分形的绘制与打印

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webfrac

webfrac 是一个用WebGL绘制二维分形Mandelbrot的html网页

• 可以通过拖动鼠标或是调节参数: Zoomtarget 选择放大的范围
• 按下 d 键放大, 按下 ESC 键返回最初的大小
• 实现思路：利用GPU的并行计算，在面片着色器程序中
  • 直接使用逃逸时间法, 计算当前点是否在Mandelbrot集内

ptb_frac

ptb_frac 是一个用Visual Studio 14.0搭建的C++工程，用于绘制二维分形

ptb_frac的功能

提供以下分形的显示：

• 简单的Mandelbrot集
• 可以调节参数的Julia集的显示
• 还有高精度浮点计算和微扰法产生的Mandelbrot集（可以放大非常多次）

操作指南

按键

• 点击鼠标左键，则将光标所在处作为观察中心
• 点击鼠标右键，将所在区域放大两倍
• 按键q，恢复原始的观察区域
• ESC，退出程序

参数调节

• Iteration Num 为逃逸时间法的迭代次数
• Bailout 是逃逸时间法中判断是否逃逸出去的阈值
  • 在简单Mandelbrot集中一般将Bailout设置为4，但在微扰法中取不同的值会有不同的效果
• Formula 是Julia集的迭代公式，具体格式见后文
• Rotation 是观察时旋转的角度

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• Color Mode 有RGB、YUV和HSL，具体映射公式见后文
• Fractal Type分为Simple Mandelbrot，Julia 和 Perturbation Mandelbrot

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• 观察区域的参数：
  • Width: 窗口宽度
  • Height：窗口高度
  • Center_X: 窗口中心点X坐标
  • Center_Y: 窗口中心点Y坐标

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• 文件功能:
  • Save image: 将当前窗口内容保存为位图，快捷键为 "i"
  • 保存格式由文件后缀名决定，支持jpg，png和bmp等opencv可用的格式
  • Save vgram：将当前窗口的配置参数（窗口大小，分型类型、颜色模式）等保存下来
  • 相当于保存为矢量图，快捷键为 "o"
  • Load vgram：读入保存的参数并切换显示，快捷键为 "p"

Julia集生成公式

• 基本原理是运用秦九韶算法
• 输入的公式应为(an+bni)*z^n+...+(a0+b0i)*z^0的形式
• 实际的解析算法是以"+", "^", "z" 等作为分割符，将读到的数字依次解析为：
  • 多项式项的实部
  • 多项式项的虚部
  • 多项式项的次数
• 对错误情况不处理

颜色映射方法

RGB模式

• R: 逃逸距离的倒数，越"红"则逃逸距离越大，用于反映了离分形集较远处的逃逸情况
• G: 迭代次数，主要用于反映分形集的边界
• B: 用于表示是否在分形集内，分形集内为暗蓝绿色

YUV模式

YUV模式与RGB类似，只关心迭代次数，但颜色变化更复杂

• 分形集内 黑色
• Y: 即明亮度，固定为0.4（最大值为1）
• U：色度信号，表示迭代次数的大小
• V：色度信号，对三取了余数用来表明变化剧烈程度

HSL模式

HSL模式采用对数函数（距离估计法）来使颜色均匀变化，并赋予分形边缘大量细节

• H：色相，用逃逸距离和迭代次数相结合的"距离估计法"得到
• S: 饱和度：固定为0.9
• L：明度：固定为0.6

工程结构

• Debug/: 中为Debug版本的32bit可执行文件以及依赖的动态链接库（运行较慢）
• Release/: 中为Release版本的32bit可执行文件以及依赖的动态链接库
• ptb_frac/:
  • fio.h: 提供保存位图、矢量图（本软件专用的文件格式，保存必要的参数）的接口函数
  • type.h: 提供main中用到的数据类型：颜色、分型类型参数
  • global.h: main.cpp需要include的所有内容以及所有的全局变量
  • include/: 外部库依赖头文件
    • mpfr: 高精度浮点数运算库
    • opencv2: 绝大多数格式图像导出
    • AntTweakBar.h: 简单OpenGL的GUI控件库（基于glut的版本）
  • lib/: 编译链接库，全都有32bit和64bit版本
  • spheretracing.pdf: 微扰法原理说明

外部库依赖

• mpfr: 高精度浮点运算库，在微扰法中使用
• OpenCV: 计算机视觉库，用于支持丰富格式的图片保存
• AntweakBar：基于OpenGL的控件库，用于调节参数
• OpenGL：使用GL_drawPixel

参考文献

• 微扰法计算原理：http://www.superfractalthing.co.nf/sft_maths.pdf（ptb_frac工程中也有一份）
• 距离估计算法(抗锯齿）: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set#Continuous_.28smooth.29_coloring

d3sim3

是一个用Visual Studio 14.0搭建的C++工程，用于生成3维分形STL模型，主体可执行程序是64bit的

工程结构

• d3sim/：
  • main.cpp: 所有的代码
  • include/: AntTweakBar和glut的头文件
  • x64/lib/：64bit链接库
  • lib/: 32bit链接库（目前没有用）
• x64/Release/d3sim.exe:实际应当运行的程序
• d3sim.exe - Shortcut: 实际应当运行的程序的快捷方式（链接）
• ptsCld.stl：以往生成好的3维分形Mandelbulb模型

算法

1. 首先构造一个球壳，由均匀的点构成的三角形mesh组成。这样的mesh可以又一个正二十面不断递归细分得到，去重的方法是使用map，每个中点用生成该点的两个端点的序号唯一标记。我们适当地选取球壳的半径使得mandelbulb完全在球壳内。这些均匀的点称为采样点

2. 使用参考文献：链接三中的方法可以估计每个点到mandelbulb的最小距离（实际估计出来的值要更小）
3. 将每个采样点向所在三角面片的法向移动，初始为半径方向
4. 重新估计每个采样点到mandelbulb的距离，更新移动的方向并移动采样点，不断迭代此过程。

参考链接

1. http://www.bugman123.com/Hypercomplex/index.html 多种3维分形的图片和对应的公式、参数
2. https://www.taoeffect.com/other/fractals/mandelbulb/ 用three.js 写的Mandelbulb绘制程序
3. http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/06/distance-estimated-3d-fractals-part-i/ 距离估计法（Ray marching）的详细介绍