diff --git a/js/toc.js b/js/toc.js index 9505606..06b54c2 100644 --- a/js/toc.js +++ b/js/toc.js @@ -194,7 +194,7 @@ var tocData = { articles: [ { title: '五组公理', src: 'geometry/1.html' }, { title: '三角形, 四边形', src: 'geometry/3.html', date: '2022-02-14' }, - { title: '圆', src: 'geometry/4.html', date: '2023-07-31' }, + { title: '圆', src: 'geometry/4.html', date: '2024-04-25' }, { title: '抛物线', src: 'geometry/5.html' }, { title: '射影几何', src: 'geometry/10.html', date: '2023-07-11' }, ] diff --git a/math/geometry/3.html b/math/geometry/3.html index 6ef7dcd..60f3e8f 100644 --- a/math/geometry/3.html +++ b/math/geometry/3.html @@ -1210,7 +1210,7 @@

四边形

等差幂线定理
  • 四面体的一组对边垂直当且仅当另外两组对边的平方和相等;
  • 平面上四边形的对角线相互垂直当且仅当两组对边的平方和相等.
    • -

    +

    任取空间中一点 `O`, 分别用 `bm a, bm b, bm c, bm d` 记 diff --git a/math/geometry/4.html b/math/geometry/4.html index 884c53e..0a08e54 100644 --- a/math/geometry/4.html +++ b/math/geometry/4.html @@ -7,10 +7,70 @@ +

    圆的切线

    + +

    + 过不在圆上的一点 `P`, 只用直尺作出 `P` 关于圆的极线. + 如果 `P` 在圆外, 连接 `P` 到极线与圆的交点就得到两切线. +

    + +

    + 过 `P` 作圆的两割线, 交圆于 `A, B, C, D` 四点. 这四点确定一个完全四边形, 其中一组对边交于 `P`. + 设另外两组对边交于 `E, F`, 则 `EF` 就是极线. + + + +

    + +

    + [来自群友 幂零群、太阳花] [圆规x2, 直尺x1] 过圆上一点 `P` 作切线. +

    + +
      + 在圆 `O` 上任取一点 `A`, 使得 `O, A, P` 不共线. + 作圆 `AP`, 交圆 `O` 于 `P, B`; 作圆 `PB`, 交圆 `A` 于 `B, C`. +
    1. + 下证 `CP` 就是圆 `O` 的切线. 这只需说明 `/_ CPO = 90^@`: + 连接 `PA, PB`, `/_ CPO` 被分为三个角. 我们证明这三个角之和等于 `90^@`. +
        +
      1. + `triangle PAB S= triangle PAC (SSS)`, 所以 `PA` 平分 `/_BPC`. 设 `/_ BPC = 2alpha`. +
        2. +
      2. + `AB = AP` 所以 `/_ ABP = /_ APB = alpha`. +
        3. +
      3. + 作圆 `O` 的直径 `PD`. `ABDP` 四点共圆, 所以 `/_ ADP = /_ ABP = alpha`. + 由于 `DP` 是直径, 所以 `/_ ADP + /_APD = 90^@`. + 于是 `/_ CPO = /_APC + /_APD = alpha + /_ APD = /_ ADP + /_ APD = 90^@`. +
        4. +
      + + + +
      2. +
    2. + 进一步设圆 `A` 交直线 `OP` 于 `P, E`, 圆 `P` 交圆 `O` 于 `B, F`. 下证 `C, A, E, F` 四点共线. +
        +
      1. 由 1. 知 `/_ CPE = 90^@` 所以 `CE` 是圆 `A` 直径, 这说明 `C, A, E` 共线.
        2. +
      2. + 又 `triangle BPO S= triangle FPO (SSS)`, 所以 `/_ BAF = /_ BPF = 2 /_ BPO`. + 又在圆 `A` 中 `/_ BAC = 2/_ BPC`, 所以 `/_ BAF + /_ BAC = 2 (/_BPO + /_BPC) = 2 /_ CPO = 180^@`. + 即 `C, A, F` 共线. +
        3. +
      + + + +
      3. +
    + +

    阿氏圆与反演

    +

    Apollonius 圆 (阿氏圆) 平面上到两定点距离之比为常数 `k` (`k gt 0`, `k != 1`) 的点的轨迹为圆. - +

    diff --git a/math/img/circle-polar.ggb b/math/img/circle-polar.ggb new file mode 100644 index 0000000..4f75fa5 Binary files /dev/null and b/math/img/circle-polar.ggb differ diff --git a/math/img/circle-polar.png b/math/img/circle-polar.png new file mode 100644 index 0000000..d9e3b09 Binary files /dev/null and b/math/img/circle-polar.png differ diff --git a/math/img/circle-tangent.ggb b/math/img/circle-tangent.ggb new file mode 100644 index 0000000..7210f93 Binary files /dev/null and b/math/img/circle-tangent.ggb differ diff --git a/math/img/circle-tangent1.png b/math/img/circle-tangent1.png new file mode 100644 index 0000000..5b77de1 Binary files /dev/null and b/math/img/circle-tangent1.png differ diff --git a/math/img/circle-tangent2.png b/math/img/circle-tangent2.png new file mode 100644 index 0000000..3d4e910 Binary files /dev/null and b/math/img/circle-tangent2.png differ