edit math: 包络线

zmx0142857 · Apr 29, 2024 · bc5835d · bc5835d
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diff --git a/js/toc.js b/js/toc.js
@@ -203,7 +203,7 @@ var tocData = {
         title: '解析几何',
         articles: [
           { title: '向量与坐标系', src: 'analytic-geo/1.html', date: '2023-05-08' },
-          { title: '平面与直线', src: 'analytic-geo/2.html' },
+          { title: '平面与直线', src: 'analytic-geo/2.html', date: '2024-04-29' },
           { title: '圆锥曲线与二次曲面', src: 'analytic-geo/3.html', date: '2024-04-24' },
           { title: '平面几何的复数解法', src: 'analytic-geo/6.html' },
         ]

diff --git a/math/analytic-geo/2.html b/math/analytic-geo/2.html
@@ -936,37 +936,77 @@ <h3>两直线所成的角, 直线和平面所成的角</h3>
 <h2>包络线</h2>
 
 <p class="example">
-	设 `gamma` 是平面曲线, 它的全体切线组成直线束
-	`Gamma = {l(t): f(t) x + g(t) y = c}`,
-	则 `gamma` 称为 `Gamma` 的<b>包络 (线)</b>.
-	下面求包络线.  设 `gamma` 的参数方程为
-	`(x(t), y(t))`, 且点 `P(t) = (x(t),y(t))` 是 `gamma` 与直线
-	`l(t)` 的切点, 这时 `gamma` 在 `P(t)` 处的切向量应与 `l(t)` 平行, 有
-	<span class="formula">
-		`dy/dx = (y'(t))/(x'(t)) = -(f(t))/(g(t))`,
-	</span>
-	即
-	<span class="formula">
-		`f(t) x'(t) + g(t) y'(t) = 0`.
-		<span class="label" id="for-envelope-1"></span>
-	</span>
-	又由 `P(t)` 在切线上, 有
-	<span class="formula">
-		`f(t) x(t) + g(t) y(t) = c`.
-		<span class="label" id="for-envelope-2"></span>
-	</span>
-	上式两边对 `t` 求导, 再与 <a class="ref" href="#for-envelope-1"></a> 相减得
-	<span class="formula">
-		`f'(t) x(t) + g'(t) y(t) = 0`.
-		<span class="label" id="for-envelope-3"></span>
-	</span>
-	从 <a class="ref" href="#for-envelope-2"></a>
-	<a class="ref" href="#for-envelope-3"></a>
-	组成的方程组中解出 `x(t)`, `y(t)`, 就得到曲线的参数方程.
+  <b>曲线族的包络</b>
+  设 `gamma` 是平面曲线, 若它与曲线族 `Gamma` 中的每一条曲线 `gamma_t in Gamma` 都相切, 则称 `gamma` 是 `Gamma` 的一条<b>包络线</b>.
+  若包络线 `gamma` 存在, 且在 `(x(t), y(t))` 处与 `gamma_t: F(x, y, t) = 0` 相切, 则可以证明 `gamma` 满足下面的方程组:
+  <span class="formula">
+    `{ F(x, y, t) = 0; F_t(x, y, t) = 0 :}`
+  </span>
+  视 `t` 为参数, 从方程组中解出 `x(t), y(t)`, 则得到参数方程. 另一方面, 消去参数 `t` 也可以得到隐方程.
+  这个方程组确定的曲线称为 <b>`t`-检验曲线</b>.<br>
+  特别当 `Gamma` 为直线族时, 设 `F(x, y, t) = f(t) x + g(t) y - h(t)`, `t`-检验曲线为
+  <span class="formula">
+    `{ f(t) x + g(t) y = h(t); f'(t) x + g'(t) y = h'(t) :}`
+  </span>
+  这是线性方程组, 我们可以轻松解得包络线的参数方程.
+</p>
+
+<ol class="proof">
+  <li>
+    设 `gamma` 的参数方程为 `(x(t), y(t))`.
+    由题设 `gamma` 在 `(x(t), y(t))` 处的切向量与 `gamma_t` 的切向量平行, 即与 `gamma_t` 的法向量垂直:
+    <span class="formula">
+      `F_x x'(t) + F_y y'(t) = 0`.
+      <span class="label" id="for-envelope-1"></span>
+    </span>
+    又 `(x(t), y(t))` 落在 `gamma_t` 上, 有
+    <span class="formula">
+      `F(x(t), y(t), t) = 0`.
+    </span>
+    这是 `t`-检验曲线的第一个方程. 两边对 `t` 求导得
+    <span class="formula">
+      `F_x x'(t) + F_y y'(t) + F_t = 0`.
+    </span>
+    上式与 <a class="ref" href="#for-envelope-1"></a> 比较得 `F_t = 0`.
+    这是 `t`-检验曲线的第二个方程.
+  </li>
+  <li>`t`-检验曲线的几何解释: 假设函数 `F` 和 `F_t` 都可微,
+    把 `F(x, y, t) = 0` 和 `F_t(x, y, t) = 0` 看作 `RR^3` 中的曲面,
+    它们的交线是空间曲线 `gamma^3`.
+    联立消去 `t` 后, 得到平面曲线 `gamma`. 这里 `gamma` 是 `gamma^3` 在 `xOy` 平面的投影.
+    `gamma^3` 的方向向量是两曲面法向量的外积:
+    <span class="formula">
+      `grad F xx grad F_t`
+      `= (F_x, F_y, F_t) xx (F_(t x), F_(t y), F_(t t))`
+      `= (F_y F_(t t) - F_t F_(t y), F_t F_(t x) - F_x F_(t t), ...)`
+    </span>
+    而 `gamma` 的方向向量只需取上式的 `x, y` 分量.<br>
+    `gamma` 与 `gamma_t` 在 `(x(t), y(t))` 处是相切的. 这是因为
+    `t`-检验曲线的第一个方程告诉我们 `F(x(t), y(t), t) = 0`,
+    说明点 `(x(t), y(t))` 在 `gamma_t` 上; 另一方面
+    <span class="formula">
+      `F_x (F_y F_(t t) - F_t F_(t y)) + F_y (F_t F_(t x) - F_x F_(t t))`
+      `= F_t (F_y F_(t x) - F_x F_(t y))`,
+    </span>
+    `t`-检验曲线的第二个方程告诉我们 `F_t(x(t), y(t), t) = 0`, 因此上式在 `(x(t), y(t))` 处等于零.
+    这说明 `gamma` 的方向向量与 `gamma_t` 的法向量在这一点垂直.
+  </li>
+</ol>
+
+<p class="example">
+  求曲线族 `(x - t)^2 + y^2 = 1` 的包络.
+</p>
+
+<p class="solution">
+  直观上这是一族平移的圆, 它的包络应该是上下两条切线. 列出 `t`-检验曲线:
+  <span class="formula">
+    `{ (x-t)^2 + y^2 = 1; 2(t-x) = 0 :}`
+  </span>
+  由第二式得 `t = x`, 代入第一式得 `y^2 = 1`. 我们同时得到了两条包络线.
 </p>
 
