# 自适应的Shadow Bias计算

在先前的ShadowMap实现中，已经简单的提到了shadow bias。可参考如下: [平行光实时阴影](./MainLightShadow.md)

当时只实现了一个简单的版本:
>Bias的问题，目前是直接取了Light组件的设置，更好的方式是要结合ShadowMap分辨率来计算恰当的偏移。

本篇准备详细的展开聊聊shadow bias，以及实际实现中的自适应优化算法。将会包含以下内容:

- 阴影瑕疵(shadow acne)的成因及其数学模型
- shadow bias数值的精确计算方法
- 级联阴影(cascade shadow)对shadow bias的影响
- PCF阴影对shadow bias的影响
- 两种不同的shadow bias实现方式
- 自适应的bias算法


# 1. 阴影瑕疵(shadow acne)的成因及其数学模型

shadow bias是为了解决自遮挡阴影瑕疵(shadow acne)而提出的。 由于shadowmap技术自身的原因，当bias没有加入时，场景中会出现条状阴影纹路，这便是自遮挡阴影瑕疵。

<img src=".imgs/shadow/shadow_acne2.jpeg">

引起shadow acne的原因如下:

- ShadowMap的分辨率有限
- 因此ShadowMap中的一个像素，对应到场景上是一片区域。
- 在ShadowMap生成阶段(Shadow Caster)，该区域内的点(假设都暴露在光照下)最终会汇集到ShadowMap上的一个像素，形成一个平均深度值D。
- 在阴影计算阶段(Shadow Receiver)，当我们将该区域内的点投影到ShadowMap中进行深度对比时，会发现其中一些点的深度大于D，而其中一些小于D，因此形成了亮暗条纹。

用一张图来解释:

<img src="https://learnopengl.com/img/advanced-lighting/shadow_mapping_acne_diagram.png">

>箭头为入射的平行光，每一条斜黄线断代表ShadowMap贴图中的一个像素，对应到水平地面上可能覆盖多个像素。多个像素里有些深度较大，有些深度较小，因而产生了条状瑕疵。

我们可以使用一个Shadow Debug Pass，将ShadowMap的分辨率以红黑格子的形式，投影到场景中绘制出来如下:

<img src=".imgs/shadowbias/shadow_resolution.jpeg">

可以看得出来，自遮挡引起的阴影瑕疵条纹与shadowmap的分辨率格子大小是一致的。

凑近了观察一下

<img src=".imgs/shadowbias/shadow_resolution_detail.jpeg">

红黑格子为shadowmap投下的分辨率(平行光以45度照射，因此格子呈现1:2的长方形)。黑白条纹会自遮挡引起的阴影瑕疵。我们可以看出，从左至右，一个分辨率格子内包含了黑白条纹各一条。

接下来我们会将以上的阴影自遮挡问题，转化为一个纯粹的几何问题，来用数学进行精确描述。这将解释:

- 为什么瑕疵条纹与ShadowMap的分辨率会呈现以上的关系
- 如何精确的计算Bias的数值来修正自遮挡问题。

## 1.2 几何模型

首先看下图:

<img src=".imgs/shadowbias/shadow_acne_0.jpeg">

- 橙色线条为平行光视角的近平面，记为L，这个近平面最终将映射为一张ShadowMap深度图。
- 蓝色线条为接受光照的平面。
  
我们暂且假设Light对应的正交矩阵其宽高相同(实际上URP中就是这样的),记为frustumSize。ShadowMap贴图的尺寸记为shadowMapSize。

设AB代表ShadowMap贴图上单位像素在Light近平面上对应的尺寸。那么我们有以下公式:

```
|AB| = frustumSize / shadowMapSize
```

从AB作橙线的垂线，相交场景蓝色平面于CD两点。易知，CD范围内的所有像素均投影到平面L上的AB区域。

由于AB代表了ShadowMap上的单个像素，因此AB像素中存储的深度值应当是CD中点F到平面L的距离，即|FE|(实际上是归一的)。

我们记:

`Distance(X,L)` - 表示任意点X到光源近平面L的距离。

那么显然:

- 对任意点X属于CF,有Distance(X,L) < |FE|，因此判定为不在阴影中
- 对任意点X属于DF，有Distance(X,L) > |FE|，因此判定为在阴影。

于是在CD区域中会呈现出一半白，一半黑的阴影瑕疵，这就是Shadow Acne，其以CD长度为周期在平面上循环交替，而|CD|正是ShadowMap中单个像素投射在场景上覆盖的区域。

# 2. Shadow Bias

既然已经知道了问题所在，我们就可以在深度对比阶段，来修正这个问题。

## 2.1 Depth Bias

过F点做L的平行线p，如下图:

