu).
+Taki pomiar odległości nie ma dla Alberta sensu, bo linijka się w międzyczasie przemieściła!
+To tak jakby mierzyć długość samochodu mierząc tył gdy ten wjeżdża do tunelu
+i przód gdy wyjeżdża i dojść do wniosku, że samochód jest długości tunelu.
+Kompletna bzdura!
+
+Zróbmy zatem poprawkę i odejmijmy od odległości między zdarzeniami dystans,
+który przebyła linijka w tym czasie.
+\[
+  \mblue{L'} = \gamma L - \gamma \beta L \beta = \gamma L (1 - \beta^2) = L \frac{1 - \beta^2}{\sqrt{1 - \beta^2}} = L \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{L}{\gamma}
+\]
+To zdecydowanie jest skróceniem i to tym samym, które pierwotnie zaproponował Lorentz
+by wyjaśnić wynik eksperymentu Michelsona-Morleya.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page28}
+Sprawdźmy jeszcze jak w czasoprzestrzeni składają się prędkości.
+Tradycyjna suma prędkości stosowana przez Galileusza i Newtona nie daje
+prawidłowych wyników, ale wiemy przecież, że prędkości jakoś się dodają.
+
+Użyjmy za przykład Alberta, wystrzeliwuje Beatę z wyrzutni z prędkością $u$,
+która z kolei wystrzeliwuje z tym samym kierunku kota z prędkością $v$ (nie róbcie tego w domu).
+Jaką prędkość kota zaobserwuje zatem Albert?
+
+Najłatwiej ten problem policzyć używając transformacji Lorentza w formie różniczkowej
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \mblue{\diff t} = \gamma (\mred{\diff t'} + \frac{u}{c^2}\mred{\diff x'}) \\
+    \mblue{\diff x} = \gamma (\mred{\diff x'} + u \mred{\diff t'})
+  \end{eqsystem},
+\]
+\[
+  \mblue{v}
+  = \mblue{\derivative[x]{t}}
+  = \frac{\gamma (\mred{\diff x} + u \mred{\diff t})}{\gamma (\mred{\diff t} + \frac{u}{c^2} \mred{\diff x})}
+  = \frac{\mred{\derivative[x]{t}} + u \mred{\derivative[t]{t}}}{\mred{\derivative[t]{t}} + \frac{u}{c^2}\mred{\derivative[x]{t}}}
+  = \frac{\mred v + u}{1 + \frac{u \mred v}{c^2}}.
+\]
+Sprawdź teraz, że jeśli coś porusza się z prędkością światła w jednym układzie,
+to porusza się też tak w każdym innym. Równocześnie, jeśli coś porusza się wolniej od
+prędkości światła to też porusza się wolniej w każdym innym układzie.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page30}
+Wróćmy do czegoś co do tej pory tylko napomknęliśmy, a co jest bardzo
+istotnym elementem STW; czegoś co, w całej tej relatywności, pozostaje
+absolutne. Podobnie jak w przestrzeni Galileusza odległości były niezmienne
+tak i w czasoprzestrzeni Minkowskiego możemy zdefiniować ``długość'', która
+będzie stała i niezależna od układu odniesienia. Musi ona jednak zawierać
+w sobie komponent czasu. Ponieważ obrót hiperboliczny, którym matematycznie
+jest transformacja Lorentza, nie zmienia równania hiperboli $x^2 - y^2 = a^2$
+możemy użyć tego jako nowej definicji długości
+\[
+  (c \Delta t)^2 - \Delta x^2 = \Delta s^2.
+\]
+Wartość $\Delta s^2$, nazywana interwałem czasoprzestrzennym, określa
+niezależną od obserwatora odległość między dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni.
+
+W czterech wymiarach, można go zapisać jako
+\[
+  \Delta s^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)
+  = (c \Delta t)^2 - (\Delta \vec{r})^2.
+\]
+Jest to przydatne narzędzie, przy pomocy którego można policzyć niektóre
+rzeczy bez uciekania się do pełnej transformacji Lorentza.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page31}
+Przetestujmy to i sprawdźmy ile czasu gotuje się jajko?
