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给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
示例 1：
- 输入：s = "babad"
- 输出："bab"
- 解释："aba" 同样是符合题意的答案。
示例 2：
- 输入：s = "cbbd"
- 输出："bb"
示例 3：
- 输入：s = "a"
- 输出："a"
示例 4：
- 输入：s = "ac"
- 输出："a"
本题和647.回文子串 差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串
两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。
时间复杂度：O(n^3)
动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
- 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}- dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
- 确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}- 举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}
return s.substr(left, right - left + 1);
}
};以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
dp[i][j] = true;
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}
return s.substr(left, maxlenth);
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n^2)
动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
那么有的同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：
class Solution {
public:
int left = 0;
int right = 0;
int maxLength = 0;
string longestPalindrome(string s) {
int result = 0;
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
}
return s.substr(left, maxLength);
}
void extend(const string& s, int i, int j, int n) {
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
if (j - i + 1 > maxLength) {
left = i;
right = j;
maxLength = j - i + 1;
}
i--;
j++;
}
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(1)
Manacher 算法的关键在于高效利用回文的对称性，通过插入分隔符和维护中心、边界等信息，在线性时间内找到最长回文子串。这种方法避免了重复计算，是处理回文问题的最优解。
//Manacher 算法
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
// 预处理字符串，在每个字符之间插入 '#'
string t = "#";
for (char c : s) {
t += c; // 添加字符
t += '#';// 添加分隔符
}
int n = t.size();// 新字符串的长度
vector<int> p(n, 0);// p[i] 表示以 t[i] 为中心的回文半径
int center = 0, right = 0;// 当前回文的中心和右边界
// 遍历预处理后的字符串
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 如果当前索引在右边界内，利用对称性初始化 p[i]
if (i < right) {
p[i] = min(right - i, p[2 * center - i]);
}
// 尝试扩展回文
while (i - p[i] - 1 >= 0 && i + p[i] + 1 < n && t[i - p[i] - 1] == t[i + p[i] + 1]) {
p[i]++;// 增加回文半径
}
// 如果当前回文扩展超出右边界，更新中心和右边界
if (i + p[i] > right) {
center = i;// 更新中心
right = i + p[i];// 更新右边界
}
}
// 找到最大回文半径和对应的中心
int maxLen = 0, centerIndex = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (p[i] > maxLen) {
maxLen = p[i];// 更新最大回文长度
centerIndex = i;// 更新中心索引
}
}
// 计算原字符串中回文子串的起始位置并返回
return s.substr((centerIndex - maxLen) / 2, maxLen);
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
// 双指针 动态规划
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
if (s.length() == 0 || s.length() == 1) return s;
int length = 1;
int index = 0;
boolean[][] palindrome = new boolean[s.length()][s.length()];
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
palindrome[i][i] = true;
}
for (int L = 2; L <= s.length(); L++) {
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
int j = i + L - 1;
if (j >= s.length()) break;
if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
palindrome[i][j] = false;
} else {
if (j - i < 3) {
palindrome[i][j] = true;
} else {
palindrome[i][j] = palindrome[i + 1][j - 1];
}
}
if (palindrome[i][j] && j - i + 1 > length) {
length = j - i + 1;
index = i;
}
}
}
return s.substring(index, index + length);
}
}// 双指针 中心扩散法
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
String s1 = "";
String s2 = "";
String res = "";
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
// 分两种情况：即一个元素作为中心点，两个元素作为中心点
s1 = extend(s, i, i); // 情况1
res = s1.length() > res.length() ? s1 : res;
s2 = extend(s, i, i + 1); // 情况2
res = s2.length() > res.length() ? s2 : res;