<img src=".imgs/shadowbias/shadow_acne_1.jpeg">


我们只要将CD中的点，往光照方向平移一定距离到GH上即可修正误差。这个移动的距离即称为Depth Bias。不妨先考察D点。 |DG|即是要修正的Depth Bias，于是我们有:

$$
\begin{aligned}
DepthBias(D) &= |DG| \\
&= |FG| * \tan(\theta) \\
&= \frac{|AB|}{2} * \tan(\theta) \\
&= \frac{frustumSize * \tan(\theta)}{shadowMapSize * 2}
\end{aligned}
$$

那么对于CD上的任意点X，我们可以使用相似三角形的原理，从DepthBias(D)乘以对应的比例就可以了。

伪代码如下:

```
shadowUV = shadowProj(X);
percent = (frac(shadowUV) - 0.5) / 0.5;
DepthBias_X = DepthBias_D * percent;
```

实际上在大多数引擎的实现中，并不会这么精确的去计算每个点的bias数值，而是对所有的点执行一个固定的Depth Bias。很明显，D点的误差是最大的，因此只要对所有的点都使用D点的bias数值，就可以修正自遮挡的问题。 

但是固定的depth bias也会引起其他的问题。

### 2.1.1 漏光问题


考虑点C前面有个遮挡物。

<img src=".imgs/shadowbias/shadow_bias_0.jpeg">

本来C点应该是处于阴影中的。但是我们通过depth bias将C点往光源方向进行了长度为|DG|的偏移，那么C点就变到了遮挡物前面去了。这就是固定depth bias引起的`漏光现象`。

### 2.1.2 bias趋向无穷大的问题

当入射光线与平面夹角趋于0，即$\theta$趋于90度时，线段DG长度会趋于无穷大。从|DG|的公式也可以看出:

$$
|DG| = \frac{frustumSize * \tan(\theta)}{shadowMapSize * 2}
$$

$tan(\theta)$在角度趋于90度时，会变得无穷大。我们不能对像素应用过大的偏移，否则漏光现象会变得非常严重。因此固定尺度的depth bias在$\theta$趋于90度时，将会趋于失效。

如下图：过大的depth bias引起漏光问题

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/depth_bias_leak_light.jpeg">

## 2.2 Normal Bias

为了解决Depth Bias的缺陷，于是人们提出了Normal Bias。顾名思义，既然往光源方向偏移有问题，那么我就往法线方向偏移呗。

如下图所示:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/normal_bias_0.jpeg">

将CD平面按照法线方向，平移到C'D'，平移距离为G到CD的距离即|GM|。从图中可以看出，经过法线方向平移后:

- C'G段的点，深度均小于|EF|，因此光亮
- D'G段的点，移动到了隔壁的像素区间，易知也是小于隔壁像素深度的，同样呈现光亮。

这样同样可以解决shadow acne。通过简单的几何知识，我们可以写出关于Normal Bias的公式，即对任意点X属于CD有:

$$
\begin{aligned}
NormalBias(X) &= |GM| \\
&= |GF| * \sin(\theta) \\
&= \frac{frustumSize * \sin(\theta)}{shadowMapSize * 2}
\end{aligned}

$$

于Depth Bias相比，其优点在于当$\theta$趋于90度时，bias趋于`{frustumSize/(2 * shadowMapSize)}`，而不是无穷大。也即，normal bias的最大值只与shadowMap的分辨率有关。

### 2.1.2 Normal Bias的漏光问题

Normal Bias同样会存在漏光问题，并且是两头漏光。考虑有个遮挡物如下:


<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/normal_bias_1.jpeg">

该遮挡本应该在CD区域投下阴影。但由于normal bias的存在，我们在进行深度判定的时候将CD移到了C'D'，因此CD平面左侧会有少部分位于遮挡物上方，从而漏光。而右侧的GD'部分，也因为进入了隔壁的像素地盘，形成了漏光。

但在实际应用中，由于Normal Bias的最大值相对可控(只要提升ShadowMap分辨率即可)，因此漏光问题并不太严重。

# 3. 级联阴影对Bias的影响

根据前面推导的公式，我们已知影响最大Bias的两个因素如下:

- ShadowMap的分辨率
- 平行光的入射角

级联阴影的策略是将摄像机视锥按照不同的距离区间划分成多块，每块使用不同分辨率的ShadowMap，称为一级。因此，在使用级联阴影时，如要计算场景中某个点的Bias，必须考虑到它属于哪一级别(cascadeIndex)，计算出该级别的ShadowMap分辨率，然后再根据分辨率求Bias。

看下图:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/cascade_shadow_acne_0.jpeg">

在开启4级CSM的情况下，由近及远，由于每级ShadowMap分辨率不一样，因此自遮挡引起的条纹也呈现出不同的分布密度。假如我们对整个场景都使用相同的bias而没有针对CSM每个级别单独计算，那么会出现以下情况:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/cascade_shadow_acne_1.jpeg">

