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@Skyost
Skyost committed Jul 31, 2024
1 parent 3b4c95e commit da7c25a
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Showing 3 changed files with 23 additions and 23 deletions.
42 changes: 21 additions & 21 deletions content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex
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Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -27,8 +27,10 @@
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (D) at (0,1);
\coordinate (E) at (0.75,0);
\draw[teal, shorten >=-1cm,shorten <=-1cm] (P) -- (Q);
\draw[teal, shorten >=-1cm,shorten <=-1cm] (D) -- (E);
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,2.5);
\draw[teal] ($(P)!1.4!(Q)$) -- ($(Q)!1.4!(P)$);
\draw[teal] ($(D)!2!(E)$) -- ($(E)!2.4!(D)$);
\node at (P) [above right] {$P$};
\node at (P) {$\bullet$};
\node at (Q) [above right] {$Q$};
Expand All @@ -39,8 +41,6 @@
\node at (D) {$\bullet$};
\node at (E) [below] {\color{teal}$\left( \frac{p}{q}, 0 \right)$};
\node at (E) {\color{teal}$\bullet$};
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $\frac{p}{q} \in \mathbb{E}$. Comme $0 \in \mathbb{E}$, on a bien $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{E}$.
Expand All @@ -57,13 +57,13 @@
\item Le point $(u, 0)$ est constructible donc son symétrique $(-u, 0)$ l'est aussi. Donc $-u \in \mathbb{E}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,1.5);
\node (A) at (1,0) {$\bullet$};
\node at (A) [above right] {$(u,0)$};
\node (B) at (-1,0) {\color{teal}$\bullet$};
\node at (B) [above left] {\color{teal}$(-u,0)$};
\draw[teal] (0,0) circle (1);
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,1.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item La droite passant par les points $(0, u)$ et $(-u, 0)$ et la droite passant par les points $(v, 0)$ et $(v, v)$ ont pour point d'intersection $(v, u + v)$ (par le théorème de Thalès). Donc $u + v \in \mathbb{E}$.
Expand All @@ -74,9 +74,11 @@
\coordinate (C) at (1,0);
\coordinate (D) at (1,1);
\coordinate (E) at (1,2.5);
\draw[teal, shorten >=-1cm,shorten <=-2cm] (A) -- (B);
\draw[teal, shorten >=-2cm,shorten <=-1cm] (C) -- (D);
\draw[teal] ($(B)!2!(A)$) -- ($(A)!1.5!(B)$);
\draw[teal] ($(C)!3!(D)$) -- ($(D)!1.8!(C)$);
\draw[cyan, dashed] (D) -- (0,0);
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,2.5);
\node at (A) [above left] {$(0,u)$};
\node at (A) {$\bullet$};
\node at (B) [above left] {$(-u,0)$};
Expand All @@ -87,8 +89,6 @@
\node at (D) {$\bullet$};
\node at (E) [right] {\color{teal}$(v,u+v)$};
\node at (E) {\color{teal}$\bullet$};
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item D'après ce qui précède, $v + 1$ et $v + 1 - u$ appartiennent à $\mathbb{E}$. La droite passant par les points $(v + 1 - u, v + 1)$ et $(u, v)$ et la droite passant par les points $(0,0)$ et $(1,0)$ ont pour point d'intersection $(uv, 0)$ (par le théorème de Thalès). Donc $uv \in \mathbb{E}$.
Expand All @@ -99,8 +99,10 @@
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (D) at (1,0);
\coordinate (E) at (3,0);
\draw[teal, shorten >=-4cm,shorten <=-1cm] (A) -- (B);
\draw[teal, shorten >=-4cm,shorten <=-1cm] (C) -- (D);
\draw (-1.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,3.5);
\draw[teal] ($(A)!3.5!(B)$) -- ($(B)!1.5!(A)$);
\draw[teal] ($(C)!3.5!(D)$) -- ($(D)!1.5!(C)$);
\draw[cyan, dashed] (C) -- (A);
\draw[cyan, dashed] (D) -- (B);
\node at (A) [above right] {$(v+1-u,v+1)$};
Expand All @@ -113,8 +115,6 @@
\node at (D) {$\bullet$};
\node at (E) [below right] {\color{teal}$(uv,0)$};
\node at (E) {\color{teal}$\bullet$};
