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Mathematik/Beweisarchiv/Kombinatorik.tex

@@ -255,7 +255,8 @@ \subsection{Endliche Abbildungen}
 gelten muss.\,\qedsymbol
 \end{Beweis}
 
-\begin{Satz}[Rekursionsformel der Potenzmengenabbildung]\newlinefirst
+\begin{Satz}[Rekursionsformel der Potenzmengenabbildung]%
+\label{Potenzmenge-rekursiv}\newlinefirst
 Für $x\notin M$ gilt $\mathcal P(M\cup\{x\}) = \mathcal P(M)\cup\{A\cup\{x\}\mid A\in\mathcal P(M)\}$.
 \end{Satz}
 \begin{Beweis}
@@ -786,7 +787,8 @@ \subsection{Klassische Partialsummen}
 \end{Beweis}
 
 \newpage
-\begin{Satz} Es gilt
+\begin{Satz}
+Es gilt
 \[\sum_{k=1}^n (-1)^k k = (-1)^n\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor.\]
 \end{Satz}
 \begin{Beweis}
@@ -811,6 +813,38 @@ \subsection{Klassische Partialsummen}
 = k + k + 1 = 2k + 1.\,\qedsymbol\]
 \end{Beweis}
 
+\begin{Satz}\label{prod-1-plus}
+Es gilt $\prod_{i=1}^n (1+a_i) = \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}\prod_{j\in J} a_j$.
+\end{Satz}
+\begin{Beweis}
+Induktion über $n$. Im Anfang $n=0$ gilt $\{1,\ldots,n\}=\emptyset$,
+womit $J=\emptyset$ die einzige Teilmenge ist. Auf beiden Seiten steht
+also das leere Produkt, dessen Wert eins ist.
+
+Zum Schritt rechnet man
+\begin{align*}
+\prod_{i=1}^{n+1} (1+a_i) &= (1+a_{n+1})\prod_{i=1}^n (1+a_i)
+\stackrel{\mathrm{IV}}= (1+a_{n+1})\sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}\prod_{j\in J} a_j\\
+&= \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}\prod_{j\in J} a_j
++ \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}\prod_{j\in J\cup\{n+1\}} a_j
+= \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n+1\}}\prod_{j\in J} a_j.
+\end{align*}
+Die letzte Umformung ergibt sich daraus, dass laut Satz
+\ref{Potenzmenge-rekursiv} gilt
+\[J\subseteq\{1,\ldots,n+1\} \;\Leftrightarrow\;\,
+J\in\mathcal P(\{1,\ldots,n\})\uplus\{A\cup\{n+1\}\mid A\subseteq\{1,\ldots,n\}\}.\,\qedsymbol\]
+\end{Beweis}
+
+\begin{Satz}\label{prod-1-minus}
+Es gilt $\prod_{i=1}^n (1-a_i) = \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{|J|}\prod_{j\in J} a_j$.
+\end{Satz}
+\begin{Beweis}
+Ergibt sich als Korollar aus Satz \ref{prod-1-plus}
+mit $\prod_{j\in J} (ca_j) = c^{|J|}\prod_{j\in J} a_j$
+für jede Konstante $c$, wobei mit $|J|$ die Anzahl der Elemente von $J$ gemeint ist.\,\qedsymbol
+\end{Beweis}
+
+\newpage
 \section{Funktionen}
 
 \subsection{Floor und Ceil}
@@ -846,7 +880,6 @@ \subsection{Floor und Ceil}
 Dies folgt unmittelbar aus Def. \ref{def:floor}.\,\qedsymbol
 \end{Beweis}
 
-\newpage
 \begin{Definition}[Maximum, Minimum]\label{def:max-min}\newlinefirst
 Für eine Menge $M\subseteq\R$ definiert man
 \[\begin{array}{@{}l@{\;}c@{\,}l@{}}

Mathematik/Beweisarchiv/WR.tex

@@ -379,6 +379,33 @@ \section{Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume}
 Diese Rechnung ist anlog zu der im Beweis von Satz \ref{prob-transform}.\,\qedsymbol
 \end{Beweis}
 
+\begin{Satz}[Siebformel]\newlinefirst
+Es gilt $\displaystyle P(\bigcup_{i=1}^n A_i)
+= \sum_{\mathclap{{\scriptstyle J\subseteq\{1,\ldots,n\}}\atop{\scriptstyle J\ne\emptyset}}}
+(-1)^{|J|+1}P(\bigcap_{j\in J} A_j)$.
+\end{Satz}
+\begin{Beweis}
+Laut Satz \ref{prod-1-minus} gilt
+\[\prod_{i=1}^n 1_{\Omega\setminus A_i}(\omega)
+= \prod_{i=1}^n (1-1_{A_i}(\omega))
+= \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{|J|}\prod_{j\in J}1_{A_j}(\omega),\]
+also
+\[1_{\Omega\setminus\bigcup_{i=1}^n A_i}(\omega)
+= 1_{\bigcap_{i=1}^n\Omega\setminus A_i}(\omega)
+= \sum_{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{|J|}1_{\bigcap_{j\in J} A_j}(\omega).\]
+Ergo gilt
+\begin{align*}
+1 - P(\bigcup_{i=1}^n A_i) &= P(\Omega\setminus\bigcup_{i=1}^n A_i)
+= \sum_{\omega\in\Omega}P(\{\omega\})1_{\Omega\setminus\bigcup_{i=1}^n A_i}\\
+&= \sum_{\mathclap{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}}(-1)^{|J|}\sum_{\omega\in\Omega}
+P(\{\omega\})1_{\bigcap_{j\in J} A_j}(\omega)
+= \sum_{\mathclap{J\subseteq\{1,\ldots,n\}}}(-1)^{|J|}P(\bigcap_{j\in J} A_j).
+\end{align*}
+Im Fall $J=\emptyset$ gilt $\bigcap_{j\in J} A_j = \Omega$, dessen
+Wahrscheinlichkeit eins ist. Man subtrahiert nun eins auf beiden
+Seiten, und multipliziert daraufhin beide Seiten mit $-1$.\,\qedsymbol
+\end{Beweis}
+
 \newpage
 \section{Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume}
 