+W przedziale restauracyjnym promu kosmicznego Beata rozpoczęła
+gotowanie jajka na twardo. Dla prostoty, będzie to początek układu
+współrzędnych. Jeśli jajko skończyło się gotować po \SI{300}{\second} i nigdzie
+się w międzyczasie nie przemieściło ($\Delta x = 0$), to interwał między początkiem a
+końcem gotowania wynosi
+\[
+  \Delta s^2 = (c\Delta t)^2 - \Delta x^2 = (\SI{300}{ls})^2.
+\]
+Dla Alberta, przelatującego obok z prędkością około $0.495c$, jajko gotuje się przez
+\SI{345}{\second} ale również przemieszcza się w tym czasie o \SI{170.4}{ls}.
+Dla niego, interwał między zdarzeniami rozpoczęcia i końca gotowania wynosi
+\[
+  \Delta s^2 = (c\Delta t)^2 - \Delta x^2 \approx (\SI{345}{ls})^2 - (\SI{170.4}{ls})^2 \approx (\SI{300}{ls})^2,
+\]
+czyli tyle samo.
+
+Interwał czasoprzestrzenny ma jeszcze jedno ważne zastosowanie w fizyce. Zauważ, że w układzie,
+w którym zdarzenia się dzieją (są w tym samym miejscu) interwał jest równy czasowi, który
+upłynął między nimi $\Delta s^2 = c\Delta t^2$.
+
+Jest to tak zwany czas własny oznaczany literą $\tau$ i jest to
+też najkrótszy obserwowalny czas między zdarzeniami (w każdym innym układzie będzie dłuższy).
+Mamy więc, że
+\[
+  (c\Delta \tau) ^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta \vec{r})^2.
+\]
+Możemy dzięki temu policzyć czas własny życia i rozpadu egzotycznych cząstek
+formujących się w górnych warstwach atmosfery i akceleratorach, a także czas upływający
+na satelitach GPS pędzących po orbicie okołoziemskiej.
+
+Interwał w którym odległość w czasie jest większa od odległości w
+przestrzeni, $\Delta s^2 > 0$, nazywamy interwałem czasowym. Jest nim na przykład
+początek i koniec gotowania jajka. Z takimi dwoma zdarzeniami można powiązać czas własny
+i występuje między nimi ścisłe następstwo czasowe. Żadnej inny obserwator nie zaobserwuje, że jajko
+ugotowało się przed włączeniem gazu na kuchence.
+
+Istnieje jednak drugi przypadek, w którym interwał czasoprzestrzenny jest ujemny.
+W końcu nic nie stoi na przeszkodzie, żeby dwa zdarzenia wydarzyły się bardzo daleko od
+siebie w krótkim odstępie czasu.
+Mimo, że $\Delta s^2 < 0$ nie ma rzeczywistej wartości, taki przypadek jest dla nas
+równie użyteczny i jest nazywany interwałem przestrzennym, bo dominuje
+w nim odległość przestrzenna.
+Niektórzy w takiej sytuacji odwracają znak interwału
+\[\Delta \sigma^2 = -\Delta s^2 = (\Delta \vec r)^2 - (c\Delta t)^2.\]
+
+Zauważ, że jeśli interwał jest ujemny,
+to istnieje taki układ odniesienia, w którym czas między zdarzeniami wynosi $\Delta t = 0$,
+a odległość między nimi jest wtedy najmniejsza. Analogicznie, ta długość jest nazwana
+długością (odległością) własną.
+Ponieważ istnieje układ odniesienia, w którym te dwa zdarzenia
+zaszły jednocześnie, lub w całkiem odwrotnej kolejności,
+to znaczy, że nie mógł łączyć ich ciąg przyczynowo-skutkowy.
+Nie mają czasu własnego.
+
+Przykładem są dwie lampy na końcach wagonu z poprzedniego eksperymentu.
+Zaświecenie się jednej nie może wpłynąć na zaświecenie drugiej.
