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Smith掩模函数 #145 #156
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@kanition
kanition committed Mar 23, 2024
1 parent 81fb095 commit 098e861
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Expand Up @@ -5854,4 +5854,16 @@ @inproceedings{10.1145/344779.344814
numpages = {10},
keywords = {reflectance \& shading models, rendering},
series = {SIGGRAPH '00}
}
}
@article{841905,
author = {Bourlier, C. and Saillard, J. and Berginc, G.},
journal = {IEEE Transactions on Antennas and Propagation},
title = {Effect of correlation between shadowing and shadowed points on the Wagner and Smith monostatic one-dimensional shadowing functions},
year = {2000},
volume = {48},
number = {3},
pages = {437-446},
keywords = {Shadow mapping;Rough surfaces;Surface roughness;Electromagnetic scattering;Autocorrelation;Gaussian processes},
doi = {10.1109/8.841905}
}
79 changes: 71 additions & 8 deletions content/chap08ex01.tex
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Expand Up @@ -167,7 +167,8 @@ \subsection{微面分布函数的定义与性质}\label{sub:微面分布函数
但狄拉克$\delta$分布后面的括号内还有一个记号相同的函数${\bm\omega}_{\mathrm{h}}({\bm p}_{\mathrm{h}})$，
所以为了区分它们，\refeq{08ex01-StaticMaskFunc}中临时把第一个自变量改写为${\bm\omega}$.
笔者保留了原论文的这个做法，请读者注意区分。\refeq{08ex01-MicrosurfaceDistribution}、
\refeq{08ex01-StaticFunc}和\refeq{08ex01-AnotherStaticFunc}也用了类似的临时记号。
\refeq{08ex01-StaticFunc}、\refeq{08ex01-AnotherStaticFunc}和
\refeq{08-ex01-masking-g1-int}等也用了类似的临时记号。

第二个是定义的问题。细心的读者可能注意到，
比对\refeq{08ex01-AreaProjectionsMicrofacetVisible}和\refeq{08ex01-TransferSpaceStatic}，
Expand Down Expand Up @@ -575,11 +576,11 @@ \subsubsection*{Smith微面}
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}}\, .
\end{align}
所以完整的掩模函数为
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:08-ex01-masking-g1-int}
G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
=\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})\cos\theta_{\mathrm{o}}}
{\displaystyle\int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}}\, .
{\displaystyle\int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega})\mathrm{d}{\bm\omega}}\, .
\end{align}
这恰是\citet{10.1145/344779.344814}在法线和遮挡独立性假设下
得到的掩模函数的精确积分形式。然而其中的积分是在法线分布空间中进行的，
Expand Down Expand Up @@ -729,7 +730,7 @@ \subsubsection*{Smith微面}
\begin{align}
P_x(x_s)=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}y_s
\end{align}
是斜率沿着出射方向（这里假设方位角为零）的条件分布。
是斜率沿着出射方向（这里假设其方位角为零）的条件分布。
注意到\refeq{08-ex01-trans-1d-slope}中的示性函数把积分域限定在
\begin{align}
-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}>0\, ,
Expand All @@ -756,15 +757,77 @@ \subsubsection*{Smith微面}
(-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, .
\end{align}
将上式两边同除以$\sin\theta_{\mathrm{o}}$，得到
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:08-ex01-cot-theta0-g1-distant}
\cot\theta_{\mathrm{o}}=G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}}
(-x_s+\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, .
\end{align}
此外，我们假设微面法线的分布是中心对称的，即任意出射方向上的斜率均值都为零：
我们接着要从上式中\sidenote{笔者认为这里将积分式移项即可，
但原文作者似乎还希望调整里面的正负号，所以有了下面的推导。}
解出$G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})$.
假设微面法线的分布是中心对称的，即
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s=0\, ,
P_{xy}(x_s,y_s)=P_{xy}(-x_s,-y_s)
\end{align}
对任意$x_s$和$y_s$恒成立，则易知条件分布$P_{x}(x_s)$是个偶函数，即
\begin{align}
P_{x}(x_s)=P_{x}(-x_s)
\end{align}
对任意$x_s$恒成立，于是任意出射方向上斜率$x_s$的均值都为零：
\begin{align}\label{eq:08-ex01-mean-slope-conditional}
\int_{-\infty}^{+\infty}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s=0\, .
\end{align}
同时我们注意到斜率的条件分布$P_x(x_s)$满足规范化性质
\begin{align}\label{eq:08-ex01-normal-slope-int}
\int_{-\infty}^{+\infty}P_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s=1\, .
\end{align}
利用\refeq{08-ex01-mean-slope-conditional}和\refeq{08-ex01-normal-slope-int}可以
代替常数0和1的特点，我们将\refeq{08-ex01-cot-theta0-g1-distant}两边
同时减去$G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})\cot\theta_{\mathrm{o}}$可得
\begin{align}
(1-G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}}))\cot\theta_{\mathrm{o}}
& =G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}}
(-x_s+\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\nonumber \\
& \qquad -G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})\cot\theta_{\mathrm{o}}
\int_{-\infty}^{+\infty}P_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s\nonumber \\
& \qquad +G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\int_{-\infty}^{+\infty}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s\nonumber \\
& \displaystyle =G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\left(\int_{-\infty}^{+\infty}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s
-\int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s\right)\nonumber \\
& \qquad\displaystyle +G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\left(\int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}}P_x(x_s)\cot\theta_{\mathrm{o}}\mathrm{d}x_s
-\int_{-\infty}^{+\infty}P_x(x_s)\cot\theta_{\mathrm{o}}\mathrm{d}x_s\right)\nonumber \\
& =G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})
\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, .
\end{align}
整理上式，我们最终得到$G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})$的解析解为
\begin{align}\label{eq:08-ex01-g1-d-solution}
G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}})=\frac{1}{1+\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}})}\, ,
\end{align}
其中
\begin{align}
\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}})=\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}
\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, .
\end{align}
将\refeq{08-ex01-g1-d-solution}代回\refeq{08ex01-SeparableMaskingFunction}即得
\begin{align}\label{eq:08-ex01-Smith-masking-function}
G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
=\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})}
{1+\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}})}\, .
\end{align}
它是对Smith掩模函数的推广，适用于许多随机曲面。

由于前面的推导都不包含近似处理，这说明在非自相关的假设下，Smith掩模函数是准确的。
在实践中，该模型预测的结果和实测数据非常接近，但仍有偏差，
这是由描述曲面的统计模型和非自相关假设引起的。
现实中的连续曲面往往都有范围很宽的自相关函数。
但\citep{841905}表明忽略自相关性引发的误差仅在观察角度
满足$\displaystyle\frac{\tan\theta}{\sigma}>\frac{\sqrt{2}}{2}$时
才足够明显（$\sigma^2$为斜率的方差），所以通常可以认为
Smith掩模函数可以较为准确地适用于自相关的曲面，
但具有重复性或结构化纹理的材料（例如布料）则不应在建模时忽视这种自相关性。

\subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明}
本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的
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