散度定理是有限元理论和算法中经常用到一个定理。 但很多学过数学分析的学生， 你如果问他这个定理， 很少有人能答出来。
给定向量函数 $$\mathbf F(x)$$， 其定义域为 $$\Omega\in\mathbb R^n$$， $$\mathbf n$$ 是 $$\Omega$$ 边界 $$\partial \Omega$$ 上的单位外法线向量.
$$
\int_{\Omega} \nabla\cdot\mathbf F~ \mathrm d \mathbf x = \int_{\partial \Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n ~\mathrm d s
$$
在一维情形下， 散度定理等价于微积分第二基本定理或“牛顿-莱布尼茨公式”。 在二维情形下， 散度定理等价于格林公式。
散度定理在数值计算的理论和算法中非常有用， 你一定要牢记它。
比如， 它可以用来计算多边形的面积和多面体的体积。 以多边形的面积计算为例， 给定一个多边形 $$\Omega$$， 假设它有 $$n$$ 个按逆时针排序的顶点 $${\mathbf x_i }{i=0}^{n-1}$$， $$n$$ 条边 $${e_i:=(\mathbf x_i, \mathbf x{i+1})}_{i=0}^{n-1}$$(注意这里假定 $$\mathbf x_n = \mathbf x_0$$)， 第 $$i$$ 条边 $$e_i$$ 的单位外法线向量记为 $$\mathbf n_i$$。 下面利用散度定理给出多边形面积的计算公式：
$$
\begin{align}
\int_\Omega \mathrm d\mathbf x = &\frac{1}{2}\int_\Omega\nabla\cdot\mathbf x \mathrm d\mathbf x \\
=& \frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} \mathbf x\cdot \mathbf n \mathrm ds\\
=& \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{e_i} \mathbf x\cdot \mathbf n_i \mathrm ds\\
=& \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{e_i} (\mathbf x - \mathbf x_i + \mathbf x_i)\cdot \mathbf n_i\mathrm ds\\
=& \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{e_i} \mathbf x_i\cdot \mathbf n_i \mathrm ds\\
=& \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\mathbf x_i\cdot \mathbf n_i \int_{e_i} \mathrm ds\\
\end{align}
$$
推广一下， 还可以把一些特殊一点的函数在高维区域函数积分， 转化为低维区域积分的问题。 如**$$q$$ 次齐次函数**
$$
f(\lambda\mathbf x) = \lambda^qf(\mathbf x),\quad \forall \lambda > 0
$$
记 $$\mathbf y = \lambda \mathbf x $$, 上式对 $$\lambda$$ 求导
$$
q\lambda^{q-1}f(\mathbf x) = \nabla_{\mathbf y}f \cdot\frac{\partial\mathbf y}{\partial \lambda} =\nabla_{\mathbf y}f \cdot \mathbf x
$$
取 $$\lambda = 1$$, 可得：
$$
qf(\mathbf x) = \nabla f(\mathbf x)\cdot\mathbf x
$$
给定一个定义在多边形 $$\Omega$$ 上的齐次函数 $$f(\mathbf x)$$, 记
$$
\mathbf F: = \mathbf x f(\mathbf x)
$$
代入散度定理公式可得
$$
\begin{align}
& \int_\Omega\nabla\cdot[\mathbf x f(\mathbf x)]\mathrm d \mathbf x \\
=& \int_\Omega (\nabla\cdot\mathbf x)f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x +
\int_\Omega \mathbf x\cdot \nabla f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x\\
=& 2 \int_\Omega f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x +
\int_\Omega qf(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x\\
=& (q+2) \int_\Omega f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x \\
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
& \int_{\partial\Omega} (\mathbf x\cdot \mathbf n) f(\mathbf x)\mathrm ds\\
=& \sum_{i=0}^{n-1} \int_{e_i} (\mathbf x\cdot \mathbf n_i) f(\mathbf x)\mathrm ds\\
=& \sum_{i=0}^{n-1}\int_{e_i} [(\mathbf x - \mathbf x_i + \mathbf x_i)\cdot \mathbf n_i] f(\mathbf x)\mathrm ds\\
=& \sum_{i=0}^{n-1}\int_{e_i} (\mathbf x_i\cdot \mathbf n_i) f(\mathbf x)\mathrm ds\\
=& \sum_{i=0}^{n-1}(\mathbf x_i\cdot \mathbf n_i)\int_{e_i} f(\mathbf x)\mathrm ds\\
\end{align}
$$
最后可得：
$$
\int_\Omega f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x = \frac{1}{q+2}\sum_{i=0}^{n-1}(\mathbf x_i\cdot \mathbf n_i)\int_{e_i} f(\mathbf x)\mathrm ds
$$
用好散度定理的一个关键是， 你要问自己手头的向量函数 $$\mathbf F$$ 的具体形式是什么? 比如：
$$
\int_\Omega v_x \mathrm d \mathbf x = \int_\Omega \nabla\cdot \begin{pmatrix}
v\0
\end{pmatrix} \mathrm d \mathbf x =
\int_{\partial \Omega} v\mathbf n_x \mathrm d \mathbf s
$$
$$
\int_\Omega v_y \mathrm d \mathbf x = \int_\Omega \nabla\cdot \begin{pmatrix}
0\v
\end{pmatrix} \mathrm d \mathbf x =
\int_{\partial \Omega} v\mathbf n_y \mathrm d \mathbf s
$$
还可以把高阶的微分算子变成低阶的微分算子, 给定一个偏微分方程，要变成弱形式就要用到这个定理。 比如给定一个适当光滑的函数 $$u$$， 其 Laplace 算子定义为：
$$
\Delta u(x, y) =\nabla\cdot\nabla u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}~~~(2D),
$$
$$
\Delta u(x, y, z) =\nabla\cdot\nabla u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}~~~(3D),
$$
给定另一个适当光滑的函数 $$v$$， 假定 $$v|_{\partial\Omega} = 0$$, 可得：
$$
\int_{\Omega} \nabla\cdot(v\nabla u)\mathrm d \mathbf x =\int_{\Omega} v\Delta u\mathrm d \mathbf x + \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v~\mathrm d \mathbf x= \int_{\partial\Omega} v\nabla u\cdot\mathbf n~\mathrm d \mathbf s
$$
进而可得：
$$
-\int_{\Omega} v\Delta u~\mathrm d \mathbf x = \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v~\mathrm d \mathbf x
$$
这个形式的神奇之处在于， 左边是对 $$u$$ 求二阶导数， 右边 $$u$$ 的导数就只剩下一阶， 相当于把另外一阶导数转给函数 $$v$$ 了， 这样对 $$u$$ 的光滑性要求降低了。
通常大家都说， 数学学的好， 编程也会好。 但实际情况并非如此， 这里面除了编程教育环境的问题，也有数学推理与编程过程之间存在的思维方式差异问题。
很多学生在学习数分高代时， 对于一个定理、一个公式， 他能想到的用处就是用来做题和考试，产生了思维固化， 一旦换个情景他就不会了。
仔细去比较数学推理和编程， 你会发现编程过程和数学推理过程往往是相反的， 比如下面的公式：
$$
\int_\Omega f(\mathbf x)\mathrm d \mathbf x = \frac{1}{q+2}\sum_{i=0}^{n-1}(\mathbf x_i\cdot \mathbf n_i)\int_{e_i} f(\mathbf x)\mathrm ds
$$
我们的目标是编程计算等式的右端， 但直接不好算。 但通过数学推导， 我们找到了更好算的右端形式。 编程的时候是计算右端， 从而得到左端的值。