近处的瑕疵消失了，但远处依旧会出现。如若我们为了照顾最远级别的CSM而将Bias调的很大，那么近处的漏光现象就会变得严重。

因此自适应的Bias算法需要考虑场景像素所在的CSM级别，并按照相应的CSM分辨率进行计算。 

# 4. PCF对Bias的影响

PCF会采样一个范围内的像素，因此我们必须考虑这个范围内距离光源最近的那个像素。

例如对于PCF1,它会采样ShadowMap上的4个像素，依次进行深度对比测试。

如下图:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/pcf_shadow_acne_0.jpeg">


当我们计算CF区间内的像素阴影时，除了会采样AB对应的ShadowMap像素，同时还会采样到AN对应的ShadowMap像素。

此时,取|GD|作为Depth Bias已无法满足要求。根据相似三角形原理易知，只有将Depth Bias取为2 * |GD|，才能令CF内的所有点到L的距离小于|OP|，从而修正acne。

易知，该推导可以扩展到任意采样半径R。即：

$$
DepthBias = (1 + ceil(R)) * \frac{frustumSize * \tan(\theta)}{shadowMapSize * 2}
$$

- ceil为向上取整函数

同样的，对于Normal Bias我们也可以推出其满足这个比例系数，即:

$$
NormalBias = (1 + ceil(R)) * \frac{frustumSize * \sin(\theta)}{shadowMapSize * 2}
$$

# 5. Shadow Caster Vertex Based Bias

以上我们提到的Bias，都是默认发生在Shadow Receive计算阶段，并且是Per Pixel的。这时候就有人提出，那我可不可以反过来，在Shadow Caster阶段，让遮蔽物进行反向偏移呢？ 不得不说，这个逆向思维非常好。这就是Shadow Caster阶段基于顶点的Bias，我们不妨称之为SCVBB(ShadowCaster Vertex Based Bias) - 这也是URP中采用的实现方式。我们可以看下Unity文档中的说明:

[Light.shadowBias](https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Light-shadowBias.html)(即depth bias)

>Shadow caster surfaces are pushed by this world-space amount away from the light, to help prevent self-shadowing ("shadow acne") artifacts.

[Light.shadowNormalBias](https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Light-shadowNormalBias.html)
>Shadow caster surfaces are pushed inwards along their normals by this amount, to help prevent self-shadowing ("shadow acne") artifacts. Units of normal-based bias are expressed in terms of shadowmap texel size; typically values between 0.3-0.7 work well.


下面我们来分析一下SCVBB的优缺点。

优点自然是计算廉价，因为是基于顶点的。而缺点有两个。

其一是偏移精度的问题。我们知道，Bias的值与光线和法线夹角相关。SCVBB只考虑顶点处的法线，因此在整体偏移上可能会存在一定误差，不过这个误差在大多数情况下都还好。

另一个缺点比较严重，即Caster阶段的反向Normal Bias不完全等价于Receive阶段的Normal Bias。

考虑如下一种情形:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/caster_bias_0.jpeg">

因为ShadowMap精度问题，AH区域会呈现出阴影(被AB区域在Caster阶段写入的深度所遮挡)。

假如我们在Receive阶段进行Normal Bias，那么AH会往法线方向平移到A'H'，从而消除阴影。

但是假如在Caster阶段进行反向Normal Bias，那么AB面需要向右移动超过H的位置，才能不对AH形成遮挡。当光线入射角度与AD接近于平行时，这个移动距离将趋于无穷大，因而导致瑕疵无法再被消除。这个情况在我们使用了PCF软阴影后，将会变得更加明显。

各位不妨在URP管线中试验一下，开启软阴影，然后让平行光以接近水平的方式照射一个Cube，将会呈现出如下效果:

<img src="./imgs/../.imgs/shadowbias/urp_shadow_acne.jpeg">

以上测试效果图使用的参数是:
- Distance 10
- 关闭Cascades
- 开启Soft Shadows
- Directional Light Rotation = (2,30,0)

可以看到顶部出现了如我们预测的阴影瑕疵。这里尝试将Depth Bias和Normal Bias均调到了最大值，依旧无法消除瑕疵(瑕疵仅向内部进行了移位)，并且底部出现了漏光。

我的疑问是，仅仅为了Fragment阶段省下这么一点Bias计算量，而采用Shadow Caster Bias，值得吗？


# 6. 常见的计算优化

在实际的实现中，为了避免三角函数运算，通常可以使用 `1 - dot(lightDir,normal)`来近似代替tan和sin，然后暴露出两个系数$C_{depth}$ 和$C_{normal}$，给予使用者进行调整。

于是bias的公式就变成如下形式:

$$

\begin{aligned}

&A = (1 + ceil(R)) * \frac{frustumSize}{shadowMapSize * 2} \\
&B = 1 - dot(lightDir,normal) \\
&DepthBias = C_{depth} * A * B \\
&NormalBias = C_{normal} * A * B

\end{aligned}

$$

其中A可以在CPU端完成计算，以上的实现在大多数情况下都可以取得不错的效果。