+Różni obserwatorzy nie zgadzaliby się nawet co do kolejności tych dwóch zdarzeń.
+Lampy mogą jednak mieć wspólną przyczynę w przeszłości.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page32}
+Bazując na znaku, interwały można podzielić na trzy grupy
+\begin{itemize}
+  \item Interwał czasowy, gdy $\Delta s^2 > 0$.
+        Łączy zdarzenia miedzy którymi występuje następstwo czasowe / przyczynowo-skutkowe.
+        Można z nimi powiązać układ odniesienia i czas własny $c\Delta \tau = \pm\Delta s$.
+  \item Interwał przestrzenny, gdy $\Delta s^2 < 0$.
+        Łączy zdarzenia oddalone przestrzennie, których nie może łączyć ciąg przyczynowo-skutkowy.
+        Istnieje układ odniesienia, w którym występują jednocześnie.
+  \item Interwał zerowy, gdy $\Delta s^2 = 0$. Zarezerwowany dla zdarzeń gdzie
+        $\frac{\Delta x}{\Delta t} = c$, na przykład kolejne położenia fali
+        elektromagnetycznej.
+\end{itemize}
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page34}
+
+Możemy wszystkie możliwe zdarzenia względem naszego ``tu i teraz'' umieścić na diagramie
+czasoprzestrzennym i pokolorować według rodzaju interwału łączącego nas z tym zdarzeniem.
+
+Zdarzenia, dla których interwał jest czasowy, uformują dwa stożki (tak zwane
+stożki zerowe bo ich równanie to $ct^2 - x^2 = 0$).
+Jeden zawierający naszą przyszłość, wszystkie zdarzenia, na które z
+obecnego miejsca i czasu możemy mieć wpływ lub do nich dotrzeć.
+Drugi zawierający naszą przeszłość. Wszystkie zdarzenia, które
+mogą mieć teraz wpływać na nas.
+
+Pozostaje jednak ogromny obszar zdarzeń, dla których interwał jest przestrzenny.
+Są to wszystkie zdarzenia, które nie są ani w naszej przeszłości ani przyszłości.
+Dla nas w tym momencie tak jakby nie istniały. Nie możemy ich zaobserwować
+ani wejść w żadną inną interakcję.
+
+Oczywiście nie pozostaną tam na zawsze. Jeśli poczekamy dostatecznie długo i
+przesuniemy się w przód w czasie, to znajdą się one w stożku naszej przeszłości.
+Zniknięcie Słońca w tej chwili będzie znajdować się poza naszym stożkiem zerowym,
+ale za jakieś 8 min 19 s my przesuniemy się w czasoprzestrzeni tak, że to zdarzenie wpadnie
+w obszar naszej przeszłości i poczujemy jego skutki.
+\newpage
+
+\subsection*{Pytania}
+\begin{itemize}
+  \item Dwa subluminalne ekspresy jadą naprzeciw ciebie z prędkościami $v_1 = 0.85c$
+        i $v_2 = 0.90c$ względem torów. Z jaką prędkością zbliżają się do siebie według Alberta
+        stojącego na stacji? Z jaką według maszynistów siedzących w pociągach?
+  \item Beata wbiega do stodoły o długości własnej \SI{10}{ls} z prędkością $v = 0.866c$
+        trzymając tyczkę o takiej samej długości własnej. Czy tyczka zmieści się
+        w całości w stodole? Czy stodoła w całości obejmie tyczkę według Beaty?
+  \item Stojące w szeregu Alberty wykonały nieskończenie szybką falę meksykańską
+        podnosząc ręce jednocześnie. Z jaką szybkością i w jakim kierunku porusza
+        się fala z punktu widzenia biegnącej wzdłuż nich Beaty?
+        (Pamiętaj, że Beata umie biegać \textit{bardzo} szybko.)
+\end{itemize}
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page35}
+Skoro wiemy już, że prędkości się nie dodają w sposób klasyczny, możemy
+spróbować stworzyć jej relatywistyczny odpowiednik.