}
return res; // 返回最长的
}
public String extend(String s, int start, int end){
String tmp = "";
while (start >= 0 && end < s.length() && s.charAt(start) == s.charAt(end)){
tmp = s.substring(start, end + 1); // Java中substring是左闭右开的，所以要+1
// 向两边扩散
start--;
end++;
}
return tmp;
}
}class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
maxlenth = 0
left = 0
right = 0
for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
for j in range(i, len(s)):
if s[j] == s[i]:
if j - i <= 1 or dp[i + 1][j - 1]:
dp[i][j] = True
if dp[i][j] and j - i + 1 > maxlenth:
maxlenth = j - i + 1
left = i
right = j
return s[left:right + 1]双指针：
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
def find_point(i, j, s):
while i >= 0 and j < len(s) and s[i] == s[j]:
i -= 1
j += 1
return i + 1, j
def compare(start, end, left, right):
if right - left > end - start:
return left, right
else:
return start, end
start = 0
end = 0
for i in range(len(s)):
left, right = find_point(i, i, s)
start, end = compare(start, end, left, right)
left, right = find_point(i, i + 1, s)
start, end = compare(start, end, left, right)
return s[start:end]func longestPalindrome(s string) string {
maxLen := 0
left := 0
length := 0
dp := make([][]bool, len(s))
for i := 0; i < len(s); i++ {
dp[i] = make([]bool,len(s))
}
for i := len(s)-1; i >= 0; i-- {
for j := i; j < len(s); j++ {
if s[i] == s[j]{
if j-i <= 1{ // 情况一和情况二
length = j-i
dp[i][j]=true
}else if dp[i+1][j-1]{ // 情况三
length = j-i
dp[i][j] = true
}
}
}
if length > maxLen {
maxLen = length
left = i
}
}
return s[left: left+maxLen+1]
}
//动态规划解法
var longestPalindrome = function(s) {
const len = s.length;
// 布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false
let dp = new Array(len).fill(false).map(() => new Array(len).fill(false));
// left起始位置 maxlenth回文串长度
let left = 0, maxlenth = 0;
for(let i = len - 1; i >= 0; i--){
for(let j = i; j < len; j++){
// 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串 j - i == 0
// 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串 j - i == 1
// 情况一和情况二 可以合并为 j - i <= 1
// 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]===true
if(s[i] === s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])){
dp[i][j] = true;
}
// 只要 dp[i][j] == true 成立，就表示子串 s[i..j] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
if(dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1; // 回文串长度
left = i; // 起始位置
}
}
}
return s.substr(left, maxlenth); // 找到子串
};
//双指针
var longestPalindrome = function(s) {
let left = 0, right = 0, maxLength = 0;
const extend = (s, i, j, n) => {// s为字符串 i,j为双指针 n为字符串长度
while(i >= 0 && j < n && s[i] === s[j]){
if(j - i + 1 > maxLength){
left = i; // 更新开始位置
right = j; // 更新结尾位置
maxLength = j - i + 1; // 更新子串最大长度
}
// 指针移动
i--;
j++;
}
}
for(let i = 0; i < s.length; i++){
extend(s, i, i, s.length); // 以i为中心
extend(s, i, i + 1, s.length); // 以i和i+1为中心
}
return s.substr(left, maxLength);
};
//Manacher算法
var longestPalindrome = function(s) {
const len = s.length;
if(len < 2) return s;
let maxLength = 1, index = 0;
//Manacher算法,利用回文对称的性质，根据i在上一个回文中心的臂长里的位置去判断i的回文性
//需要知道上一个回文中心，以及其臂长
let center = 0;
//注意这里使用了maxRight的而不是真实的臂长length,因为之后需要判断i在臂长的什么位置
//如果这里臂长用了length,之后还要 计算i - center 去和 length比较，太繁琐
let maxRight = 0;
//考虑到回文串的长度是偶数的情况,所以这里预处理一下字符串,每个字符间插入特殊字符,把可能性都化为奇数
//这个处理把回文串长度的可能性都化为了奇数
//#c#b#b#a#
//#c#b#a#b#d#
let ss = "";
for(let i = 0; i < s.length; i++){
ss += "#"+s[i];
}
ss += "#";
//需要维护一个每个位置臂长的信息数组positionLength
const pl = new Array(ss.length).fill(0);
//这里需要注意参考的是i关于center对称的点i'的回文性
//i' = 2*center - i;
//所以列下情况:
//1.i>maxRight,找不到i',无法参考，自己算自己的
//2.i<=maxRight:
//2.1 i<maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长没有超过center的臂长,根据对称性,pl[i] = pl[i']
//2.2 i=maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长刚好等于center的臂长,根据对称性,pl[i] >= pl[i‘],大多少需要尝试扩散
//2.3 i>maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长超过了center的臂长,根据对称性,i中心扩散到MaxRight处,
// s[2*i-maxRight] !== s[MaxRight]必不相等，所以pl[i] = maxRight-i;
//总结就是pl[i] = Math.min(maxRight-i,pl[i']);提示i<maxRight-pl[i'] 也可写成 pl[i']<maxRight-i
//0没有意义,从1开始计算
for(let i = 1; i < ss.length; i++){
if(i <= maxRight){//可以参考之前的
pl[i] = Math.min(maxRight - i, pl[2 * center - i]);
//尝试中心扩散
}
//注意到i<maxRight时都要尝试中心扩散,所以写else完全无意义,把中心扩散的代码写在下面
// else{//i不在之前回文中心的臂长范围里,之前的信息就完全无法参考,只能从i中心扩散把，然后去维护maxRight和center的定义
//尝试中心扩散
//这里不要动center和maxRight
// center = i;
// maxRight = pl[i] + i + 1;
let right = pl[i] + i + 1;
let left = i - pl[i] - 1;
while (left >= 0 && right<ss.length && ss[left] === ss[right]) {
right++;
left--;
pl[i]++;
}
// }
if(pl[i] + i > maxRight){
center = i;
maxRight = pl[i] + i;
}
if (pl[i] * 2 + 1 > maxLength){
maxLength = pl[i]*2+1;
index = i - pl[i];
}
}
return ss.substr(index, maxLength).replace(/#/g,"");
};动态规划：
//初始化dp数组，全部初始为false
bool **initDP(int strLen) {
bool **dp = (bool **)malloc(sizeof(bool *) * strLen);
int i, j;
for(i = 0; i < strLen; ++i) {
dp[i] = (bool *)malloc(sizeof(bool) * strLen);
for(j = 0; j < strLen; ++j)
dp[i][j] = false;
}
return dp;
}
char * longestPalindrome(char * s){
//求出字符串长度
int strLen = strlen(s);
//初始化dp数组，元素初始化为false
bool **dp = initDP(strLen);
int maxLength = 0, left = 0, right = 0;
//从下到上，从左到右遍历
int i, j;
for(i = strLen - 1; i >= 0; --i) {
for(j = i; j < strLen; ++j) {
//若当前i与j所指字符一样
if(s[i] == s[j]) {
//若i、j指向相邻字符或同一字符，则为回文字符串
if(j - i <= 1)
dp[i][j] = true;
//若i+1与j-1所指字符串为回文字符串，则i、j所指字符串为回文字符串
else if(dp[i + 1][j - 1])
dp[i][j] = true;
}
//若新的字符串的长度大于之前的最大长度，进行更新
if(dp[i][j] && j - i + 1 > maxLength) {
maxLength = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}
//复制回文字符串，并返回
char *ret = (char*)malloc(sizeof(char) * (maxLength + 1));
memcpy(ret, s + left, maxLength);
ret[maxLength] = 0;
return ret;
}双指针：
int left, maxLength;
void extend(char *str, int i, int j, int size) {
while(i >= 0 && j < size && str[i] == str[j]) {
//若当前子字符串长度大于最长的字符串长度，进行更新
if(j - i + 1 > maxLength) {
maxLength = j - i + 1;
left = i;
}
//左指针左移，右指针右移。扩大搜索范围
++j, --i;
}
}
char * longestPalindrome(char * s){
left = right = maxLength = 0;
int size = strlen(s);
int i;
for(i = 0; i < size; ++i) {
//长度为单数的子字符串
extend(s, i, i, size);
//长度为双数的子字符串
extend(s, i, i + 1, size);
}
//复制子字符串
char *subStr = (char *)malloc(sizeof(char) * (maxLength + 1));
memcpy(subStr, s + left, maxLength);
subStr[maxLength] = 0;
return subStr;
}動態規則：
public class Solution {
public string LongestPalindrome(string s) {
bool[,] dp = new bool[s.Length, s.Length];
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for(int i = s.Length-1 ; i>=0; i--){
for(int j = i; j <s.Length;j++){
if(s[i] == s[j]){
if(j - i <= 1){ // 情况一和情况二
dp[i, j] = true;
}else if( dp[i+1, j-1] ){ // 情况三
dp[i, j] = true;
}
}
if(dp[i, j] && j-i+1 > maxlenth){
maxlenth = j-i+1;
left = i;
right = j;
}
}
}
return s.Substring(left, maxlenth);
}
}雙指針：
public class Solution {
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
public string LongestPalindrome(string s) {
int result = 0;
for (int i = 0; i < s.Length; i++) {
extend(s, i, i, s.Length); // 以i為中心
extend(s, i, i + 1, s.Length); // 以i和i+1為中心
}
return s.Substring(left, maxlenth);
}
private void extend(string s, int i, int j, int n) {
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
if (j - i + 1 > maxlenth) {
left = i;
right = j;
maxlenth = j - i + 1;
}
i--;
j++;
}
}
}