\draw (-1.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,3.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item On suppose $u \neq 0$. La droite passant par les points $(1,0)$ et $(u,-1)$ et la droite passant par les points $(0,0)$ et $(1,1)$ ont pour point d'intersection $(u^{-1}, u^{-1})$ (par le théorème de Thalès). Donc $u^{-1} \in \mathbb{E}$.
Expand All @@ -125,8 +125,10 @@
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (D) at (1,1);
\coordinate (E) at (2,2);
\draw[teal, shorten >=-1cm,shorten <=-3cm] (A) -- (B);
\draw[teal, shorten >=-3cm,shorten <=-2cm] (C) -- (D);
\draw (-1.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,3.5);
\draw[teal] ($(A)!1.5!(B)$) -- ($(B)!3.5!(A)$);
\draw[teal] ($(C)!2.5!(D)$) -- ($(D)!2.5!(C)$);
\draw[cyan, dashed] (-1,-1) -- (B);
\node at (A) [below right] {$(1,0)$};
\node at (A) {$\bullet$};
Expand All @@ -138,8 +140,6 @@
\node at (D) {$\bullet$};
\node at (E) [right] {\color{teal}$(u^{-1},u^{-1})$};
\node at (E) {\color{teal}$\bullet$};
\draw (-1.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,3.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
Expand All @@ -153,7 +153,9 @@
\coordinate (D) at (1.5,0);
\coordinate (E) at (2,1.41421356);
\coordinate (F) at (2,-1.41421356);
\draw[teal, shorten >=-0.5cm,shorten <=-2cm] (A) -- (B);
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[teal] ($(A)!1.15!(B)$) -- ($(B)!2.15!(A)$);
\draw[cyan, dashed] (C) -- (E);
\draw[cyan, dashed] (C) -- (F);
\draw[red] (A) -- ($(A)+(0,0.3)$) -- ($(A)+(-0.3,0.3)$) -- ($(A)+(-0.3,0)$) -- cycle;
Expand All @@ -169,8 +171,6 @@
\node at (E) [above right] {\color{teal}$(x,\sqrt{x})$};
\node at (F) {\color{teal}$\bullet$};
\node at (F) [below right] {\color{teal}$(x,-\sqrt{x})$};
\draw (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw (0,-2.5) -- (0,2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{proof}
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2 changes: 1 addition & 1 deletion content/latex/fiches/autour-de-la-compacite.tex
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Expand Up @@ -118,7 +118,7 @@
\[ \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall p > q \geq N, \, \Vert x_p - x_q \Vert < \frac{\epsilon}{2} \]
Soient $p > q \geq N$.
\begin{align*}
\Vert x_p - x_q \Vert &\leq \Vert x_p - x \Vert + \Vert x - x_q \Vert
\Vert x_p - x_q \Vert &\leq \Vert x_p - x \Vert + \Vert x - x_q \Vert \\
&< \epsilon
\end{align*}
Donc $(x_n)$ est une suite de Cauchy de $F$, qui est de dimension finie, donc complet par le \cref{autour-de-la-compacite-5-2}. $(x_n)$ converge donc dans $F$, et par unicité de la limite, on a $x \in F$. Par la caractérisation séquentielle des fermés, $F$ est bien fermé dans $E$.
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2 changes: 1 addition & 1 deletion content/latex/fiches/chiffrement-rsa.tex
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Expand Up @@ -5,7 +5,7 @@
%<*content>
\sheet{algebra}{chiffrement-rsa}{Chiffrement RSA}

\summary{On commence par récapituler toute l'arithmétique des entiers, connue depuis la L1. On détaille ensuite un exemple pratique de chiffrement RSA, et on explique les mathématiques se trouvant derrière à l'aide de la première partie.}
\summary{On commence par récapituler toute l'arithmétique des entiers, connue depuis la L1, et sans faire appel à la théorie des groupes. On détaille ensuite un exemple pratique de chiffrement RSA, et on explique les mathématiques se trouvant derrière à l'aide de la première partie.}

\subsection{Arithmétique dans \texorpdfstring{$\mathbb{Z}$}{Z}}

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