在偏微分方程数值计算程序设计中， 网格是最核心的数据结构，是下一步实现数值离散方法的
基础。用节点数组 node 和单元数组 cell, 就可以表示一个网格，其它的如边数
组 edge、 面数组 face 及拓扑关系数组都可以由 cell 生成。在这里我们把
node、edge、face 和 cell 通称为网格的实体 entity。 关于网格数据结构的
数组化表示与生成核心算法，请参见下面的两篇文章：
下面将着重介绍 FEALPy 中的 mesh 模块。mesh 模块中实现了偏微分方程数值计算
中常见网格类型，包括：
| 网格类名 | 代表网格类型 |
|---|---|
IntervalMesh |
区间网格 |
TriangleMesh |
三角形网格 |
QuadrangleMesh |
四边形网格 |
TetrahedronMesh |
四面体网格 |
HexahedronMesh |
六面体网格 |
PolygonMesh |
多边形网格 |
PolyhedronMesh |
多面体网格 |
StructureQuadMesh |
结构四边形网格 |
StructureHexMesh |
结构六面体体网格 |
Tritree |
三角形树结构网格 |
Quadtree |
四边形树结构网格，即四叉树 |
Octree |
六面体树结构网格，即八叉树 |
上面的网格类都可以通过类似于下面的语法导入：
from fealpy.mesh import TriangleMesh
from fealpy.mesh import QuadrangleMesh
from fealpy.mesh import Tritree
注意上面的 StructureQuadMesh 和 StructureHexMesh 的实现与其它非结构网格类的
内部实现是完全不同的，它们的实现充分考虑了结构网格的特点。但它们的接口和其它非结
构网格基本是一样的，在使用过程中用户不用关心底层的实现。
FEALPy 中的所有网格类的成员变量和成员函数都遵循同样的命名约定，尽量做到与维数和 网格类型无关。基本成员变量的约定为：
| 变量名 | 含义 |
|---|---|
NN |
节点的个数 |
NC |
单元的个数 |
NE |
边的个数 |
NF |
面的个数 |
NCV |
单元顶点的个数 |
NFV |
面的顶点的个数 |
GD |
空间维数 |
TD |
拓扑维数 |
node |
节点数组， 形状为 (NN, GD) |
cell |
单元数组， 形状为 (NC, NCV) |
edge |
边数组， 形状为 (NE, 2) |
face |
面数组， 形状为 (NF, NFV) |
ds |
网格的拓扑数据结构对象， 所有的拓扑关系数据都由其管理和获取 |
nodedata |
字典数组， 存储定义在节点上的数据， 默认为空字典 {} |
celldata |
字典数组， 存储定义在单元上的数据， 默认为空字典 {} |
edgedata |
字典数组， 存储定义在边上的数据， 默认为空字典 {} |
facedata |
字典数组， 存储定义在面上的数据， 默认为空字典 {} |
itype |
存储网格所用的整型数据类型 |
ftype |
存储网格所有的浮点型数据类型 |
因为多边形网格的每个单元顶点个数不一样，所以 PolygonMesh 中的 cell 数组
cell 数组是一个一维数组， 另外还多增加了一个长度为 NC+1 一维数组
cellLocation, cell[cellLocation[i]:cellLocation[i+1]] 存储第 i 个单元的顶
点编号， 注意这里的顶点编号是按逆时针排序。
假设有网格对象 mesh, 它一般都有如下接口：
| 成员函数名 | 功能 |
|---|---|
mesh.geo_dimension() |
获得网格的几何维数 |
mesh.top_dimension() |
获得网格的拓扑维数 |
mesh.number_of_nodes() |
获得网格的节点个数 |
mesh.number_of_cells() |
获得网格的单元个数 |
mesh.number_of_edges() |
获得网格的边个数 |
mesh.number_of_faces() |
获得网格的面的个数 |
mesh.number_of_entities(etype) |
获得 etype 类型实体的个数 |
mesh.entity(etype) |
获得 etype 类型的实体 |
mesh.entity_measure(etype) |
获得 etype 类型的实体的测度 |
mesh.entity_barycenter(etype) |
获得 etype 类型的实体的重心 |
mesh.integrator(i) |
获得该网格上的第 i 个积分公式 |
mesh.bc_to_points(bc) |
转换重心坐标 bc 到实际单元上的点 |
上面的 etype 可以取 0, 1, 2, 3 或者字符串 cell, node, edge, face
， 当然对于二维网格 etype 就不能取 3 或者 face。
网格对象 mesh 的成员变量 ds 有如下的接口：
| 成员函数名 | 功能 |
|---|---|
cell2cell = mesh.ds.cell_to_cell(...) |
单元与单元的邻接关系 |
cell2face = mesh.ds.cell_to_face(...) |
单元与面的邻接关系 |
cell2edge = mesh.ds.cell_to_edge(...) |
单元与边的邻接关系 |
cell2node = mesh.ds.cell_to_node(...) |
单元与节点的邻接关系 |
face2cell = mesh.ds.face_to_cell(...) |
面与单元的邻接关系 |
face2face = mesh.ds.face_to_face(...) |
面与面的邻接关系 |
face2edge = mesh.ds.face_to_edge(...) |
面与边的邻接关系 |
face2node = mesh.ds.face_to_node(...) |
