要求完成课堂上讲的关于矩阵分解的LU、QR（Gram-Schmidt）、Orthogonal Reduction (Householder reduction 和Givens reduction)和 URV程序实现，要求如下：
1、一个综合程序，根据选择参数的不同，实现不同的矩阵分解；在此基础上，实现Ax=b方程组的求解，以及计算A的行列式；
2、可以用matlab、Python等编写程序，需附上简单的程序说明，比如参数代表什么意思，输入什么，输出什么等等，附上相应的例子；
3、一定是可执行文件，例如 .m文件等,不能是word或者txt文档。附上源代码，不能为直接调用matlab等函数库;
- python 3.8.9
- numpy 1.23.4 已在macos 12.6.1 pycharm上运行通过
- LUFactorization.py 实现了矩阵LU分解
- QRFactorization.py 使用 Gram-Schmidt 实现了矩阵的QR分解
- OrthogonalReduction.py 使用 Householder reduction 和 Givens reduction 实现了矩阵的QR分解
- URVFactorization.py 使用 Householder reduction 实现了矩阵的URV分解（也可以选择Givens，测试一致）
- test.py 是测试上面四个程序的文件
- main.py 是一个综合程序，可以任意选择一个线性系统，选择任意方法进行矩阵分解，并最后求解该线性系统。包括附加功能求行列式
- 首先初始化矩阵A和b
- 选择LU分解、QR分解或URV分解
- 使用分解后的矩阵求解线性系统
- 求行列式
shijunhan@sjh code % cd MatrixApplication
shijunhan@sjh MatrixApplication % source venv/bin/activate
(venv) shijunhan@sjh MatrixApplication % python main.py
请选择一个线性系统(1->输入data.txt文件 2->随机生成一个mxn矩阵 0->退出)
1
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
1
L矩阵:
[[1. 0. 0.]
[2. 1. 0.]
[3. 4. 1.]]
U矩阵:
[[2. 2. 2.]
[0. 3. 3.]
[0. 0. 4.]]
LU矩阵:(LU分解过程中会有行交换的行为，所以还原的矩阵可能会与原矩阵不对应
[[ 2. 2. 2.]
[ 4. 7. 7.]
[ 6. 18. 22.]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
2
请选择QR分解算法(gm->gram-schmidt householder->Householder reduction givens->Givens reduction)
gm
Q矩阵:
[[ 0.26726124 -0.57735027 0.77151675]
[ 0.53452248 -0.57735027 -0.6172134 ]
[ 0.80178373 0.57735027 0.15430335]]
R矩阵:
[[ 7.48331477 18.70828693 21.91542184]
[ 0. 5.19615242 7.5055535 ]
[ 0. 0. 0.6172134 ]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
2
请选择QR分解算法(gm->gram-schmidt householder->Householder reduction givens->Givens reduction)
householder
Q矩阵:
[[ 0.26726124 -0.57735027 0.77151675]
[ 0.53452248 -0.57735027 -0.6172134 ]
[ 0.80178373 0.57735027 0.15430335]]
R矩阵:
[[ 7.48331477 18.70828693 21.91542184]
[ 0. 5.19615242 7.5055535 ]
[ 0. -0. 0.6172134 ]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
2
请选择QR分解算法(gm->gram-schmidt householder->Householder reduction givens->Givens reduction)
givens
Q矩阵:
[[ 0.26726124 -0.57735027 0.77151675]
[ 0.53452248 -0.57735027 -0.6172134 ]
[ 0.80178373 0.57735027 0.15430335]]
R矩阵:
[[ 7.48331477 18.70828693 21.91542184]
[ 0. 5.19615242 7.5055535 ]
[-0. -0. 0.6172134 ]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
3
U矩阵
[[ 0.26726124 -0.57735027 0.77151675]
[ 0.53452248 -0.57735027 -0.6172134 ]
[ 0.80178373 0.57735027 0.15430335]]
R矩阵
[[29.77055112 -0. 0. ]
[ 8.79051518 2.46174252 -0. ]
[ 0.45435813 0.25936349 0.32747771]]
V矩阵
[[ 0.25136635 0.62841587 0.73614431]
[-0.89759173 -0.13321737 0.42021688]
[ 0.36213817 -0.76638543 0.53057453]]
URV矩阵
[[ 2. 2. 2.]
[ 4. 7. 7.]