+Podobnie jak z położenia zrobiliśmy czteropołożenie, którego ``długość'', czyli
+interwał, jest niezmienny, to może analogicznie da się utworzyć podobną, czteroprędkość?
+
+Jeśli jednak policzymy pochodną czteropołożenia po czasie to otrzymamy zwykłą
+prędkość w kierunkach przestrzennych i $c$ w kierunku czasowym $[c, v_x, v_y, v_z]$.
+Nie jest to zadowalające, bo taka prędkość nie transformuje się Lorentzowsko
+jak ustaliliśmy wcześniej i jej ``długość'' nie jest niezmienna w różnych układach.
+Wynika to z tego, że używany definicji prędkości $\derivative[x]{t}$, a przecież
+$\diff t$ nie jest absolutne. Czynnik Lorentza z licznika kasuje nam się z czynnikiem
+z mianownika pochodnej.
+
+Absolutny jest jednak czas własny, czyli długość interwału, i to po nim możemy
+policzyć pochodną. Czteroprędkość definiuje się zatem jako pochodna czteropołożenia
+po czasie własnym
+\[
+  \fourvec{v} = \derivative[\fourvec{x}]{\tau} 
+    = \left[c \derivative[t]{\tau}, \derivative[x]{\tau}, \derivative[y]{\tau}, \derivative[z]{\tau} \right].
+\]
+Robiąc parę przekształceń i podstawień otrzymujemy
+\[ \fourvec{v}
+  = \left[
+    c\derivative[t]\tau,
+    \derivative[x]t\derivative[t]{\tau},
+    \derivative[y]t\derivative[t]{\tau},
+    \derivative[z]t\derivative[t]{\tau}
+    \right]
+  = [\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z]. 
+\]
+
+Należy pamiętać jednak, że o ile czteropołożenie ma fizyczne znaczenie i
+jest to obserwowane przez nas położenie i czas zdarzenia; to czteroprędkość
+nie jest obserwowaną przez nas prędkością obiektu. Interpretacja czteroprędkości
+to kierunek linii świata obiektu na diagramie czasoprzestrzennym. Stosunek
+każdego komponentu czteropołożenia do interwału.
+Jest to poniekąd wektor jednostkowy wskazujący kierunek ruchu na diagramie
+czasoprzestrzennym. Dlaczego jednostkowy? Ponieważ jego ``długość'' to
+\[
+  (\gamma c)^2 - (\gamma v)^2 = (\gamma c)^2 - \left(\gamma c \frac{v}{c}\right)^2
+   = (\gamma c)^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = c^2.
+\]
+
+Niezależnie od prędkości i układu odniesienia, wszystko ma czteroprędkość
+o wartości $c$.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/page-35-1.png}
+Z dodawaniem prędkości jest jeszcze jeden, sporo poważniejszy, mankament.
+Jeśli Beata wyrzuciłaby w przeciwnych kierunkach z tą samą prędkością dwa koty
+o jednakowej masie, to ze względu na symetrię eksperymentu, powinna ona pozostać
+w bezruchu. Przelatujący obok z prędkością $u$ Albert zmierzy jednak, że kot
+wystrzelony w kierunku ruchu Beaty będzie wystrzelony wolniej, niż ten
+wystrzelony w kierunku przeciwnym. Taka sytuacja łamie symetrię i z jego perspektywy
+Beata powinna zmienić prędkość by pęd był zachowany, co jednak sie nie dzieje.
+
+Szczególna teoria względności łamie zatem zasadę zachowania pędu, a przynajmniej
+tą, sformułowaną przez Newtona. Newton jednak nie wiedział o elektrodynamice
+i transformacji Lorentza i jego definicja pędu $p = mv$, również jest jedynie
+przybliżeniem działającym przy małych prędkościach.
+
+Jeśli zamiast prędkości, użyjemy współrzędnych przestrzennych czteroprędkości, to
+okazuje się, że symetria znowu nam wraca. Więc czteroprędkość nie jest tak
+całkowicie bezużyteczna.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page36}
+Jeśli czteroprędkość zachowuje symetrię przestrzenną (i czasową też) to można
+w takim razie użyć jej do zdefiniowania czteropędu
+\[
+  \fourvec{p} = m\fourvec{v} = [\gamma mc, \gamma m \vec v].