面与节点的邻接关系 |
edge2cell = mesh.ds.edge_to_cell(...) |
边与单元的邻接关系 |
edge2face = mesh.ds.edge_to_face(...) |
边与面的邻接关系 |
edge2edge = mesh.ds.edge_to_edge(...) |
边与边的邻接关系 |
edge2node = mesh.ds.edge_to_node(...) |
边与节点的邻接关系 |
node2cell = mesh.ds.node_to_cell(...) |
节点与单元的邻接关 |
node2face = mesh.ds.node_to_face(...) |
节点与面的邻接关系 |
node2edge = mesh.ds.node_to_edge(...) |
节点与边的邻接关系 |
node2node = mesh.ds.node_to_node(...) |
节点与节点的邻接关 |
isBdNode = mesh.ds.boundary_node_flag() |
一维逻辑数组，标记边界节点 |
isBdEdge = mesh.ds.boundary_edge_flag() |
一维逻辑数组，标记边界边 |
isBdFace = mesh.ds.boundary_face_flag() |
一维逻辑数组，标记边界面 |
isBdCell = mesh.ds.boundary_cell_flag() |
一维逻辑数组，标记边界单元 |
bdNodeIdx = mesh.ds.boundary_node_index() |
一维整数数组，边界节点全局编号 |
bdEdgeIdx = mesh.ds.boundary_edge_index() |
一维整数数组，边界边全局编号 |
bdFaceIdx = mesh.ds.boundary_face_index() |
一维整数数组，边界面全局编号 |
bdCellIdx = mesh.ds.boundary_cell_index() |
一维整数数组，边界单元全局编号 |
注意，上面接口中的 ... 表示有默认的参数，可以根据需要来设定。也要注意返回的
实体间邻接关系， 默认可能是二维数组， 也可能是稀疏矩阵。 在使用过程中，用户要根
据网格的类型或者实际需要， 来控制返回邻接关系的数据类型。
如果 mesh 是一个三角形网格类 TriangleMesh 的对象， 则
# 下面的语句 cell2cell 为形状为 (NC, 3)
# 的数组。 注意， 如果 cell2cell[i, j] == i,
# 则表示第 i 个单元的第 j 个邻居是区域外部
cell2cell = mesh.ds.cell_to_cell()
# 下面语句 cell2cell 为形状为 (NC, NC) 的稀疏矩阵
cell2cell = mesh.ds.cell_to_cell(return_sparse=True)
# 下面的语句返回的 cell2cell 是一个一维数组
# 再加一个 cell2cellLocation, 则第 i 个单元
# 邻接单元的编号为 cell2cell[cell2cellLocation[i]:cell2cellLocation[i+1]]
cell2cell， cell2cellLocation = mesh.ds.cell_to_cell(return_array=True)
当然上面介绍的接口只是一部分常用接口，更多接口可以自己去代码中探索发现。
最后， 还是以一个例子为结尾， 你可以在 ipython3 中一行行测试下 面的命令， 可以先 把网格画出来， 再获取网格中的各种数据，并和网格图进行对比。 这样可以帮助你更快 更好理解 FEALPy 中网格的用法。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from fealpy.mesh import TriangleMesh
# [0, 1]^2 区域上的网格
node = np.array([
(0, 0),
(1, 0),
(1, 1),
(0, 1)], dtype=np.float)
cell = np.array([
(1, 2, 0),
(3, 0, 2)], dtype=np.int)
# 建立三角形网格对象
tmesh = TriangleMesh(node, cell)
# 一致加密一次
tmesh.uniform_refine()
# 获得节点数组
node = tmesh.entity('node')
# 获得边数组
edge = tmesh.entity('edge')
# 获得单元数组
cell = tmesh.entity('cell')
# 获得单元的面积
cellArea = tmesh.entity_measure('cell')
# 获得边的长度
edgeLength = tmesh.entity_measure('edge')
# 获得单元的重心
cellBC = tmesh.entity_barycenter('cell')
# 获得边的重心
edgeBC = tmesh.entity_barycenter('edge')
# 获得每条边的单位法向和切向
n, t = tmesh.edge_frame()
# 获得单元的邻接关系数组, 形状为 (NE, 3)
cell2cell = tmesh.ds.cell_to_cell()
# 获得边与单元的邻接关系数组，形状为 (NE, 4)
edge2cell = tmesh.ds.edge_to_cell()
# 打印网格的信息
tmesh.print()
# 建立画图对象
fig = plt.figure()
# 获得坐标系
axes = fig.gca()
# 在坐标系中画网格
tmesh.add_plot(axes)
# 显示所有节点编号
tmesh.find_node(axes, showindex=True)
# 显示所有边的编号
tmesh.find_edge(axes, showindex=True)
# 显示所有单元的编号
tmesh.find_cell(axes, showindex=True)
plt.show()