Des corrections.

content/latex/lecons/142.tex

@@ -356,26 +356,5 @@
     \]
     admet pour ensemble de solutions $\{ 838+180q \mid q \in \mathbb{Z} \}$.
   \end{example}
-
-  \subsubsection{Entiers sommes de deux carrés}
-
-  \reference[I-P]{137}
-
-  \begin{notation}
-    On note \[ N :
-    \begin{array}{ccc}
-      \mathbb{Z}[i] &\rightarrow& \mathbb{N} \\
-      a+ib &\mapsto& a^2 + b^2
-    \end{array}
-    \] et $\Sigma$ l'ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.
-  \end{notation}
-
-  \begin{remark}
-    $n \in \Sigma \iff \exists z \in \mathbb{Z}[i] \text{ tel que } N(z)=n$.
-  \end{remark}
-
-  \begin{theorem}[Deux carrés de Fermat]
-    Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Alors $n \in \Sigma$ si et seulement si $v_p(n)$ est pair pour tout $p$ premier tel que $p \equiv 3 \mod 4$ (où $v_p(n)$ désigne la valuation $p$-adique de $n$).
-  \end{theorem}
   %</content>
 \end{document}

content/latex/lecons/144.tex

@@ -44,7 +44,7 @@
 
   \begin{proposition}
     Soient $a_1, \dots, a_r \in \mathbb{K}$ des racines de $P$ distinctes deux à deux et d'ordre $h_1, \dots, h_r$. Alors, $\exists Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que
-    \[ P = (X-a_1)^{h_1} \dots (X-a_r)^{h_r} Q(X) \quad \text{ et } \quad Q(a_i) \neq 0 \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket \]
+    \[ P = (X-a_1)^{h_1} \dots (X-a_r)^{h_r} Q(X) \quad \text{ et } \quad Q(a_i) \neq 0 \, \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket \]
   \end{proposition}
 
   \begin{corollary}
@@ -85,7 +85,7 @@
 
   \begin{corollary}
     On suppose $\mathbb{K}$ de caractéristique nulle et $P \neq 0$. Alors $a \in \mathbb{K}$ est racine d'ordre $h$ de $P$ si et seulement si
-    \[ \forall i \in \llbracket 1, h-1 \rrbracket, P^{(i)}(a) = 0 \quad \text{ et } \quad F^{(h)}(a) \neq 0 \]
+    \[ \forall i \in \llbracket 1, h-1 \rrbracket, P^{(i)}(a) = 0 \quad \text{ et } \quad P^{(h)}(a) \neq 0 \]
   \end{corollary}
 
   \begin{example}
@@ -212,7 +212,7 @@
   \end{example}
 
   L'idée dans la suite va être de chercher comment ``rajouter'' des racines à des polynômes pourtant irréductibles sur un corps.
-  
+
   \subsubsection{Corps de rupture}
 
   \reference{57}
@@ -236,7 +236,7 @@
       \item Si $\mathbb{L} = \mathbb{K}[\alpha]$ et $\mathbb{L}' = \mathbb{K}[\beta]$ sont deux corps de rupture de $P$, alors il existe un unique $\mathbb{K}$-isomorphisme $\varphi : \mathbb{L} \rightarrow \mathbb{L}'$ tel que $\varphi(\alpha) = \beta$.
     \end{itemize}
   \end{theorem}
-  
+
   \subsubsection{Corps de décomposition}
 
   \begin{definition}
@@ -262,7 +262,7 @@
       \item Deux corps de décomposition de $P$ sont $\mathbb{K}$-isomorphes.
     \end{itemize}
   \end{theorem}
-  
+
   \subsubsection{Clôture algébrique}
 
   \begin{definition}
@@ -309,7 +309,7 @@
   \reference{186}
 
   \begin{definition}
-    Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. On appelle :
+    Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On appelle :
     \begin{itemize}
       \item \textbf{Polynôme caractéristique} de $A$ le polynôme $\chi_A = \det(A - XI_n)$.
       \item \textbf{Polynôme minimal} de $A$ l'unique polynôme unitaire $\pi_A$ qui engendre l'idéal $\mathrm{Ann}(A) = \{ Q \in \mathbb{K}[X] \mid Q(A) = 0 \}$.