+\]
+Otrzymaliśmy nową definicję pędu z dodatkową, tajemniczą współrzędną w kierunku
+czasowym.
+
+Taki czteropęd transformuje się zgodnie z transformacją Lorentza przy zmianie
+układu odniesienia i, podobnie do czteroprędkości, jego ``długość'' wynosi
+\[
+  (\gamma mc)^2 - (\gamma mv)^2 = (mc)^2.
+\]
+
+Pewnie już wam świta do czego to zmierza.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page37}
+Sprawdźmy do czego czteropęd się zbliża dla bardzo małych prędkości.
+Z pomocą w przybliżeniu wartości $\gamma$ przychodzi nam szereg Taylora
+\[
+  \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 + O(\beta^4).
+\]
+
+Podstawiając do części przestrzennej czteropędu otrzymujemy
+\[
+  \gamma mv \approx (1 + \frac{1}{2}\beta^2)mv \approx mv = p.
+\]
+Część przestrzenna to nic innego jak zwykły pęd.
+A co ze współrzędną czasową?
+\[
+  \gamma mc \approx (1 + \frac{1}{2}\beta^2)mc = mc + \frac{1}{2c}mv^2 \stackrel?= \frac{E}{c}.
+\]
+To przypomina energię kinetyczną z dodatkowym wyrazem $mc^2$.
+Jeśli całe to wyrażenie potraktujemy jako energię, to by znaczyło, że
+nieruchome obiekty też posiadają energię ``kinetyczną'' wynikającą z przemieszczania
+się z przeszłości w przyszłość. Nazywanie jednak energii nie ruszania się kinetyczną
+jest trochę głupie, więc nazwano to \textit{energią spoczynkową}.
+
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page38}
+Cały wektor czteropędu można zatem przestawić przy pomocy energii i pędu.
+Mało kreatywni fizycy nazwali go wektorem energii-pędu.
+\[\fourvec p = \left[\frac{E}{c}, \vec p\right]\]
+
+Jego czterowymiarowa ``długość'' wynosi, jak już ustaliliśmy poprzednio,
+\[ E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2, \]
+gdzie $E = \gamma mc$ oraz $p = \gamma mv$ to relatywistyczna energia i pęd.
+
+Ten czterowektor, tak jak wszystkie inne, przekształca sie transformacją Lorentza
+przy zmianie układu odniesienia
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    \frac{\mred{E'}}{c} = \gamma \left(\frac{\mblue{E}}{c} - \beta \mblue{p}\right) \\
+    \mred{p'} = \gamma \left(\mblue{p} - \beta \frac{\mblue E}{c}\right)
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Te równania są jednymi z najważniejszych w fizyce cząstek i nuklearnej.
+Pozwalają na policzenie energii oraz pędu cząstek przy ekstremalnych energiach,
+które towarzyszą rozpadom jądrowym lub reakcjom w zderzaczach hadronów.
+\newpage
+
+\noindent\includegraphics[width=1\linewidth]{pages/STA-page39}
+Z analizy relatywistycznej energii i pędu można wyciągnąć jeszcze jeden ciekawy
+wniosek. Jeśli coś nie posiada masy a posiada energię, jak na przykład fala
+elektromagnetyczna, to koniecznie posiada też pęd.
+\begin{gather*}
+  E^2 - (pc)^2 = 0, \\
+  E = pc.
+\end{gather*}
+Coś co w klasycznej mechanice byłoby nie do pomyślenia.
+
+Co więcej, żeby ten warunek był spełniony to wszystkie bezmasowe obiekty muszą
+poruszać się z prędkością światła i wszystko co porusza się z prędkością światła
+musi nie mieć masy. W przeciwnym razie miałyby zerową energię i by nie istniały
+lub miałyby nieskończoną energię i też by nie istniały.