 <p class="example">
-	求直线束 `1/2 x cos t + y sin t = 1`, `t in [0, 2pi)` 的包络.
+	求直线族 `1/2 x cos t + y sin t = 1`, `t in [0, 2pi)` 的包络.
 </p>
 
 <p class="solution">
@@ -982,6 +1022,33 @@ <h2>包络线</h2>
 	这是一个椭圆.
 </p>
 
+<p class="example">
+  求椭圆 `(a cos t, b sin t)` 的全体法线组成的直线族及其包络.
+</p>
+
+<ol class="solution">
+  <li>`bm r = (a cos t, b sin t)`, `bm r' = (-a sin t, b cos t)`,
+    设 `bm r` 处的法线方程为 `-a x sin t + b y cos t = c`,
+    代入 `x = a cos t, y = b sin t` 得 `c = (b^2-a^2)sin t cos t`.
+    于是椭圆的法线族为
+    <span class="formula">
+      `a x sin t - b y cos t = (a^2 - b^2) sin t cos t`,
+      `quad t in [0, 2pi)`.
+    </span>
+  </li>
+  <li>
+    解线性方程组
+    <span class="formula">
+      `{ a x sin t - b y cos t - (a^2 - b^2) sin t cos t = 0;
+      a x cos t + b y sin t - (a^2 - b^2) cos 2 t = 0 :}`
+    </span>
+    得到包络线的参数方程:
+    <span class="formula">
+      `(x, y) = (a^2 - b^2)((cos^3 t)/a, -(sin^3 t)/b)`.
+    </span>
+  </li>
+</ol>
+
 <p class="example">
 	在平面直角坐标系中, 求直线 `A_k B_k` 的包络线与坐标轴围成图形的面积,
 	其中 `A_k(0, k/n)`, `B_k((n+1-k)/n, 0)`, `k = 1, 2, cdots, n`.