content/latex/lecons/149.tex

@@ -243,7 +243,36 @@
 
   \subsection{Applications}
 
-  \subsubsection{Aux systèmes d'équations linéaires}
+  \subsubsection{En géométrie}
+
+  \paragraph{Volume d'un parallélépipède}
+
+  \reference[GRI]{130}
+
+  \begin{theorem}
+    L'aire $\mathcal{A}(v,w)$ du parallélogramme engendré par deux vecteurs $v, w \in \mathbb{R}^n$ est égale à
+    \[ \mathcal{A}(v,w) = \vert \det(v,w) \vert \]
+  \end{theorem}
+
+  \begin{corollary}
+    Soient $v_1, \dots, v_n \in \mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{V}(v_1, \dots, v_n)$ le volume du parallélépipède rectangle engendré par $v_1, \dots, v_n$ (ie. l'ensemble $\{ z \in \mathbb{R}^n \mid z = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i, \, \lambda_i \in [0,1] \}$). On a alors :
+    \[ \mathcal{V}(v_1, \dots, v_n) = \vert \det(v_1, \dots, v_n) \vert \]
+  \end{corollary}
+
+  \paragraph{Suite de polygones}
+
+  \reference[I-P]{389}
+  \dev{suite-de-polygones}
+
+  \begin{theorem}[Suite de polygones]
+    Soit $P_0$ un polygone dont les sommets sont $\{ z_{0,1}, \dots, z_{0,n} \}$. On définit la suite de polygones $(P_k)$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, les sommets de $P_{k+1}$ sont les milieux des arêtes de $P_k$.
+    \newpar
+    Alors la suite $(P_k)$ converge vers l'isobarycentre de $P_0$.
+  \end{theorem}
+
+  \subsubsection{En algèbre linéaire}
+
+  \paragraph{Aux systèmes d'équations linéaires}
 
   \reference{143}
 
@@ -286,63 +315,36 @@
   \begin{example}
     Si,
     \[
-      (S) \iff
-      \begin{cases}
-        x + 2y + z + t = 1 \\
-        x - z - t = 1 \\
-        -x + y + z + 2t = m
-      \end{cases}
-      \quad
-      m \in \mathbb{R}
+    (S) \iff
+    \begin{cases}
+      x + 2y + z + t = 1 \\
+      x - z - t = 1 \\
+      -x + y + z + 2t = m
+    \end{cases}
+    \quad
+    m \in \mathbb{R}
     \]
     on a $\rang(A) = 2$, $(S)$ admet des solutions si et seulement si $m=-1$, et
     \[
-      (S)
-      \iff \begin{cases}
-        x + 2y = 1 + z - t \\
-        x = 1 + z + t
-      \end{cases}
-      \iff \begin{cases}
-        x = 1 + z + t \\
-        y = -t
-      \end{cases}
+    (S)
+    \iff \begin{cases}
+      x + 2y = 1 + z - t \\
+      x = 1 + z + t
+    \end{cases}
+    \iff \begin{cases}
+      x = 1 + z + t \\
+      y = -t
+    \end{cases}
     \]
   \end{example}
 
