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+title: BSDF中的重要性采样的相关推导与思考
+date: 2024-03-03T09:44:37.443Z
+last_modified_at: 2024-03-03T09:44:37.444Z
+excerpt: 针对BSDF中的重要性采样的推导与相关思考
+categories:
+  - 图形学
+tags:
+  - BSRF
+  - 路径追踪
+  - 数学
+header:
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+  caption: "来源: [**Lorem Picsum**](https://picsum.photos/)"
+  teaser: https://ultcrt.github.io/UltBlog/assets/images/site/default-teaser.png
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+这里的重要性采样指的是蒙特卡洛积分过程中，使用特定的PDF（概率密度函数），使随机变量的分布更符合被积函数，从而提高结果的准确度。
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+这里首先给出蒙特卡洛积分的公式：
+
+$$
+\int_a^b f(x)dx\approx\frac 1 N \sum_{n=1}^N \frac {f(x_n)} {p(x_n)}
+$$
+
+其中，$$N$$为采样数量，$$p$$为PDF。
+
+可以看到，如果PDF满足：
+
+$$
+p(x)=\frac {f(x)} {\int_a^b f(x) dx}
+$$
+
+那么此时蒙特卡洛积分能够严格等于原积分，其实上述这种情况就是最理想的重要性采样。
+
+如果要将重要性积分运用到BSDF上，那么就需要确定两件事：
+1. 怎么采样
+2. 怎么求PDF
+
+首先来看
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+参考文献：
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+[1] [Some Notes on
+Importance Sampling of a Hemisphere](https://www.mathematik.uni-marburg.de/%7Ethormae/lectures/graphics1/code/ImportanceSampling/importance_sampling_notes.pdf)
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+[2] [Spherical coordinate system](https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system)
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