+\newpage
+
+\section*{Pytania}
+\begin{itemize}
+\item Dwie wiązki protonów rozpędzone do całkowitej energii \SI{0.59}{TeV}
+      zderzają się czołowo całkowicie nieelastycznie. Ile energii zostanie
+      wyzwolone w każdym zderzeniu?
+\item Jedna wiązka protonów rozpędzona do energii \SI{1.18}{TeV} zderza się
+      nieelastycznie z nieruchomymi atomami złota. Ile energii zostanie teraz
+      wyzwolone w zderzeniu?
+\item Irradiancja, czyli moc promieniowania na jednostkę powierzchni, światła
+      słonecznego padającego prostopadle na lustro wynosi
+      \SI{0.93}{\watt\per\meter\squared}. Jakie ciśnienie wywiera odbijane
+      światło na lustro?
+\end{itemize}
+\newpage
+
+\section{Dodatki}
+\section*{Transformacje współrzędnych}
+
+Najprostszym rodzajem transformacji współrzędnych jest \textbf{przesunięcie}
+punktu o stałą wartość np. o wektor $(t_x, t_y)$. Nowe współrzędne $(x', y')$
+można wtedy wyrazić przy pomocy starych $(x, y)$ jako:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = x + t_x \\
+    y' = y + t_y
+  \end{eqsystem}.
+\]
+Przekształcając to równanie możemy łatwo wyznaczyć jak taką transformację
+odkręcić
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x = x' - t_x \\
+    y = y' - t_y
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Inną prostą transformacją jest \textbf{rozciągnięcie} podczas którego każda
+ze współrzędnych skaluje przez pewien czynnik np. $s_x, s_y$.
+Nowe współrzędne można wyrazić jako:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = s_x \cdot x \\
+    y' = s_y \cdot y
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+Do nieco bardziej złożonych transformacji należy \textbf{obrót} i
+\textbf{pochylenie} (ścinanie). W ich przypadku współrzędne $x$ i $y$ nie
+przekształcają się niezależnie od siebie.
+Obrót punktu wokół środka układu współrzędnych o kąt $\theta$ przeciwnie do ruchu
+wskazówek zegara będzie dany układem równań:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = x \cos \theta - y \sin \theta \\
+    y' = x \sin \theta + y \cos \theta
+  \end{eqsystem}.
+\]
+
+W przypadku pochylenia osobno traktujemy pochylenie wzdłuż osi $x$ oraz $y$.
+Pochylenie o kąt $\phi$ równoległe do osi $x$ wyraża układ:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = x + y \tan\phi \\
+    y' = y
+  \end{eqsystem}.
+\]
+Analogicznie możemy pochylić współrzędne równolegle do osi $y$:
+\[
+  \begin{eqsystem}
+    x' = x \\
+    y' = x \tan\phi + y
+  \end{eqsystem}.
+\]
+Nie należy mylić pochylenia z obrotem. Kwadrat po obróceniu nadal jest kwadratem,
+zaś po pochyleniu będzie równoległobokiem.
+
+Przepisywanie układów równań nie należy do najprzyjemniejszych czynności, a
+matematycy i fizycy lubią iść na skróty. Tak też się stało w przypadku transformacji
+współrzędnych. Zamiast obliczać przekształcenie dla $x$ i $y$ osobno, można obie
+współrzędne wrzucić w jeden wektor. Transformacja obywa się wtedy poprzez
+iloczyn \textit{macierzy transformacji} oraz tego wektora.
+Przykładowo, pochylenie możemy teraz zapisać jako:
+\[
+  \begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}1 & \tan\phi \\ 0 & 1\end{bmatrix}
+  \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}x + y\tan\phi \\ y\end{bmatrix}
+\]
+
+Nic nas nie ogranicza, aby nakładać transformacje jedna po drugiej. Możemy
+wykonać kilka przekształceń na raz ustawiając je od prawej do lewej.