diff --git a/math/geometry/4.html b/math/geometry/4.html
@@ -42,7 +42,7 @@ <h2>圆的切线</h2>
       <li>
         作圆 `O` 的直径 `PD`. `ABDP` 四点共圆, 所以 `/_ ADP = /_ ABP = alpha`.
         由于 `DP` 是直径, 所以 `/_ ADP + /_APD = 90^@`.
-        于是 `/_ CPO = /_APC + /_APD = alpha + /_ APD = /_ ADP + /_ APD = 90^@`.
+        于是 `/_ CPO` `= /_APC + /_APD` `= alpha + /_ APD` `= /_ ADP + /_ APD` `= 90^@`.
       </li>
     </ol>
     <span class="img md">
@@ -55,7 +55,8 @@ <h2>圆的切线</h2>
       <li>由 1. 知 `/_ CPE = 90^@` 所以 `CE` 是圆 `A` 直径, 这说明 `C, A, E` 共线.</li>
       <li>
         又 `triangle BPO S= triangle FPO (SSS)`, 所以 `/_ BAF = /_ BPF = 2 /_ BPO`.
-        又在圆 `A` 中 `/_ BAC = 2/_ BPC`, 所以 `/_ BAF + /_ BAC = 2 (/_BPO + /_BPC) = 2 /_ CPO = 180^@`.
+        又在圆 `A` 中 `/_ BAC = 2/_ BPC`, 所以 `/_ BAF + /_ BAC`
+        `= 2 (/_BPO + /_BPC)` `= 2 /_ CPO = 180^@`.
         即 `C, A, F` 共线.
       </li>
     </ol>

diff --git a/math/misc/0.html b/math/misc/0.html
@@ -241,22 +241,6 @@
   </li>
 </ol>
 
-<p class="example">
-  <b>包络线</b> 由方程组
-  <span class="formula">
-    `{ f(x, y, c) = 0; f_c(x, y, c) = 0 :}`
-  </span>
-  确定的曲线称为 `c`-检验曲线.
-  我们可以消去参数 `c` 得到 `x, y` 的隐方程, 也可以取定参数 `t`,
-  将 `x, y, c` 都表为 `t` 的函数, 从而得到关于 `t` 的参数方程.
-  比如, 椭圆 `(a cos t, b sin t)` 的全体法线组成的直线族为
-  <span class="formula">
-    `(a x)/(cos c) - (b y)/(sin c) = a^2-b^2`,
-  </span>
-  它的包络为 `(a^2-b^2)((cos^3 t)/a, -(sin^3 t)/b)`. 代入直线族知,
-  该包络线与直线族在 `t = c` 处相切.
-</p>
-
 <p class="example">
   <b>三角形面积的 Heron 公式</b> 中乘积
   <span class="formula">

diff --git a/math/misc/7.html b/math/misc/7.html
@@ -75,6 +75,21 @@
 </tr>
 </table>
 
+<p class="example">
+  令
+  <span class="formula">
+    `f(x) = sum_(n ge 0) n * x^n`
+    `= x "d"/dx sum_(n ge 0) x^n`
+    `= x "d"/dx 1/(1-x)`
+    `= x/(1-x)^2`,
+  </span>
+  则
+  <span class="formula">
+    `f(10^-2) =10^-2/(1-10^-2)^2 = 100/99^2`.
+  </span>
+  于是 `100//99^2 = 0.010203040506070809...`
+</p>
+
 <p class="example">
 	<b>口算开平方</b>
 	利用微分近似 `sqrt(1+x) ~ 1 + x/2` (`x to 0`) 来计算平方根.