[ 6. 18. 22.]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
4
该方阵行列式 = 24.0
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
5
求解x=
x0 = [6.]
x1 = [6.]
x2 = [-6.]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
6
[array([6.]), array([6.]), array([-6.])]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
0
请选择一个线性系统(1->输入data.txt文件 2->随机生成一个mxn矩阵 0->退出)
2
请输入矩阵长宽 e.g. 3,3
4,3
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
1
L矩阵:
[[ 1. 0. 0. 0. ]
[ 0.10352949 1. 0. 0. ]
[ 0.31619531 1.05492921 1. 0. ]
[ 1.20885259 -0.23810013 -0.54131211 1. ]]
U矩阵:
[[0.59469373 0.54918399 0.42531948]
[0. 0.68855697 0.35536365]
[0. 0. 0.30067725]
[0. 0. 0. ]]
LU矩阵:(LU分解过程中会有行交换的行为，所以还原的矩阵可能会与原矩阵不对应
[[0.59469373 0.54918399 0.42531948]
[0.06156834 0.74541371 0.39939675]
[0.18803937 0.90002826 0.81004476]
[0.71889706 0.49993699 0.26677619]]
请选择分解方法(1->LU 2->QR 3->URV 4->求行列式 5->使用LU求解线性系统 6->使用QR求解线性系统 0->退出)
0
请选择一个线性系统(1->输入data.txt文件 2->随机生成一个mxn矩阵 0->退出)
0
程序运行结束！
(venv) shijunhan@sjh MatrixApplication %shijunhan@sjh code % cd MatrixApplication
shijunhan@sjh MatrixApplication % source venv/bin/activate
(venv) shijunhan@sjh MatrixApplication % python test.py
-----------------开始LU分解测试-------------------
Test A mxm, r=m
L =
[[1. 0. 0.]
[2. 1. 0.]
[3. 4. 1.]]
U =
[[2. 2. 2.]
[0. 3. 3.]
[0. 0. 4.]]
A = LU =
[[ 2. 2. 2.]
[ 4. 7. 7.]
[ 6. 18. 22.]]
Test B mxn, m>n
L =
[[ 1. 0. 0. 0. 0. 0. ]
[ 3.5 1. 0. 0. 0. 0. ]
[ 2. 0. 1. 0. 0. 0. ]
[ 0.5 -3. 5. 1. 0. 0. ]
[ 0.5 -3. 5. 1.25 1. 0. ]
[ 4. 0. 3. 0. 0. 1. ]]
U =
[[ 2. 1. 1. 4. ]
[ 0. -0.5 -2.5 -6. ]
[ 0. 0. -1. -2. ]
[ 0. 0. 0. -4. ]
[ 0. 0. 0. 0. ]
[ 0. 0. 0. 0. ]]
A = LU =
[[ 2. 1. 1. 4.]
[ 7. 3. 1. 8.]
[ 4. 2. 1. 6.]
[ 1. 2. 3. 6.]
[ 1. 2. 3. 5.]
[ 8. 4. 1. 10.]]
Test C mxn, n>m>r
L =
[[1. 0. 0.]
[3. 1. 0.]
[2. 0. 1.]]
U =
[[ 2. 2. 2. 2.]
[ 0. 12. 16. 6.]
[ 0. 0. 0. 0.]]
A = LU =
[[ 2. 2. 2. 2.]
[ 6. 18. 22. 12.]
[ 4. 4. 4. 4.]]
0
-----------------结束LU分解测试-------------------
-----------------开始QR分解测试-------------------
Test A mxm
Q矩阵
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵
[[ 5. 25. -4.]
[ 0. 25. 10.]
[ 0. 0. 10.]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]]
Test A mxn
Test B, mxn and m>n
Q矩阵4x3
[[ 0. -0.78655366 -0.54750772]
[ 0.55708601 0.51261601 -0.56796405]
[ 0.74278135 -0.29970407 0.12514462]
[ 0.37139068 -0.16951588 0.60165684]]
R矩阵3x3
[[ 5.38516481 25.06887065 -1.48556271]
[ 0. 25.42738139 8.54360015]
[ 0. 0. 13.29661611]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]
[ 2. 5. 6.]]
0
-----------------结束QR分解测试-------------------
-----------------开始正交约减测试-------------------
Test A, mxm
Q矩阵
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵
[[ 5. 25. -4.]
[ 0. 25. 10.]
[ 0. -0. 10.]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]]
Givens Reduction
Q矩阵
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵
[[ 5. 25. -4.]
[ 0. 25. 10.]
[-0. -0. 10.]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]]
Test B, mxn and m>n
Q矩阵4x4
[[ 0. -0.78655366 -0.54750772 -0.28560222]
[ 0.55708601 0.51261601 -0.56796405 -0.3229502 ]
[ 0.74278135 -0.29970407 0.12514462 0.58548455]
[ 0.37139068 -0.16951588 0.60165684 -0.6865438 ]]
R矩阵4x3
[[ 5.38516481 25.06887065 -1.48556271]
[ 0. 25.42738139 8.54360015]
[ 0. -0. 13.29661611]
[-0. -0. 0. ]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]
[ 2. 5. 6.]]
Givens Reduction
Q矩阵
[[ 0. -0.78655366 -0.54750772 0.28560222]
[ 0.55708601 0.51261601 -0.56796405 0.3229502 ]
[ 0.74278135 -0.29970407 0.12514462 -0.58548455]
[ 0.37139068 -0.16951588 0.60165684 0.6865438 ]]
R矩阵
[[ 5.38516481 25.06887065 -1.48556271]
[ 0. 25.42738139 8.54360015]
[-0. -0. 13.29661611]
[ 0. 0. -0. ]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]
[ 2. 5. 6.]]