-  \subsubsection{En géométrie}
-
-  \paragraph{Volume d'un parallélépipède}
-
-  \reference[GRI]{130}
-
-  \begin{theorem}
-    L'aire $\mathcal{A}(v,w)$ du parallélogramme engendré par deux vecteurs $v, w \in \mathbb{R}^n$ est égale à
-    \[ \mathcal{A}(v,w) = \vert \det(v,w) \vert \]
-  \end{theorem}
-
-  \begin{corollary}
-    Soient $v_1, \dots, v_n \in \mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{V}(v_1, \dots, v_n)$ le volume du parallélépipède rectangle engendré par $v_1, \dots, v_n$ (ie. l'ensemble $\{ z \in \mathbb{R}^n \mid z = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i, \, \lambda_i \in [0,1] \}$). On a alors :
-    \[ \mathcal{V}(v_1, \dots, v_n) = \vert \det(v_1, \dots, v_n) \vert \]
-  \end{corollary}
-
-  \paragraph{Suite de polygones}
-
-  \reference[I-P]{389}
-  \dev{suite-de-polygones}
-
-  \begin{theorem}[Suite de polygones]
-    Soit $P_0$ un polygone dont les sommets sont $\{ z_{0,1}, \dots, z_{0,n} \}$. On définit la suite de polygones $(P_k)$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, les sommets de $P_{k+1}$ sont les milieux des arêtes de $P_k$.
-    \newpar
-    Alors la suite $(P_k)$ converge vers l'isobarycentre de $P_0$.
-  \end{theorem}
-
-  \subsubsection{En algèbre linéaire}
+  \paragraph{À la réduction des endomorphismes}
 
   \reference[GOU21]{171}
   \reference{186}
 
   \begin{definition}
-    Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. On appelle :
+    Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On appelle :
     \begin{itemize}
       \item \textbf{Polynôme caractéristique} de $A$ le polynôme $\chi_A = \det(A - XI_n)$.
       \item \textbf{Polynôme minimal} de $A$ l'unique polynôme unitaire $\pi_A$ qui engendre l'idéal $\mathrm{Ann}(A) = \{ Q \in \mathbb{K}[X] \mid Q(A) = 0 \}$.
@@ -372,7 +374,7 @@
     \[ \pi_u \mid \chi_u \]
   \end{theorem}
 
-  \subsubsection{À l'étude du groupe linéaire}
+  \paragraph{À l'étude du groupe linéaire}
 
   \reference[ROM21]{140}
 

content/latex/lecons/221.tex

@@ -272,7 +272,7 @@
 
   \subsection{Applications}
 
-  \paragraph{Résolution d'équations différentielles non linéaires}
+  \subsubsection{Résolution d'équations différentielles non linéaires}
 
   \reference{391}
 
@@ -291,7 +291,7 @@
     Les solutions maximales de l'équation $y' + y + y^2 + 1 = 0$ sont de la forme $t \mapsto e^{\frac{2i\pi}{3}} + \frac{\sqrt{3}}{e^{i (\sqrt{3}t+\theta)} + i}$, définies que des intervalles ouverts de longueur $\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$.
   \end{example}
 
-  \paragraph{Stabilité}
+  \subsubsection{Stabilité}
 
   \reference[I-P]{302}
 
@@ -301,7 +301,7 @@
     Si toute valeur propre complexe de $\mathrm{d}f_0$ est de partie réelle strictement négative, alors $\forall y_0$ suffisamment proche de $0$, la solution maximale $y(t)$ est bien définie et converge vers $0$ en $+ \infty$ à une vitesse exponentielle.
   \end{application}
 
-  \paragraph{Étude d'équations fonctionnelles et matricielles}
+  \subsubsection{Étude d'équations fonctionnelles et matricielles}
 
   \reference[GOU20]{384}
 

content/latex/lecons/235.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
   %<*content>
   \lesson{analysis}{235}{Problèmes d'interversion de symboles en analyse.}
 
-  \subsection{Suites et séries de fonctions}
+  \subsection{Problèmes d'interversion avec les suites et séries de fonctions}
 
   \subsubsection{Utilisation de la convergence uniforme}
 
@@ -186,7 +186,7 @@
     Ce dernier résultat est une réciproque partielle du \cref{235-1}. Il reste vrai en supposant $a_n = O \left( \frac{1}{n} \right)$ (c'est le théorème Taubérien fort).
   \end{remark}
 
-  \subsection{Limites et intégration}
+  \subsection{Intégration et interversions}
 
   On se place dans un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$.