+\[
+  \begin{bmatrix}
+    x' \\ y'
+  \end{bmatrix} =
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      \cos \theta & -\sin \theta \\
+      \sin \theta & \cos \theta
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{obrót}
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      s_x & 0   \\
+      0   & s_y
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{rozciągnięcie}
+  \begin{bmatrix}
+    x \\ y
+  \end{bmatrix}.
+\]
+W pierwszej kolejności na współrzędne działa rozciągnięcie a potem obrót.
+Wektor najpierw mnożymy przez macierz najbardziej po prawej i wynik kolejno
+redukujemy od prawej do lewej.
+
+Ponieważ mnożenie macierzy kwadratowych jest łączne, możemy je ze sobą grupować.
+Należy jednak pamiętać, że kolejność wykonania operacji jest istotna,
+przeskalowanie a potem obrót to nie to samo co obrót a potem przeskalowanie
+\[
+  % \begin{split}
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      1 & 0 \\ \tan\phi & 1
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{pochylenie}
+  \bigg(
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      s_x & 0 \\ 0 & s_y
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{rozciągnięcie}
+  \begin{bmatrix}
+    x \\ y
+  \end{bmatrix}
+  \bigg) =
+  \bigg(
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      1 & 0 \\ \tan\phi & 1
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{pochylenie}
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      s_x & 0 \\ 0 & s_y
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{rozciągnięcie}
+  \bigg)
+  \begin{bmatrix}
+    x \\ y
+  \end{bmatrix} =
+  \mkern-15mu
+  \underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+      s_x & 0 \\ s_x \tan\phi & s_y
+    \end{bmatrix}
+  }_\text{rozciągnięcie i pochylenie}
+  \mkern-15mu
+  \begin{bmatrix}
+    x \\ y
+  \end{bmatrix}
+  % \end{split}
+\]
+
+W ogólności, dowolna transformacja liniowa sprowadza się do macierzy:
+\[
+  \begin{bmatrix}
+    A & B \\
+    C & D
+  \end{bmatrix}
+  \begin{bmatrix}
+    x \\ y
+  \end{bmatrix} =
+  \begin{bmatrix}
+    Ax + By \\
+    Cx + Dy
+  \end{bmatrix}.
+\]
+
+Mogłeś zauważyć już pewien mankament. Nie da się w ten sposób zapisać przesunięcia!
+To dlatego, że przesunięcie nie jest legalną transformacją liniową. Matematycznym
+warunkiem transformacji liniowej jest aby punkt $(0, 0)$ przekształcała
+w samego siebie, czego przesuniecie nie spełnia.
+Możemy w takiej sytuacji zrobić wyjątek i samodzielnie przesunąć punkt w odpowiednim
+momencie dodając współrzędne jak tutaj:
+\[
+  \begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} =
+  \underbrace{\begin{bmatrix}
+      \cos \theta  & \sin \theta \\
+      -\sin \theta & \cos \theta
+    \end{bmatrix}}_{\text{obrót}}
+  \bigg(
+  \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + \mkern-20mu
+  \underbrace{\begin{bmatrix}t_x \\ t_y\end{bmatrix}}_{\text{przesunięcie}}
+  \mkern-20mu
+  \bigg),
+\]
+ale psujemy wtedy piękno i prostotę mnożenia.
+
+\newpage
+\section*{Dlaczego transformacja Lorentza musi być liniowa?}
+W jaki sposób z przesłanki, że transformacja Lorentza musi odbywać się tak samo w każdym miejscu
+i czasie we wszechświecie wynika, że jest liniowa?
+Nie jest to takie oczywiste na pierwszy rzut oka ale staje się jasne, gdy spojrzy się
+na kontrprzykład.
+Załóżmy, że transformacja \textbf{nie jest} liniowa i wynosi na przykład
+\[x' = Ax + Bt^2.\]
+Licząc z tego równania przyrosty (różniczki) otrzymujemy
+\[\Delta x' = A \Delta x + 2Bt \Delta t.\]
+Wynika z tego, że w inercjalnym układzie $(t', x')$ kij o długość $\Delta x'$ robiłby się
+coraz dłuższy wraz z upływem czasu.
