Von Manuel Geissmann, Valentin Huber und Felix Saaro
Dieses Dokument enthält LaTeX-Formeln. Ein Editor wie VSCode oder Obsidian mit den entsprechenden Erweiterungen wird empfohlen.
- Harmonischer Oszillator (Feder)
$\overrightarrow F=-k\cdot \overrightarrow x$ - Kraft wirkt entgegen der Auslenkung
$\overrightarrow F=-k\cdot \overrightarrow x$ - Kraft wirkt entgegen der Auslenkung
- Nach einigen Schwingungen lösen, sobald Koordinate über Ruhepunkt sind
- Würfel soll
$1 \text{kg}$ schwer sein und$1 \frac{\text m}{\text s}$ erreichen. Die Auslenkung sei$x$ . $$\begin{aligned} E_\text{kin} &= \frac 1 2 m v^2 \ E_\text{spann} &= \frac 1 2 k x^2 \ E_\text{spann} &= E_\text{kin} \ \frac 1 2 k x^2 &= \frac 1 2 m v^2 \ k &= \frac{mv^2}{x^2}\ k &= \frac{1\cdot1^2}{x^2}\ k &= \frac{1}{x^2}\ \end{aligned} $$
- Impuls von Würfel
$W_n$ :$\overrightarrow{p_{W_n}} = m_{W_n}\cdot \overrightarrow{v_{W_n}}$ - Gesamtimpuls der Würfel
$W_1, W_2, \ldots, W_k$ :$\overrightarrow{p_\text{Ges}} =\displaystyle\sum_{i=1}^k \overrightarrow{p_{W_i}}$
-
$W_1$ gleitet am Anfang mit$1\frac m s$ (siehe Teil 2). - Feder hat Ruhelänge
$l_F$ - Feder hat Konstante
$k$ - Distanz zwischen
$W_1$ und$W_2$ sei$d_W$ - Sobald Würfel 1 Feder berührt, wird dieser mit
$\overrightarrow F=-k \cdot\overrightarrow x$ gebremst. Dabei ist$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{l_F} - \overrightarrow{d_W}$ - Da die Feder komprimiert ist, wirkt auch eine Kraft auf
$W_2$ , diese ist gleich gross, aber entgegengesetzt. -
$\left|\overrightarrow{d_W}\right|$ ist am kleinsten wenn$\overrightarrow{v_{W_1}} = \overrightarrow{v_{W_2}}$ - Dann wird die Feder «eingefroren»
- Würfel gleiten gemeinsam für einige Sekunden
- Solange
$\overrightarrow{l_F} > \overrightarrow{d_W}$ wirkt auf$W_1$ und$W_2$ wieder die selbe Kraft wie bei der Feder-Komprimierung
- Zentripetalkraft
$F_Z$ , die Körper mit Masse$m$ auf Radius$R$ :$F_Z=\frac{mv^2}{R}$ - Bei Radius
$5m$ ist die Distanz bis zum Stopppunkt$\frac{\pi\cdot r}{2} = 2.5\pi m$ - Reibungskraft (in einer Dimension)
$F_R = -\mu\cdot F_N\cdot e_v$ $E_{\text{kin}, W_1} = \frac 1 2 m_{W_1} \cdot v_{W_1}^2$ $E_{W_1, \text{Ende}} = 0J$ - Reibungsarbeit
$W_R = x\cdot F_R$ mit der Anhaltedistanz$x$ $$\begin{aligned} E_{\text{kin}, W_1, 0}-E_{\text{kin}, W_1, \text{Ende}} &= \left|W_R\right| \ E_{\text{kin}, W_1, 0}-0 &= \left|W_R\right| \ \frac 1 2 m_{W_1}\cdot v_{W_1, 0}^2 &= \mu\cdot F_N \ \frac 1 2 \cdot v_{W_1, 0}^2&= \mu \cdot m_{W_1}\cdot g\cdot\cos{\left(\alpha\right)} \ \frac 1 2 \cdot v_{W_1, 0}^2&= \mu \cdot g\cdot\cos{\left(0\right)} \ \mu &= \frac{v_{W_1, 0}^2}{2\cdot g} \end{aligned}$$
-
$W_2$ fällt – konstante Fallbeschleunigung – konstante Gewichtskraft:$\overrightarrow{F_G}=\overrightarrow{g}\cdot m_{W_2}$ $$\begin{aligned} \displaystyle \overrightarrow{d(t)} &= \int_{0}^{t} \overrightarrow{v(t)} ,dt \ &= \int_{0}^{t}\int_{0}^{t} \overrightarrow{a(t)} ,dt,dt \ &= \int_{0}^{t}\int_{0}^{t} \overrightarrow{g} ,dt,dt \qquad \text{hier ist$\overrightarrow{a(t)}$ konstant $\overrightarrow{g}$}\ &= \int_{0}^{t} \overrightarrow{g}\cdot t + \overrightarrow{v_0} ,dt \ &= \frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{g}\cdot t^2 + \overrightarrow{v_0}\cdot t + \overrightarrow{d_0} \ \end{aligned}$$ $\overrightarrow{v_{0,z}}=0$ $\overrightarrow{d_{0,z}}=0$ - Zeit, die der Würfel braucht, um in
$z$ -Richtung$d_z = 5m$ zu fallen: $$\begin{aligned} \displaystyle 5 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 + v_{0,z}\cdot t + d_{0,z} \ &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \ &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\ \Rightarrow t &=\sqrt{\frac{10}{g}} \end{aligned}$$ - Vertikale Distanz, die der Würfel in dieser Zeit zurücklegt (
$\overrightarrow{v_\text{vertikal}}$ ist konstant): $$\begin{aligned} \displaystyle \overrightarrow{d(t_\text{Fall})} &= \int_{0}^{t} \overrightarrow{v(t)} ,dt \ &= \int_{0}^{t} \overrightarrow{v_\text{vertikal}} ,dt \ &= \overrightarrow{v_\text{vertikal}}\cdot t \ &= \overrightarrow{v_\text{vertikal}}\cdot \sqrt{\frac{10}{g}} \ \end{aligned}$$