Mathematik/Grundlagen/GM/Semantik.tex

@@ -106,7 +106,7 @@ \subsection{Gültigkeit einer Formel}
 \begin{Definition}[Gültige Formel]\label{def:valid}\newlinefirst
 Eine Formel $A$ heißt \emph{gültig} im Kontext $\Gamma$,
 wenn jede Interpretation, die sämtliche Formeln von $\Gamma$ erfüllt,
-auch $A$ erfüllt. Metalogisch
+auch $A$ erfüllt. In metalogischer Symbolik,
 \[(\Gamma\models A)\,:\bicond\,\forall I\colon (I\models\Gamma)\cond (I\models A).\]
 \end{Definition}
 Eine im leeren Kontext gültige aussagenlogische Formel $A$ nennt man

Mathematik/Grundlagen/GM/Stochastik.tex

@@ -268,7 +268,49 @@ \subsection{Wahrscheinlichkeiten}
 aus ihr zurückgewonnen werden, indem einfach $C:=\emptyset$ gesetzt
 wird. Diese Formeln folgen einem allgemeinen Prinzip, das
 allgemein für Vereinigungen endlich vieler Mengen gilt, -- man spricht
-vom \emph{Prinzip der Inklusion und Exklusion}.
+von der \emph{Siebformel}, auch als \emph{Prinzip der Inklusion und Exklusion}
+geläufig.
+
+\subsection{Gleichverteilungen}
+
+Viele Zufallsexperimente entstehen aus einer Zusammensetzung vermittels
+Gegenständen, die einer Gleichverteilung unterliegen, wo also jedes der
+elementaren Ereignisse gleich wahrscheinlich ist. Zum Beispiel ist dies
+beim Wurf einer idealen Münze, beim Wurf eines idealen Würfels, bei
+der Ziehung einer Karte aus einem gut durchmischten Stapel nummerierter
+Karten oder bei der Ziehung einer Kugel aus einer Ansammlung nummerierter
+Kugeln der Fall. Auch ein Zufallszahlgenerator mit einer bestimmten Verteilung
+lässt sich vermittels bestimmter Algorithmen aus einem gleichverteilten
+Generator aufbauen.
+
+Wir nehmen nun für eine Weile die Position ein, dass auf unterster Ebene
+immer eine Gleichverteilung herrscht. Wie sich herausstellt, ist diese
+These unhaltbar. Das ist aber nicht weiter schlimm, denn auch dieser
+eingeschränkte Wahrscheinlichkeitsbegriff zeigt sich bisweilen recht
+vielfältig.
+
+\begin{Definition}[Laplace-Experiment]\newlinefirst
+Ein \emph{Laplace-Experiment} ist ein Zufallsexperiment, bei dem die
+elementaren Ereignisse alle gleich wahrscheinlich sind.
+\end{Definition}
+
+\noindent
+Der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,P)$ eines Laplace"=Experiments
+hat also die Eigenschaft $P(\{\omega\})=c$ für jedes $\omega\in\Omega$,
+wobei $c$ eine Konstante ist.
+
+\begin{Satz}
+Herrscht in $(\Omega,P)$ Gleichverteilung, gilt $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.
+\end{Satz}
+\begin{Beweis}
+Man stellt das Ereignis $A$ als Vereinigung der disjunkten elementaren
+Ereignisse dar. Diesbezüglich ergibt sich die Umformung
+\[P(A) = P(\bigcup_{\omega\in A}\{\omega\})
+= \sum_{\omega\in A}P(\{\omega\}) = \sum_{\omega\in A} c
+= c\sum_{\omega\in A} 1 = c\cdot |A|.\]
+Speziell gilt $1=P(\Omega)=c\cdot |\Omega|$, womit
+$c=\frac{1}{|\Omega|}$ sein muss.\,\qedsymbol
+\end{Beweis}
 
 \subsection{Zufallsgrößen}
 

Mathematik/Grundlagen/GM/Zahlenbereiche.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ \subsection{Modelle der natürlichen Zahlen}
 ebenfalls ein Isomorphismus ist.
 
 \begin{Satz}[Isomorphiesatz von Dedekind]\newlinefirst
-Je zwei Modelle der natürlichen Zahlen sind Isomorph.
+Je zwei Modelle der natürlichen Zahlen sind isomorph.
 \end{Satz}
 \begin{Beweis}
 Es seien $(\N,0,s)$, $(\N',0',s')$ zwei Modelle der natürlichen Zahlen.