Test C, mxn and m<n
Q矩阵3x3
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵3x4
[[ 5. 25. -4. 3.4 ]
[ 0. 25. 10. -2.48]
[ 0. -0. 10. -3.36]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14. 4.]
[ 3. 27. -4. 3.]
[ 4. 11. -2. 2.]]
Givens Reduction
Q矩阵
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵
[[ 5. 25. -4. 3.4 ]
[ 0. 25. 10. -2.48]
[-0. -0. 10. -3.36]]
QR矩阵
[[ 0. -20. -14. 4.]
[ 3. 27. -4. 3.]
[ 4. 11. -2. 2.]]
Test D, mxm and r=1
Q矩阵3x3
[[ 0.57735027 0.81649658 -0. ]
[ 0.57735027 -0.40824829 0.70710678]
[ 0.57735027 -0.40824829 -0.70710678]]
R矩阵3x3
[[ 1.73205081 -34.64101615 -24.24871131]
[ -0. 0. 0. ]
[ 0. -0. -0. ]]
QR矩阵
[[ 1. -20. -14.]
[ 1. -20. -14.]
[ 1. -20. -14.]]
Givens Reduction
Q矩阵
[[ 0.57735027 -0.40824829 0.70710678]
[ 0.57735027 -0.40824829 -0.70710678]
[ 0.57735027 0.81649658 0. ]]
R矩阵
[[ 1.73205081 -34.64101615 -24.24871131]
[ 0. 0. -0. ]
[ 0. 0. 0. ]]
QR矩阵
[[ 1. -20. -14.]
[ 1. -20. -14.]
[ 1. -20. -14.]]
0
-----------------结束正交约减测试-------------------
-----------------开始URV分解测试-------------------
Test A mxm, r=m
U矩阵
[[ 0. -0.8 -0.6 ]
[ 0.6 0.48 -0.64]
[ 0.8 -0.36 0.48]]
R矩阵
[[25.8069758 -0. -0. ]
[22.66828956 14.53095484 -0. ]
[-1.54996852 9.2998111 3.33333333]]
V矩阵
[[ 0.19374606 0.96873032 -0.15499685]
[-0.30224386 0.20924575 0.92998111]
[ 0.93333333 -0.13333333 0.33333333]]
URV矩阵
[[ 0. -20. -14.]
[ 3. 27. -4.]
[ 4. 11. -2.]]
Test B mxm, r=n<m
U矩阵
[[ 0.40824829 0.18257419 -0.89442719]
[ 0.81649658 0.36514837 0.4472136 ]
[ 0.40824829 -0.91287093 0. ]]
R矩阵
[[ 5.13160144 -0. 0. ]
[ 2.03347513 15.41206169 -0. ]
[ 0. 0. 0. ]]
V矩阵
[[ 0.47733437 0.87511301 0.07955573]
[-0.06297974 -0.05623191 0.99642939]
[ 0.87646189 -0.48064039 0.02827296]]
URV矩阵
[[ 1. 2. 3.]
[ 2. 4. 6.]
[ 1. 1. -14.]]
Test C mxn, m<n r=2
U矩阵
[[-0.66666667 -0.66666667 -0.33333333]
[ 0.33333333 -0.66666667 0.66666667]
[-0.66666667 0.33333333 0.66666667]]
R矩阵
[[ 9. -0. -0. -0.]
[-0. 3. 0. 0.]
[ 0. 0. 0. 0.]]
V矩阵
[[ 0.66666667 0. 0.66666667 0.33333333]
[ 0. 1. -0. -0. ]
[-0.66666667 0. 0.73333333 -0.13333333]
[-0.33333333 0. -0.13333333 0.93333333]]
URV矩阵
[[-4. -2. -4. -2.]
[ 2. -2. 2. 1.]
[-4. 1. -4. -2.]]
Test D mxn, m>n r=2
U矩阵
[[-0.59628479 -0.2981424 0.48256454 0.56805548]
[ 0.2981424 0.1490712 -0.48864076 0.80629963]
[-0.59628479 -0.2981424 -0.72688491 -0.16490566]
[-0.4472136 0.89442719 0. -0. ]]
R矩阵
[[ 9.05538514 0. -0. ]
[ 1.76690442 3.14293633 0. ]
[ 0. 0. 0. ]
[ 0. 0. 0. ]]
V矩阵
[[ 0.7407972 0.19754592 0.64202424]
[-0.41646337 0.88498465 0.20823168]
[-0.52704628 -0.42163702 0.73786479]]
URV矩阵
[[-4. -2. -4.]
[ 2. 1. 2.]
[-4. -2. -4.]
[-3. 2. -1.]]
0
-----------------结束URV分解测试-------------------
(venv) shijunhan@sjh MatrixApplication %