+Każde użycie funkcji innej niż liniowa będzie skutkować zmieniającymi się długościami
+obiektów w układach inercjalnych, co jest niedopuszczalne i łamie zasadę, że prawa fizyki
+we wszystkich układach inercjalnych muszą być takie same.
+Jedynie funkcja liniowa daje nam pochodną, która jest stałą.
+
+Dla porównania, transformacja liniowa daje
+\[x' = Ax + Bt\]
+\[\Delta x' = A\Delta x + B\Delta t.\]
+Długości zmienią się przy przejściu między układami, ale w obrębie jednego układu
+inercjalnego będą niezmienne.
+
+\end{document}
diff --git a/pages/STA-page0.pdf b/pages/STA-page0.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0eca41b
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page0.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page1.pdf b/pages/STA-page1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..24cc487
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page1.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page10.pdf b/pages/STA-page10.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7884a7a
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page10.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page11.pdf b/pages/STA-page11.pdf
new file mode 100644
index 0000000..31370cc
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page11.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page12.pdf b/pages/STA-page12.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8155a93
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page12.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page13.pdf b/pages/STA-page13.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e342247
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page13.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page14.pdf b/pages/STA-page14.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aec0c5f
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page14.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page15.pdf b/pages/STA-page15.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0a7da7b
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page15.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page16.pdf b/pages/STA-page16.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bfb61bc
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page16.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page17.pdf b/pages/STA-page17.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a12e938
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page17.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page18.pdf b/pages/STA-page18.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f22c642
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page18.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page19.pdf b/pages/STA-page19.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d5d6067
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page19.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page2.pdf b/pages/STA-page2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e2f9b34
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page2.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page20.pdf b/pages/STA-page20.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7a42118
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page20.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page21.pdf b/pages/STA-page21.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e367796
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page21.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page22.pdf b/pages/STA-page22.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8239895
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page22.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page23.pdf b/pages/STA-page23.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5f33866
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page23.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page24.pdf b/pages/STA-page24.pdf
new file mode 100644
index 0000000..40e81ec
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page24.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page25.pdf b/pages/STA-page25.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0954964
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page25.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page26.pdf b/pages/STA-page26.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a28c4ea
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page26.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page27.pdf b/pages/STA-page27.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ca33a88
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page27.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page28.pdf b/pages/STA-page28.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8005af6
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page28.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page29.pdf b/pages/STA-page29.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f49c6c4
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page29.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page3.pdf b/pages/STA-page3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..44ecf7f
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page3.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page30.pdf b/pages/STA-page30.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ff41a3e
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page30.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page31.pdf b/pages/STA-page31.pdf
new file mode 100644
index 0000000..86fa68a
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page31.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page32.pdf b/pages/STA-page32.pdf
new file mode 100644
index 0000000..da20fd1
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page32.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page33.pdf b/pages/STA-page33.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3535bc2
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page33.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page34.pdf b/pages/STA-page34.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e7b2a74
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page34.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page35.pdf b/pages/STA-page35.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7ef6413
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page35.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page36.pdf b/pages/STA-page36.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a1d53e0
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page36.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page37.pdf b/pages/STA-page37.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3075027
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page37.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page38.pdf b/pages/STA-page38.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7ab0362
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page38.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page39.pdf b/pages/STA-page39.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4f73f81
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page39.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page4.pdf b/pages/STA-page4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..009833d
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page4.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page5.pdf b/pages/STA-page5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bf7ccbd
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page5.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page6.pdf b/pages/STA-page6.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d0d5f45
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page6.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page7.pdf b/pages/STA-page7.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3e8fd88
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page7.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page8.pdf b/pages/STA-page8.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b6cae8c
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page8.pdf differ
diff --git a/pages/STA-page9.pdf b/pages/STA-page9.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3f8c270
Binary files /dev/null and b/pages/STA-page9.pdf differ
diff --git a/pages/page-35-1.png b/pages/page-35-1.png
new file mode 100644
index 0000000..bbd4b19
Binary files /dev/null and b/pages/page-35-1.png differ