add some analytical expressions 07Dec2023

main.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 % !TeX program = xelatex
 
 \documentclass[a4paper,12pt]{article}
-\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[T2A, T1]{fontenc}
 \usepackage[english, russian]{babel}
@@ -52,6 +52,7 @@
 \newcommand{\phm}{\phantom{-}}
 \newcommand{\beq}{\begin{equation}}
 \newcommand{\eeq}{\end{equation}}
+\numberwithin{equation}{section}
 \newcommand{\im}{\mathrm{i}}
 
 

tex/analytics.tex

@@ -1,8 +1,9 @@
 \documentclass[main.tex]{subfiles}
 
 \begin{document}
-\textbf{Аналитические выводы.}
+\section{Аналитические выводы (для решёток с одинаковой жёсткостью).}
 
+Ищем решение уравнений движения в следующем виде (метод трёх волн):
 \beq
 u_{n,m}=
 \begin{cases}
@@ -11,6 +12,60 @@
 \end{cases}
 \eeq
 
-Из геометрии $k_1^y=k_2^y$.
+Дисперсионное соотношение для решётки:
+\beq
+m_i\Omega^2=4c\left(\sin^2{\frac{k_i^xa}{2}}+\sin^2{\frac{k_i^ya}{2}}\right)
+\eeq
+
+По условию волна падает под углом $\gamma$ (угол к нормали интерфейса), поэтому
+
+Уравнения движения для частиц интерфейса:
+\beq
+\begin{cases}
+	m_1\ddot{u}_{-1,m}=c\left(u_{0,m}+u_{-1,m+1}+u_{-2,m}+u_{-1,m-1}-4u_{-1,m}\right)\\
+	m_2\ddot{u}_{0,m}=c\left(u_{1,m}+u_{0,m+1}+u_{-1,m}+u_{0,m-1}-4u_{0,m}\right)
+\end{cases}
+\eeq
+
+\beq
+\frac{A_T}{A_I}=\frac{e^{\im k_1^xa}-e^{-\im k_1^xa}}{e^{\im k_2^xa}-e^{-\im k_1^xa}}\cdot\frac{e^{\im k_2^y am}}{e^{\im k_1^y am}}
+\eeq
+
+\beq
+T=\frac{m_2g_2^x}{m_1g_1^x}\left|\frac{e^{\im k_1^xa}-e^{-\im k_1^xa}}{e^{\im k_2^xa}-e^{-\im k_1^xa}}\right|^2,
+\eeq
+где
+$$
+g_i^x=\frac{d\Omega}{dk_i^x}=\frac{ac}{\Omega m_i}\sin{k_i^xa};\,\,\,\,\,
+g_i^y=\frac{d\Omega}{dk_i^y}=\frac{ac}{\Omega m_i}\sin{k_i^ya};\,\,\,\,\,
+g_i=\sqrt{\left(g_i^x\right)^2+\left(g_i^y\right)^2}
+$$
+
+%Из геометрии $k_1^y=k_2^y$.
+
+\section{Сравнение численных результатов с аналитическим решением (для цепочек).}
+
+Аналитическое решение для отношения амплитуд проходящей и падающей волн:
+\beq
+\frac{A_T}{A_I}=\frac{2\im c_{12}\sin{k_1}}{c_{12}\left(1-e^{-\im k_1}\right)+c_2\left(e^{\im k_2}-1\right)\left(1+e^{-\im k_1}\left(c_{12}-c_1\right)/c_1\right)}
+\eeq
+
+Аналитическое решение для коэффициента прохождения:
+\beq
+T=\frac{m_2g_2\left|A_T\right|^2}{m_1g_1\left|A_I\right|^2}=\frac{m_2g_2}{m_1g_1}\left(\frac{2\im c_{12}\sin{k_1}}{c_{12}\left(1-e^{-\im k_1}\right)+c_2\left(e^{\im k_2}-1\right)\left(1+e^{-\im k_1}\left(c_{12}-c_1\right)/c_1\right)}\right)^2,
+\eeq
+где
+$$
+k_1=\frac{2}{a}\arcsin{\sqrt{\frac{m_1\Omega^2-d_1}{4c_1}}};\,\,\,k_2=\frac{2}{a}\arcsin{\sqrt{\frac{m_2\Omega^2-d_2}{4c_2}}};
+$$
+$$
+g_1=\frac{a}{2\Omega}\sqrt{\left(\Omega^2-\frac{d_1}{m_1}\right)\left(\frac{4c_1+d_1}{m_1}-\Omega^2\right)};\,\,\,g_2=\frac{a}{2\Omega}\sqrt{\left(\Omega^2-\frac{d_2}{m_2}\right)\left(\frac{4c_2+d_2}{m_2}-\Omega^2\right)}.
+$$
+
+График зависимости коэффициента прохождения от жёсткости интерфейса $c_{12}$ построен в \href{https://github.com/mualal/waves-propagation/blob/master/mathematica/chain-chain-interface.nb}{блокноте Wolfram Mathematica}:
+
+Далее \href{https://github.com/mualal/waves-propagation/blob/master/python/chain-chain-interface.ipynb}{в блокноте Jupyter} проведено сравнение численных результатов с аналитическим решением при $c_{12}\geqslant0$:
+
+
 
 \end{document}