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V形槽规范性
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@kanition
kanition committed Jun 22, 2024
1 parent 7f9b8d6 commit 0c4d47b
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Expand Up @@ -207,6 +207,8 @@ \subsection{几何设置}\label{sub:几何设置}

\input{content/chap0804.tex}

{\noindent\hfil$=========$\hfil{\color{red}{施工分割线}}\hfil$=========$\

\input{content/chap08ex01.tex}

{\noindent\hfil$=========$\hfil{\color{red}{施工分割线}}\hfil$=========$\
103 changes: 93 additions & 10 deletions content/chap08ex01.tex
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Expand Up @@ -423,7 +423,7 @@ \subsection{镜面微面模型的BRDF}\label{sub:镜面微面模型的BRDF}
{|{\bm\omega}_{\mathrm{M}}|^2}\Delta{\bm\omega}_{\mathrm{i}}\, .
\end{align}
同时注意到$|{\bm\omega}_{\mathrm{i}}|=|{\bm\omega}_{\mathrm{o}}|=1$，所以
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:08ex01-SimpleSymmetry}
|{\bm\omega}_{\mathrm{M}}|=2|{\bm\omega}_{\mathrm{m}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{i}}|\, .
\end{align}
于是
Expand Down Expand Up @@ -836,7 +836,7 @@ \subsubsection*{V形槽微面}
即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}=(x_{\mathrm{h}},y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}})$和
${\bm\omega}'_{\mathrm{h}}=(-x_{\mathrm{h}},-y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}})$，
它们最后以$\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}},0)D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$
作为权重合成最终的BRDF.
作为权重合成最终的BRDF。
根据这些特性，我们构造出相应的微面分布函数
\begin{align}\label{eq:08ex01-VCavityScatteringNormalDistribution}
D({\bm\omega})=\frac{1}{2}\left(
Expand Down Expand Up @@ -865,6 +865,7 @@ \subsubsection*{V形槽微面}
\frac{\max({\bm\omega}'_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}
{{\bm\omega}'_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}}\right)\, .
\end{align}

如\reffig{08ex01-V-cavityScattering-Mask}，微面的可见性有两种情况。
一种是其中一个${\bm\omega}'_{\mathrm{h}}$因背向而不可见，
即$G_1({\bm\omega}'_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})=0$，
Expand All @@ -883,6 +884,15 @@ \subsubsection*{V形槽微面}
({\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})}
{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}\, .
\end{align}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{Pictures/chap08/VCavityMicrosurfaceMask.eps}
\caption{V形槽微面模型的掩模。(a)一个面完全不可见，另一个被部分遮挡；
(b)两个面都完全可见，此时掩模函数值为1.}
\label{fig:08ex01-V-cavityScattering-Mask}
\end{figure}

另一种情况是${\bm\omega}_{\mathrm{h}}$和${\bm\omega}'_{\mathrm{h}}$均完全可见，
即$G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})=G_1({\bm\omega}'_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})=1$.
我们以单个表达式概括上述两种情况：
Expand All @@ -894,15 +904,88 @@ \subsubsection*{V形槽微面}
\end{align}
这便是\citet{10.1145/357290.357293}所用的著名的V形槽掩模函数。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{Pictures/chap08/VCavityMicrosurfaceMask.eps}
\caption{V形槽微面模型的掩模。(a)一个面完全不可见，另一个被部分遮挡；
(b)两个面都完全可见，此时掩模函数值为1.}
\label{fig:08ex01-V-cavityScattering-Mask}
\end{figure}

现在我们验证下\refeq{08ex01-V-Cavity-MaskingFunction}是否满足
可见法线分布的规范化约束即\refeq{08ex01-VisibleDistributionNormalization}。
先将$G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})$代入\refeq{08ex01-DistributionOfVisibleNormals}得
\begin{align}
D_{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})
=\min\left(1, \frac{2({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
({\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})}
{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}\right)
\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{\cos\theta_{\mathrm{o}}}\, .
\end{align}

上式中因为含有$\min(1,\cdot)$项，不方便处理，我们分开讨论。
先考虑V形槽和Smith微面模型的主要差别之处——
即$\displaystyle\theta_{\mathrm{o}}\approx\frac{\pi}{2}$时的掠角情况。
此时如\reffig{08ex01-V-cavityScattering-Mask}(a)中所示，V形槽的一个面是背向的，
如前所述，它对应于$\min(1,\cdot)$项取后者：
\begin{align}
D_{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})
= & \frac{2({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
({\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})}
{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}
\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{\cos\theta_{\mathrm{o}}}\nonumber \\
= & 2\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\, .
\end{align}
注意到$\displaystyle\theta_{\mathrm{o}}\approx\frac{\pi}{2}$时，
$\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})$项在规范化约束积分中
取1（微面正向）和取0（微面背向）的情况是各占一半的。而如果没有$\chi$项，
考虑到V形槽微面的对称性即$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=D({\bm\omega}'_{\mathrm{h}})$，
正向微面和背向微面各自的积分值会是相等的。
于是$\chi$项最终的效果相当于让剩余项原本的积分值减半。
再结合$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$的规范化性质\refeq{08ex01-McrofacetDistributionNormalization}，
我们有
\begin{align}
& \int\limits_{\varOmega}D_{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})
\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int\limits_{\varOmega}2\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & 2\int\limits_{\varOmega}\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & 2\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{\varOmega}({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & 2\cdot\frac{1}{2}\cdot1=1\, .
\end{align}

第二种情况是\refeq{08ex01-V-Cavity-MaskingFunction}中$\min(1,\cdot)$项取前者，
对应于\reffig{08ex01-V-cavityScattering-Mask}(b)中所示，此时V形槽两个微面均可见。
原论文略过了该情况的证明，笔者这里补充如下。
利用${\bm\omega}_{\mathrm{h}}$和${\bm\omega}'_{\mathrm{h}}$的对称性，
类似于\refeq{08ex01-SimpleSymmetry}，我们可以发现
\begin{align}
{\bm\omega}_{\mathrm{h}}+{\bm\omega}'_{\mathrm{h}}
=2({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}){\bm\omega}_{\mathrm{g}}\, .
\end{align}
且${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}}$和
${\bm\omega}'_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}}$均大于零。于是有
\begin{align}
& \int\limits_{\varOmega}D_{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})
\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int\limits_{\varOmega}\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{\cos\theta_{\mathrm{o}}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int\limits_{\varOmega}\frac{({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \frac{1}{2}\int\limits_{\varOmega}\frac{(({\bm\omega}_{\mathrm{h}}+{\bm\omega}'_{\mathrm{h}})\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \frac{1}{2}\cdot2\int\limits_{\varOmega}\frac{({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
({\bm\omega}_{\mathrm{g}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})}{{\bm\omega}_{\mathrm{o}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int\limits_{\varOmega}({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & 1\, .
\end{align}

由此我们验证了V形槽微面模型对于两种情况都满足可见微面法线分布的规范性要求，满足能量守恒。

然而，该分布在物理上并不能实现，而且尤其在掠角情况下显得不真实。
这是因为，

\subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明}
本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的
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